文档内容
专题 17 数列的通项公式
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
数列近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
1、求等比数列的通项公式，等差中项的应用
2021年全国乙（文科），第19题,12分
2、错位相减求前n项和
1、证明等差数列
2021年全国乙（理科），第19题,12分
2、求通项公式
2021年全国甲（文科），第17题,12分 证明等差数列
2021年全国甲（文科），第9题,5分 等比数列通项公式基本量计算，求前n项和
证明等差数列，等差数列的应用
2021年全国甲（理科），第18题,12分
求前n项和，由前n项和求通项
判断充分性与
2021年全国甲（理科），第7题,5分 判断数列的增减性
必要性
2022年全国乙（理科），第8题,5分
等比数列通项公式基本量计算，求数列的项
2022年全国乙（文科），第10题,5分
2022年全国甲（理科），第17题,12分 1、递推公式证明等差数列
2022年全国甲（文科），第17题,12分 2、等比中项的应用，求前n项和
1、利用定义求等差数列通项公式，等差数列
2023年全国乙（文科），第18题,12分 基本量的计算
2、含绝对值的等差数列求前n项和
2023年全国乙（理科），第15题,5分 等比数列通项公式基本量计算
余弦函数，集
2023年全国乙（理科），第10题,5分 等差数列求通项公式，数列周期性
合元素互异性
2023年全国甲（文科），第5题,5分 等差数列性质计算，求前n项和
2023年全国甲（理科），第5题,5分 等比数列前n项和
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节为高考必考内容，各种题型均有出现；
2.考查数列的增减性、周期性；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13.考查等差、等比数列基本量的计算，等差、等比中项的应用；
4.考查由递推公式证明等差、等比数列；
5.考查求等差、等比数列的通项公式与前n项和；
【备考策略】1.掌握找规律求通项公式；
2.掌握公式法求通项公式；
3.掌握等差、等比数列求通项公式
4.掌握累加法求通项公式
5.掌握累乘法求通项公式
6.掌握构造法求通项公式
7.掌握取倒数法求通项公式
【命题预测】1.考查数列的增减性、周期性；
2.考查等差、等比数列基本量的计算，等差、等比中项的应用；
3.考查由递推公式证明等差、等比数列；
4.考查求等差、等比数列的通项公式与前n项和；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2知识讲解
a
一、找规律求通项公式 n
a
根据数列的前几项找规律，写出通项公式 n，注意求数列是否具备周期性.
a
二、公式法求通项公式 n
{a } S =a +a +a +¿⋅¿+a
1．数列 n 的前n项和： n 1 2 3 n.
{ S =a ,n=1
a = 1 1
n
S −S ,n≥2
2． n n−1
a
三、等差数列求通项公式 n
等差数列通项公式的推导
a =a +d⇒a −a =d
n+1 n n+1 n
a −a =d，a −a =d，⋅¿⋅，a −a =d
2 1 3 2 n n−1
a −a =d+d+，⋅¿⋅，+d=(n−1)d⇒a =a +(n−1)d
n 1 n 1
a =a +(n−m)d
n m
a
四、累加法求通项公式 n
题型特征：a =a +f (n)⇔a −a =f (n)
n+1 n n+1 n
a −a =f (1)，a −a =f (2)，⋅¿⋅，a −a =f (n−1)
2 1 3 2 n n−1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3a −a =f (1)+f (2)+，⋅¿⋅，+f (n−1)
n 1
a =a +（a −a ）+…+(a −a )=a +f(1)+f(2)+…+f(n−1)(n≥2)
n 1 2 1 n n−1 1
a
五、等比数列求通项公式 n
等比数列通项公式的推导
a
a =q⋅a ⇒ n =q
n n−1 a
n−1
a a a
2 =q， 3 =q，⋅¿⋅， n =q
a a a
1 2 n−1
a a a a a
2 ⋅ 3 ⋅，⋅¿⋅，⋅ n−1 ⋅ n =q×q׿⋅¿×q=qn−1 ⇒ n =qn−1 ⇒a =a qn−1
a a a a a n 1
1 2 n−2 n−1 1
a =a qn−m
n m
a
六、累乘法求通项公式 n
a
题型特征：a =f (n)⋅a ⇔ n =f (n)
n n−1 a
n−1
a a a
2 =f(2)， 3 =f(3)，⋅¿⋅， n =f(n)
a a a
1 2 n−1
a a a a
2 ⋅ 3 ⋅，⋅¿⋅，⋅ n−1 ⋅ n =f(2)×f(3)׿⋅¿×f(n)
a a a a
1 2 n−2 n−1
a
n =f (2)×f (3)׿⋅¿×f (n)(n≥2)
a
1
a
七、构造等差数列求通项公式 n
形如 a n+1 =pa n +q 型(p≠0,其中 a 1 =a )的数列 {a n } 的通项公式求法，若 p=1,则数列 {a n } 为等差数列;
a =pa+qn （p≠0，1且q≠0） {a }
形如 n+1 n 型 的数列 n 的通项公式
a p a 1 {a n }
n+1 n
= ⋅ +
等式两边同时除以
qn+1
,即得
qn+1 q qn q
.当
p=q
时,数列
qn
为等差数列;
a
八、构造等比数列求通项公式 n
1．形如 a n+1 =pa n +q 型(p≠0)的数列 {a n } 的通项公式求法
（1）若 q=0,则数列 {a
n
} 为等比数列;
（2）若 p≠1 且 q≠0,则数列 {a n } 为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4a +λ=p（a +λ） a =pa+（p−1）λ
方法如下:设
n+1 n
,得
n+1 n
,
q
与题设a =pa+q比较系数得
λ=
p−1
(p≠1),
n+1 n
q q
所以
a
n
+
p−1
=p(a
n−1
+
p−1
)(n≥2),
{ q } q
即 a n + p−1 构成以 a 1 + p−1 为首项, p 为公比的等比数列.
2．形如 a n+1 =pa n +qn 型（p≠0,1,q≠0）的数列 {a n } 的通项公式
等式两边同时除以 qn+1 ,即得 q a n n + + 1 1 = q p ⋅ q a n n + q 1 ，当 p≠q 时,原式可以变形为 q a n n + + 1 1 +λ= q p{a q n n +λ } 的形
{a }
式,则数列
n +λ
为等比数列,进而写出 的通项公式.
qn {a }
n
3．形如 a n+1 =pa n +qn+r 型(p≠0)的数列 {a n } 的通项公式求法
第一步,假设将递推公式改写为
a
n+1
+x(n+1)+y=p(a
n
+xn+y)
的形式;
第二步,由待定系数法,求出x,y的值;
第三步,写出数列
{a
n
+xn+y}
的通项公式;
{a }
第四步,写出数列
n
的通项公式.
4．形如 a n+1 =pa n +qa n−1型(p≠0)的数列 {a n } 的通项公式求法
可以将递推式化为 a n+1 −x 1 a n =x 2 (a n −x 1 a n−1 ),其中 x 1 , x 2是方程x2 −px−q=0的两个根,若1是方程的
根,则直接构造数列
{a
n
−a
n−1
}
;若1不是方程的根,则需要构造两个数列,采取消元的方法求数列
{a
n
}
.
a
九、取倒数法求通项公式 n
pa
形如 a n+1 = qa n + n r 型( p , q , r 为常数, p>0 , q , r , a n ≠0 )的数列 {a n } 的通项公式求法
1 1
=A +B
等式两边同时取倒数,变形构造出线性递推式 (A,B是常数),进而求解.
a a
n+1 n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5考点一、找规律求通项公式a 或数列的项
n
类型1：观察法
1
1．在数列 中， ，且 a =a + (n≥2,n∈N¿) ，写出数列 的前5项，猜想数列
{a } a =1 n n−1 n(n−1) {a }
n 1 n
{a }
的通项公式.
n
2．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极
衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐
藏的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第
15项是（ ）
A．400 B．110 C．112 D．113
3．已知数列1， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，则 是数列中的（ ）
A．第58项 B．第59项 C．第60项 D．第61项
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6类型2：周期法
1
4．在数列 {a } 中， a 1 =− 2 ，且 a ⋅(1−a )=1 ，则a = .
n n+1 n 2022
5．洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡
斯数列为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、L，即 ， ，且
.则洛卡斯数列 的第 项除以 的余数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023年山西省模拟考试数学试题）数列 满足 ， ，则数列 的前 项的乘
积为（ ）
A． B． C． D．
a
1．在数列 中， ，且a = n (n∈N¿)，写出数列 的前5项，猜想数列 的通项公式.
{a } a =1 n+1 1+a {a } {a }
n 1 n n n
2．在数列{a }中，a =2,a =5，且 a =a −a (n∈N¿)，则 a = .
n 1 2 n+1 n+2 n 5
3．观察数列 则数 将出现在此数列的第（ ）
A．21项 B．22项
C．23项 D．24项
1
{ 2a ,0≤a <
n n 2
3．在数列 中， ，且 a = ，则 .
6 n+1 1
a = 2a −1, ≤a <1
{a } 1 7 n 2 n a =
n 2022
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 75．已知数列 满足 ，则 的值为（ ）
A．-3 B．1 C．2 D．3
考点二、公式法求通项公式a
n
类型1：差项法
差项相减
n(n+1)
1．设正项数列 {a } 满足√a 1 +√a 2 +¿⋅¿+√a n = 2 ，求数列 {a } 的通项公式.
n n
2．（2023年湖北省质量检测数学试题）已知数列满足 ，设 ，则数列
的前2023项和为（ ）
A． B． C． D．
差项相除
3．设正项数列{a }满足a ⋅a ⋅a ⋅⋯⋅a =n2 +3n+2，求数列{a }的通项公式.
n 1 2 3 n n
题型2：公式法
4．设数列{a
n
}的前n项和为 S
n
，若S
n
=3n +2n+1(n∈N¿)，求数列{a
n
}的通项公式.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8n+1
1．在数列 中， ，
a +2a +3a +¿⋅¿+na= a (n∈N¿)，求数列
的通项公式.
{a } a =1 1 2 3 n 2 n+1 {a }
n 1 n
2．（2023年江西省联考数学试题）已知数列 满足 ，设数列 的前
项和为 ，若 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．设数列{a
n
}的前n项和为 S
n
，若 log
3
(S
n
+1)=n+1(n∈N¿) ，求数列{a
n
}的通项公式.
4．设数列{a
n
}的前n项和为 S
n
，若 S
n
=2a
n
−4(n∈N¿)，求数列{a
n
}的通项公式.
考点三、等差数列求通项公式a
n
1．（2023年江西省模拟数学试题）已知等差数列 的前 项和为 .
求 的通项公式；
2．（2023年福建省质量监测数学试题）已知数列 满足 ，则数列
的通项公式为 .
3．（2023年安徽省质量检测数学试题）已知 是公差不为 的等差数列 的前 项和， 是 与 的
等比中项， .
求数列 的通项公式；
4．（2023届广东省调研数学试题）记 ，为数列 的前n项和，已知 ， ．
求 ，并证明 是等差数列；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 91．（2023年辽宁省模拟考试数学试题）记等差数列 的前 项和为 ，已知 ，
3a +a =0
．
3 5
求 的通项公式；
2．记 为数列 的前n项和，且 ，已知 ．
若 ，求数列 的通项公式；
3．（2023年福建省质量检测数学试题）已知等差数列 的公差 ，其前 项和为 ，若 ， ，
成等比数列，且 .
求数列 的通项公式；
4．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
证明： 是等差数列；
考点四、累加法求通项公式a
n
1．设数列{a }满足a =1，且 a =a +n+1(n∈N¿)，求数列{a }的通项公式.
n 1 n+1 n n
1 1
2．设数列 满足 a = ，且 a =a + (n∈N¿) ，求数列 的通项公式.
{a
n
} 1 2 n+1 n n2 +n {a
n
}
3．（2023届湖北省调研数学试题）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究
成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.
以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差
数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（ ）
A．196 B．197 C．198 D．199
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 104．已知数列 满足 ， ， ，则数列 第2023项
为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023年湖南省模拟数学试题）设数列 的前 项和为 ，若 ，且对任意的正整数 都有
，则 （ ）
A． B． C． D．
1．设数列{a }满足a =1，且 a =a +2n+1(n∈N¿)，求数列{a }的通项公式.
n 1 n+1 n n
2．（2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文科（江西卷））在数列 中， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023年河南省摸底检测数学试题）设数列 中 ， ，且
，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023届广东省模拟数学试题）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11是公差不为零的等差数列，则称数列 为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各
层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层
放10个小球， ，则第40层放小球的个数为（ ）
A．1640 B．1560 C．820 D．780
5．（2023届浙江省仿真考数学试题）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”
拓展而成的三角形数阵，记 为图中虚线上的数 构成的数列 的第 项，则 的值为（ ）
A．1275 B．1276 C．1270 D．1280
考点五、等比数列求通项公式a
n
1．已知 为等比数列, , ,则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023年湖北省调研考试数学试题）设正项等比数列 的前 项和为 ，若
，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知等比数列 ，公比为q，其中 ，q均为正整数，且 ， ， 成等差数列，则 等于
（ ）
A．96 B．48 C．16 D．8
4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知数列 满足 ，
记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 121．（2020年海南省高考数学试题（新高考全国Ⅱ卷））已知公比大于 的等比数列 满足
．
求 的通项公式；
2．已知递增等比数列 ， ， ， ，则 （ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
3．已知等比数列 满足 ， ，则 （ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
4．已知数列 满足： ，且 ．设 ．
证明：数列 为等比数列，并求出 的通项公式；
考点六、累乘法求通项公式a
n
n−1
1．设数列 满足 ，且 a = a (n≥2)，求数列 的通项公式.
{a } a =1 n n n−1 {a }
n 1 n
2 n
2．设数列 满足 a = ，且 a = a (n∈N¿)，求数列 的通项公式.
{a
n
} 1 3 n+1 n+1 n {a
n
}
n
3．设数列 满足 ，且 a = a (n∈N¿)，求数列 的通项公式.
{a
n
} a
1
=2 n+1 n+2 n {a
n
}
4．（2022年高考最后一卷（押题卷四）数学试题）在数列 中， ， ，若
，且对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列 中， ， ，则数列 的通项公式为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13A． B． C． D．
1．（2023年广东省模拟数学试题）记数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．设数列{a }满足a =1，且a =2na (n∈N¿)，求数列{a }的通项公式.
n 1 n+1 n n
3．设数列{a }满足a =2，且(n+1)a =(n−1)a (n≥2,n∈N¿)，求数列{a }的通项公式.
n 1 n n−1 n
4．（2023年广东省模拟数学试题）已知 是数列 的前 项和， ， ，则 的通项公
式为（ ）
A． B． C． D．
考点七、构造等差数列求通项公式a
n
积累和观察
1．如果数列{a }满足a =4，a =2a +2n+1 ，求数列{a }的通项公式.
n 1 n+1 n n
n2 +n
2．设数列 的前 项和为 ，且满足 nS =(n+1)S + ， ，求数列 的通项公式.
{a } S n+1 n 2 a =1 {a }
n n n 1 n
5a −8 { 1 }
3．已知数列 满足 ，a = n ，a =3，证明数列 是等差数列，并求数列 的
{a } a ≠2 n+1 2a −3 1 a −2 {a }
n n n n n
通项公式.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 141．如果数列{a }满足a =2，a =2a +3⋅2n ，求数列{a }的通项公式.
n 1 n+1 n n
2．已知数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
a −1 { 1 }
3．已知数列 满足a = n−1 ，a =3(n∈N¿)，证明数列 是等差数列，并求数列 的通
{a
n
} n a
n−1
+3 1 a
n
+1 {a
n
}
项公式.
4．设数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
，且满足
a
1
=1,a
n+1
=S
n
⋅S
n+1
，求数列
{S
n
}
的通项公式.
考点八、构造等比数列求通项公式a
n
形如 a =pa+q 型(p≠0)的数列 {a } 的通项公式求法
n+1 n n
1．设数列
{a }
满足
a =2a +1,a =1
，求数列
{a }
的通项公式.
n n+1 n 1 n
2．设数列{a
n
}的前n项和为 S
n
，且满足 a
n
+S
n
=3n−1 ，求数列{a
n
}的通项公式.
形如a =pa+qn 型（p≠0,1,q≠0）的数列{a }的通项公式
n+1 n n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 153．（2023年福建泉州模拟试题）在数列{a }中,a =−1,a =2a +4×3n−1 ,求数列{a }的通项公式.
n 1 n+1 n n
形如 a =pa+qn+r 型(p≠0)的数列 {a } 的通项公式求法
n+1 n n
4．（2023年陕西模拟试题）已知数列 {a } 满足 a =2 , a +1=3a −2 +1 ,则 a = .
n 1 n n n n
形如 a =pa+qa 型(p≠0)的数列{a }的通项公式求法
n+1 n n−1 n
5．已知在数列
{a }
中,
a =5
,
a =2
,
a =2a +3a (n≥3),求这个数列的通项公式.
n 1 2 n n−1 n−2
1．设数列
{a }
满足
a =3a +2,a =1
，求数列
{a }
的通项公式.
n n+1 n 1 n
2．设数列{a
n
}的前n项和为 S
n
，且满足 3S
n
−2a
n
=−3n ，求数列{a
n
}的通项
3．已知在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 164．（2023年江苏省学情调研数学试题）若 是数列 的前n项和，已知 ， ,且
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023届河南省考前预测押题理科数学试题）在数列 中， ，则
的前 项和 的最大值为（ ）
A．64 B．53 C．42 D．25
考点九、取倒数法求通项公式a
n
a
1．设数列 满足a = n ,a =1，求数列 的通项公式.
{a } n+1 a +3 1 {a }
n n n
a
2．（2023年广西南宁模拟试题）已知数列 满足 ,a = n ,则数列 的前 项和
{a
n
} a
1
=1 n
+1
2a
n+1
{a
n
a
n+1
}
n
T
n
=
（ ）.
n n 2 n
n
A． B． C． D．
2n−1 2n+1 2n+1 4n+2
3．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 173a 3
1．设数列 满足a = n ,a = ，求数列 的通项公式.
{a } n+1 2a +1 1 5 {a }
n n n
2．已知数列 满足 , ( ),则 （ ）
A． B． C． D．
【基础过关】
1．（2023年广东省名校联盟联考数学试题）在数列 中， ，则
（ ）
A．260 B．860 C．1011 D．2022
2．（2023年安徽省检测模拟数学试题）已知数列 的前 项和 ，则 的通项公式
（ ）
A． B． C． D．
3．设 是数列 的前n项和，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 184．数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A．4043 B．4044 C．2021 D．2022
5．（2023年河南省模拟数学试题）设数列 的前n项和为 ，且 为常数列，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023届湘豫名校联考模拟考试文科数学试题）已知数列 的前n项和为 ， ，且
（ 且 ），若 ，则 （ ）
A．46 B．49 C．52 D．55
7．（2023届四川省教学联盟监测文科数学试题）已知数列 满足 ，则
的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023届山东省模拟考试数学试题）已知等比数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且 ， ，
成等差数列， ．
求数列 的通项公式；
9．（2023年山东省模拟试题）已知数列 的前n项和为 ，满足
，则 （ ）
A．4043 B．4042 C．4045 D．4044
10．已知数列 满足： ，
(1)求a，a；
2 3
(2)设 ，求证：数列 是等比数列，并求其通项公式；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1911．若数列 和 满足 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知数列 的首项 ，且各项满足公式 ，则数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
13．已知数列 ，则该数列第 项是（ ）
A． B． C． D．
【能力提升】
1．（2023年辽宁省模拟数学试题）设等差数列 满足 ， ，且 ， ，
则 （ ）
A．10100 B．10000 C．9900 D．9801
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023届北京适应性测试数学试题）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》
中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10
个球，…，设各层球数构成一个数列 ， ， ， ，…，则 （ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20A． B． C． D．
4．（2023届重庆市联考数学试题）已知数列 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023年黑龙江省模拟数学试题）已知定义在R上的函数 是奇函数且满足 ，
，数列 满足 ，且 （其中 为 的前 项和），则
（ ）.
A． B． C． D．
6．已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知数列 满足 ， ，若 ，当 时， 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
8．在数列 中， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
9．（2019年浙江省高考数学试卷）设 ，数列 中， ， ,则
A．当 B．当
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21C．当 D．当
10．已知数列 的前n项和 ，其中 ．
（Ⅰ）证明 是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若 ，求 ．
【真题感知】
1．（2023年全国甲卷理数）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
2．（2022年全国新高考I卷数学试题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数
列．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
3．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
4．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已
知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知数列 满足 ，
，设 ．
（1）求 ；
（2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；
（3）求 的通项公式．
6．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷））已知数列 的前 项和
（其中 为常数），且
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23(1)求 ；
(2)求数列 的前 项和
7．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））若数列 的前 项和为
2 1
S
n
=
3
a
n
+
3
，则数列 的通项公式是a
=
.
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24
