文档内容
第四章 因式分解
4.2 提公因式法
第2课时 提公因式为多项式的因式分解
学习目标：
1.准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解；
2.能运用整体思想进行因式分解.
自主学习
一、情境导入
提公因式法因式分解的一般步骤：
1. 多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号；
2. 公因式的系数是多项式各项 ；
3. 字母取多项式各项中都含有的 ；
4. 相同字母的指数取各项中最小的一个，即 .
思考1：提公因式时，公因式可以是多项式吗？找找下面各式的公因式.
(1) a(x - y) - b( x - y)
(2) a(b + c) - 3(b + c)
(3) a(x - 3) + 2b( x - 3)
(4) y(x + 1) + y2( x + 1)2
思考2：公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？
合作探究
一、要点探究
1知识点一：全等三角形的判定和性质
例1 把下列各式分解因式：
(1) a(x - 3) + 2b(x - 3)； (2) y( x + 1) + y2( x + 1)2 .
归纳总结：
练一练
1. x(a + b) + y(a + b)
2. 3a(x - y) - (x - y)
3. 6(p + q)2 - 12(q + p)
例2 把下列各式因式分解：
(1) a(x－y)＋b(y－x)； (2) 6(m－n)3－12(n－m)2.
归纳总结：
练一练
(1) (a - b) =___(b - a)； (2) (a - b)2 =___(b - a)2；
(3) (a - b)3 =___(b - a)3； (4) (a - b)4 =___(b - a)4；
(5) (a + b) =___(b + a)； (6) (a + b)2 =___(b + a)2；
(7) (a + b)3 = ( - b - a)3； (8) (a + b)4 = ( - a - b)4.
2二、课堂小结
当堂检测
1. 请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号，使等式成立.
(1) 2 - a = (a - 2) (2) y - x = (x - y)
(3) b + a = (a + b) (4) (b - a)2 = (a - b)2
(5) -s2 + t2 = (s2 - t2) (6) -m - n = (m + n)
(7) (b - a)3 = (a - b)3
2. 因式分解：p(a2 + b2 ) - q(a2 + b2 ).
3. 因式分解：(x - y)2 + y(y - x).
参考答案
一、创设情境，导入新知
3提公因式法因式分解的一般步骤：
1. 多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号；
2. 公因式的系数是多项式各项___系数的最大公约数___；
3. 字母取多项式各项中都含有的____相同的字母__；
4. 相同字母的指数取各项中最小的一个，即___最低次幂__.
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：提公因式为多项式的因式分解
例1 把下列各式分解因式：
(1) a(x - 3) + 2b(x - 3)； (2) y( x + 1) + y2( x + 1)2 .
解：(1) a(x - 3) + 2b(x - 3)= (x - 3)(a + 2b).
(2) y(x + 1) + y2(x + 1)2 = y(x + 1)(1 + xy + y).
归纳总结：
1. 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
练一练
1. x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)
2. 3a(x - y) - (x - y) = (x - y)(3a - 1)
3. 6(p + q)2 - 12(q + p) = 6(p + q)(p + q - 2)
例2 把下列各式因式分解：
(1) a(x－y)＋b(y－x)； (2) 6(m－n)3－12(n－m)2.
解：(1) a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y)
＝(x－y)(a－b)
(2) 6(m－n)3－12(n－m)2＝6(m－n)3－12(n－m)2
＝6(m－n)2[(m－n)－2]＝6(m－n)2(m－n－2)
归纳总结：
两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法
(1) 当相同字母前的符号相同时，两个多项式相等.
4如：a - b 和 -b + a，则 a - b = -b + a.
(2) 当相同字母前的符号均相反时，两个多项式互为相反数.
如：a - b 和 b - a，则 a - b = -(b - a).
由此可知规律：
(1) a - b 与 -a + b 互为相反数.
(a - b)n = (b - a)n (n是偶数)
(a - b)n = -(b - a)n (n是奇数)
a + b 与 -a - b 互为相反数.
(-a - b)n = (a + b)n (n是偶数)
(-a - b)n = -(a + b)n (n是奇数)
(2) a + b 与 b + a 相等，a - b 与 -b + a 相等.
(a±b)n = (±b + a)n (n是整数)
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立：
(1) (a - b) =__－_(b - a)； (2) (a - b)2 =__＋_(b - a)2；
(3) (a - b)3 =__－_(b - a)3； (4) (a - b)4 =__＋_(b - a)4；
(5) (a + b) =__＋_(b + a)； (6) (a + b)2 =_＋__(b + a)2；
(7) (a + b)3 =_－_( - b - a)3； (8) (a + b)4 = _＋_( - a - b)4.
课堂小结：
当堂检测
1. 请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号，使等式成立.
(1) 2 - a = － (a - 2) (2) y - x = － (x - y)
(3) b + a = ＋ (a + b) (4) (b - a)2 = ＋ (a - b)2
(5) -s2 + t2 = － (s2 - t2) (6) -m - n = － (m + n)
5(7) (b - a)3 = － (a - b)3
2. 因式分解：p(a2 + b2 ) - q(a2 + b2 ).
解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ) = (a2 + b2)(p - q).
3. 因式分解：(x - y)2 + y(y - x).
解法1：(x - y)2 + y(y - x)= (x - y)2 - y(x - y)
= (x - y)(x - y - y) = (x - y)(x - 2y).
解法2：(x - y)2 + y(y - x) = (y - x)2 + y(y - x)
= (y - x)(y - x + y) = (y - x)(2y - x).
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