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4.2 提公因式法
第2课时 提公因式为多项式的因式分解
教学内容 第2课时 提公因式为多项式的因式分解 课时 1
1. 经历探索、认识多项式各项公因式的过程，并在具体问题中，能确定多项
式各项的公因式；
核心素养
2. 在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方
目标
法；
3. 会应用提公因式法解决相关问题.
1.准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解；
知识目标 2.能运用整体思想进行因式分解.
教学重点 准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解.
教学难点 能运用整体思想进行因式分解.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、复习 一、回顾旧知，导入新知
导入
提公因式法因式分解的一般步骤： 设计意图：回顾旧知，引
1. 多项式的第一项系数为负数时，先提取“-” 导学生通过复习单项式公
号，注意多项式的各项变号； 因式的方法与步骤，将其
2. 公因式的系数是多项式各项_系数的最大公约 推广应用于提取思考1的
数； 公因式.
3. 字母取多项式各项中都含有的__相同的字母；
4. 相同字母的指数取各项中最小的一个，即__最
低次幂__.
思考1：提公因式时，公因式可以是多项式吗？
设计意图：用类比的方法
找找下面各式的公因式.
找到式子中相同的因式，
(1) a(x - y) - b( x - y)
说出公因式的特征(多项
(2) a(b + c) - 3(b + c)
式)，并尝试说出分解的
(3) a(x - 3) + 2b( x - 3)
结果.
(4) y(x + 1) + y2( x + 1)2
师生活动：让学生尝试解答，并互相交流.
师追问：公因式是多项式形式，怎样运用提公因 设计意图：探索寻找多项
式法分解因式？ 式各项的公因式的过程，
能确定多项式各项的公因
式.
二、探究
新知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：提公因式为多项式的因式分解
典例精析
例1 把下列各式分解因式：
(1) a(x - 3) + 2b(x - 3)；
1(2) y( x + 1) + y2( x + 1)2 .
设计意图：第2课时的两
解：(1) a(x - 3) + 2b(x - 3)= (x - 3)(a + 2b). 个例题是单项式公因式
(2) y(x + 1) + y2(x + 1)2 = y(x + 1)(1 + xy + y). 的深化和提高，公因式由
单项式过渡到多项式，难
度逐步提高，符合学生认
师生活动：教学例1(1)时，应引导学生把x - 3
知规律.
看成一个整体，这样例1(1) 就可看成一个二项
式，第一项是a(x - 3)，第二项是2b(x - 3)，这
两项含有公因式(x - 3)，所以可以用提公因式法
因式分解.
教学例1 (2) 时，除了像例1 (1 )那样分析外，
还需注意这两项的公因式是y(x + 1) .提出公因式
后，第一项还剩下“1”，不要漏掉. 最后结果要
化简整理.
师生共同归纳总结：
1. 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是
一个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方
法.
练一练
1. x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)
2. 3a(x - y) - (x - y) = (x - y)(3a - 1)
3. 6(p + q)2 - 12(q + p) = 6(p + q)(p + q - 2)
设计意图：通过练习让学
例2 把下列各式因式分解： 生巩固对多项式公因式的
(1) a(x－y)＋b(y－x)； (2) 6(m－n)3－12(n－m)2. 方法的理解和运用.
解：(1) a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y)
＝(x－y)(a－b)
(2)6(m－n)3－12(n－m)2
设计意图：本例在例1的
＝6(m－n)3－12(n－m)2
基础上进一步解决符号问
＝6(m－n)2[(m－n)－2]
题.教学时要引导学生正
＝6(m－n)2(m－n－2)
确理解(x－y)与(y－x)，
(x－y)2与(y－x)2的关系.
师生活动： 例2(2) 也可以将(m－n)3
1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题. 转化成－(n－m)3. 教学时
2小组内批阅. 应让学生体会因式分解的
3.对板演的内容进行评价纠错. 不同形式.
归纳总结：
两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下
判断方法
(1) 当相同字母前的符号相同时，两个多项式相
等.
如：a - b 和 -b + a，则 a - b = -b +
a.
设计意图：提炼判断两个
(2) 当相同字母前的符号均相反时，两个多项式
只有符号不同的多项式是
互为相反数.
否有关系的方法，为下一
如：a - b 和 b - a，则 a - b = -(b - 步总结符号问题做铺垫.
2a).
师生活动：由老师提出归纳的方法，对应学生举
出相应的例子，加深学生对方法的理解.
由此可知规律：
(1) a - b 与 -a + b 互为相反数.
(a - b)n = (b - a)n (n是偶数)
(a - b)n = -(b - a)n (n是奇数)
a + b 与 -a - b 互为相反数.
设计意图：当所提公因式
(-a - b)n = (a + b)n (n是偶数)
是多项式时，往往会涉及
(-a - b)n = -(a + b)n (n是奇数)
符号的变化.此方法总结
(2) a + b 与 b + a 相等，a - b 与 -b + a 相
以帮助学生提高处理符号
等.
的能力，体会添括号的方
(a±b)n = (±b + a)n (n是整数) 法.
师生活动：由老师提出归纳的方法，对应学生说
出它的另一种形式，加深学生对方法的理解.
三、当堂
练习，巩 在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”
固所学 号，使等式成立：
(1) (a - b) =__－_(b - a)；
(2) (a - b)2 =__＋_(b - a)2；
(3) (a - b)3 =__－_(b - a)3；
(4) (a - b)4 =__＋_(b - a)4；
(5) (a + b) =__＋_(b + a)；
(6) (a + b)2 =_＋__(b + a)2； 设计意图：通过练习加深
(7) (a + b)3 =_－_( - b - a)3； 对转换符号的运用.
(8) (a + b)4 = _＋_( - a - b)4.
师生活动：让学生自主探究，教师巡视，针对学
生可能出现的问题及时给予指导.
三、当堂练习，巩固所学
1. 请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号，
使等式成立.
(1) 2 - a = (a - 2)
(2) y - x = (x - y)
(3) b + a = (a + b)
(4) (b - a)2 = (a - b)2
(5) -s2 + t2 = (s2 - t2)
(6) -m - n = (m + n)
(7) (b - a)3 = (a - b)3 设计意图：考查对转换符
号的运用.
2. 因式分解：p(a2 + b2 ) - q(a2 + b2 ).
3. 因式分解：(x - y)2 + y(y - x).
3设计意图：考查学生对提
公因式方法的理运用
4.2.2提公因式为多项式的因式分解
确定公因式的方法；三定，即定系数；定字母；定指数
分两步： (整体思想)
板书设计
第一步找公因式；
第二步提公因式
课后小结
本课时是在上一课时的基础上进行的拓展延伸，在教学时要给学生足够
教学反思 主动权和思考空间，突出学生在课堂上的主体地位，引导和鼓励学生自主探
究，在培养学生创新能力的同时提高学生的逻辑思维能力.
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