文档内容
2025-2026 学年上学期期末考试
高二年级 数学
本试卷共6页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条
形码粘贴区。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知 为直线 的一个方向向量，则直线 的倾斜角为
A． B． C． D．
2．在等比数列 中， ，则
A．2 B．3 C．4 D．8
3．若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
4．已知数列 满足 ， ，则
A． B． C． D．
5．已知动圆 与圆 内切，同时与圆 外切，则动圆 的圆心轨迹方程
为
A． B． C． D．
6．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的
数学试题 第1页一部分，已知该卫星接收天线的口径 ，深度 ，信号处理中心 位于焦点处，以顶点
为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若 是该抛物线上一点，点 是圆
上一点，则 的最小值为
A．4 B．3 C． D．5
7．等差数列 的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差 的值
分别是
A． B． C． D．
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，第二象限的点 满足
，且 .若 ，且 ，则 的离心率为
A． B．4 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
部选对的得6分，部分选对的得部分分。
9．以下四个命题是错误的是
A．直线 恒过定点(3,6)
B．若直线 与 互相垂直，则
C．已知直线 与 平行，则
D．过点 的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为
10．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， ， ，则下列说法正
确的有
A．数列 为等差数列 B．数列 为等比数列
数学试题 第1页C． D．
11．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，直线 过点 ，且与双曲线的右支交于
两点，与双曲线的两条渐近线分别交于 两点，其中 两点位于第一象限，下列说法正确的是
A．若 ，则 的周长为18
B．若 ，则实数 的值可以为
C．点 到两条渐近线的距离之积为定值
D．若 , 的内切圆的半径分别为 ，则 恒成立
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．一条光线从点 射出，经x轴反射后，与圆 相切，则反射光线所在的
直线方程为 ．
13．已知椭圆 ，过M的右焦点 作直线交椭圆于 两点，若 中点
坐标为 ，则椭圆M的方程为 ．
14．已知数列 的前n项和为 ，且 ，设函数 ，则
．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知抛物线 过点 ，且点A到其准线的距离为4．
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线 与抛物线交于异于原点的P，Q两点，求 的面积 .
数学试题 第1页16．在平面直角坐标系中， ， ，动点 满足 ，设动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的轨迹方程；
(2)若直线 与曲线 交于A，B两点，求 .
17．如图，在四棱锥 中，侧面 ， 是边长为2的等边三角形，
底面 为直角梯形，其中 ， ， .
(1)取线段 中点 ，连接 ，证明： ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)线段 上是否存在一点E，使得平面 与平面 夹角的余
弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
18．已知点 是椭圆 的右焦点， 为坐标原点，若 上的点与点 距离的最
大值为3，最小值为1，过点 作 的两条互相垂直的弦 ， .
(1)求 的方程；
(2)求证： 的值为定值；
数学试题 第1页(3)设 ， 的中点分别为 求证：直线 过定点.
19．人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数
，且与 互素的正整数的个数，例如 ， .
(1)求 ， 的值；
(2)已知数列 满足 .
①求 的前 项和 ；
②记数列 的前 项和为 ，若对任意 ，均有不等式 恒
成立，求实数 的取值范围.
数学试题 第1页2025-2026 学年上学期期末考试
高二年级数学学科参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
B D C B C A D B
二、多选题
9 10 11
ACD BCD ACD
三、填空题
12．【答案】 或
13．【答案】
14．【答案】
数学试题 第1页四、解答题
15．(1) ；(2) .
（1）根据题意知 过点 ，
所以抛物线准线方程为 ，且点A到其准线的距离为4，
，
即 ， 抛物线的方程为 ；……………………………………5分
（2）由 得 ， ，
设 ， ， 为直线 与 轴交点，
则 ， ，
．
……………………………………13分
16．【答案】(1) (2)
（1）设 ，因为 ， 满足 ，即 ，
即 ，整理得 ，所以曲线 的轨迹方程为 .
……………………………………8分
（2）圆心 到直线 的距离 ，所以
.
……………………………………15分
数学试题 第1页17．【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)存在， .
（1）在四棱锥 中，取 中点N，连接 ，
由 为 的中点，且 ， ，得 ， ，
则四边形 为平行四边形，所以 ，
而 平面 ， 不在平面 内，所以 平面 .
……………………………………4分
（2）取 的中点O，连接 ，
由 为等边三角形，得 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 .
由 ， ，得四边形 是平行四边形，
于是 ，而 ，则 ，直线 两两垂直，
以O为坐标原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
……………………………………9分
（3）令 ， ，
， ，
数学试题 第1页设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，得 ，
平面 的法向量为 ，
于是 ，
化简得 ，又 ，解得 ，即 ，
所以线段 上存在点E，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ， .
……………………………………15分
18．(1) (2)证明见解析(3)证明见解析
（1）设椭圆 的焦距为 ，则由题意得 ，解得 .
所以 ，所以 的方程为 .
……………………………………4分
（2）由（1）得 ，若直线 与直线 的斜率一个为0，另一个不存在时，
， （或 ， ），此时 .
若直线 与直线 的斜率都存在时，如图：
设直线 的方程为 ， ， ，
数学试题 第1页由 ，得 ，
所以 ， .
所以
因为 ，将 换成 ，得 ，
所以 .
综上所述， 的值为定值.
……………………………………11分
（3）由（2）得 ， ，
因为 是 的中点，所以 ，
将 换成 ，得 ，即
若直线 的斜率存在，则直线 的斜率为 ，
数学试题 第1页所以直线 的方程为 ，即 ，
所以直线 过定点
若直线 的斜率不存在，则 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，直线 也过定点 .
综上，直线 过定点 .
……………………………………17分
19．【答案】(1) ， ；
(2) ① ；②
（1）因为不超过正整数 且与 互素的正整数只有 ，所以 ，
因为不超过正整数 且与 互素的正整数只有 ，所以 .
……………………………………4分
（2）①所有不超过正整数 的正整数有 个，
其中与 不互素的正整数有 ， ， ， ， ，共 个，
所以所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数为 个，即 ，
所以 ，
……………………………………7分
所以
两式相减得
数学试题 第1页所以 ；
……………………………………10分
②由①可知 ，所以 ，
所以由 得 恒成立，
令 ，则 ，
所以可得 ；
当 时， 即 ，
所以 的最大值为 ，
故 .
……………………………………17分
数学试题 第1页
