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猜想 06 一元一次方程的应用（13 种常见题型专练）
题型一：行程问题 题型二：配套问题
题型三：工程问题 题型四：销售盈亏问题
题型五：比赛积分问题 题型六：方案选择问题
题型七：数字问题 题型八：几何问题
题型九：和差倍分问题 题型十：电费、水费问题
题型十一：比例分配问题 题型十二：日历问题
题型十三：古代问题
题型一：行程问题
1．（2022上·河南信阳·七年级校考期末）一列匀速行驶的火车，从它进入一条320米长的隧道到完全通过
隧道用18秒钟．隧道顶部一盏固定的灯光在火车照了10秒钟，求火车长度多少？设火车长x米，可列方
程 ．
【答案】
【分析】设这列火车的长为x米，根据题意表示出火车的速度： 米/秒，或者是 米/秒，根据速度
的相等关系列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这列火车的长为x米，根据题意得：
，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是弄懂题意，表示出火车的速度．
2．（2022上·江苏盐城·九年级统考期中）铁人三项比赛程序是：先同时游泳1.5千米到第一站点，接着骑
自行车40千米到第二站点，再跑步10千米到终点．女子组三名运动员在各项比赛和各个站点分别所用时
间（单位：秒）汇总如下表：
运动员号 第一站
游泳 骑自行车 第二站点 跑步
码 点
101 2 000 80 5 000 40 3 200
102 1 500 60 5 700 60 3 600
103 1 350 70 5 400 50 3 300
(1)第101号、第102号、第103号运动员骑自行车的平均速度依次为是 米/秒、 米/秒、 米/秒（精确到
0.1）；
(2)如果运动员骑自行车都是匀速的，那么在骑自行车的途中，101号运动员会追上102号或103号吗？如
果会，那么追上时离第一站点有多少米（精确到0.1）？如果不会，为什么？(3)如果运动员长跑也都是匀速的，那么在长跑途中这三名运动员中有可能某人追上另一人吗？为什么？
【答案】(1)8；7.0； 7.4
(2)见解析
(3)见解析
【分析】对于（1），根据速度=路程÷时间的关系求出答案即可；
对于（2），先比较时间可确定101号能追上102号，再根据路程相等列出方程，求出解即可，然后比较
101号和103号的时间得出答案；
对于（3），比较第二站点所用时间和最后所有时间可得答案．
【详解】（1）第101号运动员骑自行车的平均速度是 米/秒；
第102号运动员骑自行车的平均速度是 米/秒，
第103号运动员骑自行车的平均速度是 米/秒．
故答案为：8，7.0，7.4；
（2）因为 ，101号能追上102号，
设追上所用时间为t秒， 根据题意，得
，
解得 ，
（米），
所以追上时距第一站点29120米．
因为2000+80+5000>1350+70+5400，101号不会追上103号；
（3）从第二站点出发时，101、102、103三位选手已用时间分别为7120、7320、6870．
到达跑步终点时，101、102、103三位选手已用时间分别为10320、10920、10170．
三人在跑步开始时与结束时次序一致，说明三人谁也追不上谁．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清各段的时间，速度，路程的关系是解题的关键．
3．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）一艘轮船航行在朝天门和钓鱼嘴两个码
头之间，从朝天门到钓鱼嘴顺水航行用了3小时，逆水航行比顺水航行多用20分钟，已知轮船在静水中的
速度是19千米/时．
(1)求水流速度以及朝天门和钓鱼嘴两个码头之间的距离；
(2)若在这两地之间建立新的码头大坪湾，使该轮船从朝天门到大坪湾的航行时间是和从钓鱼嘴到大坪湾所
用的航行时间的一半，问朝天门和大坪湾两地相距多少千米？
【答案】(1)水流速度为 千米/小时，朝天门和钓鱼嘴两个码头之间的距离为 千米
(2)朝天门和大坪湾两地相距 千米【分析】（1）设水流速度为 千米/小时，则船在顺水中的速度为 千米/小时，船在逆水中的速度
为 千米/小时，再根据题意，列出一元一次方程，解出即可得出水流速度，然后再用船顺水中的速
度乘以顺水航行的时间，即可得出朝天门和钓鱼嘴两个码头之间的距离；
（2）根据（1）可知：船在顺水中的速度为 千米/小时，船在逆水中的速度为 千米/小时，设朝天门和
大坪湾两地相距 千米，则钓鱼嘴到大坪湾两地相距 千米，根据题意，结合朝天门到大坪湾为顺水，
钓鱼嘴到大坪湾为逆水，列出一元一次方程，解出即可得出答案．
【详解】（1）解：设水流速度为 千米/小时，则船在顺水中的速度为 千米/小时，船在逆水中的
速度为 千米/小时，
根据题意，可得： ，
解得： ，
∴水流速度为 千米/小时，
∴ （千米），
∴朝天门和钓鱼嘴两个码头之间的距离为 千米；
（2）解：由（1）可知：船在顺水中的速度为： （千米/小时），船在逆水中的速度为：
（千米/小时），
设朝天门和大坪湾两地相距 千米，则钓鱼嘴到大坪湾两地相距 千米，
根据题意，可得： ，
解得： ，
∴朝天门和大坪湾两地相距 千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解本题的关键在理清题意，找出等量关系，正确列出方程．
4．（2022上·浙江台州·七年级统考期末）小王和小李每天从 地到 地上班，小王坐公交车以 的
速度匀速行驶，小李开汽车以 的速度匀速行驶．
(1)若他们同时从 地出发，15分钟后，两人相距______ ；
(2)假设途中设有9个站点 ， ，…， 公交车在每个站点都停靠0.5分钟．
①若两车同时从 地出发，则汽车比公交车早10.5分钟到达．求 ， 两地的距离．
②若每相邻两个站点间（包含起点站和终点站）的距离相等，小王4：30坐公交车从 地前往 地，8分
钟后小李开汽车也从 地前往 地，求小李追上小王的时刻．
【答案】(1)2.5
(2)①20km；②小李追上小王的时刻为4：48．【分析】（1）先求出小王和小李在15分钟内的路程，然后求得两个间的距离；
（2）①先设A、B两地相距x千米，然后分别用含有x的式子表示两人从A地到B地的时间，再结合“汽
车比公交车早10.5分钟到达”列出方程求解，即可得到A、B两地间的距离；
②先由①得到每两个站点间的距离，然后计算得到公交车在每两个站点间的时间，进而初步判断8分钟
后公交车的位置，然后设时间为m分钟，再分段进行讨论即可．
【详解】（1）解：15分钟＝0.25小时，
∴小王的路程为40×0.25＝10（km），
小李的路程为50×0.25＝12.5（km），
∴两人间的距离为12.5﹣10＝2.5（km），
故答案为：2.5．
（2）解：①设两地距离为x千米，则小李的从A地到B地的时间为 小时，小王的时间为
小时，
∵汽车比公交车早10.5分钟到达，
∴ ，
解得：x＝20，
∴A、B两地相距20千米．
②由①得，A、B两地相距20千米，
∵每两个站点间的距离相等，
∴每两个站点间的距离为20÷10＝2（千米），
∴小王经过两个站点间的时间为2÷40＝0.05小时＝3分钟，
∵3+0.5+3+0.5＝7＜8，
∴8分钟时，公交车在P 与P 之间，
2 3
设小李经过m分钟追上小王，
当小李在P 与P 之间追上小王，即m≤2时，
2 3
，
解得：m＝28（舍）；
当小李在P 与P 之间追上小王，即2.5＜m≤5.5时，
3 4
，
解得：m＝26（舍）；
当小李在P 与P 之间追上小王，即6＜m≤9时，
4 5
，解得：m＝24（舍）；
当小李在P 与P 之间追上小王，即9.5＜m≤12.5时，
5 6
，
解得：m＝22（舍）；
当小李在P 与P 之间追上小王，即13＜m≤16时，
6 7
，
解得：m＝20（舍）；
当小李在P 与P 之间追上小王，即16.5＜m≤19.5时，
7 8
，
解得：m＝18；
∴经过18分钟，小李追上小王，
此时的时刻为4：48．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是会利用“路程＝速度×时间”进行相关时间和路
程的表示和会将时间单位进行转化．
题型二：配套问题
1．（2021上·宁夏银川·七年级校考期末）某口罩厂有50名工人，每人每天可以生产500个口罩面或1000
个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排 名工人生产口罩面，
则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则
人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可
以列出方程．
【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则 人生产耳绳，由题意得，
故选：C．
2．（2023上·山西运城·七年级统考期末）新型冠状肺炎正在全球蔓延，口罩成为了人们生活中必不可少的
物品，某口罩厂有400名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1200根耳绳，一个口罩面需要配两根耳
绳，现有x个工人生产口罩面．则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据人每天可以生产800个口罩面或1200根耳绳，一个口罩面需要配两根耳绳，可以列出相应的
方程，即可解答本题．
【详解】解：设应安排x名工人生产口罩面，则安排 名工人生产耳绳，
，
故选：D
【点睛】本题考查了根据实际问题列一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是
一道典型的配套问题．
3．（2023上·广西防城港·七年级统考期末）某车间每天能制作甲种零件250只，或者制作乙种零件500只，
甲、乙两种零件各一只配成一套产品，现要在30天内制作最多的成套产品，设甲种零件应制作 天，则可
列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据甲、乙两种零件各一只配成一套产品，得到甲、乙两种零件数量相等，列出方程即可．
【详解】解：设甲种零件应制作 天，由题意，得： ；
故选A．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，列出方程，是解题的关键．
4．（2023上·湖南益阳·七年级校考期末）某车间有35名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，
一个螺栓与两个螺母配套，要使每天生产的螺栓与螺母配套，应如何安排生产？若设有 名工人生产螺栓，
则可列方程 ．
【答案】
【分析】设有 名工人生产螺栓，则有 名工人生产螺母，根据“一个螺栓与两个螺母配套”可得螺
母数量是螺栓数量的两倍，即可列出方程．
【详解】解：设有 名工人生产螺栓，则有 名工人生产螺母，
根据题意可列方程为： ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，
列出方程．
5．（2023上·江西赣州·七年级统考期末）石城是“中国白莲之乡”，某食品加工厂对白莲进行深加工做成
即食罐头，需要用白铁皮做罐头盒．已知每张白铁皮可制盒身25个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底
配成一套．(1)若用5张白铁皮制作盒底，需要用______张白铁皮制作盒身，才能正好做成罐头盒，此时可以做成
______个罐头盒．
(2)现在有36张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？
【答案】(1)4；100
(2)用16张制盒身，20张制盒底
【分析】（1）利用制作盒身所需白铁皮的数量 制作盒底的数量 ，即可求出制作盒身所需白铁皮的
数量；利用做成罐头盒的数量 制作盒底的数量 ，即可求出做成罐头盒的数量；
（2）设用 张制盒身，则用 张制盒底，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，即可得
出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解： （张），
（个）．
故答案为：4；100．
（2）设用 张制盒身，则用 张制盒底，
依题意得： ，
解得： ，
．
答：用16张制盒身，20张制盒底，可使盒身与盒底正好配套．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2023上·重庆开州·七年级统考期末）冰薄月饼以香气浓郁，酥软适当在开州区享有盛名．某糕点厂中
秋节前要制作一批盒装礼盒月饼，每个礼盒中装4块大月饼和8块小月饼，制作1块大月饼要用0.05
面粉，1块小月饼要用0.02 面粉，现共有面粉4500 ，要用多少面粉制作大月饼才能生产最多的礼
盒装月饼？最多可生产多少盒礼盒装月饼？
【答案】制作大月饼用了 面粉，最多可生产12500盒礼盒装月饼
【分析】利用制作的大小月饼正好装成整盒，进而得出等式求出即可．
【详解】设用了 面粉制作大月饼才能使礼盒配套，则制作小月饼月了 面粉.
由题意可列
解得：
答：制作大月饼用了面粉 ，最多可生产 盒礼盒装月饼.
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
7．（2023上·辽宁抚顺·七年级统考期末）某防护服厂有54名工人，每人每天可加工防护服8件或防护面
罩10个，已知一件防护服配一个防护面罩．(1)为了使每天生产的防护服与防护面罩正好配套，需要安排多少人生产防护服？
(2)由于有新疫情爆发，该厂接到任务，要在10天内加工3000件防护服和3000个防护面罩，按照（1）中
的安排，在不增加工人工作量的情况下，该厂是否能按时完成任务？为什么？
【答案】(1)30人
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设需要安排x人生产防护服，则有 人生产防护面罩，根据生产的防护服数量等于防
护面罩，列出方程解方程即可；
（2）求出10天最多可以完成的套数，然后与3000进行比较即可．
【详解】（1）解：设需要安排x人生产防护服，则有 人生产防护面罩，
根据题意，得 ，
解得： ，
（人），
答：需要安排30人生产防护服．
（2）解：不能．
∵ ，且 ，
∴在不增加工人工作量的情况下，该厂不能按时完成任务．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
8．（2023上·河北邢台·七年级校联考期末）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需要3个甲种零
件和1个乙种零件正好配套，已知车间每天能生产甲种零件540个或乙种零件120个，现要在10天中使所
生产的甲、乙两种零件全部配套，那么应该安排多少天生产甲种零件，多少天生产乙种零件？
【答案】应该安排4天生产甲种零件，则安排6天生产乙种零件．
【分析】根据题意表示出甲乙两件的个数，再利用每台豆浆机需3个甲种零件和1个乙种零件正好配套得
出等式，求出答案．
【详解】解：设应该安排x天生产甲种零件，则安排 天生产乙种零件，
根据题意可得： ，
解得： ， 则 （天），答：应该安排4天生产甲种零件，则安排6天生产乙种零件．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
9．（2023上·云南昭通·七年级统考期末）某车间有 名工人，每人每天可以生产 个螺钉或 个螺母，
1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，怎样安排工人生产螺钉？
【答案】安排 人生产螺钉
【分析】设安排x人生产螺钉，则安排 人生产螺母，根据题意得 ，进行计算
即可得．
【详解】解：设安排x人生产螺钉，则安排 人生产螺母，
答：安排 人生产螺钉．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程．
10．（2023上·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）新型冠状肺炎疫情蔓延期间，口罩成了人
们生活中必不可少的物品．某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产1000个口罩面或1200根耳绳．一个
口罩面需要配两根耳绳，为使每天生产的口罩与耳绳刚好配套，应该安排多少名工人生产口罩面，安排多
少工人生产耳绳？该口罩厂每天可生产多少个口罩？
【答案】应该安排 名工人生产口罩面，安排 名工人生产耳绳，该口罩厂每天可生产 个口罩
【分析】设应安排x名工人生产口罩面，则安排 名工人生产耳绳，根据题意列出相应的方程，然后
解方程，即可解答本题．
【详解】解：设应安排x名工人生产口罩面，则安排 名工人生产耳绳，
，
解得 （人），
生产耳绳的工人数： （人），
则一天生产的口罩数量为： （个），
答：应该安排 名工人生产口罩面，安排 名工人生产耳绳，该口罩厂每天可生产 个口罩．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
11．（2023上·福建龙岩·七年级统考期末）做自己健康第一责任人，抗击疫情，人人有责．某检测仪器成
了抗疫必备器械，一套检测仪器由一个A部件和三个B部件构成，用 钢材可以做40个A部件或240个
B部件．
(1)现在要用 钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，可以恰好配成这种仪器多少套？
(2)现在某公司要租赁这批仪器a套，每天的付费方案有两种选择：
方案一：当a不超过60套时，每套支付租金100元；当a超过60套时，超过的套数每套支付租金打八折；
方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元．
当a超过60套时，请回答下列问题：
①若按照方案一租赁，公司每天需支付租金________元（用含a代数式表示）；若按照方案二租赁，公司
每天需支付租金________元（用含a代数式表示）．
②假如你是公司负责人，请你谋划一下，选择哪种租赁方案更合算？并说明理由．
【答案】(1)应用 钢材做A部件， 钢材做B部件，可以恰好配成这种仪器160套；
(2)① ； ；②当 时，选择租赁方案二更合算；当 时，两种租赁方案同样
合算；当 时，选择租赁方案一更合算．
【分析】（1）设用 钢材做A部件，用 钢材做B部件，根据一个A部件和两个B部件刚好配
成套，列方程求解；
（2）①方案一租金根据当a超过60套时，超过的套数每套支付租金打八折列式计算可得；方案二租金根
据每套支付租金90元列式计算可得；
②根据 ，得到 ．分三种情况分析即可．
【详解】（1）解：设应用 钢材做A部件， 钢材做B部件，
依题意，得 ，
解得， ，
∴ ， ，
答：应用 钢材做A部件， 钢材做B部件，可以恰好配成这种仪器160套；
（2）解：①方案一： 元，
方案二： 元；
故答案为： ； ；
②由 ，
得 ，
∴当 时，选择租赁方案二更合算；
当 时，两种租赁方案同样合算；
当 时，选择租赁方案一更合算．
【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，配套问题的解决方法，正确理解题意列得方程或列式计算
是解题的关键．
题型三：工程问题
1．（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）为加快红塔区城市更新改造，全面推进全区基础设施建设，提升城市档次和品位，2023年4月起，聂耳路（南北大街一棋阳路）开始封闭施工工程．其中某条地下管线如
果由甲工程队单独铺设需要20天，由乙工程队单独铺设需要30天，现计划由乙工程队先从一端铺设5天，
然后增加甲工程队从另一端和乙工程队同时铺设．设甲乙工程队共同铺设 天后，恰好完成这条地下管线
的铺设，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据乙独做5天的工作量加上甲乙合作x天的工作量=1，进而得出答案．
【详解】解：设甲乙工程队共同铺设 天后，恰好完成这条地下管线的铺设，则：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系列出方程，再求解．
2．（2023上·河南商丘·七年级统考期末）一项工作，甲单独做需9天完成，乙单独做需12天完成，如果
两人合做几天后，余下的工作再由甲单独做2天完成，则甲、乙两人合做了 天．
【答案】4
【分析】设甲、乙两人合做了x天，甲单独做需9天完成，乙单独做需12天完成，则甲每天完成任务的 ，
乙每天完成任务的 ，再由各部分的工作量之和等于总工作量列方程，解这个方程即可．
【详解】解：设甲、乙两人合做了x天，
可得方程： ，
解得： ，
答：甲、乙两人合做了4天．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．列方程解应用题的关键是正确找出题目中的相等关系，用代数
式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为列代数式的问题．
3．（2023上·重庆南岸·七年级校考期末）列方程解应用题
今年暑假期间，北关中学对校园进行了整改，整个校园面貌焕然一新．
(1)7月份甲工程队接到了铺设 地砖的施工任务，铺设了 后，为了赶工期，提高了铺设速度，
又施工2天后，完成全部任务，求甲工程队提速后每天铺设地砖多少 ？
(2)8月份增加乙工程队与甲工程队同时施工．若甲工程队按（1）中提速后的施工速度进行施工，则两队需
要12天完工．为了不影响正常开学，实际施工时，甲工程队的施工速度提高了5%，乙工程队的施工速度
提高了30%，结果10天完工，求乙工程队原计划每天铺设地砖多少 ？【答案】(1)甲工程队提速后每天铺设地砖
(2)乙工程队原计划每天铺设地砖
【分析】（1）根据工作速度＝工作量÷工作时间求解即可；
（2）设乙工程队原计划每天铺设地砖 ，根据原计划两工程队12天完工，提速后10天完工，列方程求
解即可．
【详解】（1）解：根据题意得： （ /天），
答：甲工程队提速后每天铺设地砖 ；
（2）解：设乙工程队原计划每天铺设地砖 ，
根据题意的： ，
解得： ，
答：乙工程队原计划每天铺设地砖 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键．
4．（2023上·广西崇左·七年级统考期末）为建设市民河堤漫步休闲通道，某市新区现有一段长为180米的
河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用
时20天.
(1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程如下：
甲： ，乙：
根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出以下代数式表示的意义.
甲：x表示：___________________________ 表示：___________________________
乙：x表示：___________________________ 表示：___________________________
(2)请你从甲、乙两名同学的解答思路中选择你喜欢的一种思路，求A、B两个工程队分别整治河堤的米数，
需写出完整的解答过程.
【答案】(1)选择甲同学：A工程队用的时间，B工程队用的时间；选择乙同学A工程队整治河堤的米数，
B工程队整治河堤的米数
(2)A工程队整治的米数60米，B工程队整治的米数120米．
【分析】（1）根据所列方程可得甲： ，x表示A工程队用的时间， 表示B工程
队用的时间；
乙： ，x表示A工程队整治河堤的米数，表示B工程队整治河堤的米数；
（2）求解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，甲： ，x表示A工程队用的时间， 表示B工程队用的时间；
乙： ，x表示A工程队整治河堤的米数，表示B工程队整治河堤的米数；
故答案为：A工程队用的时间，B工程队用的时间；选择乙同学A工程队整治河堤的米数，B工程队整治河
堤的米数；
（2）解：选择甲同学的解答过程为： ，
解得 ，
所以A工程队整治的米数为： 米，
B工程队整治的米数为： 米，
答：A工程队整治的米数60米，B工程队整治的米数120米；
选择乙同学的解答过程为： ，
解得 ，
由题意可知A工程队整治的米数为60米，
B工程队整治的米数为： 米，
答：A工程队整治的米数60米，B工程队整治的米数120米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关
系，列方程求解．
5．（2023上·宁夏吴忠·七年级校考期末）一件工作由一个人做要500小时完成，现在计划有一部分人先做
5小时，再增加8人和他们一起做10小时完成这项工作，先安排多少人工作？
【答案】先安排28人工作
【分析】设先安排 人工作，根据有一部分人先做5小时，再增加8人和他们一起做10小时完成这项工作
列方程，求解即可．
【详解】设先安排 人工作，由题意得
解得 ，
所以，先安排28人工作．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
6．（2023上·云南临沧·七年级统考期末）某中学在寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲、乙两个工程队
都想承包这项工程，已知甲队每天能粉刷2间教室，乙队每天能粉刷3间教室，若单独粉刷所有教室，甲
队比乙队要多用10天，在粉刷过程中，该校每天需要支付甲队1600元，每天支付乙队2500元．
(1)该校一共有多少间教室需要粉刷?
(2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲队停工了，乙队单独完成剩余部分，且乙队的全部工作时
间是甲队的工作时间的2倍还多4天，求乙队共粉刷了多少天?
(3)经学校研究，制定了如下三种方案：方案一：由甲队单独完成；
方案二：由乙队单独完成；
方案三：按（2）的方式完成．
请你通过计算帮学校选择一种最省钱的粉刷方案．
【答案】(1)该校共有60间教室需要粉刷
(2)乙队共粉刷了了16天
(3)选择方案一最省钱，见解析
【分析】（1）设乙工程队要刷x天，根据题意房间数量列出方程求解即可；
（2）设甲工程队的工作时间为y天，则乙工程队的工作时间 天，根据两队共粉刷60间教室列出方
程求解即可；
（3）分别计算出三种方案的费用，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：设该校共有 间教室需要粉刷，则 ，解得： ．
答：该校共有60间教室需要粉刷．
（2）解：设甲队的工作时间是 天，则乙队的工作时间为 天，由题意可得：
∴ ，解得： ，
∴ ．
答：乙队共粉刷了16天．
（3）解：方案一：甲单独完成花费为： （元）；
方案二：乙单独完成花费为： （元）；
方案三：总花费为： （元）．
∴选择方案一最省钱．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列
出方程是解答本题的关键．
7．（2022上·全国·七年级期末）某公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场．现在甲、乙
两个加工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天，甲工
厂每天可加工16件产品，乙工厂每天可加工24件产品．
(1)求这个公司要加工新产品的件数．
(2)在加工过程中，公司需支付甲工厂每天加工费80元，乙工厂每天加工费120元．公司还需另派一名工程
师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费．公司制定产品加工方案如下：可由一个工厂
单独加工完成，也可由两个工厂合作同时完成．当两个工厂合作时，这名工程师轮流去这两个工厂．请你
通过计算帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案．
【答案】(1)这个公司要加工960件新产品(2)该公司应选择第③种方案，由两个工厂合作同时完成时，既省钱，又省时间
【分析】（1）设这个公司要加工x件新产品，根据甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多
用20天，甲工厂每天可加工16件产品，乙工厂每天可加工24件产品，列出方程式，解出即可；
（2）分别计算三种情况所需要的天数和费用，进行比较即可．
【详解】（1）解：设这个公司要加工x件新产品，
根据题意，得 ，解得 ，
答：这个公司要加工960件新产品；
（2）解：方案①：由甲工厂单独加工需耗时 （天，需要费用 （元）；
方案②：由乙工厂单独加工需耗时 （天），需要费用 （元）；
方案③：由两厂共同加工需耗时 （天），需要费用 （元）．
所以该公司应选择第③种方案，由两个工厂合作同时完成时，既省钱，又省时间．
【点睛】本题主要考查一元一次方程和最优方案问题，要认真读题，列出相应的方程．
题型四：销售盈亏问题
1．（2023上·河北石家庄·七年级期末）某商店在某一时间以每件90元的价格出售两件商品，其中一件盈
利 ，另一件亏损 ，则在这次买卖中，商家
【答案】亏损了12元
【分析】分别列方程求出两件衣服的进价，然后可得两件衣服分别赚了多少和赔了多少，则两件衣服总的
盈亏就可求出．
本题考查了一元一次方程的应用．解决本题的关键是要知道两件衣服的进价，知道了进价，就可求出总盈
亏．
【详解】解：设第一件衣服的进价为x元，
依题意得： ，解得： ，
所以盈利了 （元）．
设第二件衣服的进价为y元，
依题意得： ，解得： ，
所以亏损了 元，
所以两件衣服一共亏损了 （元）．
故答案为：亏损了12元．
2．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）有两种消费券： 券，满 元减 元， 券，满 元减
元，即一次购物大于等于 元、 元，付款时分别减 元、 元．小敏有一张 券，小聪有一张 券，
他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款 元，则所购商品的标
价是 元【答案】 或 /80或95
【分析】设所购商品的标价是 元，然后根据两人共付款 元的等量关系，分所购商品的标价小于 元
和大于 元两种情况，分别列出方程求解即可．
【详解】解：设所购商品的标价是 元，则
①所购商品的标价小于 元，
，
解得 ；
②所购商品的标价大于 元，
，
解得 ．
故所购商品的标价是 或 元．
故答案为 或 ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键．
3．（2023上·内蒙古呼和浩特·七年级校考期末）一家商店将某品牌皮衣按原价提高 后标价，又以8折
优惠卖出，结果每件皮衣比按原价卖多赚了180元，这种皮衣原价是多少元？
【答案】1500元
【分析】设这种皮衣原价是 元，根据题意列出方程，求解即可．
【详解】解：设这种皮衣原价是 元，
根据题意可知， ，
解得 ，
答：这种皮衣原价是1500元．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解一元一次方程，根据题意列出方程是解题关键．
4．（2023上·湖南娄底·七年级统考期末）某种笔记本的售价为5元/本，如果买100本以上，超过100本部
分的，每本售价打八折．
(1)甲校和乙校分别买了80本和120本，乙校比甲校多花了多少钱？
(2)如果丙校买这种笔记本花了740元，丙校买了多少本？（列方程求解）
(3)如果丁校买这种笔记本花了a元，丁校买了多少本？（a是20的整数倍）
【答案】(1)180元
(2)160本
(3) 或
【分析】（1）由题意知，甲校花费 （元），乙校花费 （元），
然后作差求解即可；
（2）设丙校买了x本，由 ，可得 ，计算求解即可；（3）由题意知，当 时，丁校买了 本； 当 时，丁校买了
（本）．
【详解】（1）解：由题意知，甲校花费 （元），
乙校花费 （元），
（元），
∴乙校比甲校多花了180元；
（2）解：设丙校买了x本，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴丙校买了160本；
（3）解：由题意知，当 时，丁校买了 本；
当 时，丁校买了 （本），
∴丁校买了 或 本．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握
与灵活运用．
5．（2023上·福建福州·七年级统考期末）列方程解应用题：
某商场经销甲、乙两种服装．甲种服装每件进价250元，售价400元；乙种服装每件进价400元，售价
600元．
(1)销售甲种服装每件利润为元__________，销售乙种服装每件利润率为__________．
(2)该商场同时购进甲、乙两种服装共50件，总进价恰好为 元，求商场销售完这批服装共盈利多少？
(3)在元旦当天，该商场实行“每满300元减100元”的优惠活动（比如某顾客购物300元，他只需付款
200元，购物1000元，他只需付款700元），后又加推，晚上八点后，先打折再参与“每满300元减100
元”的活动，张女士想买一件标价为1600元的羽绒服，细心的张女士发现，打折后价格在1200元到1440
元之间，如果在晚上八点后购买，可以再便宜92元，求商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参
加满减活动？
【答案】(1)
(2)9000元
(3)先打八八折之后再参加满减活动
【分析】（1）根据“利润率=（售价-进价）÷进价”和“售价÷（1+利润率）=进价”列式计算求解；
（2）设购进甲种服装 件，根据总进价为 元列方程求解，从而求得总利润；（3）设商场晚上八点后打 折之后再参加活动，根据在八点后购买，可以便宜92元，列方程求解．
【详解】（1）销售甲种服装每件利润为： 元
销售乙种服装每件利润率为：
故答案为： ，
（2）解：设该商场购进甲服装 件，则购进乙服装 件．根据题意得
解得
（元）
答：商场销售完这批服装共盈利 元．
（3）设商场晩上八点后推出的是先打 折之后再参加满减活动．根据题意得
解得
答：商场晩上八点后推出的活动是先打八八折之后再参加满减活动．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用（销售问题），找准题目间的等量关系列出方程是解题关键．
6．（2023上·福建宁德·七年级统考期末）学完“应用一元一次方程——打折销售”后，老师给出以下条件，
让同学们先从中选择若干个条件，并提出一个问题组成一道用一元一次方程解决的应用题，再进行解答．
条件①：商场购进甲型号和乙型号的扫地机器人共80台，其中乙型号的台数比甲型号的2倍少7台．
条件②：商场每台甲型号扫地机器人的进价比乙型号扫地机器人的进价少200元．
条件③：商场甲型号扫地机器人每台标价1300元，乙型号扫地机器人每台标价2000元．甲型号扫地机器
人按标价销售，乙型号扫地机器人按标价九折销售．
条件④：某公司花了8800元在该商场购买甲、乙两种型号的机器人共6台．
条件⑤：上个月，该商场售出20台甲型号和8台乙型号扫地机器人，销售这两种扫地机器人的总利润为
10800元．
(1)小明选择条件①，提出的问题是：该商场购进多少台甲型号扫地机器人？请你根据小明的条件和问题进
行解答；
(2)请你从条件②，③，④，⑤中选择2个或3个条件，提出问题并进行解答．
【答案】(1)该商场购进29台甲型号扫地机器人
(2)见解析
【分析】（1）设该商场购进甲型号扫地机器人x台，根据题意，列出一元一次方程，进行求解即可；
（2）选择的条件是③④，提出的问题：该公司在商场购买多少台甲型号扫地机器人？ 选择的条件是
②③⑤，提出的问题：商场每台乙型号扫地机器人进价是多少元？选择的条件是②③，提出的问题是：乙
型号扫地机器人比甲型号扫地机器人每台多赚多少元？分别设出未知量，根据条件，列出一元一次方程进行求解即可．
【详解】（1）解：解法一：
设该商场购进甲型号扫地机器人x台，则购进乙型号扫地机器人 台．
根据题意，得 ．
解这个方程，得 ．
答：该商场购进29台甲型号扫地机器人．
解法二：
设该商场购进甲型号扫地机器人x台，则购进乙型号扫地机器人 台．
根据题意，得 ．
解这个方程，得 ．
答：该商场购进29台甲型号扫地机器人．
（2）解法一：选择的条件是③④，
提出的问题：该公司在商场购买多少台甲型号扫地机器人？
解：设该公司在商场购买甲型号扫地机器人y台，则购买乙型号扫地机器人 台．
根据题意，得 ．
解这个方程，得 ．
答：该公司在商场购买4台甲型号扫地机器人．
解法二：选择的条件是②③⑤，
提出的问题：商场每台乙型号扫地机器人进价是多少元？
解：设商场每台乙型号扫地机器人进价是y元，则每台甲型号扫地机器人进价是 元．
根据题意，得 ．
解这个方程，得 ．
答：商场每台乙型号扫地机器人进价是1200元．
解法三：选择的条件是②③，
提出的问题是：乙型号扫地机器人比甲型号扫地机器人每台多赚多少元？
解：设乙型号扫地机器人比甲型号扫地机器人每台多赚y元．
根据题意，得 ．
解这个方程，得 ．
答：乙型号扫地机器人比甲型号扫地机器人每台多赚300元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．
7．（2023上·四川南充·七年级校考期末）为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统组织文艺汇演，甲、乙两
所学校共92人(其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人)准备统一购买服装参加演出；下
面是某服装厂给出的演出服装的价格表，
购买服装的套数 套至 数 套至 套 套以上每套服装的价格 元 元 元
(1)如果两所学校分别单独购买服装一共应付5000元，甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？
(2)如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买
方式．
【答案】(1)甲学校有 人，乙校有 人．
(2)共购买91套服装最省钱．
【分析】（1）根据题意判断出甲校的学生 ，乙校的学生 ，从而根据“两所学校分别单独购买服
装，一共应付 元”列出方程求解；
（2）计算出联合起来购买需付的钱数，然后即可得出节省的钱数．
【详解】（1）解：∵甲、乙两所学校共 人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够 人），
∴ 甲校的学生 ，乙校的学生 ，
设甲校学生 人，乙校学生 人，
由题意得， ，解得： ，则 （人）．
答：甲学校有 人，乙校有 人．
（2）解：由题意知当甲校少10人，则全部人数为 （人）
此时联合购买每套为50元， （元），而 （元），
答：共购买91套服装最省钱．
【点睛】主要考查学生对一元一次方程解决销售方案问题，根据题意正确列出一元一次方程是解答本题的
关键．
8．（2023上·广东广州·七年级期末）某一商场经销的 ， 两种商品， 种商品每件售价60元，利润率
为 ； 种商品每件进价50元，售价80元．
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按总售价打九折
超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠
(1) 种商品每件进价为__________元，每件 种商品利润率为__________；
(2)若该商场同时购进 ， 两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进 种商品多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场对 ， 两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性
购买 ， 商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？
【答案】(1)40；
(2) 种商品40件(3)580元或660元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）设A种商品每件进价为a元，利用利润=售价-进价，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出
A种商品每件的进价，再利用利润率 利润 进价 ，即可求出每件B种商品利润率；
（2）设购进 种商品 件，则购进 种商品 件，由题意得 ，再解方程即可；
（3）设若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付x元，分 及 两种情况考虑，
根据该商场给出的优惠条件及小华一次性购买A，B商品实际付款522元，即可得出关于x的一元一次方程，
解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种商品每件进价为a元，
依题意得： ， 解得： ，
∴A种商品每件进价为40元，
每件B种商品利润率为 ．
故答案为：40； ．
（2）设购进 种商品 件，则购进 种商品 件，
由题意得 ，
解得： ．
即购进 种商品40件， 种商品10件．
（3）设小华打折前应付款 元．
当打折前购物金额超过450元，但不超过600元，即 ，
由题意得 ，解得 ，
当打折前购物金额超过600元，即 ，
，
解得： ．
综上所得，小华在该商场购买同样商品要付580元或660元．
题型五：比赛积分问题
1．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）中国男篮职业联赛的积分办法是胜一场积2分，负一场积1分．
某支球队参加了12场比赛，总积分是所胜场数的4倍，则该球队共胜（ ）
A．1场 B．2场 C．4场 D．6场
【答案】C
【分析】设该球队胜了x场，则负了 场，根据总积分是所胜场数的4倍列出方程求解即可．
【详解】解：设该球队胜了x场，则负了 场，由题意得， ，
解得 ，
∴该球队共胜4场，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
2．（2023上·辽宁抚顺·七年级统考期末）一次足球比赛共15轮（即每队均赛15场），胜一场记3分，平
一场记1分，负一场记0分，某中学足球队获胜的场数是负场数的2倍，结果共得21分，则该中学平的场
数是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【分析】设所负场数为x场，则胜 场，平 场，等量关系为：胜的场数的得分+平的场数的得分
，依此列出方程求解即可．
【详解】解：设所负场数为x场，则胜 场，平 场，由题意可得：
解得
∴
故选：D
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知表示出胜、负、平所得总分是解题关键．
3．（2023上·云南昆明·七年级统考期末）北京时间 月 日，中国女篮在 年澳大利亚女篮世界杯中，
收获亚军，追平了历史最佳战绩．女篮世界杯小组赛积分规则为：胜一场积 分，负一场积 分，中国女篮
在 组比赛 场，均分出胜负，共积 分，则中国女篮在 组赛中获胜的场数是( )
A． 场 B． 场 C． 场 D． 场
【答案】B
【分析】设中国女篮在 组赛中获胜的场数是 场，根据“中国女篮在 组比赛 场，均分出胜负，共积
分”找到等量关系：胜场总积分 负场总积分 最终所得总积分，然后据此列方程求解即可．
【详解】解：设中国女篮在 组赛中获胜的场数是 场，
根据题意，列方程得： ，
解得 ，
则中国女篮在 组赛中获胜的场数是 场．
故选B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，应用“胜场总积分 负场总积分 最终所得总积分”这个等量关
系列方程是解题的关键．
4．（2023上·河南信阳·七年级统考期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，要求每题必答，每
答对一题得5分，答错一题扣1分，小智参赛得到了76分，他答对了 题．
【答案】16【分析】设他答对了x道题，则答错了 道题，根据答对的得分 加上答错的得分 分建立方程求
出其解即可．
【详解】解：设他答对了x道题，则答错了 道题．
依题意，得 ．
解得 ．
∴他答对了16道题．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了一元一次方程的运用，解答关键是根据题意列出方程．
5．（2023上·河南漯河·七年级统考期末）某校初一（1）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题
分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况．
答错题
参赛者 答对题数 得分
数
A 20 0 100
B 2 88
C 64
D 10 40
(1)请补全表格．
(2)参赛者 得82分，他答对了几道题？
(3)参赛者 说他错了10个题，得50分，请你判断可能吗？并说明理由
【答案】(1)18，14，6，10
(2)17
(3)不可能，理由见解析
【分析】（1）先由A同学，D同学的得分可得可得答对一题得5分，答错一题扣1分，再填表即可；
（2）设 答对了 道题，则他答错了 道题，再由得分为82分建立方程求解即可；
（3）由D同学的情况可作判断．
【详解】（1）解：由A同学可得： ，可得答对一题得5分，
由D同学可得： ， ，可得答错一题扣1分，
∴B同学答对18题，D同学答错10题，
设C同学答对 题，则答错 题，
∴
解得： ，∴C同学答对14题，答错6题．
（2）设 答对了 道题，则他答错了 道题，
∴ ，
解得 ；
（3）由D同学答错了10题，得分是40分，
∴参赛者 说他错了10个题，得50分是错误的．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程的应用，理解题意，选择合适的方法
解题是关键．
6．（2023上·四川成都·七年级统考期末） 年卡塔尔世界杯已于12月19日完美落下帷幕，在欧洲区预
选赛中某小组某队以不败的战绩踢完12场积了18分．
(1)已知足球积分为胜一场积3分，平一场积1分，则该队现在胜、平各几场？
(2)为了鼓励该队获得好成绩，该队的赞助商制定了一个奖励机制，每位球员胜一场获得 欧元奖励，
平一场获得 欧元奖励，则该队一位球员能获得多少报酬？
【答案】(1)胜3场，平9场；
(2) 欧元
【分析】（1）设该队胜x场，则平 场，根据题意列方程，求解即可得到答案；
（2）根据题意列式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设该队胜x场，则平 场，
根据题意得： ，
解得： ，
答：该队胜3场，平9场；
（2）解：根据题意得： （欧元），
答：该队一位球员能获得 欧元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，有理数的四则混合运算的应用，找出题目中的数量关系正
确列方程是解题关键．
7．（2023上·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）某学校积极推进“阳光体育”工程，本学期在七年级
11个班中开展篮球单循环比赛（每个班与其它班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛）．比赛规则
规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分．如果某班打完10场比赛中得14分，那么
该班胜负场数分别是多少场？
【答案】该班胜4场，负6场
【分析】设该班胜 场，则该班负 场，根据题意即可列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设该班胜 场，则该班负 场，依题意得： ，
解得 ，
负场数为： ，
答：该班胜4场，负6场．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解决本题的关键
8．（2023上·福建厦门·七年级统考期末）如表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平
局）．
球
比赛场次 胜场 负场 积分
队
A 12 10 2 22
B 12 9 3 21
C 12 7 5 19
D 11 6 5 17
E 11 … … 13
(1)观察积分榜，请直接写出球队胜一场积____分，负一场积____分；
(2)根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？
【答案】(1)2；1
(2)E队胜2场，负9场
【分析】（1）根据A队积分为22分，设球队胜一场积x分，则负一场积 分，根据B队积分为21
分，列出方程解方程即可；
（2）E队已经进行了的11场比赛中胜了m场，则负了 场，根据积分为13分列出方程解方程即可．
【详解】（1）解：设球队胜一场积x分，则负一场积 分，根据题意得：
，
解得： ，
，
故答案为：2；1．
（2）解：E队已经进行了的11场比赛中胜了m场，则负了 场，根据题意得：
，解得： ，
（场），
答：E队胜2场，负9场．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，列出方程．
题型六：方案选择问题
1．（2023上·广东茂名·七年级统考期末）某文艺团体开展文艺演出，为“乡村振兴工程”募捐，已知成人
票每张40元，学生票每张25元．
(1)某场演出共售出1000张票，筹得票款34750元．问成人票与学生票各售出多少张？
(2)若票价不变，仍售出1000张票，所得的票款可能是36450元吗？为什么？
(3)已知某单位按（1）中成人及学生数购票，与演出组织单位达成票价打折的优惠方案，共少付票款6975
元．若成人票打九折，则学生票打几折？
【答案】(1)售出成人票650张，学生票350张
(2)票都是整张卖的，所以不可能
(3)学生票打五折
【分析】（1）设售出成人票 张，则售出学生票 张，根据“筹得票款34750元”列方程，解方
程即可得解；
（2）设成人票y张，则学生票就是 张，根据等量关系：成人票票款+学生票票款=36450元，再解
方程，解方程得到整数即可，反之则不行；
（3）设学生票打a折，根据“少付票款6975元”得方程，再解方程即可得解．
【详解】（1）解：设售出成人票 张，则售出学生票 张，根据题意得
，
解得 ，
．
答：售出成人票650张，学生票350张；
（2）解：设成人票y张，则学生票就是 张，根据题意得
，
解得 ．
票都是整张卖的，所以不可能．
（3）解：设学生票打a折，得
，
解得 a=5，
答：学生票打五折．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是表示出成人票票款和学生票票款，根据票款的总额
列方程即可．2．（2022上·山东东营·六年级校考期末）某校六年级准备观看电影《万里归途》，由各班班长负责买票，
每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上
的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有5人可以免票．
(1)若二班有42名学生，则他该选择哪个方案？
(2)一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的你知道一班有多少人吗？
【答案】(1)方案二
(2)45人
【分析】（1）分别计算出方案一和方案二的花费，然后比较大小即可解答本题；
（2）设一班有 人，根据已知得出两种方案费用一样，进而列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
方案一的花费为： （元），
方案二的花费为： （元），
，
若二班有42名学生，则他该选选择方案二；
（2）设一班有 人，根据题意得，
，
解得 ．
答：一班有45人．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出关于 的方程是解题关键．
3．（2023上·江西吉安·七年级统考期末）暑假期间，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩，甲、
乙两单位共 人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够 人．经了解，该风景区的门票
价格如下表：
数量(张) 张及以上
单价(元/张) 元 元 元
如果两单位分别单独购买门票，一共应付 元．
(1)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
(2)如果甲单位有 名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购
买门票才能最省钱？
【答案】(1)甲单位有 人，乙单位有 人
(2)甲乙两单位联合起来选择按 元一次购买 张门票最省钱
【分析】（1）设甲单位有退休职工 人，则乙单位有退休职工 )人，根据“如果两单位分别单独购
买门票，一共应付 元”建立方程求出其解即可；（2）有三种方案：方案一：各自购买门票；方案二：联合购买门票；方案三：联合购买 张门票．分别
求出三种方案的付费，比较即可求解．
【详解】（1）解：设甲单位有退休职工 人，则乙单位有退休职工 人．
依题意得： ，
解得： ．
则乙单位人数为： ．
答：甲单位有 人，乙单位有 人；
（2）解： 甲单位有 名退休职工因身体原因不能外出游玩，
甲单位外出游玩的人数有 人，
方案一：各自购买门票需 元 ；
方案二：联合购买门票需 元 ；
方案三：联合购买 张门票需 元 ；
综上所述：因为 ．
故应该甲乙两单位联合起来选择按 元一次购买 张门票最省钱
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，有理数大小比
较的运用，设计方案的运用.解答时建立方程求出各单位人数是关键．
4．（2023上·黑龙江绥化·七年级统考期末）张老师暑假带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买
全票一张，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”，若
全票价为240元．
(1)若学生有3人和5人，甲旅行社需费用多少元？乙旅行社呢？
(2)学生数为多少时两个旅行社的收费相同？
【答案】(1)当有学生3人时，甲旅行社需费用600元，乙旅行社需费用576元；当有学生5人时，甲旅行
社需费用840元，乙旅行社需费用864元
(2)学生数为4时两个旅行社的收费相同
【分析】（1）分别根据两种旅行社的收费方式，求出当学生为3人和5人时的费用即可；
（2）设学生有x人，根据两旅行社的收费相同，列方程求解即可．
【详解】（1）解：当有学生3人时，甲旅行社需费用： （元）；
乙旅行社需费用： （元）；
当有学生5人时，甲旅行社需费用： （元）；
乙旅行社需费用： （元）；
（2）解：设学生有 人，
由题意得， ，
解得： ．答：学生数为4时两个旅行社的收费相同．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握
与灵活运用．
5．（2023上·内蒙古包头·七年级包钢第三中学校考期末）某单位要从商场购入 、 两种物品，预计需要
花费 元，其中 种物品每件 元， 种物品每件 元，且购买 种物品的数量比 种物品的 倍还多
件．
(1)求购买 、 两种物品各多少件？
(2)实际购买时正赶上商场搞促销活动， 种物品按 折销售， 种物品按 折销售，则该单位此次购买可
以省多少钱？
【答案】(1)购买 种物品 件，购买 种物品 件
(2)学校此次购买可以省 元
【分析】 设购买 种物品 件，则购买 种物品 件，根据“需要花费 元”找到等量关系，
列出方程并解答即可；
根据节省的钱数 原价 优惠后的价格，即可求出结论．
【详解】（1）设购买 种物品 件，则购买 种物品 件，
依题意得： ，
解得： ．
所以 ．
答：购买 种物品 件，购买 种物品 件．
（2） (元)．
答：学校此次购买可以省 元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2023上·河南郑州·七年级统考期末）为抗击新冠肺炎疫情，郑州市某药店对消毒液和 口罩开展优
惠活动．酒精消毒液每瓶定价 元，口罩每盒定价 元，优惠方案有以下两种：
①以定价购买时，买一盒口罩送一瓶消毒液；②消毒液和口罩都按定价的 付款．现某客户要到该药店
购买消毒液 瓶，口罩 盒 ．
(1)若该客户按方案①购买，需付款______ 元(用含x的式子表示)；若该客户按方案②购买，而付款______
元(用含x的式子表示并化简)．
(2)若 ，请通过计算说明按方案①，方案②哪种方案购买较为省钱？
(3)试求当 取何值时，方案①和方案②的购买费用一样．
【答案】(1) ；
(2)选择方案 购买较为合算(3)当 时，方案①和方案②的购买费用一样
【分析】 根据题意列代数式方案 需付费为： ，方案 需付费为：
，化简即可得出答案；
根据题意把 代入 中的代数式即可得出答案；
根据题意列出方程即可．
【详解】（1）解：方案 需付费为： 元；
方案 需付费为： 元；
故答案为： ， ；
（2）解：当 时，
方案 需付款为： (元 ，
方案 需付款为： 元 ，
，
选择方案①购买较为合算；
（3）由题意得， ，
解得 ，
答：当 时，方案 和方案 的购买费用一样．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键．
7．（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学
校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品
商店提供A、B两种优惠方案：
A方案：买一个篮球送一条跳绳；
B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．
已知要购买篮球50个，跳绳x条（ ）
(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款
_________元（用含x的代数式表示）．
(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？
(3)当 时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？
【答案】(1) ，
(2)购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多
(3)按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元【分析】（1）由题意按A方案购买可列式： ，在按B方案购买可列式：
；
（2）由（1）列等式求解即可；
（3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据A方案是买一个篮球送跳绳，
B方案是篮球和跳绳都按定价的 付款，考虑可以按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购
买，计算出所需付款金额，进行比较即可．
【详解】（1）解：A方案购买可列式： 元；
按B方案购买可列式： 元；
故答案为： ， ；
（2）由（1）可知，
当A、B两种方案所需要的钱数一样多时，
即
解得 ．
答：购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多．
（3）当 时，
按A方案购买需付款： （元）；
按B方案购买需付款： （元）；
按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买50个跳绳合计需付款：
（元）；
∵ ，
∴省钱的购买方案是：
按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元．
【点睛】此题考查的是列代数式并求值，也可作为一元一次方程来考查，因此做此类题需要掌握解应用题
的能力．
题型七：数字问题
1．（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）一个两位数，个位数字与十位数字之和为 ，若交换这个两位数
的个位与十位数字，则所得的两位数比原两位数大 ，则这个两位数是 ．
【答案】
【分析】根据题意，设这个两位数的个位数为 ，则十位上的数字为 ，交换这个两位数的个位与十
位数字后的数为 ，根据等量关系列方程求解即可．
【详解】解：设这个两位数的个位数为 ，则十位上的数字为 ，
∴这个两位数是 ，则交换这个两位数的个位与十位数字后的数为 ，
∵交换后所得的两位数比原两位数大 ，
∴ ，整理得， ，
解得， ，
∴这个两位数的个位数字是 ，十位数字式 ，
∴这个两位数是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的运用，掌握运用字母表示两位数的方法，解一元一次方程的方法是
解题的关键．
2．（2023上·江西吉安·七年级统考期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．如图
就是一个三阶幻方，正方形的每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，在这个三阶幻方中，
的值为 ．
10
5
m 13
【答案】4
【分析】根据题意，可得 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键．
3．（2023上·四川成都·七年级统考期末）一个各个数位上的数字均不为零的四位正整数，若其千位数字与
十位数字之和等于8，百位数字与个位数字之和也等于8，则称这个四位正整数为“乐群数”．
例如：1276，∵ ， ，∴ ，∴1276是“乐群数”．
又如：3254，∵3＋5＝8， ，∴3254不是“乐群数”．
(1)请判断：1473______“乐群数”，6523______“乐群数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知一个“乐群数”的千位比百位数字小3，把它的千位和百位数字分别与十位和个位数字对调，对调
后得到的新数比原数大3762，求这个“乐群数”；
(3)是否存在千位数字比百位数字小，且被7除余3的“乐群数”？若存在，请求出满足条件的“乐群数”；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)不是，是
(2)2563
(3)1375或2761或3454
【分析】（1）根据定义可判断1473不是“乐群数”，6523是“乐群数”；
（2）设这个“乐群数”的千位数字为x，根据对调后得到的新数比原数大3762列方程可解得这个“乐群
数”为2563；
（3）设这个“乐群数“为M，它的千位数字为a，百位数字为b，且 ，可得 ，由M被7除余3，知 能被7整除，再根据 ，即可得到答案．
【详解】（1）∵ ， ，
∴1473不是“乐群数”，
∵ ，
∴6523是“乐群数”，
故答案为：不是，是；
（2）设这个“乐群数”的千位数字为x，则百位数字为 ，十位数字位 ，个位数字位
，
根据题意得：
，
解得 ，
∴这个“乐群数”为2563；
（3）存在千位数字比百位数字小，且被7除余3的“乐群数”，理由如下：
设这个“乐群数“为M，它的千位数字为a，百位数字为b，且 ，
∴M的十位数字是 ，个位数字是 ，
∴ ，
∵M被7除余3，
∴ 能被7整除，
∵ ，
∴
，
∴ 能被7整除，
∵ ，
∴当 ， ； ， ； ， 时，满足题意，
∴M为1375或2761或3454．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程解决问
题．
4．（2023上·吉林·七年级校考期末）用长方形 和三角形 按图示排列规律组成一连串平面图形．(1)当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为________；
(2)设某个图形中长方形个数为 ，三角形个数为 ．请你写出用 表示 的关系式；
(3)某个图形中长方形个数与三角形个数之和可能为123个吗？若可能，请分别求出长方形个数与三角形个
数；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)8
(2)
(3)不可能，理由见解析
【分析】（1）由图可知，长方形每增加1时，三角形个数增加2，由此可解；
（2）分析长方形个数与三角形个数的数量关系即可；
（3）列一元一次方程，判断求出的长方形个数是否是整数即可．
【详解】（1）解：由图可知，长方形个数为2，三角形个数为2， ，
长方形个数为3，三角形个数为4， ，
长方形个数为4，三角形个数为6， ，
因此长方形个数为5时，三角形个数为 ，
故答案为：8；
（2）解：长方形个数为 ，三角形个数为 时，
与 的数量关系为 ；
（3）解：不可能．理由如下：
由题意，得 ．
解得 ．
故某个图形中长方形个数与三角形个数之和不可能为123个．
【点睛】本题考查列代数式表示数、图形的规律，一元一次方程的应用，解题的关键是从已知图形中找出
规律．
5．（2023上·山西太原·七年级统考期末）请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．
用“铺地锦”计算乘法
我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种乘法的计算方法，称为“铺地锦”．如图1，是
一个 的方格，每个小方格中都画有一条对角线，计算 ，首先把乘数31和47分别写在方格的上
面和右面，然后以31的每位数字分别乘47的每位数字，将结果计入对应格子的三角形中（如 的12写在3下面的方格里，十位数字1写在斜线的上面，个位数字2写在斜线的下面； 的4写在斜线下
面，十位数字补0写在斜线的上面……），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线左下端对应的方格旁，
最后把得数依次写下来是1457，即 ．当斜线数字相加满10时要向前进位，如图2，计算
时， ，17的个位数字7依然写在斜线左下端位置，十位数字向前进位，并写在前一斜
线的左下端位置． ，即： ．
任务：
(1)用“铺地锦”的方法计算 ，将算法填在图3中；
(2)请从A，B两题中任选一题作答．我选择________题．
A.如图4，用“铺地锦”的方法计算两个两位数相乘，则△表示的数是________（用含 的代数式表示），
可得 的值为________，乘法运算的结果是________．
B．如图5，用“铺地锦”的方法计算两个两位数相乘，则△表示的数是________（用含 的代数式表示），
可得 的值为________，乘法运算的结果是________．
【答案】(1)1775
(2)A.2，896；B.3，1248
【分析】（1）利用“铺地锦”的方法计算即可；
（2）根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）如图，
所以， ，
故答案为：1775；
（2）选A，如图，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，
所以，乘法运算的结果是896，
故答案为：2，896；
选：B
由题意得，
又
∴
解得， ，
如图，
计算结果为：1248，
故答案为：3，1248
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是根据题意列出相应的方程．
题型八：几何问题
1．（2023上·河北石家庄·七年级校考期末）如图，甲、乙两人沿着边长为 的正方形，按的方向行走，甲从点A出发，以 的速度行走；同时，乙从点B出发，以
的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（ ）
A． 边上 B． 边上 C．点C处 D．点D处
【答案】C
【分析】设乙x分钟后追上甲，根据乙追上甲时，比甲多走了270米，可得出方程，求出时间后，计算甲
所走的路程，继而可判断在哪一条边上相遇．
【详解】解：设乙x分钟后追上甲，
由题意得， ，
解得： ，
而 ， ，
即乙第一次追上甲是在点C处．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是注意通过所行路程及正方形的周长正确判断追上
时在正方形的哪条边上．
2．（2023下·河南周口·七年级统考期末）如图，在长方形 中， ， ，E是 上
的一点，且 ，点P从点C出发，以 的速度沿 匀速运动，最终到达点A．设点P
运动时间为 ，若 的面积为 ，则t的值为 ．
【答案】 或5
【分析】分两种情况：当点P在 上，即 时和当点P在 上，即 时．分别进行求解即
可．
【详解】解：如图1，当点P在 上，即 时．∵四边形 是长方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
如图2，当点P在 上，即 时．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
解得 ．
综上所述，当 或5时， 的面积为 ．
故答案为： 或5．
【点睛】此题考查了动点问题，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
3．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，长方形 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面
积等于1，则长方形 的面积为 ．【答案】143
【分析】设第四个大正方形的边长为 ，然后依次把其他正方形的边长表示出来，列方程求解即可．
【详解】设第四个大正方形的边长为 （如图所示）．
，故最小的正方形的边长为1；
，
，
∴ ，
长方形的长： ，
长方形的宽： ，
长方形的面积： ，
故答案为：143．
【点睛】本题主要考查整式的运算及一元一次方程的应用，关键是设出未知数表示出正方形的边长即可．
4．（2023下·山东威海·七年级统考期末）如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形，如
果大长方形的周长为28，那么大长方形的面积为 ．
【答案】
【分析】设小长方形的宽为x，则长为 ，根据大长方形的周长为28，列出方程，求出 ，即可求解．
【详解】解：设小长方形的宽为x，则长为 ，∵大长方形的周长为28，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴大长方形的面积 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程是实际应用，解题的关键是根据图形，正确设出未知数，列出方程
求解．
题型九：和差倍分问题
1．（2023上·山西太原·七年级校考期末）蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿，现有蜘蛛和蜻蜓若干只，它们共
有120条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍．问蜘蛛和蜻蜓各有多少只？”若设蜘蛛有x只，则x满足的方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设蜘蛛有x只，根据蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍，以及它们共有120条腿，列出方程即可．
【详解】解：设蜘蛛有x只，则蜻蜓有 只，由题意，得：
；
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
2．（2023上·山西太原·七年级统考期末）兔年春节之际，小文和几个同学要用自己的压岁钱为社区敬老院
购买春节礼品，如果每人出80元，那么可剩余36元；如果每人出70元，那么还差14元．参加此次活动
的共有 人．
【答案】5
【分析】设此次参加活动的共有x人，根据购买春节礼品的总钱数不变，可得方程，解之即可．
【详解】解：设此次参加活动的共有x人，
由题意可得： ，
解得： ，
∴此次参加活动的共有5人，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
3．（2023上·河北唐山·七年级统考期末）某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今
年购买数量又是去年的2倍，则去年这个学校购买了 台计算机．
【答案】40【分析】此题等量关系为：前年购买计算机台数+去年购买计算机台数+今年购买计算机台数 ．
【详解】解：设前年这个学校购买了 台计算机，
根据题意得： ，
解得： ．
．
答：去年这个学校购买40台计算机．
故答案为：40．
【点睛】
本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是找到关键描述语“三年共购买计算机140台”，就找到
了相应的等量关系．
4．（2023上·广东佛山·七年级统考期末）儿子今年13岁，父亲今年38岁，几年后父亲的年龄恰好是儿子
年龄的2倍？
【答案】12
【分析】设x年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍，然后根据题意给出的等量关系即可求出答案．
【详解】解：设x年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍，
∴ ，
解得： ，
故答案为：12
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题意中的等量关系，本题属于基础题型．
5．（2023上·新疆和田·七年级统考期末）寒假临近，某旅行社准备组织“亲子一日游”活动，去周边景区
徒步，报名的人数共有69人，其中成人的人数比儿童人数的2倍少3人，旅游团中成人和儿童各有多少人？
【答案】儿童人数有24人，成人人数有45人
【分析】设儿童人数有x人，则成人人数有 人，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设儿童人数有x人，则成人人数有 人．
，
解得 ，
（人），
答：儿童人数有24人，成人人数有45人．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程是实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，
列出方程求解．
6．（2023上·山西太原·七年级统考期末）2022年11月卡塔尔世界杯正式开赛，中国建造、中国制造大放
异彩，彰显了中国在全球产业链中的地位．本次比赛使用的足球由我国首条足球自动化生产线生产，已知
每条自动化生产线平均每天生产的足球数量比每条人工生产线平均每天生产的足球数量多2000个，并且每
条人工生产线36天生产的足球数量是每条自动化生产线20天生产数量的 ，求每条自动化生产线平均每天生产足球的数量．
【答案】3000个
【分析】每条自动化生产线平均每天生产x个足球，根据每条人工生产线36天生产的足球数量是每条自动
化生产线20天生产数量的 列出方程，解之即可．
【详解】解：设每条自动化生产线平均每天生产x个足球，
由题意可得： ，
解得： ，
∴每条自动化生产线平均每天生产3000个足球．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是设出合适的未知数，找到等量关系，列出方
程．
7．（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）列方程解应用题：某学校初一年级举行“我爱运动”的跳绳比赛，
跳绳比赛分为跳大绳和跳单摇两个项目，学生会安排小芳同学当裁判，在比赛结束后，下面是小芳与运动
员小红的对话情境：
小芳：“你跳绳跳得真棒！你跳的大绳和单摇个数和是246个”小红：“你肯定搞错了”
小芳：“哦！我给你少数了两个大绳，多数了3个单摇，原来你的单摇个数是你的大绳的4倍多5个”小
红：这就对了”
你知道小红跳了多少单摇吗？
【答案】197个
【分析】设小红跳了x个大绳，根据你的单摇个数是你的大绳的4倍多5个，得到跳的单摇的数量，根据
题意，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设小红跳了x个大绳，则小红跳了 个单摇，
由题意，得： ，
解得 ．
所以 ．
答：小红跳了197个单摇．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
题型十：电费、水费问题
1．（2023上·重庆开州·七年级统考期末）李某经营两个门市，今年12月份用水情况和水务公司自来水收
费标准如下表．
表一：
月用水
不超过12吨的部分 超过12吨且不超过18吨的部分 超过18吨的部分
量
收费标
2元/吨 2.5元/吨 3元/吨
准表二：
12月份用水情况 费用
门市A、门市B都有用水量，一共用水30吨，且门市B的用水量小于12吨． 共缴水费65元
则门市A的用水量是 吨．
【答案】20
【分析】设B门市12月份用水量为 吨，则A门市为 吨，根据水费65元列一元一次方程解答．
【详解】解：设B门市12月份用水量为 吨，则A门市为 吨，
∵ ，∴ ．
由题意可得： ，
解得：
所以A门市用水量为20吨，
故答案为：20．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列得方程是解题的关键．
2．（2023上·江苏徐州·七年级统考期末）为缓解用电高峰期的供电缺口，促进电力资源的优化配置，某地
居民用电实施峰谷计费．峰时段为8：00－21：00；谷时段为21：00－次日8：00．下表为该地某户居民
八月份的电费账单（部分信息缺失），设其中的峰时电量为x千瓦·时，根据所给信息，解决下列问题．
户主 *** 用电户号 ******
家庭地址 ****** 2022年 08月
合计金额 166元 合计电量 350千瓦·时
抄送周期 2022-06-01－－2022-08-01
备注：合计电量=峰时电量+谷时电量
计费数量（千瓦•
单价（元） 金额（元）
时）
峰时电量 0.56 x ②______
谷时电量 0.36 ①_____ ③______
(1)填空（用含x的代数式表示）：①________，②__________，③______；
(2)由题意，可列方程为___________；
(3)该账单中的峰时电量、谷时电量分别为多少千瓦 时？
【答案】(1) ， ，(2)
(3)该账单中的峰时电量为200千瓦•时，谷时电量150千瓦•时．
【分析】（1）根据表格中的信息即可解答；
（2）根据“总费用=峰时费用+谷时费”列出方程即可；
（3）解出（2）中的方程即可．
【详解】（1）解：峰时费用为： （元），
谷时电量为： 元，
谷时费用为： 元；
故答案为： ， ， ；
（2）解：根据题意得： ；
故答案为： ；
（3）解：解（2）中的方程： ，
得： ，
则 ，
∴该账单中的峰时电量为200千瓦•时，谷时电量150千瓦•时．
【点睛】本题主要考查列代数式、一元一次方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题关键．
3．（2021上·北京海淀·七年级北大附中校考期末）为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费
标准：
每户每月用电量 不超过210度 超过210度（超出部分的收费）
收费标准 每度 元 每度 元
(1)小林家4月份用电180度，则小林家4月份应付的电费为： ；
(2)小林家6月份用电 度，请你用x表示小林家6月份应付的电费： ；
(3)小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量．
【答案】(1)
(2)
(3)小林家在11月份的用电量为305度．
【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用．
（1）由 可得此时单价为每度 元，利用总价等于单价乘以数量即可得到答案；
（2）由小林家 月份用电 度，可得此时分两段计费，其中 度每度 元，超过部分度，每度 元，从而可得答案；
（3）设小林家在 月份的用电量为 度，由 ，可得 ，再列方程 ，
解方程可得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴小林家4月份应付的电费 (元)．
故答案为：90；
（2）解：∵小林家6月份用电 度，
∴小林家6月份应付的电费 元，
故答案为： ；
（3）解：设小林家在11月份的用电量为x度，
∵ ，
∴ ．
根据题意得： ，
解得： ．
答：小林家在11月份的用电量为305度．
4．（2023上·河南信阳·七年级统考期末）某市对居民生活用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下
表：已知2022年10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元，2022年9月份老李家交电费157元．
一户居民一个月的用电量 电价（元/度）
不超过240度的部分 a
超过240度的部分但不超过400度的部分
超过400度的部分
(1)求表中a的值；
(2)求老李家9月份的用电量；
(3)若老李家2022年8月份用电的平均电价为 元/度，求老李家2022年8月份的用电量．
【答案】(1)
(2)260度
(3)560度
【分析】（1）根据单价=费用÷总用电量，计算即可．
（2）根据 判定九月份用电量超过了240度，设九月份用电量为x度，列出方程计算即
可．
（3）设老李家8月份的用电量为y度，根据平均价格为 元/度，判定用电量超过了400度，列出方程计算即可．
【详解】（1）由题意，得 ．
解得 ．
答：表中a的值是 ．
（2）设老李家9月份的用电量为x度
，
，
．
由题意，得 ．
解得 ．
答：老李家9月份的用电量为260度．
（3）设老李家8月份的用电量为y度．
，
．
由题意，得
解得 ．
答：老李家2022年8月份的用电量为560度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确判定用电量的范围是解题的关键．
5．（2023上·福建福州·七年级统考期末）为鼓励居民节约用电，某市电力公司实行“阶梯电价”收费，收
费标准如下表：
每户每月用电量（度） 电费（元/度）
不超过200度
超过200度且不超过500度的部分
超过500度的部分
(1)小明家今年3月份用电310度，求小明家3月份应缴电费多少元？
(2)小明家今年7月份用电增大，7月份的平均电价为 元/度，求小明家今年7月份用电多少度？
【答案】(1)3月份应缴电费166元
(2)7月份用电750度
【分析】（1）根据题意列算式求解即可；
（2）设 7 月份用电 x度 ，依题意可得 ，进而列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解： （元），
答： 3月份应缴电费166元．（2）解：设 7 月份用电 x度 ，依题意可得 ，
则 ，
解得 ，
答： 7 月份用电 750 度．
【点睛】本题考查有理数四则混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出算式和方程是
解答的关键．
6．（2023上·湖南益阳·七年级统考期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格
调控手段达到节水目的，价目表如下图．
价目表
每月用水量 单价
不超过 的部分 3元
超过 不超过 的部
4元
分
超过 的部分 6元
注：水费按月结算
(1)若某户居民1月份用水 ，则水费为_________元．
(2)若某户居民某月用水 ，请用含x的代数式表示水费．
(3)若某户居民3，4月份共用水 ，且4月份用水量超过 ，3月份用水量超过 ，共交水费94元，
则该户居民3、4月份各用水多少m³?
【答案】(1)18
(2)水费为 元
(3)该户居民3月份的用水量为 ，4月份的用水量为
【分析】（1）利用表格中收费标准求解即可；
（2）分不超过 的部分、超过 不超过 的部分、超过 的部分三部分计算求和即可；
（3）设3月份的用水量为 ，则4月份的用水量为 ，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解： （元），
故答案为：18；
（2）解：由题意，当 时，水费为 元．
（3）解：设3月份的用水量为 ，则4月份的用水量为 ．
根据题意， ，则 ，
解得 ，
4月份的用水量为 ．
答：该户居民3月份的用水量为 ，4月份的用水量为 ．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、列代数式，理解题意，找到所需的等量关系，并正确列出代数式
和方程是解答的关键．
7．（2023上·四川成都·七年级统考期末）某地今年夏季降雨量大幅下降，水电发电量严重受限，再加上高
温天气持续，居民用电量居高不下，电力供需形势十分严峻．已知该地为节约用电，利用价格调控的手段，
规定了居民生活用电的阶梯收费标准如下：
价目表
每月用电量 价格
不超过180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时
超过180千瓦时，但不超过280千瓦时的部分 0.6元/千瓦时
超过280千瓦时的部分 0.8元/千瓦时
(1)若小明家8月份用电200千瓦时，则应缴多少电费；
(2)若小明家8月份用电a千瓦时（其中 ），则应缴多少电费；（用含a的代数式表示，并化简）
(3)若小明家8月份缴电费326元，求小明家8月份用电多少千瓦时．
【答案】(1)102元
(2)
(3)500千瓦时
【分析】（1）由小明家8月份用电200千瓦时，可知小明家8月份电费应分2部分计算；
（2）由 ，可知小明家8月份电费应分3部分计算；
（3）先根据缴电费326元判断用电量的范围，再求解即可．
【详解】（1） （元）
答：应缴电费102元．
（2）
（3）由于用电280千瓦时应缴电费为 元，而 ，
所以用电量超过了280千瓦时，
故由（2）得
答：小明家8月份用电500千瓦时．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，解一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的解法，根据题意列式或列方程是解题关键．
8．（2023上·河南新乡·七年级统考期末）某市为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，采用价格调控
的手段以达到节水的目的，该市2022年自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算， 表示立方
米），请根据表中的内容解答下列问题：
每月用水量 价格
价 不超出 的部分 元
目 超出 不超出 的部分 4元
表 超出 的部分 元
(1)若某用户9月份用水 ，则应交水费__________元；
(2)若该用户10月份应收水费77元，则用水__________
(3)若该用户11月份和12月份两个月共用水 （11月份用水量超过了12月份），设12月份用水 ，
求该用户 两个月各交水费多少元．（用含 的代数式表示，并化简）
【答案】(1)25
(2)22
(3)11月应交水费 元，12月份当 时，交水费为 元；
当 时，总水费为 元．
【分析】（1）根据不超出 的部分，价格为 元/ ，据此计算即可；
（2）设该用户10月份用水x，超出 的部分为 ，然后列一元一次方程求解即可；
（3）设12月份用水 ；可知 ，然后根据12月份用水量分类讨论即可解答；
【详解】（1）解：∵不超出的部分 ，价格为 元 ，
∴应收水费为： （元）．
故答案为25．
（2）解：设该用户10月份用水x，则由题意可得：
∴ ，解得： ．
故答案为22．
（3）解： 月共用水 月份用水量超过了12月份
月份用水量大于 ，
月用水 ，则11月份用水 ，
此用户11月应交水费为2. 元
12月份用水量 ，
①当 时，12月应交水费： 元；
②当 时；12月应交水费： 元；
答：此用户11月应交水费 元，12月份当 时，交水费为 元；
当 时，总水费为 元．
【点睛】本题考查了列代数式中的分段计费问题、整式的加减等知识点；熟练运用分类讨论的思想是解题
的关键．
题型十一：比例分配问题
1．（2022上·云南红河·七年级统考期末）某村原有林地115公顷、旱地65公顷，为保护环境，需把一部
分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把 公顷旱地改为林地，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设把x公顷旱地改为林地，根据旱地面积占林地面积的20%列出方程即可．
【详解】解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程： ．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数以以改造后的旱地与林地的关系为等量关系列
出方程．
2．（2022下·山东滨州·七年级统考期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）
两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这
两种产品中有 瓶大瓶产品．
【答案】20000
【分析】设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根据题意列方程求出x，则可知大瓶的数量
【详解】换算单位：22.5t=22.5×1000×1000g
设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，
根据题意列方程，得
500·2x+250·5x=22.5×1000×1000，
解得x=10000
2x=20000
∴大瓶有20000瓶．
故答案为：20000
【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题，一般情况下题目中出现比值问题，通常设每份为x，掌握
以上方法是解题的关键．3．（2021上·湖南永州·七年级统考期末）新冠疫情期间，甲、乙、丙三家公司为抗击疫情捐款，他们共捐
款216万元，所捐款数的比为3：4：5，问甲、乙、丙三家公司各捐款多少万元？
【答案】甲公司捐款54万元，乙公司捐款72万元，丙公司捐款90万元
【分析】设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意列出一元一次方程
求解即可；
【详解】解：设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意得，
3x+4x+5x=216，
解得，x=18．
所以3x=54，4x=72，5x=90；
答：甲公司捐款54万元，乙公司捐款72万元，丙公司捐款90万元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确计算是解题的关键．
4．（2022上·广东广州·七年级统考期末）列方程解应用题，若没有列方程，则给0分．
(1)洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量比为1：2：14，计划
生产这三种洗衣机各多少台？
(2)一列火车匀速行驶，经过（从车头进入到车尾离开）一条长300m的隧道需要20s的时间．隧道的顶上
有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．求这列火车的长度．
【答案】(1)Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产1500、3000、21000台．
(2)这列火车的长度300m．
【分析】（1）设Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产x、2x、14x台，由于洗衣机厂今年计划生产洗衣
机25500台，由此即可列出方程，解方程即可求出结果．
（2）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】（1）解：设Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产x、2x、14x台，
依题意得：x＋2x＋14x＝25500
解得：x＝1500
∴2x＝2×1500＝3000，14x＝14×1500＝21000
答：Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产1500、3000、21000台．
（2）解：设火车的长度为x m，
根据题意得： ，
解得：x＝300，
答：这列火车的长度300m．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解本题的关键．
题型十二：日历问题
1．（2022上·山西阳泉·七年级统考期末）在如下图所示的2023年1月的月历表中，任意框出表中竖列上
的三个相邻的数，这三个数的和不可能是（ ）A．65 B．51 C．27 D．72
【答案】A
【分析】设这三个分别为： ，由三个数的和分别是65，51，27，72，列出方程可求解．
【详解】解：设这三个分别为： ，
A．由题意可得： ，解得： ，符合题意，
B．由题意可得： ，解得： ，不符合题意，
C．由题意可得： ，解得： ，不符合题意，
D．由题意可得： ，解得： ，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
2．（2023上·陕西安康·七年级统考期末）爷爷快八十大寿了，小明想在日历上把这一天圈起来，但不知道
是哪一天，于是便去问爸爸，爸爸笑笑说，“在日历上，那一天的上下左右 个日期的和正好等于那天爷
爷的年龄．”则小明爷爷生日的日期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】要求小明的爷爷的生日，就要明确日历上“上下左右 个日期”的排布方法.依此列方程求解．
【详解】设小明爷爷生日的日期是 ，则上、下的日期分别是 ， ，左、右的日期分别是 ，
，
依题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是弄准日历的规律，知道左右上下的规律，然后依
此列方程．
3．（2022上·湖南衡阳·七年级校考期末）正整数1至300按一定的规律排列如表所示，若将表中三个涂黑
的方框同时移动到表中其它的位置，使它们重新框出三个数，那么方框中三个数的和可能是（ ）A．315 B．416 C．530 D．644
【答案】C
【分析】设最左边数为x，则另外两个数分别为 、 ，进而可得出三个数之和为 ，令其分别
等于四个选项中数，解之即可得出x的值，由x为整数、x不能为第六列及第七列数，即可得到答案．
【详解】解：设最左边数为x，则另外两个数分别为 、 ，
∴三个数之和为 ．
根据题意得：
A、 ，解得： ，
B、 ，解得 ，
C、 ，解得 ，
D、 ，解得 ，
∵x是最左边的数，
∴x为整数且不能在第六列，也不能在第七列，
∴ ， ， ，都不可能，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次
方程是解题的关键．
4．（2023上·河南南阳·七年级统考期末）图中的数阵是由全体正奇数排成的．
(1)通过计算说明，图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？
(2)在图中任意作一个类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由．(3)在（2）的条件下，这个平行四边形框中九个数之和能等于2016吗？若能，请求出这九个数中最小的一
个；若不能，请说出理由．
【答案】(1)图中平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍
(2)类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和仍是中间的数的9倍，理由见解析
(3)九个数之和不能等于2016，理由见解析
【分析】（1）将图中平行四边形框内的九个数加起来求和，再和中间的数41比较即可得出结论；
（2）设中间的数为x，找到其余八个数与中间的数的关系，然后求和即可得出结论；
（3）根据（2）中结论结合数阵验证即可.
【详解】（1）解：∵
∴图中平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍；
（2）解：类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和仍是中间的数的9倍，理由为：
设中间的数为x，则其余八个数分别为 、 、 、 、 、 、 、
，
则平行四边形框内的九个数之和为
，
即图中平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍；
（3）解：这九个数之和不能等于2016，若和为2016，由 得 ，即中间的数为224，为偶数，
不在数阵中，
故这个平行四边形框中九个数之和不能等于2016．
【点睛】本题考查数字类规律探究、整式的加减、一元一次方程的应用，根据图中的数阵找到平行四边形
框中九个数之间的数量和位置关系是解答的关键．
三、问答题
5．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图是2023年一月份的日历：
(1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求
出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）；(2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数；若不能，请说明理
由；
(3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是______．
【答案】(1)
(2)七个数的和不可能等于168；理由见解析
(3)140
【分析】（1）设“H”框中最中间的数为x，则其他六个数为 ， ， ， ， ， ，相
加即可得到答案；
（2）设“H”框中最中间的数为x，得 ，解得 ，最大数为 ，2023年一月份
的日历中找不到这个数，即可得到结果；
（3）当 ，即 时，框出的七个数的和的最大值，再代入求值即可．
【详解】（1）解：∵设“H”框中最中间的数为x，则其他六个数为 ， ， ， ， ，
，
它们的和为：
；
（2）解：设“H”框中最中间的数为x，则由（1）可知它们的和为 ﹐
假设和可以为168，则 ，解得 ，
此时最大数为 ，2023年一月份的日历中找不到这个数，
∴七个数的和不可能等于168；
（3）解：∵2023年二月份的日历中最大的数是28，且它在第3列，
∴当 ，即 时，框出的七个数的和的最大值，最大值为 ，
故答案为：140．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，用含x的代数式表示其它六个数是解题的关键．
6．（2023下·河南周口·七年级统考期末）实践与探索，将连续的奇数1，3，5，7……排列成如下的数表，
用十字框框出5个数（如图）
(1)若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数表示十字框
框住5个数字之和：(2)十字框框住5个数字之和等于295？若能，分别写出十字框住的5个数，若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能
【分析】（1）从表格可看出上下相邻相差12，左右相邻相差2，设中间的数为a，上面的为 ，下面
的为 ，左面的为 ，右面的为 ，这5个数的和可用a来表示，
（2）代入295后，若求出的结果是整数就可以，再考虑中间数的位置，即可得出答案．
【详解】（1）从表格知道中间的数为a，上面的为 ，下面的为 ，左面的为 ，右面的为
，
所以十字框框住的5个数字之和为： ；
（2）不能，理由如下：
由题意知， ，
解得 ，
因为59是整数且位于第五行，第六列，处于最右边，没有更右边的数，不符合题意．
所以十字框框住5个数字之和不能等于295．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数字变化规律，理解题意能力和看表格能力，关键是找到题目
的等量关系．
7．（2022上·贵州遵义·七年级统考期末）如图（1）是2021年8月的月历，图（2）（3）都是它的其中一
部分，请观察图（1）中被框起来的数之间的关系，总结规律，解答问题：
(1)在图（2）中，用含m的式子表示被框起来的五个数的和为______；
(2)在图（3）中，表示a，b，c，d四个数之间的关系式中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
(3)图（4）是同年9月月历的一部分，在图（4）中，若被框起来的三个数之和为33，求x所表示的这一天
是星期几？
【答案】(1)
(2)B
(3)星期六【分析】（1）根据日历中数字规律，用m表示出其他4个数，然后求出被框起来的五个数的和即可；
（2）用a表示出其他几个数，然后再逐项进行判断即可；
（3）先求出x的值，然后根据8月份的日历推算出x所表示的这一天是星期几即可．
【详解】（1）解：其他四个数分别为： ， ， ， ，
被框起来的五个数的和为：
．
故答案为： ．
（2）解：根据图可知， ； ， ；
A．∵ ，
，
∴ ，故A正确，不符合题意；
B．∵ ，
，
∴ ，故B不正确，符合题意；
C．∵ ，
，
∴ ，故C正确，不符合题意；
D．∵ ，
，
∴ ，故D正确，不符合题意；
综上分析可知，不正确的是B．
（3）解：其他两个数分别为 ， ，根据题意得：
，
解得： ，
∵8月的最后一天是星期二，
∴9月11日是星期六，
即x所表示的这一天是星期六．
【点睛】本题主要考查了日历中的数，一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是熟练掌握日历中的
数字规律．
题型十三：古代问题
1．（2023上·河南漯河·七年级统考期末）我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有
一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设
杆长为 尺，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设杆长为 尺，则绳索为 尺，根据将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，即可得出关
于x一元一次方程．
【详解】解：设杆子为x尺，则绳索为 尺，
根据题意得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
2．（2022上·广西贵港·七年级统考期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买
豕，人出一百，盈一百；人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据每人出90钱，恰好合适，用 表示出猪价，再根据“每人出100钱，则会多出100钱”，
即可得出关于 的一元一次方程，即可得出结论．
【详解】解： 每人出90钱，恰好合适，
豕价为 钱，
根据题意，可列方程为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
3．（2022上·广东清远·七年级统考期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，
其中《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？大意是说：
今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘．问共
有有多少人，多少辆车？如果设有 辆车，根据题意所列方程正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据总人数可表示为 ，又可表示为 ，再列方程即可．
【详解】解：依题意，得 ，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．
4．（2021上·湖北荆门·七年级统考期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算
题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁?”意思是：有100个和尚分
100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚
有x人，依题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设小和尚有x人，需要 个馒头，则大和尚有
人，需要 个馒头，依据 个和尚分 个馒头，正好分完列方程即可．
【详解】解：设小和尚有x人，需要 个馒头，则大和尚有 人，需要 个馒头，依题意得：
．
故选：A．
5．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一，其中记载的“百
鹿入城”问题很有趣原文如下∶今有百鹿进城，每家取一鹿，不尽；又三家合取一鹿，恰尽．问城中有家
多少？大意为：现在有100只鹿要进城，城里的人家每家分一只，会有剩余分不完的鹿，如果再将剩余的
鹿，3家合分一只，恰好分完．问城中有几户人家？问：城中有 户人家．
【答案】75
【分析】设城中共有x户人家，根据两次分掉的头数和等于100列出方程，然后解之即可．
【详解】解：设城中共有x户人家，依题意得：
，
解得： ，
答：城中有75户人家．故答案为：75
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程，找准数量关系：剩下的鹿的头数为城
中总户数的 是解题关键．
6．（2023上·河南平顶山·七年级统考期末）古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪），是代数学的创始人
之一．在他的墓碑上记载着：“他生命的 是幸福的童年；再活了他生命的 ，两䎦长起了细细的胡须；
又度过了一生的 ，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；
儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了．”
(1)设丢番图的寿命为x岁，根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为_________岁，儿子的寿命为_________
岁；
(2)用你喜欢的方式，求出丢番图和儿子的寿命分别为多少岁？
【答案】(1)
(2)丢番图的寿命为84岁，儿子的寿命为42岁
【分析】（1）根据他生命的 是幸福的童年；再活了他生命的 ，两䎦长起了细细的胡须；又度过了一
生的 ，他结婚了；再过5年，他有了儿子列式即可，再根据儿子只活了他全部年龄的一半列式；
（2）设丢番图的寿命为 岁，则根据题中的描述他的年龄 的童年 生命的 年 儿子的年
龄 年，可列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设丢番图的寿命为x岁，
根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为 岁，儿子的寿命为 岁,
故答案为： ， ；
（2）设丢番图的寿命为 岁，
根据题意得： ，
解得： ，
当 时，可得儿子的寿命为 ，
答：丢番图的寿命为84岁，儿子的寿命为42岁．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出丢
番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解．7．（2023上·辽宁锦州·七年级统考期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》
卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（读fú，指野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．
今凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞， 天到北海；大雁从北海起飞， 天到
南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞（两者的飞行路线相同），问经过多少天相遇？
【答案】 天
【分析】首先设经过 天相遇，根据题意可得等量关系：野鸭 天的路程＋大雁 天的路程 ，再根据等
量关系列出方程，再解即可．
【详解】解：设经过 天相遇，
根据题意，得∶ ，
解得： ．
答：经过 天相遇．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
8．（2022下·贵州黔南·七年级统考期末）《算法统宗》中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄
酒名酶厚酒醇，醇酒一瓢醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，
几多酶酒几多醇？”其意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位
客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问饮下醇酒，薄酒分别多少瓶？
【答案】醇酒有10瓶，薄酒有 9瓶
【分析】设醇酒有 瓶，则薄酒有 瓶，根据“醇酒 瓶醉了 位客人，薄酒 瓶醉了 位客人，且共
醉了 位客人”，即可得出关于 的一元一次方程，解之即可求出醇酒的瓶数，再将其代入 中即可
求出薄酒的瓶数．
【详解】解：设醇酒有 瓶，则薄酒有 瓶，，
依题意得： ，
解得： ，
∴ ，
答：醇酒有 瓶，薄酒有 瓶．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的
关键．
9．（2022上·广东深圳·七年级深圳中学校联考期末）列方程应用题.《孙子算经》中有一道题，原文是：
“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何?”原文的意思是：
用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.
(1)绳子、长木各长多少尺?
(2)皓元同学对（1）中所用的长木和绳子进行了一定条件下燃烧速度的实验.他分别截取了等长的木头和绳子各两根.先取出木头和绳子各一根，将其浸没在油中，一段时间后取出.从一端点燃后，他发现燃烧完一
根木头需要40分钟，燃烧完一根绳子需要10分钟.随后，他同时点燃了剩下的等长的木头和绳子，一段时
间后，同时都被风吹灭，这时他发现木头的长是绳子的长的4倍，问第二次木头燃烧的时间为多少分钟?
【答案】(1)绳子、长木分别是11米和6.5米；
(2)第二次木头燃烧的时间为8分钟．
【分析】（1）设木头长 尺，则绳子长 尺，根据题意列一元一次方程，求解即可得出答案；
（2）设第二次木头燃烧的时间为 分钟，截取的木头和绳子的长为单位“1”， 根据题意列一元一次方程，
求解即可得出答案．
【详解】（1）解：设木头长 尺，则绳子长 尺，
根据题意得： ，
解得： ，
∴绳子长为 ，
答：绳子、长木分别是11米和6.5米；
（2）解：设第二次木头燃烧的时间为 分钟，截取的木头和绳子的长为单位“1”，
根据题意得： ，
解得：
答：第二次木头燃烧的时间为8分钟．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程正确求解是解题的关键
