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第四章 因式分解
4.2 提公因式法
第 1 课时 提公因式为单项式的因式分解
【素养目标】
1.理解公因式的概念，能熟练确定多项式各项的公因式．
2.掌握用直接提公因式法分解因式的基本方法．
3.在探索提公因式法因式分解的过程中会用逆向思维，渗透化归的思想方法．
重点：会用提公因式法分解因式．
难点：熟练地确定多项式中各项的公因式．
【复习导入】
问题1：多项式 ma + mb + mc 有哪几项？
问题2：每一项的因式都分别有哪些？
问题3：这些项中有没有公共的因式？若有，公共的因式是什么？
【合作探究】
探究点一： 确定公因式
问题 观察下列多项式，它们有什么共同特点 ?
(1) ab + bc ； (2) 3x2 + x； (3) mb2 + nb－b.
[知识要点]
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式.
想一想：尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积.
[尝试·交流]
(1) 多项式 2x2 + 6x3 中各项的公因式是什么？
(2) 你能尝试将多项式 2x2 + 6x3 因式分解吗?
[归纳总结]
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3. 定指数：相同字母的指数取
第 1 页各项中最小的一个，即字母最低次幂.
[练一练]
1. 写出下列多项式的公因式.
（1）x－x2；
（2）4abc + 2a；
（3）abc－b2 + 2ab；
（4）a2 + ax2.
探究点二： 提公因式为单项式的因式分解
[知识要点]
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多
项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫作提公因式法.
pa + pb + pc = p( a + b + c )
思考：以下是三名同学对多项式 2x2 + 4x 分解因式的结果：
（1）2x2 + 4x = 2(x2 + 2x)；
（2）2x2 + 4x = x(2x + 4)；
（3）2x2 + 4x = 2x(x + 2).
哪位同学的结果是正确的？
提问：用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？
[易错分析]
问题1 小明的解法有误吗？
因式分解：12x2y + 18xy2.
解：原式 = 3xy(4x + 6y).
问题2 小亮的解法有误吗？
因式分解：3x2－6xy + x.
解：原式 = x(3x－6y).
问题3 小华的解法有误吗？
因式分解：－x2 + xy －xz.
解：原式 = －x(x + y－z).
第 2 页[典例精析]
例1 把下列各式因式分解：
(1) 2mn+4m²；
(2) 7p²－21p;
(3) 8a²b²－12ab²c+ab;
(4) －24x²+12x²－28x.
[归纳总结]
当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出 “－” 号，使括号内第一项的系数成
为正数. 在提出“－”号时，多项式的各项都要变号.
问题：提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系?
当堂反馈
1.对多项式3x2－3x因式分解，提取的公因式为（ ）
A．3 B．x C．3x D．3x2
2.把多项式a2－4a因式分解，结果正确的是（ ）
A．a（a－4） B．（a＋2）（a－2）
C．a（a＋2）（a－2） D．（a－2）2－4
3.若ab=－3，a－2b=5，则a2b－2ab2的值是 ．
4.因式分解与简便计算.
(1)a2b＋ab2；
(2)m2n＋4mn－2n；
(3)1.992＋1.99×0.01.
第 3 页参考答案
【复习导入】
问题1：ma，mb，mc
问题2：依次为 m，a；m，b；m，c
问题3：有，为 m
【合作探究】
探究点一： 确定公因式
想一想：(1) b(a + c) (2) x(3x + 1) (3) b(mb + n－1)
[尝试·交流]
(1) 所以公因式是 2x2
(2) 2x2 + 6x3 ＝ 2x2(1+ 3x)
[练一练]
1. （1）x （2）2a （3）b （4）a
探究点二： 提公因式为单项式的因式分解
思考：根据最终结果是否还能进一步分解，易知第三位同学的结果是正确的.
[易错分析]
问题1 答：错误；公因式没有提尽，还可以提出公因式 2
正确解：原式 = 6xy(2x + 3y).
注意：公因式要提尽.
问题2 答：错误；当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 1.
正确解：原式 = 3x·x－6y·x + 1·x= x(3x－6y + 1).
注意：整项提出莫漏 1.
问题3 答：错误；提出负号时括号里的项没变号
正确解：原式= －(x2 － xy + xz) = －x(x －y + z).
注意：首项有负常提负.
[典例精析]
例1 解：(1) 原式 = 2m·n + 2m ·2m = 2m(n + 2m).
(2) 原式 = 7p·p－7p·3 = 7p(p－3).
(3) 原式 = ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1 = ab(8a2b－12b2c＋1).
(4) 原式 = －(24x3－12x2 + 28x) =－(4x·6x2－4x·3x + 4x·7) =－4x(6x2 －3x+7).
问题：因式分解与整式乘法互为逆变形
当堂反馈
1.C 2.A 3. － 1 5 ．
4.(1)解：原式＝ab(a＋b).
(2)解：原式＝n(m2＋4m－2).
(3)解：原式＝1.99×(1.99＋0.01)＝3.98.
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