26.1反比例函数（第4课时）[教学设计]_初中数学人教版_9下-初中数学人教版_01课件+教案（配套）_课件+教案+分层作业（2024）_课件+教案

26.1 反比例函数（第4课时） 教学目标 1．能解决反比例函数与一次函数图象共存问题． 2．会进行求交点问题与求函数解析式、方程的解、三角形面积、取值范围等问题之间 的互推． 3．能利用转化思想解决一次函数和反比例函数综合题中的存在性问题． 4．体会数形结合思想、转化思想在解决问题中的作用． 教学重点 会进行求交点问题与求函数解析式、方程的解、三角形面积、取值范围等问题之间的 互推． 教学难点 能利用转化思想解决一次函数和反比例函数综合题中的存在性问题． 教学过程 知识回顾 1．一次函数的图象是什么？ 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b． 直线y＝kx＋b可以由直线y＝kx通过平移得到． 2．一次函数有什么性质？ 一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)具有如下性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小． 3．一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质： （1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； （2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的 增大而增大． 4．反比例函数 的图象的对称性： 的图象是轴对称图形，对称轴是y＝±x． 的图象是中心对称图形，对称中心是原点．也就是说，若点(a，b)在反比例函数 的图象上，则点(－a，－b)也在此函数图象上． 【师生活动】复习一次函数和反比例函数的相关知识，巩固基础，为本节课学习“反 比例函数与一次函数的综合”做准备． 新知探究 类型一、反比例函数与一次函数的图象共存问题 【问题】1．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数 (k≠0)的图 象大致是（ ）． A． B． C． D． 【师生活动】学生独立思考作答，教师指导讲评． 【答案】A 【解析】选项A，B中，由反比例函数 (k≠0)的图象可知k＜0，则一次函数y＝ kx－k的图象应该经过第一、第二、第四象限，故选项A正确，选项B错误． 选项C，D中，由反比例函数 (k≠0)的图象可知k＞0，则一次函数y＝kx－k的 图象应该经过第一、第三、第四象限，故选项C错误，选项D错误． 【归纳】解决反比例函数与一次函数图象共存问题的方法：一般情况下，判断同一坐标系内的两个函数中各字母的符号，相同字母的符号一致的 选项可能为正确答案． 若题干中给出了一个函数的图象，则需要先根据这个图象判断各字母的符号，再依据 字母的符号去验证各选项中的图象是否正确． 【问题】2．反比例函数 的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是 （ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象可知，反比例函数的图象过第一、第三象限， ∴kb＞0． ∴k＞0，b＞0或k＜0，b＜0． 当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx＋b的图象过第一、第二、第三象限； 当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx＋b的图象过第二、第三、第四象限． 【设计意图】通过问题1，2，让学生能综合运用相关知识解决反比例函数与一次函数 的图象共存问题，加深学生对相关知识的理解，进一步明确函数图象与参数之间的关系． 类型二、反比例函数与一次函数的图象的交点问题 【问题】3．如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b和反比例函数 的图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）观察图象，直接写出方程kx＋b－ ＝0的解． （3）求△AOB的面积． （4）观察图象，直接写出不等式kx＋b－ ＜0的解集． 【师生活动】学生独立思考作答，请一名学生板演，教师总结． 【答案】解：（1）∵点B(2，－4)在反比例函数 的图象上， ∴m＝－8． ∴反比例函数的解析式为 ． ∵点A(－4，n)在反比例函数 的图象上， ∴n＝2． ∴A(－4，2)． ∵一次函数y＝kx＋b的图象经过A(－4，2)，B(2，－4)， ∴ 解得 ∴一次函数的解析式为y＝－x－2． （2）∵A(－4，2)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数 的图 象的两个交点， ∴方程kx＋b－ ＝0的解是x＝－4，x＝2． 1 2（3）如图，设AB与x轴交于点C． ∵当一次函数y＝－x－2在y＝0时，x＝－2， ∴点C(－2，0)． ∴OC＝2． ∴S ＝S ＋S ＝ ×2×2＋ ×2×4＝6． △AOB △ACO △BCO （4）不等式kx＋b－ ＜0的解集为－4＜x＜0或x＞2． 【归纳】借函数图象的交点进行求解的常见问题类型： （1）求解析式：见点代入．双曲线需要一个条件，直线需要两个条件． （2）求方程的解：对于一个函数减去另一个函数等于0构成的方程，这两个函数图象 的交点的横坐标即为方程的解． （3）常见面积问题： 底在坐标轴上的三角形面积＝ ×底×高， 底不在坐标轴上的三角形面积＝ ×铅直高×水平宽，也可转化为等底或等高的三角 形面积再求解． （4）求取值范围：一般用数形结合思想，借助图形解决．具体解题步骤如下． ①求界点． ②看要求：看清要求，已知自变量还是因变量的范围，求哪个变量的范围． ③做标记：过界点分别向x轴或y轴作垂线． ④定范围：确定范围，用不等式（组）正确表示． 【问题】4．如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数 的图象在第一象限交于点 A(4，3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．（1）求一次函数y＝kx＋b和 的解析式． （2）求S ． △AOB （3）若直线AB交x轴于点C，D为x轴上另一点，当S ＝10时，求直线AD的解 △ABD 析式． （4）在（3）的条件下，当点D在点C右侧时，求直线AD与反比例函数 的另 一交点E． （5）在（4）的条件下，观察图象，直接写出不等式－3x＋15＜ 的解集． 【答案】解：（1）∵点A(4，3)，OA＝OB，∴B(0，－5)． ∵y＝kx＋b过点A，B， 过点A，解得k＝2，b＝－5，a＝12． ∴函数解析式分别为y＝2x－5和 ． （2）以OB为底，A的横坐标绝对值为高，易得S ＝ ＝10． △AOB （3）∵S ＝ CD·(y －y )＝10，∴CD＝ ． △ABD A B 将y＝0代入y＝2x－5，得x＝ ，∴C ． 当点D在点C右侧时，D(5，0)， 1 ∴直线AD的解析式为y＝－3x＋15； 当点D在点C左侧时，D(0，0)， 2∴直线AD的解析式为y＝ ． （4）当点D在点C右侧时， 联立方程组 解得x＝1，x＝4（舍去）， 1 2 ∴y＝12． ∴E(1，12)． ∴当点D在点C右侧时，E(1，12)． （5）如图，∵A(4，3)，E(1，12)， ∴不等式－3x＋15＜ 的解集为0＜x＜1或x＞4． 【设计意图】通过问题3，4，让学生掌握借函数图象的交点求解析式、方程的解、面 积问题、取值范围问题的常用解题方法． 类型三、反比例函数与一次函数中的存在性问题【问题】5．如图，直线y＝2x＋3与y轴交于点A，与反比例函数 (k＞0)的图象 交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且点C的坐标为(1，0)． （1）求反比例函数的解析式． （2）点D(a，1)是反比例函数 (k＞0)的图象上的点，在x轴上是否存在点P， 使得PB＋PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流，并派代表回答，教师板书． 【答案】解：（1）∵BC⊥x轴于点C，且点C的坐标为(1，0)， 在直线y＝2x＋3中，当x＝1时，y＝2＋3＝5， ∴点B的坐标为(1，5)． 又∵点B(1，5)在反比例函数 的图象上， ∴k＝1×5＝5． ∴反比例函数的解析式为 ． （2）将点D(a，1)代入 ，得a＝5， ∴点D的坐标为(5，1)． 点D(5，1)关于x轴的对称点为D′(5，－1)， 可设过点B(1，5)，点D′(5，－1)的直线的解析式为y＝mx＋b， ∴ 解得∴直线BD′的解析式为 ． 根据题意，直线BD′与x轴的交点即为所求点P． 当y＝0时， ，解得x＝ ． 故存在点P，使得PB＋PD最小，点P的坐标为 ． 【设计意图】通过问题5，让学生熟悉并能够解决反比例函数与一次函数中的存在 性问题． 课堂小结 板书设计 一、反比例函数与一次函数图象共存问题 二、反比例函数与一次函数图象的交点问题 三、反比例函数与一次函数中的存在性问题 课后任务 完成教材第9页习题26.1第5题和第8题． 教学反思_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________