数形结合思想中考举例_初中全科目同步习题+精品试卷（7-9年级）_25秋初中数学《同步习题+精品试卷》_初中数学人教版试卷_初中数学人教版7-9年级上册_《全品期末复习卷》_2.专题复习

数形结合思想中考举例
数学思想方法与数学知识的共存性、数学思想对数学活动的指导作用只有在反复的运用中才能被真正
掌握，成功的思想方法（特别是有广泛应用性的数学思想）需要有意识地贯通在平时的教学中。数和形是初
中数学中被研究得最多的对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，它通过形理解数，利用形的直观
加深对数量关系的理解；通过数理解形，利用数的抽象性加深对图形位置关系的理解，即图形位置问题的坐
标化，数量关系图形化。它是一种重要的解题策略，作为一名中学数学教师，在教学中要善于挖掘数形结合
的例子，提炼数形结合的思想，做好“数”与“形”关系的揭示和转化，引导学生用图形直观地研究数式问
题，用数式对图形性质进行更为丰富、精确、深刻的探讨。
近年来的各地中考中出现了借助数形结合思想方法的中考问题，这类试题综合性强,能力要求高,常作
为中考的压轴题，它能全面考查学生分析问题和解决问题的能力，有助于培养学生用相互联系、相互转化
的辩证唯物主义观点分析事物，有助于培养学生的思维品质和创新精神。本文从全国中考数学试题中精选
几例，分类阐述，以飨读者。
1、由数到形、形数结合
5k
【例】 已知正比例函数y kx的图象与反比例函数y  （k为常数，k 0）的图象有一个交点的横坐
x
标是2．
⑴求两个函数图象的交点坐标；
5k
⑵若点A(x，y )，B(x，y )是反比例函数y  图象上的两点，且x  x ，试比较y，y 的大小．
1 1 2 2 x 1 2 1 2
分析与解：（1）由由交点横坐标的含义可得方程组 消去字母y，得 5k ，解得 ．所以
2k  k 1
2
4
正比例函数的表达式为 y  x ，反比例函数的表达式为y  ．要求两个函数图象的交点坐标，只须在得出
x
4
的函数解析式基础上画出图象（反比例函数 y  的图象分别在第一、三象限内的双曲线，正比例函数
x
y  x
的图象是经过原点的一条直线）由题知交点的横坐标是2即可求出纵坐标也是2即为（2，2），由图
象的关于原点成中心对称可得另一交点为 ．所以两函数图象交点的坐标为（2，2）， ．
(2，2) (2，2) [来源:学科网ZXXK]
第 1 页 共 3 页4
（2）利用上问中所化图形得反比例函数y  的图象的 y 的值随 x 值的增大而减小，所以当x  x 0时，
x 1 2
4 4
y  y ．当 0 x  x 时， y  y ．当 x 0 x 时，因为y  0，y  0，所以 y  y ．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 x 2 x 1 2
1 2
评注：借助“形”的几何直观来阐明“数”之间的某种关系能使问题简单。这类问题常把函数、方程、
不等式联系起来，求解的关键是：挖掘出数式的几何意义，以形为手段，数为目的，借助形的直观具体来表
明数式之间的关系。本题突出考查了学生几何、代数知识综合运用的能力，数形结合的能力。
2、变形为数，数形变通
y
l
1 l
【例】 如图，直线 的解析表达式为 ， 2
l y 3x3 [来源:学科网]
1
O D 3
x
且 与 轴交于点 ，直线 经过点 ，直线 ， 交于点 ．
l 1 x D l 2 A，B l 1 l 2 C 3 A（4，0）

B
2
⑴求点D的坐标； C
⑵求直线 的解析表达式；
l
2
⑶求△ADC 的面积；
[来源:学科网]
⑷在直线 上存在异于点 的另一点 ，使得 与 的面积相等，请直接写出点 的坐标．
l C P △ADP △ADC P
2
分析与解：（1）求点 的坐标通常的方法是由直线 的解析表达式 与 联立方程组，消去y
D l y 3x3 y 0
1
得关于x的方程 ． ． ．
3x30 x1 D(1，0) [来源:学*科*网]
3
（2）设直线l 的解析表达式为y kxb，由图象知：x4，y 0；x3，y  ．
2 2
4kb0，  3
 k  ， 3
直线 的解析表达式为 ．
 3  2  l y  x6
3kb . 2 2
  2  b6.
y 3x3，
 x2， 1 9
（3）由  3 解得  C(2，3) ． AD3 ， S  3 3  ．

y  x6. y 3. △ADC 2 2
 2
（4） ．
P(6，3) [来源:Zxxk.Com]
第 2 页 共 3 页评注：变形为数，数形变通即以数为手段，形为目的，借助于数的精确性来阐明形的某种属性，这种类型
的问题的解决方法是图形坐标化。
综合上面的分析，我们对初中数学中数与形的一些基本关系，以及利用这种基本关系来处理数学问题，
有了一点了解，但我们只是借助坐标系作媒介。任何一个代数形态的数学问题常可有一个几何形态的数学
问题与之对应，研究这两种对应形态的关系及相互转化、结合是我们经常要研究的问题，也是各中考常考查
学生能力的一个重要问题，数形结合思想很重要，随时着新课程改革的深入，素质教育的不断推进，我相信
今后的中考会有更多、更好的考查学生数学思想方法的问题出现。
第 3 页 共 3 页