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矩形折叠 趣味无穷
[来源:学§科§网]
矩形除了具有平行四边形的性质（对边相等、对角相等、对角线互相平分）外，还具有
自己独特的性质（四个角都是直角，对角线相等）。正是矩形的独特性质，使矩形折叠形态
各异，趣味无穷．现将常见的矩形折叠方式归纳如下，供同学们学习时参考。
例1 如图1，将矩形纸片ABCD（图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的
直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图②）；（2）以
过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图③）；
（3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为（ ）
A．60° B．67.5° C．72° D．75°
解析：由矩形第一次折叠，得图②中的∠AEC=135°，则第二次折叠，得图③中的
∠FEC=67.5°。因为矩形的对边AD//BC，所以∠AFE=∠FEC=67.5°，故选D。
【点评】折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在
这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果。折叠问题的实质是
图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用。所以在解决有关折叠问题时可以充
分运用轴对称的思想和轴对称的性质.
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例2 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的
长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
第 1 页 共 3 页解析：由矩形折叠可知∠FAD=∠FAO，根据菱形的性质可得∠FAO =∠EOA，
∴∠FAD=∠FAO=∠EOA=30°，在△CAB中，利用勾股定理可求得BC= ，故选D。
【点评】折叠问题形式多样，变化灵活，主要考察你的空间想象能力与动手操作能力。本
题把折叠问题转化为轴对称问题，再利用勾股定理把所求的线段转化到直角三角形中去处
理，这是折叠问题中常用的数学方法，必须认真体会。
例3 如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点
A′处。
（1）求证：B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a、b、c之间有何等
量关系，并给予证明。
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解 析 ：（ 1 ） 由 矩 形 折 叠 可 得 ， B′E =BF ，
∠B′FE=∠BFE，
在矩形ABCD中，AD//BC，∴∠B′EF=∠BFE，
∴∠B′FE=∠B′EF，∴B′F=B′E，∴B′E =BF。
（2）三者关系不唯一，有两种可能情况：
①a、b、c三者存在的关系是： ．
[来源:学§科§网]
理由如下：连结BE，则BE//B′E．
[来源:学科网]
由（1）知B′E =BF=c，
在△ABE中，∠A=90°，∴ ．
∵AE=a，AB=b，∴ ．
②a、b、c三者存在的关系是： ．
理由如下：连结BE，则BE=B′/E．
由（1）知B′E =BF=c，∴BE=c，
在△ABE中，AE+AB＞BE，
∴
第 2 页 共 3 页【点评】解决折叠问题时，首先要对图形折叠准确定位，把握折叠的实质，抓住图形之
间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量. 进
一步发现图形中的数量关系；其次要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其
中基本的数量关系用方程的形式表达出来，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题.
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