折线最小值问题
A
题目：如图，A、B在直线L的同侧，点B′是点
B
B关于L的对称点，AB′交L于点P．（1）AB′与
AP+BP相等吗？为什么？（2）在L上取一点Q， P
Q L
并连接AQ和QB，那么AQ+QB与AP+PB哪
一个大？为什么？
B′
本题实际上是在直线L上找一点P，使点P到
直线L的同侧两个定点A、B的距离之和最小．这道题是在学习了线段公理和轴对称后的一
道很好的习题．我们不妨将此类型问题归纳为“折线求最小值问题”，它涉及到“两点之
间线段最短、利用对称化折线为直线的基本方法”。
一、直接应用此结论
D
1.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线
P
AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN A C
M N
的最小值是_____________． B
本题由菱形的轴对称性，知对角线AC所在直线即为对称轴，所以只要取点M（或点
N）关于AC的对称点M′，则M′N的长就是PM+PN的最小值．
二、间接应用此结论
引例：公园里有两条河流OM、ON在点O处汇合，∠MON＝60°，两河形成的半岛上有
M
一处古迹P，现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修3段小路分别连接
两座小桥Q、R和古迹P，若古迹P到两条小河的距离都是50 米，求这3段小路长度之
和的最小值.
P
O
N
第 1 页 共 7 页本例很明显是折线求最小值问题，但与课本习题不同的是它演变为求 3条线段之和的
最小值，运用“两点之间，线段最短”公理，仍可采用对称化折线为直线的方法来解决.
2.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，
建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将
△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P
为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的
周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理
由．
解：(1)E(3,1)；F(1,2)；[来源:Z&xx&k.Com]
(2)在Rt△EBF中,∠B=900，所以EF= .
设点P的坐标为(0,n),其中n＞0,因为顶点F(1,2),
所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a≠0) ．
① 如图1,当EF=PF时,EF2=PF2,所以12+(n-2)2=5,解得n =0(舍去),n =4,
1 2
所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2,解得a=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．
②如图2,当EP=FP时,EP2=FP2,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n=－ (舍去) ．
③当EF=EP时,EP= ＜3,这种情况不存在.
综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．
(3)存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小． y
y
P
F B
C
F B E
C
[来源:Zxxk.Com]
E
O D A x
第 2 页 共 7 页
O D A x
图②
图① P如图3,作点E关于x轴的对称点E/,作点F关于y轴的对称点F/,连接E/F/,分别与x轴、
y轴交于点M、N,则点M、N就是所求.所以E/(3,-1)、F/(-1,2),NF=NF/,ME=ME/,
所以 BF/=4,BE/=3,所以 FN+NM+ME=F/N+NM+ME/=F/E/= =5.又因为
EF= ,
所以FN+MN+ME+EF=5+ ,此时四边形MNFE的周长最小值为5+ .
y
F/ F B
C
N E
.0
O D M A x
E/
图③
第 3 页 共 7 页本题第（3）问是一个拓展问题，在两条直线上分别找一个点使与两个点相连构成的四
边形周长最小问题.四边形的周长虽为4条线段之和，但EF一边是定长，因而与上例本质相
同.
4.某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的
饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外
两处。
如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均
不计），点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，
点D在点M的南偏西60°的 km处。
为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：
方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的
最小值；
方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，
画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；
方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M
处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。
综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？
北
[来源:Zxxk.Com] 东
F F
B B
A 第 4 页 共 7 页 A
M M
30° 30°
O O
C D E C D E
乙村 乙村
图① 图②∵DE＝DM·sin60°＝ × ＝3，ME＝ ＝ × ，
∴PE＝DE，∴ P点与E点重合，即AM′过D点。
在线段CD上任取一点P′，连接P′A，P′M，P′M′，
则P′M＝P′M′。
∵A P′＋P′M′＞AM′，
∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小，
即最小值为AD＋DM＝AM′＝
北
F
B
东
A
M
30° P
O
C D E
P′
M
图①
′
方案三：作点M关于射线OF的对称点M′，作M′N⊥OE于N点，交OF于点G，
第 5 页 共 7 页交AM于点H，连接GM，则GM＝GM′
∴M′N为点M′到OE的最短距离，即M′N＝GM＋GN
在Rt△M′HM中，∠MM′N＝30°，MM′＝6，
∴MH＝3，∴NE＝MH＝3
∵DE＝3，∴N、D两点重合，即M′N过D点。
在Rt△M′DM中，DM＝ ，∴M′D＝
M
′
在线段AB上任取一点G′，过G′作G′N′⊥OE于N′点，
连接G′M′，G′M， B F
G
显然G′M＋G′N′＝G′M′＋G′N′＞M′D[来源:Z.xx.k.Com]
G′
∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD A H
M
线路铺设的长度之和最小，即最小值为
N
30° N′
O
GM＋GD＝M′D＝ 。 C D E
乙村
综上，∵3＋ ＜ ，
图②
∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短．
本题方案一为点到线段距离最小问题.要用到直线外一点与直线上各点的连线中,
垂线段最短．方案二为线上一动点到另外两定点距离之和最小问题，是课本习题的直接应
用．方案三为线上一动点到一定点及到一线段距离之和最小问题，如何解决呢？至此，我们
应发现其中奥妙：要在哪条线上寻找某一点,就以这条直线为对称轴,作出另一定点的对称
点,要将供水站建在AB上，则以AB为对称轴，作点Ｍ的对称点Ｍ′，问题即可解决．本题巧
妙利用了课本习题的方法和结论，是对课本习题很好的诠释．
5.如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是等腰梯形，A、B在x轴上，D在y
轴上，AB∥CD，AD＝BC＝ ，AB＝5，CD＝3，抛物线 过A、B两点.
（1）求b、c；
（2）设M是x轴上方抛物线上的一动点，它到x轴与y轴的距离之和为d，求d的最大
值；
y
（3）当（2）中M点运动到使 d取最大值时，
此时记点 M 为 N,设线段 AC 与 D C y 轴 交 于 点
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A o B xE,F为线段EC上一动点，求 F到N点与到y轴的距离之和的最小值，并求此时F点的坐标.
[来源:学科网]
本题第3问若用解决折线最短问题的思路来做的话，就与2008陕西省一题中的方案
三情况一样了，只需作点N关于直线AC的对称点N′，再过点N′作y轴的垂线与ＡＣ的交
点即为所求的点Ｆ．
解题方法源于基础知识，只有对基础知识的掌握达到一定的熟练程度，才能得心应手
地将基础知识及所提炼的方法进行恰当组合，应用创新，才能使思维敏捷、技法娴熟．
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