文档文本内容
中考试题中的方案设计问题
近几年来全国各地的中考数学试题中，贴近生活关注社会热点的应用性试题逐年增多，
其中不少是关于方案设计问题，体现了新课程的理念。 以中考题为例，谈谈这类试题的解法。
一、用方程组的非负整数解的组数确定方案种数
例1： 一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客租住。某旅行团20人准备同时
租住这三种客房共7间，问：每一个房间都住满，租房方案有（ ）。
A : 4种 B： 3种 C： 2种 D：1种
分析：题设中存在两个等量关系，启示我们应用方程组的知识来求解。
解：设需二人间X间，三人间Y间，四人间Z间
由题意可知
消去X得：y－2z=6即y=6－2z
由y ，z为非负整数可知：z=0，1，2，3四个值，则对应的x，y，z的值如下：
∵y，z不为零，则有两种方案，故选C。
二、应用不等式组的正整数解确定最佳方案
例2： 迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙
种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需
甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题
意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说
明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
分析：题设中隐含两个不等关系：甲种花卉不超过3490盒，乙种花卉不超过2950盒，
从而列出不等式组求解。
解：设搭配A种造型x个，则B种造型为 个，
依题意，得： 解得： ，∴∵x是整数，x可取31、32、33，
∴可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型
32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．
方案①需成本：31×800+19×960=43040（元）；
方案②需成本：32×800+18×960=42880（元）；
方案③需成本：33×800+17×960=42720（元）；
∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元．
三、用一次函数的增减性确定最佳方案
例3 为迎接国庆六十周年，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了一、
二、三等奖．学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的2倍
还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍．各种奖品的单价如下表所示．
如果计划一等奖买 件，买50件奖品的总钱数是 元．
（1）求 与 的函数关系式及自变量 的取值范围；
（2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少？最少是多少元？
解：（1）
．
由
得
∴自变量的取值范围是 ，且 为整数．
[来源:Zxxk.Com]
（2）∵ ，∴ 随 的增大而增大，当 时，有 最小值．
最小值为 ．
答：一等奖买10件，二等奖买10件，三等奖买30件时，所花的钱数最少，
最少钱数是370元．
四、用二次函数的最值确定最佳方案
例4： 已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．
批发单价（元）
日最高销量（kg）
5
① 80 （6，80）
②
4
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
40 （7，40）
O 20 60
批发量（kg）
O 2 4 6 8
零售价（元）
第23题图（1）
第23题图（2）[来源:学科网ZXXK]
经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，
该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和
销售的方案，使得当日获得的利润最大．
解：设当日零售价为x元，由图可得日最高销量
当m＞60时，x＜6.5
[来源:Z|xx|k.Com]
由题意，销售利润为
当x＝6时， ，此时m＝80
即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，
当日可获得最大利润160元．
[来源:Z*xx*k.Com]
