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第二十六章 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
学习目标：1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程
(重点、难点)
2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质. (重点)
3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、难点)
自主学习
一、知识链接
回顾我们上一课的学习内容，你能写出 200 m自由泳比赛中，游泳所用的时间 t(s) 和游
泳速度 v(m/s) 之间的数量关系吗？
试一试，你能在坐标轴中画出这个函数的图象吗？
合作探究
一、要点探究
探究点1：反比例函数的图象和性质
例1 画出反比例函数 与 的图象.
【提示】画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中
自变量 x 不能为 0.
解：列表：
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得 与 的图象．
思考 观察这两个函数图象，回答问题：
（1）每个函数图象分别位于哪些象限？
（2）在每一个象限内， 随着x的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？
（3）对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？
【要点归纳】反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与 x 轴、y 轴都不相交；
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
【针对训练】 反比例函数 的图象大致是 ( )
A. B. C. D.
例2 反比例函数 的图象上有两点 A(x ，y )，B(x ，y )，且A，B 均在该函数图象
1 1 2 2
的第一象限部分，若 x ＞x ，则 y 与y 的大小关系为 ( )
1 2 1 2
A. y > y B. y = y C. y < y D. 无法确定
1 2 1 2 1 2【提示】因为8＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 x ＞x ，可知
1 2
y ，y 的大小关系
1 2
观察 当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？
思考 回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的
过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？
【要点归纳】反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：
由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们与x轴、y轴都不相交；
在每个象限内，y随x的增大而增大.
【针对训练】点(2，y )和(3，y )在函数 的图象上，则y y (填“>”“<”
1 2 1 2
或“=”).
例3 已知反比例函数 ，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大，求a
的值.
【针对训练】 已知反比例函数 在每一个象限内，y 随着 x 的增大而减
小，求 m 的值．
二、课堂小结反比例函数 (k≠0)
k k > 0 k < 0
图象 图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限
性质 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每一个象限内，y 随x 的增大而增
大
当堂检测
1. 反比例函数 的图象在 ( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的图象大致是( )
3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________.
4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
（1）经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
（2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
（3）双曲线位于第二、四象限.
其中正确的是________(填序号).
5. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，图象上有两点 A (x ，y )，B (x ，y )，
1 1 2 2
且 x > x > 0，则y －y ________0.
1 2 1 2
6. 已知反比例函数 ，它的两个分支分别在第一、第三象限，求 m 的值.能力提升：
7. 已知点 (a－1，y )，(a＋1，y )在反比例函数 (k＞0)的图象上，若y ＜y ，求a的取
1 2 1 2
值范围.
参考答案
合作探究
一、要点探究
探究点1：反比例函数的图象和性质
例1 解：列表：-1 - - -2 -3 -6 6 3 2 1
-2 - - -4 -6 -12 12 6 4 2
描点、连线如图所示.
【针对训练】 C
例2 C
【针对训练】<例3 解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．解得a=－3.
【针对训练】 解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0．解得m=3.
当堂检测
1.B 2. D 3. m＞2 4. （1）（3） 5. ＜
6. 解：因为反比例函数 的两个分支分别在第一、第三象限，
所以有m2－5=－1，且m＞0，解得m=2.
能力提升：
7. 解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小.
① 当这两点在图象的同一支上时，∵y ＜y ，∴a－1＞a+1， 无解；
1 2
②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵y ＜y ，∴必有 y ＜0＜y .
1 2 1 2
∴a－1＜0，a+1＞0， 解得－1＜a＜1.故 a 的取值范围为－1＜a＜1．
