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专题 02 反比例函数与一次函数和几何综合（课后小练）
满分100分 时间：45分钟 姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共24分)
1．(本题4分)（2022·湖南·邵阳县教育科学研究室模拟预测）如图，直线 与双曲线 在第一
象限交于点P（2，m），与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．k＝1 B．m＝4 C．当x＞2时，y＞y D．OA=OB
2 1
【答案】C
【分析】根据一次函数，反比例函数的性质进行计算即可得．
【详解】解：将点P（2，m）代入 中，得 ，
即m=4，
则选项B，说法正确，不符合题意；
将点P（2，4）代入 中，得
，
则选项A，说法正确，不符合题意；
由图像得，当x＞2时，y<y，
2 1
则选项C，说法错误，符合题意；
令 中的纵坐标为0，得
解得， ，
则点A（-2，0），
令 中的横坐标为0，得 ，则点B（0，2），
即OA=OB，
则选项D，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，解题的关键是掌握相关概念与性质．
2．(本题4分)（2022·湖南衡阳·八年级期中）在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图像大致是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别根据正比例函数和反比例函数图像的性质分析判断即可．
【详解】解：函数 的图像经过第一、三象限，
函数 的图像在第二、四象限，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握一次函数与反比例函数图像与性质是解
题关键．
3．(本题4分)（2022·浙江温州·八年级期末）已知正比例函数 的图象与反比例函数
的图象交于点 ， ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用反比例函数的中心对称性即可得出答案．
【详解】解：∵正比例函数 的图象与反比例函数的图象交于点 ， ，
∴A，B两点关于原点对称，
∴点B的坐标是（1，-2）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出A，B两点位置关系是解题关键．
4．(本题4分)（2022·河北保定·二模）如图，反比例函数 （x＜0）的图象经过正方形ABCD的顶点
A，B，连接AO，BO，作AF⊥y轴于点F，与OB交于点E，E为OB的中点，且 ，则k的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点B作BG⊥y轴交于点G，得到EF是△BOG的中位线，EF= BG，设A（a， ），B（b，
），得到E点坐标为（ ， ），设OB的解析式为y=kx，代入E，B坐标得到a=2b，根据S AOE=
1
△
得到S AOE= ，故可求出k的值．
△
【详解】过点B作BG⊥y轴交于点G，
∵AF⊥y轴，BG⊥y轴，
∴AF BG
∵E点是OB的中点
∴EF是△BOG的中位线
∴EF= BG
设A（a， ），B（b， ），∴BG=-b，EF=
则E点坐标为（ ， ），
设OB的解析式为y=kx，（k≠0），过E点
1 1
∴ = k
1
∴k=
1
∴OB的解析式为y= x，
代入B点，即 = ×b
∴a=2b
∴S AOE=
△
把a=2b代入得S AOE= =3
△
∴k=-8
故选D．
【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、待定系数法、
三角形中位线的性质．
5．(本题4分)（2022·河南南阳·八年级期中）如图，点A、B分别在反比例函数 （ ）和反比例函
数 （ ）的图象上， 轴，则△OAB的面积等于（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】延长BA交y轴于点M，根据反比例函数的k的意义得出 ， ，结合图形求解即
可．
【详解】解：延长BA交y轴于点M，
∵ 轴，点A在 上，点B在 上，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】题目主要考查反比例函数与三角形的面积关系，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
6．(本题4分)（2022·河南新乡·八年级期末）如图，直线 和双曲线 交于 、 两点， 是线段
上的点（不与 、 重合），过点 、 、 分别向 轴作垂线，垂足分别为 、 、 ，连接 、 、
，设 的面积为 、 的面积为 、 的面积为 ，比较 、 、 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义以及一次函数与反比例函数的交点坐标进行判断即可．
【详解】如图，设PE与双曲线的交点为Q，连接OQ，
由于点A、点Q、点B在反比例函数
y= 图象上，
所以S = S = S ，而S < S ，
AOC QOE BOD QOE POE
△ △ △ △ △
即S=S<S，
1 2 3
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，一次函数与反比例函数的交点坐标特征，理解反比例函
数系数k的几何意义是正确解答的前提．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
7．(本题5分)（2022·河南商丘·九年级期末）如图，函数y＝x+1与函数y＝ 的图象相交于点M（1，
1 2
m），N（﹣2，n）．若y＜y，则x的取值范围是x＜﹣2或 _____．
1 2
【答案】0＜x＜1
【分析】观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象的下方时对应的x的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知，y＜y 时的x的取值范围为：x＜−2或0＜x＜1，
1 2
故答案为：0＜x＜1．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
8．(本题5分)（2022·湖南·张家界市永定区教育研究室九年级期末）若双曲线 在第二、四象限，
则直线y=kx-2不经过第_____象限．
【答案】一
【分析】先根据反比例函数的性质求出k的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；
【详解】解：∵双曲线 在第二、四象限，
∴k<0，
∴直线y=kx-2经过二、三、四象限，不经过第一象限．
故答案为：一．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，以及反比例函数的图象与性质，反比例函数 (k是常数，
k≠0)的图象是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当 k＜0，反比例函数图象的
两个分支在第二、四象限．
9．(本题5分)（2022·江苏扬州·八年级阶段练习）已知点P（m，n）在直线y=-x+3上，也在双曲线y=-
上，则m2+n2=___________
【答案】11
【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，
再利用完全平方公式将原式变形得出答案．
【详解】解：∵点P（m，n）在直线y=-x+3上，
∴n+m=3，
∵点P（m，n）在双曲线y=- 上，
∴mn=-1，
∴m2+n2=（n+m）2-2mn=9+2=11．
故答案为：11．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n
之间关系是解题关键．
10．(本题5分)（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数
（x＞0）的图像经过A和B 两点其中A（2，m），且点B的纵坐标为n，则n＝______．【答案】 -2##-2+
【分析】过A作AC⊥y轴，垂足为C，作BD⊥AC，垂足为D，通过证△AOC≌△ABD可得：OC＝AD＝m，
AC＝BD＝2，即可求得B点的纵坐标．
【详解】解：如图：过A作AC⊥y轴，垂足为C，作BD⊥AC，垂足为D，
∵∠BAO＝90°，
∴∠OAC+∠BAD＝90°，
∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAO，
∵∠D＝∠ACO＝90°，AO＝AB，
∴△ACO≌△DAB（AAS），
∴AD＝CO，BD＝AC，
∵A（2，m），
∴OC＝AD＝m，AC＝BD＝2．
∴点B坐标为
∴
∴解得 （舍去）
∴n＝m﹣2＝ -2，
故答案为： -2．【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，关键是求得BD的长．
三、解答题(共56分)
11．(本题10分)（2022·广西河池·九年级期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数
的图象交于 ， 两点．
(1)求反比例函数的解析式及m的值；
(2)观察图象，直接写出不等式 的解集．
【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】（1）把 代入 中，待定系数法求得反比例函数解析式，进而求得点 的坐标，即
可求得m的值；
（2）根据双曲线与直线的交点即可求解．
（1）
解：把 代入 中，得 ，
∴ ．
反比例函数的解析式为 ．
∵点 在反比例函数的图象上，
∴ ．
（2）不等式 的解集为： 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数结合，待定系数法求解析式，根据交点求不等式的解集，数形
结合是解题的关键．
12．(本题10分)（2022·四川乐山·九年级专题练习）如图，一次函数 的图像与反比例函数
的图像交于点A(4,1)和点B(2,n).
(1)求一次函数和反比例函数解析式；
(2)过点B作 轴于点C，连接OA，求四边形OABC的面积.
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）采用待定系数法．先将点A的坐标代入反比例函数解析式，求出m值，再将点B代入反比
例函数解析式求出n值，然后将A、B点坐标代入一次函数解析数即可．
（2）四边形OABC的面积可由一次函数与坐标轴围成的三角形减去两个小三角形的面积得到，求出一次
函数与坐标轴的交点即可求出面积．
（1）
将点A(4,1)代入 中，
得 ，
故
将点B(2,n)代入 ，得
将A(4,1)，B(2,2)代入 ，得 ，解得
故
（2）
如图所示，易知： ， ；
设 的高为h，则h=1；
S OABC
四边形
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识，解决本题的关键是求得正
确的点的坐标，将四边形OABC放在大三角形中求解面积．
13．(本题12分)（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象
分别交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数y= (k≠0)的图象交于C，D两点，DE⊥x轴于点E，点C的
坐标为(6，−1) ，DE=3．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)若点P在反比例函数图象上，且 POA的面积等于8，求P点的坐标．
△
【答案】(1)反比例函数的关系式为y=- ；一次函数的关系式为y=- x+2；
(2)点P的坐标是（- ，4）或（ ，-4）．
【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点D的坐标，再利用待定系数法求出一次
函数表达式即可求解；
（2）设点P的坐标是（m，n），根据三角形面积公式求得即可．
（1）
解：∵点C（6，-1）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，
∴k=6×（-1）=-6，
∴反比例函数的关系式为y=- ，
∵点D在反比例函数y=- 上，且DE=3，
∴y=3，代入求得：x=-2，
∴点D的坐标为（-2，3）．
∵C、D两点在直线y=ax+b上，则 ，解得 ，
∴一次函数的关系式为y=- x+2；
（2）
解：设点P的坐标是（m，n）．
把y=0代入y=- x+2，解得x=4，
即A（4，0），则OA=4，
∵△POA的面积等于8，
∴ ×OA×|n|=8，
解得：|n|=4，
∴n=4，n=-4，
1 2∴点P的坐标是（- ，4）或（ ，-4）．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确
定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
14．(本题12分)（2022·湖南·张家界市永定区教育研究室九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形
OABC的边OC在x轴上，B(18，6)，反比例函数 的图像经过点A，与OB交于点E．
（1）求菱形OABC的边长；
（2）求出k的值；
（3）求OE：EB的值．
【答案】（1）10；（2）48；（3）2
【分析】（1）过点B作BF⊥x轴于点F，根据勾股定理即可求得菱形的边长；
（2）从而求得A的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求得k；
（3）设 ，过E点作EG⊥x轴于G，则OG=a，EG= ，证得 OGE∽△OFB，根据相似三角形的
△
性质得到 ，解得a=12，进一步得到 ，从而求得 ．
【详解】解:（1）过点B作BF⊥x轴于点F，
由题意可得BF=6，OF=18
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=BC
在Rt△BCF中，62+（18－BC）2=BC2
解得BC=10 ，
∴菱形OABC的边长是10；（2）由（1）可求得点A的坐标是（8，6）
将点A（8，6）代入y＝ ，解得k=48，
（3）设E（a， ），过点E作EG⊥x轴于点G，
根据题意可知OG= ，EG=
由作图可知EG∥BF，
∴△OGE∽△OBF
∴ ，解得a=12，
∴
∴
【点睛】本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理的应用研究三角形相似的判
定和性质，求得E点坐标则解题的关键．
15．(本题12分)（2022·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数图象 与直线
交于点 ．
(1)求k的值，并在平面立角坐标系xOy中描点，画出反比例函数图象G和直线l；(2)已知点 ，过点P作平行于x轴的直线，与图象G交于点B，与直线l交于点C，横、纵坐
标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段AC、BC围成的区域（不含边界）为
W．
①当 时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内的整数点恰好为3个，结合函数图象，直接写出n的取值范围．
【答案】(1) ；图象见详解；
(2)①当 时，区域W内的整点有3个；② 或 ；
【分析】（1）将A点坐标代入函数 求出a的值，再将A点坐标代入函数 ，求出k的值即可；
（2）①根据题目要求画出过P点平行与x轴的图象，根据图象可看出W内的整点有3个；②根据题目要
求画图图像，根据图象分析可看出，如果区域W内的整数点恰好为3个，n的取值范围为： 或
．
（1）
解：将A点坐标代入函数 中得： ，
∴A点坐标为（3,2），
将（3,2）代入函数 中得： ，
解得： ，
故k的值为6，
反比例函数图象G和直线l的图象如下图所示：
（2）
①解：当n=5时，将y=5代入 得： ，
解得： ，
故B点坐标为 ，
同理将y=5代入 中，
解得： ，
C点坐标为 ，
∴如图1所示W区域内的整数点有三个，分别为： ， ， ．
②解：由图1，可知当P点在A点上方时，当 时区域W内的整数点恰好为3个，
由图2可知当在A点下方时，当 时区域W内的整数点恰好为3个，
综上所述，若区域W内的整数点恰好为3个，n的取值范围为： 或 ．【点睛】本题考察了反比例函数与一次函数的交点问题，以及用待定系数法求函数解析式，数形结合思想
是解题的关键．
