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专题 26.15 反比例函数与几何综合专题（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点O，矩形的边
分别平行于坐标轴，点B在函数 （k≠0，x＞0）的图像上，点D的坐标为（﹣3，
1），则k的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形ABCD的边 轴，顶点A在反比例函数 上，点B、D
在反比例函数 上，则矩形ABCD的面积为（ ）
A． B．3 C． D．4
3．如图， 中， ， ，反比例函数 的图像经
过点 ，将 沿着 轴向右平移 个单位，得到 ，反比例函数图像恰
好经过 的中点 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
4．如图是反比例函数y＝ 和y＝ 在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这
1 2
两个函数图象交于A、B两点，点P（﹣5.5，0）在x轴上，则△PAB的面积为（ ）
A．3 B．6 C．8.25 D．16.5
5．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A点的横坐标为1，∠BAD＝45°，反比例
函数y 的图像经过A，B两点，则菱形ABCD的面积是（ ）
A． B． C．2 D．4
6．如图，在平面直角坐标系中，O是 斜边AB的中点，点A、E均在反比例
函数 上，AE延长线交x轴于点D， ， ．则
的面积为（ ）A．18 B．12 C．9 D．24
7．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别相交于点 、 ． ，
，将 沿直线 翻折，点 的对应点 恰好落双曲线 （ 是常数，
）的图像上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点 是 内一点， 与 轴平行， 与 轴平行， ，
， ，若反比例函数 的图像经过 ， 两点，则 的
值是（ ）A． B． C． D．
9．如图，菱形 的四个顶点均在坐标轴上，对角线 交于原点O，
交 于点G，反比例函数 的图象经过线段 的中点E，若
，则 的长为( )
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的对角线 经过原点，点 为 轴上
一点，且 的面积为 ，双曲线 经过矩形的顶点 、 ，连接 ，交双曲线于
点 ，且 ，若 平分 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，把一个等腰直角三角形ACB放在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C(﹣2,0)，点B在反比例函数 的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是________．
12．如图，等腰Rt ABC，∠BAC=90°，AB＝AC，且B（1，0），C（0，2），反比
△
例函数 经过A，则k=___．
13．如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C
＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，则点C的
横坐标为________．
14．如图，反比例函数 的图像经过菱形OABC的顶点C，且与AB交于点
D，若点A的坐标为 ， 的面积为 ，则k的值为______．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的对角线 的中点与坐标原点重合，
点 是 轴上一点，连接 、 ，若 平分 ，反比例函数 的
图象经过 上的点 、 ，且 ， 的面积为12，则 的值为_________．
16．如图，直线 交反比例函数 的图象于点A，交y轴于点B，
将直线 向下平移 个单位后得到直线 ， 交反比例函数 的图象于点C．若
的面积为 ，则k的值为____．
17．平面直角坐标系 中，已知点 是函数图象上的三点.若 ，则k的值为___________．
18．如图，已知 ， ， ，…， 是x轴正半轴上的点，且
，分别过点 ， ， ，…， 作x轴的垂线交反比例
函数 的图像于点 ， ， ，…， ，作 于点 ，作
于点 ，…，依次连接 ， ，…，记 的面积为 ， 的面积为 ，…，
的面积为 ．
（1） ______；
（2） ______．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，反比例函数
的图象经过点A，动直线 与反比例函数的图象交于点 ，与直线
交于点 ．
(1) 求 的值；
(2) 当 时，求 面积．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数 （x＞
0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作
AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．
(1) 求k的值．
(2) 若D为OC中点，求四边形OABC的面积．
21．（10分）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x
轴上， ABC的面积为2．OB=BA，点P（m，1）在反比例函数的图象上，点Q是x轴上
一动点△，若QA+QP最小，求点Q的坐标．22．（10分）如图，已知点 在正比例函数 图像上，过点 作 轴于点
B，四边形ABCD是正方形，点D在反比例函数 图像上．
(1) 若点 的横坐标为－2，求 的值；
(2) 若设正方形ABCD的面积为m，试用含m的代数式表示k值．
23．（10分）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x＋b上，反比例函
数y＝ （x＞0）的图象经过点B．
(1) 求a和k的值；
(2) 将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
① 如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求 的
值；
② 在线段AB运动过程中，连接BC，若 BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满
足条件的m的值． △24．（12分）阅读材料，用配方法求最值．
已知a，b为非负实数，∵ 0，
∴ ，当且仅当“a＝b”时，等号成立．示例：当x＞0时，求 的
最小值；
解： ，当 ，即x＝2时，y的最小值为5．
（1）若m＞0， 的最小值为 ；
（2）探究：当x＞0时，求 的最小值；
（3）如图，已知P为双曲线 （x＜0）上任意一点，过点P作PB⊥x轴，PA⊥y轴
且C（0，﹣4），D（6，0），求四边形ABCD的面积的最小值，并求此时A，B的坐标．参考答案
1．B
【分析】先根据反比例函数的几何意义只要求出矩形OEBF的面积，再根据矩形的性
质可得S OGDH＝S OEBF， S OGDH可通过点D（﹣4，1）转化为线段长而求得，
矩形 矩形 矩形
最后根据反比例函数的所在的象限，确定k的值即可．
解：如图，根据矩形的性质可得：S OGDH＝S OEBF，
矩形 矩形
∵D（﹣3，1），
∴OH＝3，OG＝1，
∴S OGDH＝OH•OG＝3，
矩形
设B（a，b），则OE＝a，OF＝﹣b，
∴S OEBF ＝S OGDH＝OE•OF＝﹣ab＝3，
矩形 矩形
又∵B（a，b）在函数 （k≠0，x＞0）的图像上，
∴k＝ab＝﹣3
故选：B．
【点拨】本题主要考查矩形的性质、反比例函数图像上点的坐标特征等知识点，灵活
地将坐标与线段长进行相互转化是解答本题的关键．
2．A
【分析】设点A坐标（m， ），分别表示B、D的坐标，用坐标表示长和宽，再求
矩形的面积即可．
解：设A点坐标为（m， ），
∵AD x轴，且D在反比例函数 （x＞0）上，∴D（ ， ），
∵AB x轴，且B在反比例函数 （x＞0）上，
∴B（m， ），
∴ ．
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数，通过设点坐标表示矩形的长和宽是解决本题的关键．
3．D
【分析】图形结合分析，反比例函数 过直角三角形点 ，且直角三角形斜
边 已知，经过平移后，与新的直角三角形交于点 ，点 又是斜边的中点，即可找出
点 、 的关系，即可求出答案．
解：根据题意，设 ，由平移可知， ，
∵ 是 的 ，
∴ ，
∵点 、 在反比例函数 上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且由反比例图像可知 ，
∴ ，
故选： ．【点拨】本题考查的是反比例函数与几何的综合运用，结合图形，将反比例函数与几
何图像综合起来，找出交点，根据等量关系列出方程是解题的关键．
4．A
【分析】设点A的坐标为 ，则点B的坐标表示为 ，再以AB为底边
列出三角形面积计算式，可以消去未知数 ，即可求解．
解：设点A的坐标为 ，
∵x轴的平行线AB分别与这两个函数图象交于A、B两点，
∴点B的纵坐标也为 ，代入y 中，
2
所以点B的坐标为 ，
∴在△PAB中，底边AB长为： ，高为 ，
∴△PAB的面积 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数的知识，解题的关键是懂得合理设未知数，利用条件
列出计算式再消去未知数．
5．A
【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，先根据反比例函数解析式求出A的坐标，设
菱形的边长为a，易证∠BAD＝∠ABH＝45°，即AH＝BH a，则点B（1 a，2a），再求出AH，最后根据菱形的面积公式计算即可．
解：作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵反比例函数y 的图像经过A，B两点，A点的横坐标为1，
∴A（1，2），
设菱形的边长为a，
∵AD BC，
∴∠BAD＝∠ABH＝45°，
∴AH＝BH a，
∴B（1 a，2 a），
∴（1 a）•（2 a）＝2，
∴a ，a＝0（舍去），
1 2
∴AH 1，
∴菱形ABCD的面积＝BC×AH ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，掌握反比例函数的性质和菱形的
性质是解答本题的关键．
6．A
【分析】连接OE、OC，过点E作EF⊥OD于点F，过点A作AG⊥OD于点G，根据．可得 ， ，再根据反比函数比例系数的几何意义可
得 ，从而得到OF=2OG，进而得到 ，可得到
，再证明OC∥AD，即可求解．
解：如图，连接OE、OC，过点E作EF⊥OD于点F，过点A作AG⊥OD于点G，
∵ ．
∴点E的横纵坐标等于点A、D的横纵坐标之和的一半，
∴ ， ，
∵点A、E均在反比例函数 上，
∴ ，即 ，
∴OF=2OG，
∴OD=3OG，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵O是 斜边AB的中点，
∴OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠BAD=2∠ABC，
∴∠AOC=∠BAD，
∴OC∥AD，
∴ ．
故选：A
【点拨】本题考查反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，平行线的判断
和性质，直角三角形斜边中线的性质，等高模型等知识，解题的关键是证明OC∥AD，利用
等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．B
【分析】过点C作CD⊥x轴，根据折叠的性质可得∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=4，
∠ACB=AOB=90°，用含30°直角三角形的性质和勾股定理求出AD和CD的长，进而得到
OD的长，即可得到点C的坐标，即可得出k的值．
解：如图，过点C作CD⊥x轴，
∵将 ABO沿直线AB翻折，
∴∠C△AB=∠OAB=30°，AC=AO=4，∠ACB=AOB=90°，
∴∠CAD＝60°，
∴AD＝ ，
∴CD＝ ，OD＝2，
∴C（－2， ），
∵点C恰好落在双曲线 (k≠0)上，
∴ ．故选：B．
【点拨】本题主要考查了翻折的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，反比例
函数的解析式的求法，理解翻折的性质，求出点C的坐标是解答本题的关键．
8．C
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，可证明 COE≌△ABE
△
（AAS），则OE=BD= ；由S BDC= •BD•CF= 可得CF=9，由∠BDC=120°，可
△
知∠CDF=60°，所以DF=3 ，所以点D的纵坐标为4 ；设C（m， ），D（m+9，4
），则k= m=4 （m+9），求出m的值即可求出k的值．
解：过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB OC，AB=OC，
∴∠COE=∠ABD，
∵BD y轴，
∴∠ADB=90°，
∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE=BD= ，
∵S BDC= •BD•CF= ，
△
∴CF=9，
∵∠BDC=120°，∴∠CDF=60°，
∴DF=3 ．
∴点D的纵坐标为4 ，
设C（m， ），D（m+9，4 ），
∵反比例函数y= （x＜0）的图像经过C、D两点，
∴k= m=4 （m+9），
∴m=-12，
∴k=-12 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查反比例函数与几何的综合问题，坐标与图形，全等三角形的判
定与性质，设出关键点的坐标，并根据几何关系消去参数的值是本题解题关键．
9．B
【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，证明四边形MENO是矩形，设E（b，
a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得 ，进而可计算出CO长，利用等边
三角形的性质可得 ，然后利用勾股定理计算出DG长，进而可得AG长．
解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），
∵反比例函数 （x＞0）经过点E，∴ ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO= BD=4，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴ ， ，
∵E为CD的中点， 轴， 连接OE，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是菱形，
为等边三角形，而
∴
∴DG=AG， 设DG=r，则AG=r，
在Rt△DOG中，DG2=GO2+DO2，
∴ ，
解得： ，
∴AG= ．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了反比例函数和菱形的综合运用，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的运算，关键是掌握菱形的性质：菱形对角线互相垂直平分，
且平分每一组对角，反比例函数图象上的点横纵坐标之积=k．
10．C
【分析】连接 ，先由 平分 得 ，由矩形 的性质得到
，从而得到 ，故而AE//BD，再由平行线的性质得到
和 的面积相等，然后设点 的坐标，结合 得到点 和点 的坐标，最后结
合 的面积求出 的值．
解：连接 ，
∵矩形 的对角线 经过原点 ，双曲线 经过矩形的顶点 、 ，
∴点 是矩形 对角线 与 的交点，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 平分
∴ ，
∴ ，
∴AE//BD，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．【点拨】本题考查了矩形的性质，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，反比例
函数图像上点的坐标特征，角平分线的性质等知识．解题的关键是通过平行线的判定和性
质得到 和 的面积相等．
11．
【分析】过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE=OC，连接CE，由等腰直角三角形
的性质可求∠CEO=45°，CE=2 ，由角平分线的性质和外角的性质可得
∠ECA=∠OAC=22.5°，可证CE=AE=2 ，由“AAS”可证 OAC≌△DCB，可得
△
AO=CD=2+2 ，OC=BD=2，可得点B坐标，即可求解．
解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE=OC，连接CE，
∵点C(-2,0)，
∴CO=2，
∴CO=EO=2，
∴∠CEO=45°，CE=2 ，
∵△BAC为等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
∴BC=AC，∠OCA+∠DCB=90°，∠CAB=45°，∵∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
在 OAC和 DCB中
△ △
，
∴△OAC≌△DCB(AAS)，
∴AO=CD，OC=BD=2，
∵y轴平分∠BAC，
∴∠CAO=22.5°，
∵∠CEO=∠CEA+∠OAC=45°，
∴∠ECA=∠OAC=22.5°，
∴CE=AE=2 ，
∴AO=2+2 =CD，
∴DO=2 ，
∴点B坐标为(2 ,-2)，
∵点B在反比例函数y= 的图象上，
∴k=(-2)×2 =-4 ，
故答案为：-4 ．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标性质以及全等三角形的判定与性质，
求得B的坐标是解题关键．
12． ## ##2.25
【分析】过点A作 轴于点 ，过点 作 于点 ，易证
，设 ，根据全等三角形的性质即可求出点 坐标，进一步求 即
可．解：过点A作 轴于点 ，过点 作 于点 ，如图所示：
则有 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
设 ，
， ，
， ，
，
解得 ，
， ，
， ，
将点 坐标代入反比例函数解析式，可得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定
和性质，构造全等三角形是解题的关键．13． ##
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，设OE=m，则点A（m，
m），点B（2m，0），再利用点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，求出m，点B
的坐标；又设BF=n，，则点C（2m+n，n），再利用点C在反比例函数y＝ （x＞0）的
图象，求出n，点C的坐标．
解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OE=AE=BE，
设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），
∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴ ，
解得： (舍去) ，
∴点B（2，0），
同理∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BF=CF，
设BF=n，则点C（2+n，n）．
∵点C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴ ，解得： (舍去)，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，灵活运用等腰直
角三角形的性质是解题的关键．
14．4
【分析】根据题意设出点C的坐标，根据菱形的性质和△OCD的面积为 ，可以得
到关于点C的坐标有关的方程，可以得到点C的坐标，即可计算k．
解：由题意可得 ，
设点C的坐标为 ，
∴ ，
∴ 即 ，
∵点A的坐标为 ，菱形OABC,
∴OC=OA
∴ 即 ，
解得： (a＞0），
∴ ，
故答案为：4
【点拨】本题考查反比例函数的性质、菱形的性质，解题的关键是明确题意，找出所
求问题需要的条件．
15．-8
【分析】连接BD，先由AD平分∠EAO得∠DAE=∠OAD，由矩形ABCD的性质得到
∠OAD=∠ODA，从而得到∠EAD=∠ADO，故而AE∥BD，再由平行线的性质得到 ABE和
AOE的面积相等，然后设点A的坐标，结合AF=EF得到点F和点E的坐标，最△后结合
△AOE的面积求出k的取值．
△ 解：连接BD，则OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠EAO，
∴∠EAD=∠OAD，
∴∠EAD=∠ADO，
∴AE∥BD，
∴S AEB=S AEO=12，
△ △
设A（a， ），
∵AF=EF，
∴F（2a， ），E（3a，0），
∴S AEO= ×（-3a）× =12，
△
∴k=-8，
故答案为：-8．
【点拨】本题考查了矩形的性质、平行线的性质和判定、反比例函数图象上点的坐标
特征，解题的关键是通过平行线的判定和性质得到△ABE和△AEO的面积相等．
16．6
【分析】 向下平移 个单位后得到直线 ，可得到 的函数表达式，将点A和点C的
坐标分别表示出来．过点A和点C分别作y轴得垂线，与y轴交于点P和点Q，则
，即可求出点A的坐标，最后将点A的坐标代入反比例函数
的表达式，求出k即可．解：∵ 向下平移 个单位后得到直线
∴直线
把x=0代入 得；y=
∴B(0， )
令点A的横坐标为m，则A（m， ）
令点B的横坐标为n，则B（n， ）
AP=m，CQ=n，PQ= -（ ）=
PB= = ，BQ=
=
=
=
=
∵ 的面积为
∴ =解得m=
∴A（ ，4）
把A（ ，4）代入
解得：k=6
故答案为：6
【点拨】本题主要考查了与一次函数和反比例函数相关的几何面积问题，用割补法将
三角形的面积表示出来以及引入参数表示未知点的坐标是解题的关键．
17． ##0.75
【分析】由点A、B、C的坐标可知 ，m＝n，点B、C关于原点对称，求出
直线BC的解析式，不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，根据
列式求出 ，进而可得k的值．
解：∵点 是函数 图象上的三点，
∴ ， ，
∴m＝n，
∴ ， ，
∴点B、C关于原点对称，
∴设直线BC的解析式为 ，
代入 得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，
把x＝m代入 得： ，∴D（m， ），
∴AD＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而当m＜0时，同样可得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合，中心对称的性质，待定系数法求函数解
析式，熟练掌握反比例函数的图象和性质，学会利用数形结合的数学思想解答是解题的关
键．
18． ##0.25
【分析】由已知可知，设 由于点
都在反比例函数 的图像上，可以得到
即可得出得到 和
即可求出．解：∵
设
又∵点 都在反比例函数 的图像上，
∴
∴
∴
，
故答案为: ； .
【点拨】本题主要考查的知识点是反比例函数的综合应用，同时也考查了学生对数字
规律问题的分析归纳的能力．解答此题的关键是先确定点 的坐标，计算出三
角形的面积，根据计算的面积找到数字之间的规律．
19．(1) ；(2) ．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，即可求k；
（2）利用先用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求出MN的长度，再利用公式
求面积即可．（1）解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴将A点坐标代入 得： ，
解得 ；
（2）∵
∴反比例函数解析式为： ．
设直线 的解析式为 ，
把点 ， 代入得
解得
∴直线 的解析式为 ，
∴在 中，当 时， ，
∴ ，
在 中，当 时， ，
，
，
， ，
．
【点拨】本题考查待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，三角形面积公式，掌
握待定系数法和三角形面积算法是解题的关键．
20．(1)8(2)10
【分析】（1）将点A的坐标（2，4）代入 ，可得结果；（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积
公式可得结果．
（1）解：将点A的坐标（2，4）代入 ，
可得k＝xy＝2×4＝8，
∴k的值为8；
（2）∵k的值为8，
∴函数 的解析式为 ，
∵点A的坐标为（2，4），
∴AD＝4，OD＝2，
∵D为OC中点，
∴OC＝2OD，
∴OC＝4，
∴CD＝OD＝2，
∴点B的横坐标为4，
将x＝4代入 ，得 ，
∴点B的坐标为（4，2），
∴BC＝2,
∴ ＝ ×2×4＋ ×(2＋4)×2＝10．
∴四边形OABC的面积是10．
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想是解答
此题的关键．
21．点Q的坐标为
【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等，所以 AOB的面积＝ ABC的面积＝
△ △
2，然后根据反比例函数 中k的几何意义，知 AOB的面积＝ |k|，从而确定k的值，
△
求出反比例函数的解析式，作点P关于x轴的对称点P′，连接AP′与x轴交于点Q，此时
QA＋QP最小，由点A、P′的坐标，利用待定系数法可求出直线AP′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点Q的坐标．
解：连接OA，
∵△AOB的面积＝△ABC的面积＝3，△AOB的面积＝ |k|，
∴ |k|＝2，
∴k＝±4；
又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，
∴k＞0．
∴k＝4．
∴这个反比例函数的解析式为 ，
∵OB＝BA，
∴设A（a，a），
∵反比例函数 经过点A，
∴a2＝4，
∴a＝2，
∴A（2，2），
把y＝1代入 得，x＝4，
∴P（4，1）．
作点P关于x轴的对称点P′（4，−1），连接AP′与x轴交于点Q，此时QA＋QP最小，设过A，P′的直线表达式为y＝mx＋n，
∴ ，解得 ，
∴过A，P′的直线表达式为 ．
由 ，得 ．
∴点Q的坐标为 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，一次函
数图象上点的坐标特征，注意利用两点之间线段最短，确定点Q的位置．
22．(1) (2)
【分析】（1）先求出 的横坐标，就可以得到 的坐标，即可求 的值；
（2）由正方形 的面积为 ，求出边长为 ，再表示出 和 的纵坐标为 ，
进而求出 的坐标，代入反比例函数 即可．
（1）解： 当 时， ，
的坐标为 ，
， ，
的坐标为 ，
点 在反比例函数 图象上，，
；
（2）解： 正方形 的面积为 ，
，
和 的纵坐标为 ，
的坐标为 ， ，
，
的坐标为 ， ，
代入 得
．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握
利用正方形的边长相等来表示出各个点坐标．
23．(1)a＝4，k＝8(2)① ；②4或5
【分析】（1）先将点A坐标代入直线AB的解析式中，求出a，进而求出点B坐标，
再将点B坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论；
（2）①先确定出点D(5，4)，进而求出点E坐标，进而求出DE，EF，即可得出结论；
②先表示出点C，D坐标，再分两种情况：Ⅰ、当BC=CD时，判断出点B在AC的垂
直平分线上，即可得出结论；
Ⅱ、当BC=BD时，先表示出BC，用BC=BD建立方程求解即可得出结论．
（1）解：∵点A(0，8)在直线y＝﹣2x＋b上，
∴﹣2×0＋b＝8，
∴b＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x＋8，
将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x＋8中，得﹣2×2＋8＝a，
∴a＝4，
∴B(2，4)，将B(2，4)代入反比例函数解析式y＝ (x＞0)中，得k＝xy＝2×4＝8；
（2）解：①由（1）知，B(2，4)，k＝8，
∴反比例函数解析式为y＝ ，
当m＝3时，
∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D(2＋3，4)，
即：D(5，4)，
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝ 的图象于点E，
∴E(5， )，
∴DE＝4﹣ ＝ ，EF＝ ，
∴ ＝ ＝ ；
②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD，
∴CD＝AB，AC＝BD＝m，
∵A(0，8)，B(2，4)，
∴C(m，8)，D(m＋2，4)，
∵△BCD是以BC为腰的等腰三角形，
∴Ⅰ、当BC＝CD时，
∴BC＝AB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴m＝2×2＝4，
Ⅱ、当BC＝BD时，
∵B(2，4)，C(m，8)，
∴BC＝ ，
∴ ＝m，∴m＝5，
即： BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5．
△
【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角
形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
24．（1） ；（2）5；（3）最小值为21，A(0，2)，B(－3，0)
【分析】（1）由阅读材料即可求得最小值；
（2）变形得： ，则由阅读材料可求得最小值；
（3）设 ，其中x<0，则可把四边形ABCD的面积用x的代数式表示出来，然
后可用阅读材料中的求最小值的方法求得最小值，同时求得两点的坐标．
解：（1）
当 ，即 时， 有最小值 ；
故答案为： ；
（2）∵
∴当 ，即x=1时， 的最小值为5；
（3）设 ，其中x<0∵PB⊥x轴，PA⊥y轴
∴OB=-x，
∵C（0，﹣4），D（6，0）
∴ ，OC=4
∴
当 ，即 时， 有最小值21
此时点P的坐标为(－3，2)
所以点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(-3，0)
【点拨】本题是一则材料题，根据提供的材料来解答，考查了配方法的应用，反比例
函数的图象与性质，求图形的面积，关键是读懂题目提供的材料，并能灵活运用．
