文档内容
专题03 实际问题与反比例函数重难点题型专训（7大题型）
【题型目录】
题型一 销售问题
题型二 行程问题
题型三 物理问题
题型四 几何图形问题
题型五 工程问题
题型六 表格问题
题型七 反比例函数实际综合问题
【经典例题一 销售问题】
1．（2023·安徽合肥·合肥市庐阳中学统考三模）由于机器设备老化，某工厂去年1月份开始对部分生产设
备进行技术升级，边升级边生产．去年1-10月其利润 （万元）与月份 之间的变化如图所示，设备技术
升级完成前是反比例函数图象的一部分，设备技术升级完成后是一次函数图象的一部分，下列说法正确的
是（ ）
A．由图象可知设备技术升级完成前的五个月处于亏损状态，升级后开始盈利
B．由图象可知设备技术升级完成前后共有6个月的利润超过100万元
C．由图象可知设备技术升级完成后每月利润比前一月增加30万元
D．由图象可知设备技术升级完成后最大利润超过200万元/月
【答案】C
【分析】根据该图象因变量代表的意义即可判断A；求出反比函数的表达式，结合图象即可判断B，求出
5月份的利润，即可判断C；求出一次函数的表达式，再求出10月份的利润，即可判断D．
【详解】解：A：由图象可知设备技术升级完成前的五个月利润逐渐下降，升级后利润开始增加；故A不
正确，不符合题意；
B、设该反比例函数的表达式为 ，将点 代入得： ，
∴设该反比例函数的表达式为 ，
把 代入得： ，
∵y随x的增大而减小，
∴设备技术升级完成前有1个月的利润超过100万元，
由图可知，设备技术升级完成后，y随x的增大而增大，
∴设备技术升级完成后有3个月的利润超过100万元，
综上：设备技术升级完成前后，一共有4个月的利润超过100万元；
故B不正确，不符合题意；
C、把 代入 得： ，
∴反比例函数图象经过点 ，
∴设备技术升级完成后每月利润比前一月增加 （万元），
故C正确，符合题意；
D、设设备技术升级完成后的表达式为 ，
把 ， 代入得：
，解得： ，
∴ ，
∴y随x的增大而增大，
当 时，y取最大值，此时 ，
故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，解题的关键是正确理解函数图象，掌握用待
定系数法求解函数表达式的方法．
2．（2023·山东临沂·统考二模）为了环保，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，如图描述
的是月利润 （万元）关于月份 之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法：①5月份该厂的月利润最低；②治污改造完成后，每月
利润比前一个月增加30万元；③该厂8月份的月利润与2月份相同；④治污改造前后，共有6个月的月利
润不超过120万元．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，进而分别分析得出答案．
【详解】解：由函数图象可得，5月份该厂的月利润最低为60万，故①正确，符合题意；
治污改造完成后，从5月到7月，利润从60万到120万，故每月利润比前一个月增加30万元，故②正确，
符合题意；
设反比例函数解析式为： ，代入 得 ，
故 ，
当 ，
解得： ，
则只有3月，4月，5月，6月，7月共5个月的利润不超过120万元，故此④错误，不符合题意．
设一次函数解析式为： ，
则 ，
解得 ，
故一次函数解析式为： ，
把 代入 ，
解得 ，则治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到150万，
把 代入 ，
得 ，
故该厂8月份的月利润与2月份相同，此选项③正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．
3．（2022下·浙江·八年级阶段练习）根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示，售价
是销量的反比例函数（统计数据见下表）．已知该运动鞋的进价为 元/双，要使该款运动鞋每天的销售
利润达到 元，则其售价应定为 元．
售价x（元/双） 200 250 300 400
销售量y（双） 30 24 20 15
【答案】300
【分析】由表中数据可得销量与售价之间的函数解析式，根据题意有 ，将解析式代入解分
式方程即可求解．
【详解】由表中数据得 ，
∴ ，则销量与售价之间的函数解析式为 ．
由题意，得 ，把 代入，得 ，
解得 ，
经检验 是原方程的根．
∴售价应定为300元．
故答案为：300．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，分式方程的实际应用．理解题意，掌握利润=(售价-成本)×销售
量是解答本题的关键．
4．（2020上·江苏南通·九年级统考期中）调查显示，某商场一款运动鞋的售价是销量的反比例函数（调查
获得的部分数据如下表）．
售价 （元/双）
销售量 （双）
已知该运动鞋的进价为 元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到 元，则其售价应定为元．
【答案】300
【分析】先利用待定系数法求出 ，再根据“利润 （售价 进价） 销量”建立方程，然后解方程
即可得．
【详解】由题意，设 ，
将 代入得： ，解得 ，
则 ，
设要使该款运动鞋每天的销售利润达到 元，其售价应定为 元，
则 ，
整理得： ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，
故答案为：300．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式、分式方程的应用，正确求出售价与销量之间
的反比例函数关系式是解题关键．
5．（2023上·江苏南通·九年级统考期中）柚子含有极为丰富的维生素，胡萝卜素，钙、钾、铁等微量元素，
可以预防血栓、糖尿病．某超市从果农处进购柚子的成本价为3元千克，在销售过程中发现，每天的销售
量y（千克）与销售单价x（元千克）之间的关系如图所示，其中 为反比例函数图象的一部分， 为
一次函数图象的一部分．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)
(2)当销售单价为10元时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）利用待定系数法分段求出反比例函数和一次函数解析式合起来即可求出整个函数解析式；
（2）设利润为w元，分段表示出利润的表达式，求出各段的利润最大值进行比较即可．
【详解】（1）解：当 时，设y与x的函数关系式为 ，
把 带入 中得： ，
∴ ；
当 时，设y与x的函数关系式为 ，
把 代入 中得 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， ；
（2）解：设利润为w元，
当 时， ，
∵函数 中，当 时，y随x增大而减小，
∴当 最大时， 最小，即 最大，
∴当 时， ；当 时，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 ，w有最大值980；
∵ ，
∴当销售单价为10元时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查了分段函数的实际应用，是反比例和一次函数的综合题，求出分段函数解析式是做出本
题的关键．
6．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每
月售价 与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示．
时间x/月份 2 3 4 5
1
售价 /（元/千克） 8 6
2
甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式 ；乙种水果每月售价 与月份x
之间满足 ，对应的图象如图所示．乙种水果进价为 元/千克，平均每月销售160千克．(1)求 与x之间的函数关系式；
(2)求 与x之间的函数关系式；
(3)若水果店销售水果时需要缴纳 元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最
大，最大利润是多少？
【答案】(1) 为整数）
(2) ，且x为整数）
(3)水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元
【分析】（1）根据表中数据，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据图象用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据总利润等于甲乙两种水果利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设 与x之间的函数关系式为 ，
把 代入解析式，则 ，
解得 ，
∴ 与x之间的函数关系式为 为整数）；
（2）解：把 代入 ，得：
，解得 ，
∴ 与x之间的函数关系式为 ，且x为整数）；
（3）解：设甲乙两种水果获得的总利润为w，则
，
=，
对称轴为直线 ．
∵ ，
∴当 时，w随x的增大而减小．
∵x为整数，
∴当 时，w有最大值，最大值 （元），
答：水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元．
【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
【经典例题二 行程问题】
1．（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个
点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同
学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可．
【详解】解；∵甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，
∴设这个反比例函数表达式为 ，
若甲 ，乙 ，丙 ，丁 ，
过乙点作y轴平行线交反比例函数于点 ，过丁点作y轴平行线交反比例函数于点 ，如图所示，∵ 、 、 、 在反比例函数图象上，
∴ ，
由图可知， ， ，
∴ ， ，
由题意可知，训练中跑的路程为： ，
∴甲和丙训练跑的路程相等，乙训练跑的路程小于甲和丙训练跑的路程，丁训练跑的路程大于甲和丙训练
跑的路程，
∴丁训练跑的路程最多，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用，理解题意，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题
的关键．
2．（2023·北京西城·统考二模）下面的三个问题中都有两个变量：
①京沪铁路全程为 ，某次列车的平均速度y(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间x(单位：h)；
②已知北京市的总面积为 ，人均占有面积y(单位： /人)与全市总人口x(单位：人)；
③某油箱容量是 的汽车，加满汽油后开了 时，油箱中汽油大约消耗了 ．油箱中的剩油量
与加满汽油后汽车行驶的路程 ．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】分别求出三个问题中变量 与变量 之间的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：①由平均速度等于路程除以时间得： ，符合题意；
②由人均面积等于总面积除以总人口得： ，即 ，符合题意；
③由加满汽油后开了 时，油箱中汽油大约消耗了 ，可知每公里油耗为： ，再
由油箱中的剩油量等于油箱容量减去耗油量，耗油量等于每公里油耗乘以加满汽油后汽车行驶的路程得：
，不符合题意；
综上分析可知，变量 y与变量x之间的函数关系可以用该图象表示的是①②．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的识别，正确列出三个问题中的函数关系式是解题的
关键．
3．（2023下·北京通州·九年级统考开学考试）王伟家长将轿车油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S
（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之问是反比例函数关系 （k是常数， ）．已
知某某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油 升的速度行驶，可行驶400千米，当平均耗油量
为每千米 升时，该轿车可以行驶 千米．
【答案】500
【分析】根据“以平均耗油量为每千米耗油 升的速度行驶，可行驶400千米”再利用反比例函数图象上
的坐标特征即可求出k值，再代入 求出S即可得出结论．
【详解】解：∵以平均耗油量为每千米耗油 升的速度行驶，可行驶400千米，
∴ ，
解得： ，
∴当平均耗油量为 升/千米时，该轿车可以行驶的路程 (千米)．
故答案为：500．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的相关知识是解答本题的关键．
4．（2023上·河南信阳·九年级统考期末）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系 ，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为 和 ．若行驶速度
不得超过60km/h，则汽车通过该路段最少需要 h？
【答案】
【分析】将点A 代入 可得k，求出 时的t值，汽车所用时间应大于等于这个值．
【详解】解：由题意得，函数经过点
把 代入 ，得
函数解析式为 ，
∴
把 代入 ，得 ，
汽车通过该路段最少需要 小时．
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的
关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
5．（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区
A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．
(1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式．(2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁
荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平
均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至
少还需加多少油？
【答案】(1)
(2)不加油不能到达洞头D处，还需加油 升以上
【分析】（1）利用公式：路程 总容积 平均耗油量，即可得的函数关系式；
（2）求出到达温州市区A处所需油量与从A处到达洞头D处所需油量之和，再和55升比较即可．
【详解】（1）解：根据题意得： ；
（2）从杭州到温州 A 处，一共耗油 升，
从 处：
，
一共耗油 升，
∴不加油不能到达洞头D处，还需： 升
答：不加油不能到达洞头D处，还需加油 5升 以上．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解平均耗油量与行驶路程的关系．
6．（2022上·重庆南岸·九年级统考期末）一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60km/h的平均速度行驶4h
到达目的地，并按照原路返回甲地．
(1)返回过程中，汽车行驶的平均速度v与行驶的时间t有怎样的函数关系？
(2)如果要在3h返回甲地，求该司机返程的平均速度；(3)如图，是返程行驶的路程s（km）与时间t（h）之间的函数图象，中途休息了30分钟，休息后以平均速
度为85km/h的速度回到甲地．求该司机返程所用的总时间．
【答案】(1)
(2)
(3)3.5小时
【分析】（1）根据题意求得总路程为 ，根据时间等于路程除以速度列出函数关系式即可；
（2）根据速度等于路程除以时间即可求解；
（3）根据函数图像可知前1.5小时行驶70km，剩余路程除以速度即可求得时间，进而求得总时间
【详解】（1）解：∵一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60km/h的平均速度行驶4h到达目的地，
∴甲地到乙地的路程为
（2）
（3）
总时间为：
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键．
【经典例题三 物理问题】
1．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电
阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流 与电阻 的关系图象，该图象经过点
．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）A．当 时，
B． 与 的函数关系式是
C．当 时， 的取值范围是
D．当 时，
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的
性质逐项分析即可得到结论．由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
【详解】解：设I与R的函数关系式是 ，
∵该图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴I与R的函数关系式是 ，故选项B不符合题意；
当 时， ，当 时， ，
∵反比例函数 I随R的增大而减小，
当 时， ，当 时， ，故选项A，D不符合题意；
∵ 时， ，当 时， ，
∴当 时，I的取值范围是 ，故C符合题意．
故选：C．
2．（2023下·河南洛阳·八年级统考期末）在地球引力作用下，大量气体聚集在地球周围，形成数千公里的
大气层，大气层是地球生物赖以生存必不可少的条件，大气层由于重力作用形成了大气压．海拔高度不同，
大气压强也不同，如图是大气压强 随海拔高度 变化的关系图象，观察图象可知，下列说法
正确的是（ ）A．大气压强 与海拔高度 成反比例函数关系
B．随着海拔高度的增大，大气压强也随之增大
C．海拔高度为 时，大气压强约为
D．海拔高度为 时，大气压强为
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义即可判断A；根据图象的变化趋势即可判断B；根据表格数据即可判断
C；根据图象趋势即可判断D．
【详解】解：A、根据图象可知图象经过 ， ， ， ， ，
，横坐标与纵坐标的积不相等，所以结论错误，故此选项不符合题意；
B、根据图象可以看出，随着海拔高度的增大，大气压强也随之减小，所以结论错误，故此选项不符合题
意；
C、根据图象可以看出，当 时，大气压强 ，所以结论正确，故此选项符合题意；
D、根据图象可以看出， ， ，所以结论错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键
是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
3．（2023·山西晋城·统考一模）如表记录了一组物理试验数据，已知当温度不变时，气球内气体的压强
（单位： ）是气体体积 （单位： ）的函数，则 与 的函数关系式是 ．
（单位： ）
（单位：
）【答案】
【分析】观察表格发现 ，从而确定两个变量之间的关系即可．
【详解】解：观察发现： ，
故 与 的函数关系式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够观察表格并发现两个变量的乘积为常数 ，难
度不大．
4．（2023·广东广州·统考一模）物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积
S成反比例函数关系，则下表中压强 与 的大小关系为： ．（填“ ”，“ ”或“
”）
【答案】＞
【分析】根据表格数据求得反比例函数解析式，根据反比例数的性质即可求解．
【详解】解：∵压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，设 ，
依题意 ，
∴反比例数解析式为： ， ，
∴ 随 的增大而减小，
∵ ，
∴ ，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5．（2023下·河南鹤壁·八年级统考期末）周末，小明与同学一行人去户外露营，在淇河湿地公园上遇到一
片十几米宽的湿地，为了节省时间，并安全通过，他们根据所学物理知识——当压力不变时，压强与受力
面积成反比例函数关系，在湿地上用一些大小不同的木板铺设了一条临时通道，已知木板所受压力不变时，木板对湿地的压强 与木板面积 的对应值如下表．
木板面积 1 1．5 2 2．5 3 4
木板对湿地的压强 600 400 300 240 200 150
(1)求反比例函数的表达式及自变量S的取值范围；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图
象；
(3)当木板面积为 时，压强是________ ；
(4)结合图形，如果要求压强不超过4000Pa，木板的面积至少要多大？
【答案】(1) ．
(2)见解析；
(3)3000；
(4) ．
【分析】（1）设P与S之间的反比例函数关系式为 ，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先描点，再连线画出对应的函数图象即可；
（3）把 代入（1）所求关系式中进行求解即可；
（4）把 代入代入（1）所求关系式中进行求解即可．
【详解】（1）解：由表可知：P与S之间为反比例函数，
设P与S之间的反比例函数关系式为 ，将 代入得 ，解得 ，
∴P与S之间的反比例函数关系式为 ；
（2）解：画出函数图象如图所示：
（3）解：当 时， ，
故答案为：3000；
（4）解：当 时， ，
由函数图象可知，P随S增大而减小，
∴当压强不超过 时，木板面积至少 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
6．（2023·江苏盐城·校考三模）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日 （星期四），
在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数
关系的数学活动”．
第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6V不变．
第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．
第三步，我们根据物理知识P＝UI，通过测量电路中的电流计算电功率．
第四步，计算收集数据如下：R/Ω … 2 4 6 8 10 …
P/W … 18 9 6 4.5 3 …
第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以
表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，
实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 ；（单选）
A．数形结合B．类比思想C．分类讨论D．方程思想
(2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式；
(3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
(4)请直接写出：若P大于10W，R的取值范围为．
【答案】(1)B
(2)
(3)图见详解
(4)
【分析】（1）通过类比思想发现各数据之间的对应关系；
（2）根据 与 的积是定值发现有问题的一组数据；
（3）将描出的点用光滑的曲线连接即可；
（4）根据 计算出 的取值范围．【详解】（1）通过类比思想发现数据之间的关系正确与否．故选： ．
（2）通过前四组数据发现： 与 的积都是36定值，发现最后一组有问题；
与 关系式是： ，
（3）图象如图：
（4）当 时，即 ，解得 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的具体应用，理解题意是这类题目的突破口．
【经典例题四 几何图形问题】
1．（2023上·湖北随州·九年级校考阶段练习）如图，已知四边形 是矩形，边 在x轴上，边
在y轴上，双曲线 过 的中点E，且与边 交于点D，若 的面积为 ，则k的值是
（ ）
A．5 B．10 C．15 D．
【答案】B【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，设点E坐标为 ，B点的坐标为 ，则点D的坐
标为 ，根据面积公式代入坐标列出方程解出k值即可，熟知利用数形结合思想，表示出相关点的
坐标，是解题的关键．
【详解】解：设点E坐标为 ，
∵E是 的中点，
∴B点的坐标为 ，
则点D的坐标为 ，
的面积为 ，
，
∴ ，
，
解得： ．
故选：B．
2．（2023上·吉林长春·九年级长春市第八十七中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的
顶点A，反比例函数 的图象经过顶点D，与对角线 ，边 交于点E，F，连接 ，
点E为 的中点， 的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C
【分析】首先设 ，表示出 ，再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由
，转化为 ，列出等式即可求得．
【详解】解：设 ，
∵矩形 ，
∴ ，
∵矩形 ，E为 的中点，
则E也为 的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为 ，
∵点E在反比例函数 上，
∴ ，
∵E为 的中点，
∴点 ，
∴点 ，
∵ 的面积为2， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
3．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）把一块含 角的三角板 按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中 角的顶点 在 轴上，斜边 与 轴的夹角 ，若 ，当点 同时落
在一个反比例函数 图像上时， ．
【答案】
【分析】题考查反比例函数求 ，涉及反比例函数图像与性质、含 的直角三角形性质、勾股定理等知
识，过 作 轴，过 作 轴，如图所示，表示出 和 ，利用反比例函数图
像与性质列方程求解得到 ，代入 即可得到答案，数形结合，求出反比例函数图像上点
的坐标是解决问题的关键．
【详解】解：过 作 轴，过 作 轴，如图所示：
在 中， ， ，则 ，
在 中， ，则 ， ，
， ，
，
在 中， ， ，则 ， ，设 ，则 ，则 ，解得 ，
，
点 落在一个反比例函数 图像上，
．
4．（2023上·四川成都·九年级校联考期中）如图，点A在反比例函数 的图象上，直线 交反比例
函数另一支图象于点B，过A、B两点分别作 轴于M， 轴于N，连接 ，则四边形
面积为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，设点 ，根据反比例函数的对称性质，求得
点 ，则可得到 ，利用三角形面积公式，即可解答，利用数形结合的思想是解
题的关键．
【详解】解：设点 ，根据反比例函数的对称性质，求得点 ，
可得到 ，
四边形 面积为 ，故答案为：9．
5．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象
和 都在第一象限内， 轴，且 ，点 的坐标为 ．
(1)若反比例函数 的图象经过点 ，求此反比例函数的解析式；
(2)若将 向下平移 个单位长度， 两点的对应点恰好同时落在反比例函数 图象上，
求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，等腰三角形的性质；
（1）根据已知求出 与 点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）表示出相应的平移后 与 坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解．
【详解】（1）过 作 于 ，
， ，点 ．
， ，，
∵ ，
∴
，
若反比例函数 的图象经过点 ，则 ，解得， ，
反比例函数的解析式为 ；
（2） 点 ，
将 向下平移 个单位长度，
，
两点同时落在反比例函数图象上，
，
．
6．（2023上·湖北襄阳·九年级校考期中）如图， ， 关于原点对称， 为反比例函数 图象上异于
的一个点．过 作 垂直于 轴于点 ．
(1)若 的坐标为 ，则 的坐标为______；
(2)若 的面积为 ，则 的值为______；
(3)在（ ）的条件下，若 的纵坐标为 ，求 的面积．
【答案】(1) ；(2) ；
(3) ．
【分析】( )根据关于原点对称的性质求解即可；
( )利用待定系数法求解；
( )求出直线 的解析式，可得直线 交 轴一点 ， 再利用分割法求出 的面积；
此题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题．
【详解】（1）∵点 与 关于原点对称，
∴点 ，
故答案为： ；
（2）∵ ， 的面积为 ，
∴ ，解得： ，
故答案为： ；
（3）∵ 的图象过 ，
∴ ，
∵若 的纵坐标为 ，
∴点 ，
设直线 解析式为 ，与 轴交于点 ，如图，∴ ，解得： ，
∴直线 解析式为 ，
∴点 ，
∴ ，
∴ ．
【经典例题五 工程问题】
1．（2023春·安徽·九年级统考期末）冉冉录入一篇文章，录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）之
间的关系如图所示；
(1)求y与x间的函数表达式；
(2)若冉冉将原有录入速度提高20%，结果提前2分钟完成了录入任务，求冉冉原来的录入速度．1500
【答案】(1)y=
x
(2)125字/分钟
【分析】（1）根据录入的时间=录入总量÷录入速度即可得出函数关系式；
（2）设冉冉实际用了t分钟，则原计划用时(t+2)分钟，由题意得关于t的分式方程，解方程即可求出t的
值．
k
【详解】（1）解：设 y=
x
k k
把(150，10)代入 y= 得， 10= ，
x 150
∴k=1500，
1500
∴y与x的函数表达式为 y= ；
x
（2）设冉冉实际用了t分钟，则原计划用时(t+2)分钟，原来的录入速度为x字/分钟
1500
由题意得， t+2= ，
x
1500
整理得： x= ，
t+2
∵录入速度提高了20%，则实际录入速度为(1+20%)x字/分，
1500 1500 1500
则 (1+20%)x= ，即 (1+20%)× = ，
t t+2 t
解得：t=10，
经检验t=10是原方程的解，
1500
∴冉冉原录入速度为： =125（字/分钟），
10+2
答：冉冉原来的录入速度为125字/分钟．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用、解分式方程，根据工作量得到等量关系是解决本题的关键．
2．（2023春·九年级课时练习）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调．
（1）在这段时期内，每天组装的数量m（台/天）与组装的时间t（天）之间有怎样的函数关系？
（2）原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调
提前10天完成组装，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？比原计划多多少？
9000
【答案】（1）m= ；（2）180台，30台
t【分析】（1）首先根据题意，因总工作量为9000台空调，故每天组装的台数m与生产时间t之间成反比例
关系，即m·t=9000；
（2）计算出当t=50时，m=180；当t=60时，m=150；比较即可得答案．
【详解】解：（1）每天组装的台数m（单位：台/天）与生产时间t（单位：天）之间的函数关系：
9000
m= ；
t
9000
（2）当t=50时，m= =180．
50
所以，这批空调提前10天上市，那么原装配车间每天至少要组装180台空调，
原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成这一任务，则每天组装150台，
即比原计划多：180−150=30台．
【点睛】本题考查反比例函数的解析式、性质与运用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后
利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．
3．（2023春·全国·九年级专题练习）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量
V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系如图所示．
(1)该蓄水池的蓄水量为_________m3；
(2)如果每小时排水量不超过2000m3，那么排完水池中的水所用的时间t(h)满足的条件是_________；
(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加
25%，求原计划每小时的排水量是多少m3？
【答案】(1)18000
(2)t≥9
(3)1800
k
【分析】（1）此题根据函数图象为双曲线的一支，可设V = (k＞0)，再把点（6，3000）代入即可求出
t
答案；（2）根据反比例函数的增减性，即可得出答案；
（3）设原计划每小时的排水量是xm3，根据等量关系式列出分式方程，解方程即可．
k
【详解】（1）解：设V = (k＞0)，
t
∵点（6，3000）在此函数图象上，
∴蓄水量为6×3000＝18000m3．
故答案为：18000．
（2）蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系式为：
18000
V = ，
t
∵每小时排水量不超过2000m3，
∴根据反比例函数的增减性可知，t≥9时，每小时排水量不超过2000m3．
故答案为：t≥9．
（3）设原计划每小时的排水量是xm3，根据题意得：
18000 18000
− =2，
x (1+25%)x
解得：x=1800，
经检验：x=1800是所列方程的解，
答：原计划每小时的排水量是1800m3．
【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，分式方程的应用，根据等量关系式，列出分式方程，是
解题的关键．
4．（2023春·全国·九年级专题练习）某运输公司承担某项工程的运送土石方任务．已知需要运送的土石方
总量为4×104立方米，设运输公司每天运送的土石方为V(立方米/天)，完成任务所需要的时间为t（天)．
（1）V与t之间有怎样的函数关系？
（2）运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，如果需要提
前4天才能完成任务，那么该运输公司至少需要增派多少辆同样的卡车才能按时完成任务？
40000
【答案】（1）V = ；（2）至少需要增派10辆同样的卡车才能按时完成任务．
t
【分析】（1）根据工作量×时间=土石方总量可得Vt=104，进而可得函数解析式；
（2）20辆卡车完成任务需20天，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加x辆卡车，根
据题意列方程即可．
【详解】解：（1）∵V⋅t=40000，40000
∴V = ，
t
∴V是t的反比例函数；
（2）运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，
需要40000÷(20×100)=20天才能完成任务，
工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加x辆卡车，
40000−20×100×8=(20−8−4)×(20+x)×100，
解得：x=10，
答：公司至少需要增派10辆同样的卡车才能按时完成任务．
【点睛】此题主要考查了反比例函数和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的
等量关系，列出函数解析式．
5．（2023春·浙江杭州·九年级期中）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调，设每
天组装的空调数量为y（台/天），组装的时间为x（天）.
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）原计划用60天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调至少要提前10天完成，那么
装配车间每天至少要组装多少台空调？
9000
【答案】（1）y= ；（2）装配车间每天至少要组装180台空调．
x
【分析】（1）直接利用每天组装的空调数量为y（台/天），组装的时间为x（天），总数为9000，进而得
出答案；
（2）利用反比例函数的增减性进行求解．
9000
【详解】解：（1）由题意得：xy=9000，即y= ，
x
9000
∴y与x之间的函数关系式为y= ；
x
（2）由题意，得0 < x≤60−10，即00，
∴当0
