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26.2.1 二次函数y=a（x-h)²+k 的图象和性质
(第二课时 二次函数y=a（x-h)²的图象和性质)
（教学设计）
1.教学内容
本课时是人教版2024 版九年级上册第26 章《二次函数》，第三节26.2 二次函数图像与性质，26.2.2 二次
函数y=a（x-h)²+k 的图象与性质,第二课时二次函数y=a(x-h)²的图象和性质.核心教学内容为二次函数
y=a(x-h)²(a≠0)的图象绘制、图象特征、函数性质，以及抛物线y=a(x-h)²与基础抛物线y=ax ²的平移变
换规律，同时结合典型例题巩固知识、应用性质解决基础题型.
2. 内容解析
本节课是二次函数图象与性质探究的关键过渡课。此前学生已掌握最简单二次函数y=ax ²、y=ax ²+k 的图
象和上下平移规律，具备描点画图象、数形结合分析函数性质的基础能力.y=a(x-h)²是顶点式二次函数的
特殊形式（常数项k=0），其图象左右平移规律是对二次函数平移体系的补充，承接上下平移，铺垫后续
完整顶点式y=a(x-h)²+k 的综合平移探究，构建起二次函数顶点式完整的图象变换知识体系.同时，本节课
的数形结合思想、分类讨论思想，是后续学习二次函数综合应用、与一元二次方程结合问题的重要基础，
在本章知识体系中起到承上启下的核心作用.
基于以上分析，本节课的教学重点为:二次函数y=a(x-h)²的图象特征与核心性质；抛物线y=a(x-h)²与抛
物线y=ax ²的平移变换规律.
教学目标
（1）会用描点法画出y=a(x-h)²的图象，精准掌握该函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值
等性质；熟练掌握抛物线y=ax ²与y=a(x-h)²的左右平移规律，能根据函数解析式判断图象变换方式.
（2）通过自主描点画图、小组对比探究、归纳总结的过程，培养数形结合分析问题、类比推理、归纳概
括的数学能力，体会函数图象变换中“变与不变”的数学规律.
（3）感受二次函数图象的对称美、变换美，体会数学知识的连贯性和逻辑性；在自主探究与合作交流中
提升学习主动性，树立严谨的数学思维，增强学习二次函数的信心.
2.目标解析
目标1 依托学生已有的y=ax ²知识储备，通过对比画图，精准突破k 值对图象的影响，让学生从“会画基
础抛物线”升级为“会画平移后的抛物线”，系统掌握顶点式基础模型的性质，构建二次函数图象知识框
架.
目标2 通过自主探究、例题实操、规律归纳，训练学生数形转化能力，让学生掌握二次函数通用的探究方
法，为后续复杂二次函数探究提供固定思维模型，提升数学探究核心能力.
目标3 借助图象平移的动态变化，培养学生几何直观素养；通过特殊函数实例归纳一般规律，培养数学抽
象与归纳推理素养；通过性质的实际应用，提升数学运算和模型应用素养.
学生已经系统学习了正比例函数、一次函数的图象变换，以及二次函数y=ax ²、y=ax ²+k 的图象和性质，
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熟练掌握描点法画函数图象的基本步骤，具备初步的数形结合、类比归纳能力.但学生存在认知易错点：
容易混淆二次函数上下平移、左右平移的解析式变化规律，对“左加右减”的平移法则只记结论、不理解
本质；同时难以精准区分h 的正负对平移方向、对称轴、顶点坐标的影响，在判断函数增减性时容易混淆
对称轴左右区.本节课需通过直观图象对比、针对性辨析、例题强化，突破学生的思维误区.
基于以上分析，本节课的教学难点确定为：准确理解并记忆抛物线左右平移规律（左加右减），区分左右
平移与上下平移的解析式变化差异；根据函数解析式快速判断图象的平移过程、增减区间及最值.
创设情景，引入新课
复习回顾：（1）二次函数y=2x ²、y=ax ²+k 的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
当x 取何值时，函数有最值？增减性如何？
学生集体回顾作答，教师板书核心性质.
（2）抛物线y=ax ²与y=ax ²+k 的变换规律是什么？
k>0 向上平移，k<0 向下平移，平移不改变开口大小和方向.
情境设问：我们已经掌握了二次函数图象的上下平移，如果不上下平移，将抛物线y=ax ²进行左右平移，
会得到什么新的二次函数？新函数的解析式、图象和性质会发生怎样的变化？今天我们共同探究二次函数
y=a(x-h)²的图象和性质.
（设计意图：通过复习旧知，衔接已学的二次函数平移知识，构建知识连贯性；通过递进式设问，引发学
生认知冲突，激发探究新知的兴趣，为本节课左右平移的探究做好铺垫，自然导入新课.）
探究点1 画图对比，感知特殊的y=ax ²、y=a(x-h)²函数图象间的联系
活动1.在同一平面直角坐标系中，画出二次函数
和
的图象，并分别指出它们
的开口方向、对称轴和顶点.
列表：
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
…
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描点画图，就得到
和
的图象.
观察图象：可以看出，抛物线
的开口向下，对称轴经过（-1，0）且垂直于x 轴的直线（记
作x=-1），顶点是(-1，0)；抛物线
的开口向下，对称轴经过（1，0）且垂直于x 轴的直线
（记作x=1），顶点是(1，0).
活动2.观察抛物线
，
与抛物线
有什么关系?
观察三个抛物线
，
与
的相同点和不同点是什么？
可以发现，把抛物线
( 如上图中的虚线图形）向左平移1 个单位长度，就得到抛物线
,把抛物线
向右平移1 个单位长度，就得到抛物线
.
(设计意图：让学生亲手操作画图，直观感知图象变化，落实学生主体地位；通过小组合作观察对比，培
养学生观察分析、合作交流的能力，从具象图象中提炼抽象规律.)
探究点2 归纳函数 y=a(x-h)²核心规律与性质
活动3.利用信息技术工具画函数y=a(x-h)²的图象(改变h 的值)，观察图象变化.
改变h 的值，可以发现，随着h 的变化，二次函数y=a(x-h)²的图象向左或向右平移，即把抛物y=ax ²
（a>）向左(h<0)或向右（h>0)平移|h|个单位长度，就可以得到抛物y=a(x-h)² (如下图 ).
活动4.梳理总结y=a(x-h)²(a≠0)的完整性质和平移规律
图象共性：图象为抛物线，形状、开口大小、开口方向与y=ax ²完全一致.
核心要素：对称轴：直线x=h,顶点坐标：(h, 0)，平移规律：抛物线y=ax ²左右平移得到y=a(x-h)²，左
加右减h>0：向右平移h 个单位，h<0，向左平移|h|个单位.
函数增减性与最值:当a>0 时，开口向上，顶点为最低点；x<h 时，y 随x 的增大而减小；x>h 时，y 随x 的
增大而增大；当x=h 时，
.当a<0 时，开口向下，顶点为最高点；x<h 时，y 随x 的增大而增大；
x>h 时，y 随x 的增大而减小；当x=h 时，
.
(设计意图：通过学生自主探究+教师精准总结，突破本节课重点知识，系统化梳理函数性质和平移规律，
帮助学生构建完整的知识框架，突破“左右平移”认知难点.)
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典型例题
例1.已知二次函数y=-2(x+1)²，完成下列问题：
（1）说出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）说明该抛物线是由抛物线y=-2x ²经过怎样的平移得到的；
（3）当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，函数取得最值？最值是多少？
【分析】解题关键：先标准化解析式，将y=-2(x+1)²转化y=-2[x-(-1)]²，确定a=-2，h=-1；再根据a 的
符号判断开口方向、增减性、最值，根据h 的值确定对称轴、顶点坐标和平移方式，严格套用本节课归纳
的规律解题.
【详解】解：将函数解析式标准化：y=-2[x-(-1)]²，可得a=-2，h=-1.
（1）∵a=-2<0，∴抛物线开口向下；
对称轴为直线x=-1；顶点坐标为(-1, 0)
（2）根据平移规律“左加右减”，∴抛物线y=-2(x+1)²是由抛物线y=-2x ²向左平移1 个单位得到.
（3）∵a=-2<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x<-1 时，y 随x 的增大而增大；抛物线顶点为最高点’当x=-1 时，函数取得最大值，最大值y=0.
(设计意图：例题覆盖本节课所有核心知识点，贴合教材考法，通过标准化解析式的解题技巧，纠正学生
直接看错h 符号的易错点；完整的分析+详解流程，规范学生解题步骤，让学生学会学以致用，强化对重难
点知识的应用能力.)
课本课堂练习（P39）.
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的
理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1.如图，抛物线
的顶点为A，与y 轴的负半轴交于点B，且
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点
在该抛物线上，求b 的值；
(3)若点
，
在此抛物线上，比较
与
大小．
【详解】（1）解：∵抛物线
的顶点为A，
∴
，则
，
∵
，
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∴
，代入
中，
得：
，
解得：
，
∴
；
（2）将
代入
中，
得：
，
解得：
；
（3）∵抛物线
的对称轴为直线
，且开口向下，
∴当
时，y 随x 的增大而减小，
∵
，
∴
．
1．（2026.徐州统考）关于二次函数
，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线
B．图象与x 轴有两个交点
C．当
时，y 的值随x 值的增大而增大
D．当
时，y 取得最大值，且最大值为1
【详解】解：∵二次函数解析式为
，
，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线
，故A 说法错误，不符合题意；
∴当
时，y 的值随x 值的增大而减小，当
时，y 的值随x 值的增大而增大，故C 说法正确，符合题
意；
∴当
时，y 取得最小值，且最小值为0，故D 说法错误，不符合题意；
∴二次函数与x 轴只有一个交点，故B 说法错误，不符合题意；
故选C．
2.（2025·宁波联考）已知二次函数
，当
时，y 随着x 的增大而增大，当
时，y 随x
的增大而减小，则h 的值为（ ）
A．
B．
C．4 D．2
【详解】解：∵
，
∴
，对称轴为
，
∴在对称轴的左侧y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随着x 的增大而减小，
∵当
时，y 随着x 的增大而增大，当
时，y 随x 的增大而减小，
∴
，
∴
；
故选D．
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3．（2026 盐城校考）关于二次函数
的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，对称轴是直线
B．开口向下，对称轴是直线
C．开口向上，对称轴是直线
D．开口向下，对称轴是直线
【详解】解：
二次函数
，
由
可得抛物线开口向下；对称轴是直线
，
故选：D．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
知识技能：（1）二次函数y=a(x-h)²的图象是抛物线，开口方向由a 决定，对称轴为直线x=h，顶点坐标
为(h,0)；（2）平移规律：抛物线y=ax ²左右平移得y=a(x-h)²，左加右减；（3）增减性与最值：a>0 开
口向上，左减右增，有最小值0；a<0 开口向下，左增右减，有最大值0.
思想方法：（1）数形结合思想：通过函数图象直观分析函数性质，以形助数、以数释形；（2）类比推理
思想：类比y=ax ²、y=ax ²+k 的探究方法，探究新函数图象与性质；（3）分类讨论思想：根据a>0（a<0)
分类讨论函数的增减性、最值.
易错提醒：（1）平移规律混淆：上下平移改变k（上加下减），左右平移改变h（左加右减），切勿混淆；
（2）h 的符号易错：解析式中是x-h，若为x+h，需转化为x-(-h)再判断平移方向、对称轴；（3）增减区
间混淆：必须以对称轴x=h 为分界，区分左右区间的函数增减变化.
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：课本习题26.2 第2 题(2).
探究性作业：1.已知函数
是关于x 的二次函数．
(1)求m 的值；
(2)当m 为何值时，该函数图象的开口向下？
(3)当m 为何值时，该函数有最小值，此时x 值是多少？
【详解】（1）解：∵函数
是关于x 的二次函数，
∴
，
，
解得：
；
（2）解：∵函数图象的开口向下，
，
，
∴当
时，该函数图象的开口向下；
（3）解：∵当
时，抛物线有最低点，函数有最小值，
，
∵
或1，
∴当
时，该函数有最小值，此时的x 值是1.
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（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书
26.2.2 二次函数y=a（x-h)²+k 的图象和性质(第2 课
时)
一、核心解析式
二、图象平移规律
三、函数性质
四、易错点
副板书
典型例题
（预留区域，课堂书写化简、检验例题）
例题
学生练习板演
