文档内容
y=a（ x-h ） 2
22.1.3.1 二次函数 的图象和性质
【考点1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】
【考点2二次函数y=a(x-h)²的性质】
【考点3二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】
【考点4 二次函数y=a(x-h)²图象变换问题】
考点 1 y=a（x-h)²的图象性质
1．二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象.
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象:
根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减
开口向上 y轴 （0,0） 小；当x＞0时，y随x的增大而
增大。
当x＜2时，y随x的增大而减
开口向上 x=2 （2,0） 小；当x＞2时，y随x的增大而
增大。【问题2】在同一直角坐标系中，画出二次函数 、 与
的图象．
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象:
根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
当x＜0时，y随x的增大而减
大；
开口向下 y轴 （0,0）
当x＞0时，y随x的增大而增
小。
当x＜－1时，y随x的增大而
减大；
开口向下 x=－1 （－1,0）
当x＞－1时，y随x的增大而
增小。
当x＜1时，y随x的增大而减
大；
开口向下 x=1 （1,0）
当x＞1时，y随x的增大而增
小。总结：由【问题1】【问题2】总结二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0
对称轴 直线x=h 直线x=h
当x＜h时，y随x的增大 当x＜h时，y随x的增大
增减性 而减小；当x＞h时，y随 而增大；当x＞h时，y随
x的增大而增大。 x的减小而减小。
考点2： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²+c（a≠0）之间的关系
二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到.
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变
【考点1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】
【典例1】抛物线 的顶点坐标和对称轴分别为（ ）
A． ，直线 B． ，直线
C． ，直线 D． ，直线
【答案】B
【分析】直接利用二次函数的性质求解即可．【详解】解： 二次函数 的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数 的顶点坐
标为 ，对称轴为直线 ，是解题的关键．
【变式1-1】二次函数 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在
中，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．已知解析式为抛物线的顶点
式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【详解】解：因为 是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为 ．
故选：D．
【变式1-2】请写出一个开口向上，顶点坐标为 的二次函数 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据二次函数的解析式的顶点式 ，可知顶点坐标为 ；再由
二次项系数a的符号可以判断抛物线的开口方向：当 时，抛物线开口向上，当 时，
开口向下，从而写出答案．
【详解】解： 顶点坐标为 ，
设二次函数的解析式为： ，又 二次函数的图象开口向上，
，取 ，得 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次项系数的作用与二次函数的顶点式是
解此题的关键．
【变式1-3】抛物线 的顶点坐标是 ，抛物线 的对称轴是
．
【答案】 （0，-1）
【分析】根据二次函数 的顶点坐标是（0，k）；二次函数 的的对称
轴是直线 ，即可求解．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是（0，-1）；
抛物线 的对称轴是直线 ．
故答案为：（0，-1），
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数 的顶点坐
标是（0，k）；二次函数 的的对称轴是直线 是解题的关键．
【考点2二次函数y=a(x-h)²的性质】
【典例2】对于二次函数 的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键．
根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可
解决问题．
【详解】解：A、因为二次函数的表达式为 ，所以抛物线的开口向上．故此选项
说法正确，不符合题意；
B、抛物线 的对称轴是直线 ，故此选项说法正确，不符合题意；
C、因为抛物线 的顶点坐标为 ，故此选项说法正确，不符合题意；
D、因为抛物线 的对称轴为直线 ，且开口向上，所以当 时， 随
的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意；
故选：D．
【变式2-1】二次函数 的最大值是（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的最值问题，解答时根据二次函数的图象的顶点坐标和开口方
向进行解答．
【详解】解：∵二次函数的解析式是 ，
∴该抛物线开口方向向下，且顶点坐标是 ，
∴二次函数 的最大值为0，
故选：B
【变式2-2】二次函数的 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据解析式 ， ，可得图象开口向上，对称轴为直线 ，顶
点坐标为 ，即可得．
【详解】解：∵ ， ，
∴图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
故选：D．
【点晴】本题考查了二次函数的图象，熟练记住图象与系数的关系是关键．
【变式2-3】已知二次函数 ，如果函数值 随自变量 的增大而减小，那么
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函
数 ，可得 函数图象开口向下，对称轴为 ，函数值 随自变量
的增大而减小，则 ，得以解答．
【详解】解：二次函数 ，
，
函数图象开口向下，对称轴为 ，
时，函数值 随自变量 的增大而减小，
故选：A．
【变式2-4】在抛物线 上，当 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围
是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【详解】解：抛物线 上，开口向上，对称轴为 ，
在对称轴右侧， 随 的增大而增大，
当 时， 随 的增大而增大，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，由函数的增减性得到关于 的不等式是解题的关键．
【考点3二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】
【典例3】抛物线 的图象经过点 ， ， ，则 ， ，
大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断 值的大小．
【详解】解： 函数的解析式是 ，
对称轴是直线 ，
点 的对称点为 ，
对称轴左边 随 的增大而减小，对称轴右边 随 的增大而增大，
又 ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减
性及对称性．【变式3-1】已知点 、 、 都在函数 的图象上，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，根据二次函数的性质得在
对称轴 的左边时，y随x的增大而减小，在对称轴 的右边时，y随x的增大而增大，
根据点 、 、 三点到对称轴的距离分别为3，2，1得 ，
即可得．
【详解】解：函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
∴在对称轴 的左边时，y随x的增大而减小，在对称轴 的右边时，y随x的增大而
增大，
∵点 、 、 三点到对称轴的距离分别为3，2，1，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
【变式3-2】若点 ， 在抛物线 上，则y₁、y₂的大小关系是
（ ）
A．y₁＜y₂ B．y₁＝y₂ C．y₁＞y₂ D．无法判断
【答案】C
【分析】将 ， 分别代入 ，求出 ， 的值比较即可．本题考
查了二次函数 (a，h为常数， )的性质，熟练掌握二次函数
的性质是解答本题的关键．
【详解】解：将 ， 分别代入 ，得， ，
∴ ．
故选C．
【变式3-3】已知点 在抛物线 上，且 ，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先根据抛物线的开口方向以及图象上点的坐标和 ,将各点代入，进而
得出 的取值范围.
【详解】分别将点 代入 得:
， ， ，
因为，
所以，
解之 的取值范围是： ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，根据已知得出不等式组进而得出取值
范围是解题关键.
【考点4 二次函数y=a(x-h)²图象变换问题】
【典例4】在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向下平移2个单位后所得抛
物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x﹣3）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2+5 D．y＝﹣2（x﹣1）2+1
【答案】D
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】解：将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向下平移2个单位后所得抛物线的表达式为：y＝﹣2（x﹣1）2+3﹣2，即y＝﹣2（x﹣1）2+1．
故选D．
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
【变式4-1】抛物线 与抛物线 的关系：
若h＞0，抛物线 向 平移h个单位就得到抛物线 ；
若h＜0，，抛物线 向 平移|h|个单位就得到抛物线
【答案】 右 左
【解析】略
【变式4-2】抛物线 与抛物线 的相同点是（ ）
A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在 轴上
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象与各系数之间的关系即可解答．
【详解】解：抛物线 的开口向上，对称轴为直线 ，顶点为 ，
抛物线 的开口向下，对称轴为y轴，顶点是 ，
∵二次项系数决定抛物线的开口方向和形状，
∴抛物线 与抛物线 的开口方向相反，但是形状大小相同，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象与各系数的关系是解题关键．
1．抛物线y=-3(x+2) 2的对称轴是直线（ ）
A．x=3 B．x=-3 C．x=2 D．x=-2
【答案】D
【分析】根据二次函数顶点式的性质，直接得到抛物线y=-3(x+2) 2的对称轴是直线
x=-2．
【详解】解：抛物线y=-3(x+2) 2的对称轴是直线x=-2，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数顶点式的性质，熟记顶点式求抛物线对称轴的方法是解决问题
的关键．
2．抛物线y=-3(x+1) 2的顶点坐标是（ ）
A．(1,0) B．(-1,0) C．(0,1) D．(0,-1)
【答案】B
【分析】直接根据抛物线的顶点式进行解答．
【详解】解：由抛物线的顶点式可知，抛物线y=-3(x+1) 2的顶点坐标是(-1，0)．
故选：B．
【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标
为(h，k)，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
3．对于二次函数y=(x-2) 2+1的图象，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线x=-2 B．开口向下
C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标(2,1)
【答案】D
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及与x轴交点个数，则可
得出答案．【详解】解：∵y=(x-2) 2+1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(2，1) ，对称轴为直线x=2 ，
∴A、B不正确，D正确，
∵抛物线开口向上，最小值为1，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴C不正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．已知二次函数y=3(x+1) 2的图象上有三点A(1,y )，B(2,y )，C(-2,y )，则y ，y ，
1 2 3 1 2
y 的大小关系为( )
3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【答案】B
【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为x=-1，图象开口向上，A、B两点在
对称轴右边，y随x的增大而增大，故y y >y ，
3 2 1 3
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的增减性：当二次项系数a>0时，在对称轴的左边，y随x的增
大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a<0时，在对称轴的左边，y随x的增
大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小，熟练掌握二次函数增减性并灵活运用是
解决问题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-1) 2与x轴只有一个交点M，与平行于x轴
的直线l交于点A、B，若AB=4，则点M到直线l的距离为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】设函数顶点坐标M为(h，0)，点M到直线l的距离为a，则y＝(x﹣h) 2＝a，再
求出A、B坐标即可求解．
【详解】解：函数顶点坐标M为(h，0)，点M到直线l的距离为a，
则：y＝(x﹣h) 2＝a，解得：x＝h±❑√a，
即：A(h﹣❑√a，0)，B(h+❑√a，0)，
∵AB＝4，
∴h+❑√a﹣(h﹣❑√a)＝4，解得：a＝4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是设y＝(x﹣h) 2＝a并求出
A,B的坐标是解答本题的关键．
6．已知二次函数y=-(x+h) 2，当x<-2时，y随着x的增大而增大，当x>-2时，y随x的
增大而减小，当x=0时，y的值为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】D
【分析】根据题意可得二次函数的对称轴x=-2，进而可得h的值，从而可得函数解析式
y=-(x+2) 2，再把x=0代入函数解析式可得y的值．
【详解】由题意得：二次函数y=-（x+h）2的对称轴为x=-2，
∴h=2
∴函数解析式y=-(x+2) 2，∴当x=0时，y=-(0+2) 2=-4
故选D.
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数顶点式y=a（x-h）2+k，对
称轴为x=h.
7．如果抛物线y=(a+2)x2+a的开口向下，那么a的取值范围是 ．
【答案】a<-2/-2>a
【分析】由抛物线的开口向下可得出a+2＜0，解之即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线y=(a+2)x2+a开口向下，
∴a+2＜0，
∴a＜-2．
故答案为：a＜-2．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记“a＞0时，抛物线向上开口；当
a＜0时，抛物线向下开口．”是解题的关键．
8．已知点A(-2,y )、B(-3,y )为二次函数y=(x+1) 2图象上的两点，那么y
1 2 1
y ．（填“>”、“=”或“<”）
2
【答案】<
【分析】由于知道二次函数的解析式，且知道A、B两点的横坐标，故可将两点的横坐标
代入二次函数解析式求出y 、y 值，再比较即可
1 2
【详解】解：当x=-2时，
y =(-2+1) 2=1，
1
当x=-3时，
y =(-3+1) 2=4，
2
∴ y ”“<”或“=”）
1 2
【答案】=
【分析】根据二次函数的对称性质求解即可．
【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线x=-3，
又点A(-2,y )，B(-4,y )关于直线x=-3对称，
1 2
∴y = y ，
1 2
故答案为：=．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，能得出已知两点的对称性，并掌握二次函数的
对称性是解答的关键．
10．已知二次函数y=-(x-h) 2 (h为常数），当2⩽x⩽5时，y的最大值为-1，则h的值
为 ．
【答案】1或6/6或1
【分析】分h<2、2⩽h⩽5和h>5三种情况考虑：当h<2时，根据二次函数的性质可得出
关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2⩽h⩽5时，由此时函数的最大值为0与
题意不符，可得出该情况不存在；当h>5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二
次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【详解】解：当h<2时，有-(2-h) 2=-1，
解得：h =1，h =3（舍去）；
1 2
当2⩽h⩽5时，y=-(x-h) 2的最大值为0，不符合题意；
当h>5时，有-(5-h) 2=-1，
解得：h =4（舍去），h =6．
3 4
综上所述：h的值为1或6．故答案为：1或6．
【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h<2、2⩽h⩽5和h>5三种
情况求出h值是解题的关键．
11．已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是
．
【答案】m≥1
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤1时，函数值y随x
的增大而减小可知二次函数的对称轴x＝m≥1．
【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2，中，a＝1＞0，
∴此函数开口向上，
∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小，
∴二次函数的对称轴x＝m≥1．
故答案为：m≥1．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
12．如图1，E是等边△ABC的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边
向右作等边△AEF，连接CF．已知△ECF的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系
如图2所示（P为抛物线的顶点）．
（1）当△ECF的面积最大时，∠FEC的大小为 ．
（2）等边△ABC的边长为 ．
【答案】 30° 4❑√2
【分析】（1）过点F作FD⊥BC于点D，由已知先证△ABE≌△ACF，得BE=CF，∠ACF=60°，进可得∠FCD的度数，所以可求得FD，设等边△ABC的边长为a，则可
把△ECF的面积表示出来，并求出面积的最大值，此时便可求得∠FEC的度数；
（2）由图知△ECF的最大值，由（1）中计算知道它的面积的最大值，则两者相等，可求
得等边△ABC的边长．
【详解】过F作FD⊥BC，交BC的延长线于D，如图：
∵ △ABC为等边三角形，△AEF为等边三角形，
∴AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠EAF=∠AEF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE=CF，∠ABE=∠ACF=60°，
∵ BE=x，
∴CF=x，∠FCD=180°-∠ACB-∠ACF=60°，
❑√3
∴FD=CF⋅sin60°= x，
2
设等边△ABC边长是a，则CE=BC-BE=a-x，
1 1 ❑√3 ❑√3 ❑√3
∴S = CE⋅FD= (a-x)⋅ x=- x2+ ax，
△ECF 2 2 2 4 4
❑√3 (❑√3 ) 2
- a 0- a
4 1 4 ❑√3
当 x= = a 时，S 有最大值为 = a2 ，
2× ( - ❑√3) 2 △ECF 4× ( - ❑√3) 16
4 4
1
(1)当△ECF的面积最大时，BE= a，即E是BC的中点，
2
∴AE⊥BC，∠AEB=90°，
∵∠AEF=60°，
∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=30°，
故答案为：30°；
1 ❑√3
（2）当x= a时，S 有最大值为 a2，
2 △ECF 16由图可知S 最大值是2❑√3，
△ECF
❑√3
∴ a2=2❑√3，解得a=4❑√2或a=-4❑√2（边长a>0，舍去），
16
∴等边△ABC的边长为a=4❑√2，
故答案为：4❑√2．
【点睛】本题考查等边三角形及二次函数知识，解题关键是证明由△ABE≌△ACF，用x
的代数式表示△ECF的面积．
13．已知二次函数y=2(x-1) 2的图象如图所示，求△ABO的面积．
【答案】1
【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到
点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积．
【详解】解：∵二次函数y=2(x-1) 2
∴顶点A(1，0)
∵点B在图象上且在y轴上，即x=0时y的坐标
∴y=2×(0-1) 2=2
∴B(0，2)
1 1
∴△ABO的面积= OA⋅OB= ×1×2=1
2 2
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键．
