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第 3 课时 二次函数 y＝a(x－h)2的图象与性质
与函数y＝－x2的图象相同的抛物线的解析
式为( )
1．会用描点法画出y＝a(x－h)2的图象； A．y＝(x－2)2 B．y＝(x＋2)2
2．掌握形如y＝a(x－h)2的二次函数图 C．y＝－(x＋2)2 D．y＝－(x－2)2
象的性质，并会应用；(重点) 解析：因为抛物线的顶点在x轴上，所
3．理解二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2 以可设该抛物线的解析式为 y＝a(x－
之间的联系．(难点) h)2(a≠0)，而二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)与y
＝－x2的图象相同，所以a＝－，而抛物线的
顶点为(－2，0)，所以h＝－2，把a＝－，h＝
一、情境导入 －2代入y＝a(x－h)2得y＝－(x＋2)2.故选C.
涵洞是指在公路工程建设中，为了使公 方法总结：决定抛物线形状的是二次项
路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以 的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完
下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可 全相同．
以让水从公路的下面流过．如图建立直角坐 变式训练：见《学练优》本课时练习“课
标系，你能得到函数图象解析式吗？ 后巩固提升”第1题
【类型三】 二次函数 y ＝ a ( x － h ) 2 的增
减性及最值
对于二次函数y＝9(x－1)2，下列
结论正确的是( )
A．y随x的增大而增大
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
二、合作探究 C．当x＝－1时，y有最小值0
探究点一：二次函数y＝a(x－h)2的图象 D．当x＞1时，y随x的增大而增大
与性质 解析：因为a＝9＞0，所以抛物线开口
【类型一】 y ＝ a ( x － h ) 2 的顶点坐标 向上，且h＝1，顶点坐标为(1，0)，所以当x
已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的 ＞1时，y随x的增大而增大．故选D.
顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)， 变式训练：见《学练优》本课时练习“课
求a，h的值． 堂达标训练”第3题
解：∵抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点 探究点二：二次函数y＝a(x－h)2图象的
坐标为(－2，0)，∴h＝－2.又∵抛物线y＝ 平移
a(x＋2)2经过点(－4，2)，∴a(－4＋2)2＝ 【类型一】 利用平移确定 y ＝ a ( x － h ) 2
2.∴a＝. 的解析式
方法总结：二次函数y＝a(x－h)2的顶点 抛物线y＝ax2向右平移3个单位
坐标为(h，0)． 后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数
变式训练：见《学练优》本课时练习“课 关系式．
堂达标训练”第2题 解析：y＝ax2向右平移3个单位后的关
【类型二】 二次函数 y ＝ a ( x － h ) 2 图象 系式可表示为y＝a(x－3)2，把点(－1，4)的
的形状 坐标代入即可求得a的值．
顶点为(－2，0)，开口方向、形状 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3
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个单位后的二次函数关系式可表示为y＝ ×4×2＝12.
a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1 方法总结：两个函数交点的横、纵坐标
－3)2，a＝，∴平移后二次函数关系式为y＝ 与两个解析式组成的方程组的解是一致的．
(x－3)2. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课
方法总结：根据抛物线左右平移的规律， 后巩固提升”第8题
向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减 三、板书设计
去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加
上3”，即“左加右减”．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
堂达标训练”第6题
【类型二】 确定 y ＝ a ( x － h ) 2 与 y ＝ a x 2
的关系
向左或向右平移函数y＝－x2的
图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)
吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不
能，请说明理由．
解：能，理由如下： 通过本节学习使学生认识到y＝a(x－h)2的
设平移后的函数为y＝－(x－h)2， 图象是由y＝ax2的图象左右平移得到的，初
将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－(－9 步认识到a，h对y＝a(x－h)2位置的影响，a
－h)2， 的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口
所以h＝－5或h＝－13， 的大小，h决定向左、向右平移，从中领会数
所以平移后的函数为y＝－(x＋5)2或y 形结合的数学思想.
＝－(x＋13)2.
即抛物线的顶点坐标为(－5，0)或(－
13，0)，所以应向左平移5或13个单位．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
后巩固提升”第6题
探究点三：二次函数y＝a(x－h)2与几何
图形的综合
把函数 y＝x2的图象向右平移 4
个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别
相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求
△ABC的面积．
解析：利用二次函数平移规律先确定平
移后的抛物线解析式，确定C点坐标，再解
由所得到的二次函数解析式与y＝x组成的
方程组，确定A、B两点坐标，最后求△ABC
的面积．
解：平移后的函数为y＝(x－4)2，顶点C
的坐标为(4，0)，OC＝4.
解方程组得或
∵点A在点B的左边，∴A(2，2)，B(8，
8)，∴S ＝S －S ＝×4×8－
△ABC △OBC △OAC
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