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22.1.1&22.1.2&22.1.3二次函数、二次函数y=ax2的图象和性质与二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
1．二次函数的定义
（1）一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做）二次函数．其中x是
自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量
的取值范围是全体实数．
（2）一般式：y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）称为二次函数的一般式．
（3）二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．
2．二次函数y=ax2的图象和性质
函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0）
图象
开口方向 _____向上_____ 向下
顶点坐标 （0，0） _______（0，0）_____
对称轴 ___y轴_____ y轴
x>0时，y随x的增大而增大； x>0时，y随x的增大而减小；
增减性
x<0时，y随x的增大而减小 x<0时，y随x的增大而增大
最大（小）值 当x=0时，y =0 当x=0时，y =0
最小值 最大值
对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
3．二次函数y=ax2+k的图象和性质
函数 y=ax2+k（a>0） y=ax2+k（a<0）
开口方向 向上 __________
顶点坐标 ___向下_______ （0，k）
对称轴 y轴 __________
增减性 x>0时，y随x的增大而增大； x>0时，y随x的增大而x<0 时 ， y 随 x 的 增 大 而 ________；
_________
x<0时，y随x的增大而增大
最大（小）值 当x=0时，y = k 当x=0时，y = k
最小值 最大值
4．二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
函数 y=a（x-h）2（a>0） y=a（x-h）2（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标 _______（0，k）___ （h，0）
对称轴 x=h _______y轴___
x> h时，y随x的增大而增大； x> h时，y随x的增大而减小；
增减性
x0） y=a（x-h）2+k（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标 （h，k） _____（h，k）_____
对称轴 x=h x=h
x> h时，y随x的增大而增大； x> h时，y随x的增大而减小；
增减性
xx>1，根据
1 1 2 2 1 2
图象判断y，y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y>y B．y”，“=”或“<”）．
36．已知二次函数 的图象上有三点 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
______．
37．二次函数：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)；
（2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔
（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)．
38．若二次函数 （a，k为常数，且 ）的图象与x轴的一个交点为 ，则关于x的不等式
的解集为______．
39．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的
平行线交抛物线 于点B，连接AO、BO，则△AOB的面积为________．三、解答题
40．如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，与 轴于点 ，其中点 的坐标为 ．
(1)求 ， 的值；
(2)若 于点 ， ．试说明点 在抛物线上．
41．已知，如图所示，直线l经过点A(4，0)和B(0，4)，它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，又 AOP的面
积为 ．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求a的值．42．已知抛物线 的图象经过点 ，过点A作直线l交抛物线于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)将抛物线向下平移 个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．
43．如图是二次函数 的图象的一部分，根据图象回答下列问题：
（1） 的解是 ；
（2）确定 的值；
（3）设抛物线的顶点是P，与 轴的另一个交点是B，试求△PAB的面积．44．（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），
与y轴相交于点C（0，3），顶点为D
①求抛物线的解析式；
②求△ABD的面积．
（2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的
部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②．
①直接写出图像M所对应的函数解析式；
②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围1．A
【分析】根据二次函数的定义：一般地形如 （a ）的函数为二次函数，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、 为二次函数，故符合题意；
B、 不是二次函数，故不符合题意；
C、 ，当a=0时不是二次函数，故不符合题意；
D、 为一次函数，故不符合题意；
故选A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的定义．
2．C
【分析】根据形如 （a，b，c为常数，a≠0）的函数是二次函数，判断即可．
【详解】解：A．y=4x+2，是一次函数，故A不符合题意；
B． ，当a≠0时，才是二次函数，故B不符合题意；
C． ，是二次函数，故C符合题意；
D．y＝ ，等号右边是分式，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．
3．C
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分
析．
【详解】解：A.是一次函数，故此选项错误；
B.当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；
C.是二次函数，故此选项正确；
D.含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
4．B
【分析】直接利用二次函数的定义得出答案．
【详解】∵ 是关于x的二次函数，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题的关键．
5．C
【分析】根据二次函数的定义和已知条件得出 且m＋3≠0，再求出答案即可．
【详解】解：∵函数 是二次函数，
∴ 且m＋3≠0，
解得：m=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，注意：形如 （a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．
6．B
【分析】根据形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案．
【详解】解：∵y=（m+2） +2是y关于x的二次函数，
∴|m|=2且m+2≠0，
解得m=2，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是二次项的系数不能为0．
7．C
【分析】根据二次函数的增减性，进行求解即可．
【详解】解：∵
∴0＜a-1＜a＜a+1
∵ ，-2＜0，
∴当x＞0时，y随x值的增大而减少，
∴ ．故选C．
【点睛】本题考查二次函数的增减性，在解题时要考虑点是否在对称轴同一侧的图像上，然后再利用增减性进行
解题．
8．B
【分析】计算对应的函数值，后作差比较大小，判断即可．
【详解】∵点 都在函数 的图像上，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴-4a＞0，-4a+4＞0，4a＜0，4a+4=4（a+1）＞0，
∴ ＞0， ＜0，
∴ ， ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确进行作差进行实数大小的比较是解题的关键．
9．D
【分析】直接利用二次函数的性质分别判断得出答案．
【详解】解：二次函数y=2x2，当x=-1时，y=2，故它的图象不经过点（-1，-2），故选项A不合题意；
二次函数y=2x2的图象的对称轴是直线 y轴，故选项B不合题意；
当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不合题意；
二次函数y=2x2，在-1≤x≤2的取值范围内，当x=2时，有最大值8；当x=0时，y有最小值为0，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题关键．
10．A
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线x＝0，根据各点到对称轴距离的大小求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝0，离对称轴越近函数值越小，
∵
∴ ．
故选：A．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的
关系．
11．C
【分析】根据二次函数的图像，确定a，c的符号，然后根据一次函数性质确定图像的分布即可．
【详解】∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c＞0，
∴ 的图像分布在第一，第二，第四象限，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像，一次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像与各系数之间的关系，一次函
数中k，b与图像分布之间的关系是解题的关键．
12．C
【分析】先根据 的顶点坐标为 判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断
则 从而可得答案．
【详解】解：由 的顶点坐标为
故A，B不符合题意；
由C，D中二次函数的图象可得：
函数y＝ax－a过一，二，四象限，
故C符合题意，D不符合题意，
故选C
【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解
本题的关键．
13．B
【分析】二次函数的图像和性质，根据解析式画出图像，即可得到答案．
【详解】接：根据解析式，画出二次函数图像，如图所示，A．开口向上，说法正确，不符合题意；
B．当 时，y随x的增大而增大，说法错误，符合题意；
C．对称轴是直线 ，说法正确，不符合题意；
D．顶点 ，说法正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，图像的开口方向、图像的增减性、对称轴、顶点坐标是本题的关键．
14．D
【分析】根据当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，即可得到抛物线的对称轴为直
线 ，由此求解即可．
【详解】解：∵当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴当 时， ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知二次函数图象的性质是解题的关键．
15．B
【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点 的对称点 ，再利用二次函数的增减性可判断 值的
大小．
【详解】解：∵二次函数的解析式为： ，
∴该二次函数的对称轴为：直线 ，
∴点 关于对称轴的对称点 为 ，
∵点 都在对称轴左侧，对称轴左侧 随 的增大而增大
∴
故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，掌握二次函数图象的增减性是解题的关键．
16．D
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】A．抛物线 的开口向下，故选项正确，不符合题意；
B．抛物线 的顶点坐标是（−1，−1），故选项正确，不符合题意；
C．抛物线 的对称轴是直线x＝−1，故选项正确，不符合题意；
D．当x≤﹣1时，y的值随x的增大而增大，故选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的相关性质．
17．D
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=1，根据x≥1时，y随x的增大而增大，即
可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x=1，
∴x≥1时，y随x的增大而增大，
又∵ 关于直线x=1的对称点是(4, )， ，
而 2<3<4，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用
二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
18．B
【分析】根据二次函数的增减性求解即可．
【详解】解：由图象知，抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，会利用二次函数的增减性比较函数值大小是解答的关键．19．(1) ；
(2)答案见解析；
(3)-4≤y≤5
【分析】（1）逆用完全平方公式可以得到解答；
（2）根据（1）中所求的二次函数的顶点式解析式作图；
（3）根据（2）中的函数图象很直观的得出答案．
(1)
解：由题意可得：
；
(2)
根据（1）中的二次函数的顶点式关系式可知，该函数的顶点是（-1，-4）；
当x=0时，y=-3，当x=-4时，y=5；
当y=0时，即x2+2x-3=0，解得x=1或x=-3，
∴该函数图象经过点（-1，-4）、（0，-3）、（-4，5）、（1，0）、（-3，0）；
所以二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示：
(3)
由（2）图象可得：当 −4≤x≤0 时，-4≤y≤5
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的顶点式及其图象与性质、配方法等是解题关键．
20．(1)抛物线解析式为(2)
【分析】(1)把B(1,1)代入 得 ，从而得到抛物线解析式；
(2)先根据待定系数法求直线AB的解析式，再联立直线和抛物线解析式解方程组，求出C
的坐标，然后求出 ，再根据二次函数图象上点的坐标特征，可设 ，利用三角形面积公式，解出
t的值即可得到D点坐标．
(1)
把 代入 得： ，
∴抛物线解析式为 ；
(2)
设直线AB的函数解析式为 ，
把 ， 代入得： ， ，
∴直线AB的解析式为 ，
将 与 联立得：
或 ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ， （舍），
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了待定系数法求一次函数解析式．
21．(1)y=-x2+2x+8；
(2)S BCD=6．
△
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+9，把点(4，0)代入可求得a=-1，据此即可求解；
（2）过点C作CE⊥y轴于点E，利用S BCD= S OBCE-S ECD-S OBD计算即可求解．
梯形
（1） △ △ △
解：∵抛物线的顶点为C(1，9)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+9，
∵抛物线与x轴交于点B(4，0)，
∴a(4-1)2+9=0，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+9=-x2+2x+8；
（2）
解：过点C作CE⊥y轴于点E，
∵抛物线与y轴交点为D，
∴D(0，8)，
∵B(4，0)，C(1，9)，
∴CE=1，OE=9，OD=8，OB=4，
∴S BCD= S OBCE-S ECD-S OBD
梯形
△ △ △
= (1+4)×9- ×1×1- ×4×8
=6．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，掌握待定系数法求函数解析式是解题
的关键．
22．A【分析】根据二次函数的定义，一般地，形如 的函数叫做二次函数，逐一分析判断即可得出正
确选项．
【详解】A、 是二次函数，符合题意；
B、 是一次函数，不合题意；
C、 是反比例函数，不合题意；
D、 不是二次函数，不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是本题的关键．
23．D
【分析】根据二次函数的定义进行解答即可．
【详解】解：∵函数 是关于x的二次函数，
∴a+1≠0，
解得：a≠﹣1，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数定义得出a+1≠0，是解题的关键．
24．B
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
【详解】二次函数 ，
∴抛物线开口向下，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵点A（1， ），B（2， ），C（−3， ）都在二次函数 的图象上，
∴点C（−3， ）关于对称轴的对称点是C（3， ），
∵1＜2＜3，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
25．(1)a=1
(2)a=0或﹣1【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出a2+1=2，a+1≠0得出即可；
（2）利用一次函数的定义分别求出即可．
(1)
当 时，函数为二次函数，
解得：a=±1，a≠-1，
∴a=1；
(2)
当 时，函数为一次函数，
解得：a=0，
当a+1=0，即a=﹣1时，函数为一次函数，
所以，当函数为二次函数时，a=1，当函数为一次函数时，a=0或﹣1．
【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
26．（1） ；（2） ；（3）当 时， 有最大值，最大值为2
【分析】（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ，设顶点式 ，将 代入
解析式，即可求得 的值，进而求得抛物线的解析式；
（2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧， 随 的增大而增大；
（3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且开口朝下，进而求得当 时，最值为2．
【详解】（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ，
设顶点式 ，将 代入得，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧， 随 的增大而增大，即 时， 随 的增大而增大，
（3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且开口朝下，
当 时， 有最大值，最大值为2．
【点睛】本题考查了二次函数 的图象与性质，掌握 的图象与性质是解题的关键．27．D
【分析】结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．
【详解】解：把点（-1，1）分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项B不符合题意；
又函数过第四象限，而y=x2只经过第一、二象限，故选项C不符合题意；
对于函数y=-x，当x＞0时，y随x的增大而减小，与给出的特征不符合，故选项A不符合题意．
对于函数 ，经过点（－1，1），图象经过第四象限，当 ＞0时， 随 的增大而增大，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，根据题中所给特征依次排除各个选项，排除法
是中考常用解题方法．
28．D
【分析】根据二次函数顶点式的性质进行分析即可解答．
【详解】解：A、对称轴是直线x＝2，故本选项不符合题意；
B、a＝1＞0，抛物线的开口向上，故本选项不符合题意；
C、y＝（x﹣2）2+1的最小值是y＝1，开口向上，所以抛物线与x轴没有交点，故本选项不符合题意；
D、当x＝0时，y＝5，所以与y轴交于点（0，5），故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的性质是解答本题的关键．
29．D
【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数 的对称轴为：直线 ，
（1）当 时，当 时， 随 的增大而减小，当 ， 随 的增大而增大，
当 时， 取得最小值，
，
；
（2）当 时，当 时， 随 的增大而增大，当 ， 随 的增大而减小，
当 时， 取得最小值，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键．
30．B【分析】抛物线的对称轴为 ，且开口向下，在 时，y随x的增大而增大，且 ，即可求
解．
【详解】解：函数的对称轴为 ，抛物线开口向下，
函数在 时，y随x的增大而增大，
∴ ，
而 ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是：找到二次函数的对称轴，利用函数增减性进行比较．
31．D
【分析】连接CD，易证 CED≌△BFD，则四边形CEDF的面积= ×S ACB，DE=DF，S EDF= ×（ x）2，于
△ △ △
是 CEF的面积y=四边形CEDF的面积-S EDF，根据函数关系式即可作出判断．
【△详解】解：连接CD， △
∵△ABC是等腰直角三角形，D为AB边的中点，
∴∠ECD=∠B=45°，CD=AD=BD，∠CDB=90°，
∵∠MDN=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
在 CED和 BFD中， ，
△ △
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴四边形CEDF的面积= S ACB=S CDB= ×BD2= ×52= ，DE=DF，
△ △
∵DE+DF=x，
∴S EDF= ×（ x）2= x2，
△∴△CEF的面积y=四边形CEDF的面积-S EDF= - x2(5 )，
△
图象是一段开口向下的抛物线，观察四个选项，只有选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，证明△CED≌△BFD，求出二次函数的解析式是解此题的关键．
32．B
【分析】根据函数解析式可得抛物线顶点在直线y=-x上，结合图象求解．
【详解】解：∵ y=（x-m）2-m，
∴抛物线顶点坐标为（m，﹣m），
∴抛物线顶点在直线y=﹣x上，
如图，当抛物线经过点B时，m取最大值，
∵四边形OABC为正方形，
∴AB=BC=2，
∴点B坐标为（2，2），
将（2，2）代入y=（x-m）2-m得2=（2-m）2-m，
解得m= 或m= （不符合题意，舍去）．
如图，当抛物线经过点A时，m取最小值，
将（0，2）代入y=（x-m）2-m得2=m2-m，
解得m=﹣1或m=2（不符合题意，舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
33．3
【分析】根据二次函数的定义，令|a|-1=2且a+3≠0即可解答．【详解】解：当|a|-1=2且a+3≠0时， 是二次函数，
∴a=-3（舍去），a=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，令最高次项为2，最高次项系数不为0即可．
34．
【分析】把点的坐标代入函数解析式计算即可得解．
【详解】解：∵点P(a， )在二次函数y=2x2的图象上，
∴ =2a2，即a2= ，
解得a=± ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了函数图象上的点的坐标满足函数解析式．
35．＜
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y，y 的值，比较后即可得出结论．
1 2
【详解】解：∵若点A(−1，y)，B(2，y)在抛物线y=2x2+m上，
1 2
y=2×（-1）2+m=2+m，y=2×22+m=8+m，
1 2
∵2+m＜8+m，
∴y﹤y．
1 2
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y，y 的值是解题的关
1 2
键．
36．
【分析】二次函数 开口向上，对称轴是直线 ，在对称轴两侧时，则 、 、 的横坐标离对
称轴越近，则纵坐标越小，由此判断 、 、 的大小．
【详解】解： 二次函数 ，
抛物线开口向上，对称轴是直线 ，
点 ， ， 在二次函数 的图象上，且 ，、 、 的大小关系为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
37． ②③ ①③⑤ ⑤⑥
【分析】因为二次函数的解析式均已确定﹐所以可结合二次函数解析式的特征对其性质作出判断．
【详解】（1）二次函数的图象的对称轴为直线x=-1，也就是在顶点式中h=-1，故满足条件的函数有②③．
（2）二次函数有最大值，也就是其函数图象是开口向下的，即a<0，故满足条件的函数有①③⑤．
（3）二次函数的图象关于x轴对称，也就是两个二次函数的二次项系数x互为相反数，且 h ，k 的值相同，故满
足条件的函数为⑤和⑥．
故答案为：（1）②③，（2）①③⑤，（3）⑤⑥
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，观察所给二次函数的解析式可知全为二次函数的顶点式，熟悉掌
握二次函数顶点，和对称轴是解题的关键．
38．
【分析】根据函数的对称轴可求出二次函数 与x轴的另一个交点，再根据二次函数的平移特点求出
y= 与x轴的交点，再根据二次函数的图象与性质即可求解．
【详解】∵二次函数 的对称轴为x=1，图象与x轴的一个交点为 ，
∴二次函数 与x轴的另一个交点为（3，0），
∵二次函数 向右平移1个单位得到y= ，
故二次函数y= 与x轴的交点为（0，0）和（4，0），
∵ ，
∴二次函数y= ＞0时，x的取值为 ，
∴关于x的不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查二次函数与不等式综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、平移的特点．
39．
【分析】先求得顶点A的坐标，然后根据题意得出B的横坐标，把横坐标代入抛物线 ，得出B点坐标，
从而求得A、B间的距离，最后计算面积即可．【详解】设AB交x轴于C
∵抛物线线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A，
∴A（2，1），
∵过点A作y轴的平行线交抛物线 于点B，
∴B的横坐标为2，OC=2
把x=2代入 得y=-3，
∴B（2，-3），
∴AB=1+3=4，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标是解题的关键．
40．(1) ，
(2)见解析
【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可．
（2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，可得
结论．
(1)
把点A（-4，8）代入 ，得：
∴ ；把点A（-4，8）代入 ，得：
∴ ；
(2)
如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．
∵直线AB的解析式为y=- x+6，
令x=0，则y=6
∴C（0，6），
∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°，
∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°，
∴∠ACM=∠CDN，
∵CA=CD，
∴△AMC≌△CND（SAS），
∴CN=AM=4，DN=CM=2，
∴D（-2，2），
当x=-2时，y= ×22=2，
∴点D在抛物线y= x2上．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添
加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
41．（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线 的解析式；
（2）先根据面积求得点 的纵坐标，再代入直线 的解析式可得其横坐标，然后将点 的坐标代入二次函数即
可得．【详解】解：（1）设直线 的解析式为 ，
将点 代入 得 ，解得 ，
故直线 的表达式为 ；
（2）如图，过点 作 轴于点 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
，
，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
解得 ，
将点 代入 得： ，
解得 ，
则 ，
将点 代入 得： ，
解得 ，
故 的值为 ．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．
42．(1) ；
(2)3；2
【分析】（1）把点 代入 ，求出a的值即可；再运用顶点坐标公式求出顶点坐标即
可；
（2）把C 代入 可求出m的值；再运用待定系数法求出直线AB的解析式，从而可求出平移后
押物线的顶点坐标，进一步可得结论．
(1)
将 代入 得： ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ，
∵ ， ，
∴顶点坐标为 ；
(2)
把C 代入 得，
，
设直线AB的解析式为 ，
将 ， 代入 得 ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为 ，
∵顶点的横坐标为2，∴把 代入 得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及二次函数图象的平移，正确理解题意是解答本题的关
键．
43．（1） ， ；（2） ；（3）12
【分析】（1）由图象可求得A点的坐标，由解析式可求得抛物线的对称轴方程，利用图象的对称性可求得B点坐
标；
（2）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值；
（3）由抛物线解析式可求得P点坐标，再结合A、B坐标可求得AB的值，则可求得△PAB的面积．
【详解】（1）由图象可知A点坐标为（−4，0），
∵ ，
∴抛物线对称轴方程为x＝−1，
∵A、B两点关于对称轴对称，
∴B的坐标为（2，0），
∴y= 的解为 ，
故答案为： ，
（2）解：由图象，知A（－4，0），
∴ ，
解得
（3）由 ，知P（－1，4），
时， ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴及顶点坐标的求法是解题的关键，即在y＝a
（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
44．（1）① ；②8；（2）① ；② 或【分析】（1）①用待定系数法即可求解；
②当−（x−1）2＋4＝0时，解得 x＝−1，x＝3．则AB＝3−（−1）＝4，进而求解；
1 2
（2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4，进而求解；
②观察函数图象即可求解．
【详解】解：（1）①把C（0，3）代入y＝−（x−1）2＋k，得3＝−（0−1）2＋k，
解得 k＝4．
∴y＝−（x−1）2＋4；
②由y＝−（x−1）2＋4．可知顶点D（1，4）．
当−（x−1）2＋4＝0时，
解得 x＝−1，x＝3．
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∴A（−1，0），B（3，0）．
∴AB＝3−（−1）＝4．
∴S＝ ×4×4＝8；
（2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4，
∴ ；
②从函数图象看，M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围为：x＜−1或0＜x＜1．
