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第二十六章 反比例函数(学霸加练卷)
(时间：60分钟，满分：100分)
一．选择题(共12小题，满分36分，每小题3分)
1．(2022•汉阳区校级模拟)请试用“数形结合”的思想判断方程x2＝ 的根的情况是( )
A．有三个实数根 B．有两个实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【分析】分别作出y＝x2与y＝ 的函数图象，根据两函数图象交点个数求解．
【解答】解：作出函数y＝x2与y＝ 的函数图象如下：
抛物线开口向上，顶点为原点，函数y＝ 的图象由函数y＝ 向右平移4个单位所得，
∴两函数图象在第一象限有1个交点．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数与反比例函数的性质，解题关键是掌握函数与方程的关系，通过数形结合求
解．
2．(2022•青秀区校级三模)如图，点A坐标为 ，直线 与函数 的图象交于点
B，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C，当AB+BC的值为最小时，则k的值为( )A． B． C． D．
【分析】在第一象限内作射线OM，使得OB平分∠AOM，过B作BD⊥OM于点D，连接AD，当点
A、B、D三点依次在同一直线上，且 AD⊥OM 时，AB+BC＝AB+BD＝AD的值最小，再证明此时
△ABC∽△AOD，根据相似三角形的性质列出b的方程求得b，便可求得结果．
【解答】解：在第一象限内作射线OM，使得OB平分∠AOM，过B作BD⊥OM于点D，连接AD，
则BC＝BD，
∴AB+BC＝AB+BD≥AD，
当点A、B、D三点依次在同一直线上，且AD⊥OM时，AB+BC＝AB+BD＝AD的值最小，
∵直线OB的解析式为：y＝ x，
∴可设此时B(b， b)，则BC＝BD＝ ，OC＝b，
∵A( ，0)，
∴AC＝ ﹣b，AB＝ ，
∵∠ACB＝∠ADO＝90°，∠BAC＝∠OAD，
∴△ABC∽△AOD，∴ ，即 ，
整理得5 ，
解得b＝ (舍)或b＝ ，
∴B( ， )，
把B( ， 代入y＝ ，得k＝ ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象与性质，一次函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，
关键在于确定AB+BC取最小值的位置及相似三角形的应用．
3．(2022春•社旗县期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y＝ (x＞0)的图象和矩形ABCD在第一
象限，AD平行于x轴，且AB＝2，AD＝4，点A的坐标为(2，6)．将矩形向下平移，若矩形的两个顶点
恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a的值为( )
A．a＝2.5 B．a＝3 C．a＝2 D．a＝3.5
【分析】如图，根据矩形的性质以及平移的性质，得到平移后A与C在反比例函数图象上，从而根据反
比例函数图象上的点的坐标特征解决此题．
【解答】解：如图．
由题意知，矩形平移到图示的位置时，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象．∵AB＝2，AD＝4，平移前点A的坐标为(2，6)，
∴平移后A坐标为(2，6﹣a)，平移后点C的坐标为C(6，4﹣a)．
∴2(6﹣a)＝6(4﹣a)．
∴a＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征、矩形的性质、平移，熟练掌握反比例函数图
象上的点的坐标特征、矩形的性质、平移的性质是解决本题的关键．
4．(2022•安顺模拟)如图，点A是反比例函数y＝ 在第一象限内的图象上的一个动点，连接AO并延长交
反比例函数的图象于另一点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，且点C在第二象限，随着点A的
运动，点C的位置也不断地变化，但始终在同一函数图象上运动，这个函数的解析式为( )
A．y＝﹣ x B．y＝﹣ C．y＝﹣ x D．y＝﹣
【分析】连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，
根据“AAS”可判定△COD≌△OAE，设A点坐标为(a， )，得出得出OD＝AE＝ ，CD＝OE＝a，最
后根据反比例函数图象上点C的坐标特征确定函数解析式．
【解答】解：如图，连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y＝ 的交点，∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC＝OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE＝90°，
∵∠DOC+∠DCO＝90°，
∴∠DCO＝∠AOE，
∴△COD≌△OAE(AAS)，
设A点坐标为(a， )，得出OD＝AE＝ ，CD＝OE＝a，
∴C点坐标为(﹣ ，a)，
∵﹣ •a＝﹣6，
∴点C在比例函数y＝﹣ (x＜0)图象上．
故选：D．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上
点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键．
5．(2022春•辉县市期末)如图，直线L和双曲线 交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，
过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为S 、
1
△BOD的面积为S 、△POE的面积为S ，比较S 、S 、S 的大小关系是( )
2 3 1 2 3
A．S ＜S ＜S B．S ＜S ＜S C．S ＜S ＝S D．S ＝S ＜S
1 2 3 3 1 2 3 1 2 1 2 3
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义以及一次函数与反比例函数的交点坐标进行判断即可．
【解答】解：如图，设PE与双曲线的交点为Q，连接OQ，由于点A、点Q、点B在反比例函数 图象上，
所以S△AOC ＝S△QOE ＝S△BOD ，而S△QOE ＜S△POE ，
即S ＝S ＜S ，
1 2 3
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，一次函数与反比例函数的交点坐标特征，理解反比例
函数系数k的几何意义是正确解答的前提．
6．(2022春•姜堰区期末)函数y＝ +3的图象可以由y＝ 的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个
单位得到．根据所获信息判断，下列直线中与函数y＝ ﹣2的图象没有公共点的是( )
A．经过点(0，2)且平行于x轴的直线
B．经过点(0，﹣3)且平行于x轴的直线
C．经过点(﹣1，0)且平行于y轴的直线
D．经过点(1，0)且平行于y轴的直线
【分析】根据题意可以知道平移后的反比例函数不会与直线x＝1、直线y＝﹣2相交，判断出答案即可．
【解答】解：根据题意可知，如下图所示，图1根据题意平移后得到图2，
函数y＝ ﹣2的图象是函数y＝ 的图象向右平移1个单位，在向下平移2个单位得到的，
∴由反比例函数的图象的性质和平移的定义可知，函数y＝ 的图象与直线x＝1、直线y＝﹣2不
会相交．故选：D．
【点评】考查了平移的定义和反比例函数、一次函数的图象的性质，关键要掌握平移的定义、一次函数
和反比例函数图象性质．
7．(2022春•上虞区期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴
上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函数 (k＞0，x＞0)的图象经
过点B，则k的值为( )
A． B．8 C．6 D．
【分析】作BF⊥x轴于点F，根据有一个30°角的直角三角形的性质，求出各边的长，得B的坐标，即
可求出k的值．
【解答】解：如图，作BF⊥x轴于点F，∵∠OAE＝30°，AE＝DE＝ AD＝2，
∴OE＝ AE＝1，∠AEO＝60°，
∴OA＝ ，∠CED＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴CE＝2DE＝4，
∴CD＝2 ，
∴ ，
在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，
∴AF＝ AB＝ ，BF＝3，
∴B的坐标为(2 ，3)，
∴ ＝6 ．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数k的求法和解直角三角形，解题的关键是掌握一个30°角的直角三角形
的性质．
8．(2022春•沙坪坝区期末)在平面直角坐标系中，若反比例函数y＝ 的图象在第一、三象限，则关于x
的一元二次方程(a+1)x2﹣3x+1＝0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是( )
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．﹣1
【分析】根据反比例函数的性质可得a+3＞0，从而可得a＞﹣3，根据一元二次方程有实数根，从而可
得Δ≥0，然后可得﹣3＜a≤ ，从而可得所有满足条件的整数a的值，最后进行计算即可解答．
【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴a+3＞0，
∴a＞﹣3，
∵一元二次方程有实数根，
∴Δ≥0且a+1≠0，
∴(﹣3)2﹣4(a+1)•1≥0且a+1≠0，
∴a≤ 且a≠﹣1，
∴﹣3＜a≤ 且a≠﹣1，
∴所有满足条件的整数a的值为﹣2，0，1，
∴所有满足条件的整数a的值之和为﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程的定义，根的判别式，熟练掌握这些数学
概念是解题的关键．
9．(2022 春•邗江区期末)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 分别在函数 ，
的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的
面积为9， ．则k的值为( )
A．﹣9 B．3 C．﹣6 D．﹣3
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S矩形OMAE ＝6，再根据三角形的面积公式可得S△ABD ＝
S△ABC ＝6＝ S矩形AMNB ，进而求出S矩形AMNB 和S矩形ONBE ，由反比例函数系数k的几何意义可求出k的值．
【解答】解：如图，过点A、点B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，∵点A在反比例y＝ 的图象上，
∴S矩形OMAE ＝6，
又∵△ABC的面积为9， ．
∴S△ABD ＝ S△ABC ＝ ×9＝6＝ S矩形AMNB ，
∴S矩形AMNB ＝12，
∴S矩形ONBE ＝12﹣6＝6＝|k|，
又∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数
系数k的几何意义是解决问题的前提，求出S△ABD 、S矩形AMNB 、S矩形ONBE 是正确解答的关键．
10．(2022春•邗江区期末)如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线 (x＞0)上，
连接BC交AD于P，连接OP，则图中S△OBP 是( )
A． B．3 C．6 D．12
【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知∠AOB＝∠CAD＝60°，故可得出AD∥OB，所以
S△ABP ＝S△AOP ，故S△OBP ＝S△AOB ，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出
结论．【解答】解：如图：
∵△AOB和△ACD均为正三角形，
∴∠AOB＝∠CAD＝60°，
∴AD∥OB，
∴S△ABP ＝S△AOP ，
∴S△OBP ＝S△AOB ，
过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE ＝S△ABE ＝ S△AOB ，
∵点B在反比例函数y＝ 的图象上，
∴S△OBE ＝ ×6＝3，
∴S△OBP ＝S△AOB ＝2S△OBE ＝6．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到等边三角形的性质及反比例函数系数 k的几何意义等
知识，难度适中．
11．(2022春•沙坪坝区校级期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，顶点
A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点D是斜边AC的中点．若反比例函数y＝ (x＜0)的图象经过
D，C两点，OA＝4，OB＝2，则k的值为( )A．﹣8 B． C．﹣6 D．
【分析】设出点C坐标，表示其中点D坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点C的坐标，
再代入反比例函数的关系式可求出k的值．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，
由于反比例函数y＝ (x＜0)的图像经过C点，可设点C(a， )，则CE＝﹣a，
∵点A(﹣4，0)，点C(a， )，点D是AC的中点，
∴点D( ， )，
又∵反比例函数y＝ (x＜0)的图像经过D点，
∴ × ＝k，
解得a＝﹣ ，
经检验a＝﹣ 是原方程的根，
∴CE＝ ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE，
∵∠AOB＝∠BEC＝90°，∴△AOB∽△BEC，
∴ ＝ ，
又∵A(﹣4，0)，B(0，2)，即OA＝4，OB＝2，CE＝ ，
∴BE＝2CE＝ ，
∴OE＝OB+BE＝2+ ＝ ，
∴点C(﹣ ， )，
∴k＝﹣ × ＝﹣ ，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数图象上
点的坐标特征是解决问题的前提．
12．(2022春•北碚区校级期末)如图，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，点E为正方形ABCD中CD边的五等
分点，且CE＝ CD，双曲线y＝ (k≠0，x⟩0)的图象过点E，则k为( )A． B． C． D．
【分析】根据正方形的性质以及全等三角形的判定和性质可求出点 D、点C的坐标，再根据平行线分线
段成比例可求出点E坐标即可．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥y轴于F，过点D作DG⊥x轴于G，过C、E分别作x轴的垂线，垂
足分别为M、N，
∵直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，与x轴，y轴分别相交于点A，点B，
∴点A(1，0)，点B(0，2)，
即OA＝1，OB＝2，
∴AB＝ ＝ ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝CD＝ ，
∴∠OAB+∠GAD＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠OBA＝∠GAD，
∵∠AOB＝∠DGA＝90°，
∴△AOB≌△DGA(AAS)，
∴OA＝DG＝1，OB＝GA＝2，
同理OA＝BF＝1，OB＝FC＝2，
∴点C(2，3)，D(3，1)，
∵CE＝ CD，CM∥EN∥DG，
∴MN＝ MG＝ (3﹣2)＝ ，
∴ON＝OM+MN＝2+ ＝ ，
∴EN＝ (3﹣1)+1＝ ，
∴点E( ， )，
又∵点E在反比例函数y＝ 的图象上，∴k＝ × ＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及平行
线分线段成比例，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及
平行线分线段成比例定理，是正确解答的前提．
二．填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)
13．(2022•长兴县开学)如图，四边形OABC为矩形，点A在第三象限，点A关于OB的对称点为点D，点
B，D都在函数 的图象上，BE⊥y轴于点E．若DC的延长线交y轴于点F，当矩形
OABC的面积为6时， 的值为 ．
【分析】如图，连接BF，OD．首先证明△OBD≌△BOC，推出DF∥OB，推出 ＝ ＝
＝ ＝ ．
【解答】解：如图，连接BF，OD．由矩形的性质和对称性的性质可知，△OBD≌△BOC，
∴DF∥OB，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义等知识，解决问题的关键
是学会利用面积法解决问题．
14．(2022春•永春县期中)如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD∥x轴，BD∥y轴，且BD＝2，
∠ADB＝135°，S△ABD ＝4，若反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过A、D两点，则k的值是 1 2 ．
【分析】根据三角形面积公式求得AE＝4，易证得△AOM≌△CBD(AAS)，得出OM＝BD＝2，根据题意
得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AE＝2，设A(m，2)，则D(m﹣4，6)，根据反比例函数的定
义得出关于m的方程，解方程求得m＝6，即可求得k＝12．
【解答】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOM＝∠CNM，
∵BD∥y轴，
∴∠CBD＝∠CNM，
∴∠AOM＝∠CBD，
∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，
∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，
∴∠CDB＝∠AMO，
∴△AOM≌△CBD(AAS)，
∴OM＝BD＝2，
∵S△ABD ＝ BD•AE＝4，
∴AE＝4，
∵∠ADB＝135°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝4，
∴D的纵坐标为6，
设A(m，2)，则D(m﹣4，6)，
∵反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过A、D两点，
∴k＝2m＝(m﹣4)×6，
解得：m＝6，
∴k＝12．故答案为：12．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性
质，三角形的面积等，表示出A、D的坐标是解题的关键．
15．(2022•鄞州区校级模拟)如图，矩形ABCD中，点B，C在x轴上，AD交y轴于点E，点F在AB上，
＝ ，连结CF交y轴于点G，过点F作FP∥x轴交CD于点P，点P在函数y＝ (k＜0，x＜0)的
图象上．若△BCG的面积为2，则k的值为 ﹣ 4 ；△DEG的面积与△BOG的面积差为 1 ．
【分析】设C(c，0)，B(b，0)，则BC＝b﹣c，根据△BCG的面积为2，求得OG，再由OG∥BF，得
，求得BF，进而得出P(c，﹣ )，再用待定系数法求得k； ＝ ，求得AB，再求得△DEG
的面积，进而求得结果．
【解答】解：设C(c，0)，B(b，0)，则BC＝b﹣c，
∵△BCG的面积为2，
∴ OG＝2，
∴OG＝ ，
∵OG∥BF，
∴ ，
∴BF＝ ＝﹣ ，
∴PC＝BF＝﹣ ，
∴P(c，﹣ )，
把P(c，﹣ )代入y＝ ，得k＝﹣4；∵ ＝ ，
∴CD＝AB＝ ，
∴DE＝c，EG＝﹣ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：﹣4；1．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质，平行线与比例线段的性质，三角形的
面积公式，关键是数形结合解决问题．
16．(2022•开福区校级一模)如图，反比例函数 (k≠0)的图象经过△ABD的顶点A，B，交BD于点C，
AB经过原点，点D在y轴上，若BD＝3CD，△ABD的面积为30，则k的值为 ﹣ ．
【分析】连接OC．作CE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．根据题意设C(m， )，则B(4m， )，证明
S△OBC ＝S梯形CEFB ，用k表示S△OBC ，由BD＝4CD，△OBD的面积为15，求得S△OB 进而列出k的方程，
即可解决问题．
【解答】解：连接OC．作CE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．根据题意设C(m， )，则B(3m， )，
∵S△OBC ＝S四边形OCBF ﹣S△OBF ＝S四边形OCBF ﹣S△OEC ＝S梯形CEFB ，
∴S△OBC ＝ (﹣ ﹣ )•(3m﹣m)＝﹣ k，
∵双曲线关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△ABD的面积为30，
∴△OBD的面积为15，
∵BD＝3CD，
∴ ＝10，
∴﹣ ＝10，
∴k＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是学会
利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
17．(2022•黄石)如图，反比例函数y＝ 的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，
△OCE的面积为6，则k＝ 8 ．【分析】先设点A(a， )，C(c，0)，进而得出点E的坐标，再由点E在反比例函数图象上，得出c＝
3a，最后由△OCE的面积为6，建立方程求出k的值．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，
设点A(a， )，C(c，0)，
∵点E是矩形ABCD的对角线的交点，
∴E( ， )，
∵点E在反比例函数y＝ 的图象上，
∴ ＝k，
∴c＝3a，
∵△OCE的面积为6，
∴ OC•EH＝ c• ＝ ×3a• ＝6，
∴k＝8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，三角形的面积公式，待定系数法，判断出c＝3a是解本题的关键．
18．(2022春•诸暨市期末)如图，直线AC与反比例函数y＝ (k＞0)的图象相交于A、C两点，与x轴交于点D，过点D作DE⊥x轴交反比例函数y＝ (k＞0)的图象于点E，连结CE，点B为y轴上一点，满足
AB＝AC，且BC恰好平行于x轴．若S△DCE ＝1，则k的值为 6 ．
【分析】由等腰三角形的性质可得BF＝FC，即点C的横坐标是点A横坐标的2倍，可设点A的坐标，
进而得出点C的坐标，由点A、点C的纵坐标得出AF＝CN，进而利用全等三角形得出点E的横坐标为
3a，利用反比例函数图象上点的坐标特征得出点E的纵坐标，再利用三角形的面积可得k的值．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥x轴，交BC于点F，垂足为M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，
∵AB＝AC，
∴AF＝FC，
由于点A、点C在反比例函数y＝ 的图象上，
可设点A(a， )，即BF＝OM＝a，AM＝ ，
∴ON＝BC＝2BF＝2a，
∴点C(2a， )，即CN＝ ，
∴AF＝AM﹣CN＝ ，
∴AF＝CN，
在△AFC和△CND中，
，
∴△AFC≌△CND(AAS)，
∴FC＝ND＝a，
∴点E的横坐标为3a，又∵点E在反比例函数y＝ 的图象上，
∴点E的纵坐标为 ，
即DE＝ ，
∵S△DCE ＝1，即 DE•ND＝1，
∴ × ×a＝1，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，以及一次函数与反比例函数的交点坐标，利用坐标
表示线段的长是解决问题的关键．
三．解答题(共6小题，满分46分)
19．(6 分)(2022•仓山区校级模拟)如图，直线 y＝ax+b(a≠0)与 x 轴交于点 A(2，0)，与反比例函数
的图象交于点B(m，1)，将直线AB绕点A逆时针旋转90°后与y轴交于点C(0，4)，求不
等式 的解集．
【分析】如图，过点B作BG⊥x轴于G，证明△COA∽△AGB，列比例式可得结论．【解答】解：∵点A(2，0)，点B(m，1)，点C(0，4)，
∴OA＝2，OC＝4，
如图，过点B作BG⊥x轴于G，
∴∠AGB＝90°，BG＝1，
∴∠BAG+∠ABG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAG+∠OAC＝90°，
∴∠OAC＝∠ABG，
∵∠AOC＝∠AGB＝90°，
∴△COA∽△AGB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AG＝2，
∴B(4，1)，
∴不等式 的解集是：0＜x＜4．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解决此类问题中，利用坐标确定三角形各边
的长，证明三角形相似是解本题的关键．
20．(6分)(2022•冷水滩区校级开学)如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，AB∥x轴，OB＝2，双曲
线y＝ 经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D在x轴的正半轴上．若AB的对应
线段CB恰好经过点O．
(1)求点B的坐标和双曲线的解析式；
(2)判断点C是否在双曲线上，并说明理由．【分析】(1)先判定△BOD是等边三角形，即可求出B的坐标，理由待定系数法求出双曲线的解析式；
(2)求出OB＝OC，再求出C的坐标，根据点C的坐标判断C是否在双曲线上．
【解答】解：(1)∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝∠BOD，
由旋转可知∠ABO＝∠CBD，
∴∠BOD＝∠CBD，
∴OD＝BD，
由旋转知OB＝BD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴B(1， )，
∵双曲线y＝ 经过点B，
∴k＝xy＝1× ＝ ．
∴双曲线的解析式为y＝ ．
(2)∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2OB，
由旋转知AB＝BC，
∴BC＝2OB，
∴OC＝OB，
∴点C(﹣1，﹣ )，
把点C(﹣1，﹣ )代入y＝ ，
﹣ ＝﹣ ，
∴点C在双曲线上．【点评】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，特定
系数法求二次函数的解析式，等边三角形的判定是解题的关键．
21．(7分)(2022春•拱墅区校级期末)如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例四数y＝ 的图象相交于
A(1，3)，B(﹣3，n)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)当一次函数的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．
(3)直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，△ACP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标．
【分析】(1)将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析
式求n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数
解析式；
(2)由A与B的横坐标，以及0，将x轴分为4个范围，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时x
的范围即可；
(3)先求出C的坐标，根据面积相等求出PC的长度，进一步求出P点坐标．
【解答】解：(1)将A(1，3)代入反比例解析式得：m＝3，
则反比例解析式为y＝ ；
将B(﹣3，n)代入反比例解析式得：n＝﹣1，即B(﹣3，﹣1)，
将A与B坐标代入y＝kx+b中，得： ，
解得： ，
则一次函数解析式为y＝x+2；
(2)由图象得：一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞1；(3)对于一次函数y＝x+2，令y＝0，得到x＝﹣2，即OC＝2，
则S△AOB ＝S△AOC +S△BOC ＝ ×2×3+ ×2×1＝4．
∴S△ACP ＝4，
∴PC＝ ，
∴P(﹣ ，0)或( ，0)．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法
确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．(7 分)(2022•庆阳二模)如图，一次函数 y＝x+b 与反比例函数 和反比例函数
的图象交于A(1，n)，B(m，5)两点．
(1)求一次函数y＝x+b和反比例函数 的解析式；
(2)根据图象直接写出 成立的x的取值范围；
(3)求△AOB的面积．
【分析】(1)根据反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，代入相应的函数关系式即可确定函数关
系式；
(2)由三个函数的图象以及交点坐标，结合函数的增减性可得答案；
(3)求出直线AB的关系式，进而求出直线AB与y轴的交点坐标，再由三角形的面积的计算方法进行计
算即可．
【解答】解：(1)∵一次函数y＝x+b与反比例函数 的图象交于A(1，n)，∴n＝ ＝4，
∴点A(1，4)，
把A(1，4)代入y＝x+b中，得b＝3，
∴一次函数的表达式为y＝x+3，
把B(m，5)代入y＝x+3中，得m＝2，
把B(2，5)代入y＝ (x＞0)中，得k＝10，
∴反比例函数的表达式为y＝ ，
(2)由三个函数的图象及交点坐标可得，
当 时，相应的自变量x的取值范围为1＜x＜2；
(3)设直线y＝x+3与y轴交于C点．
∵当x＝0时，y＝3，
∴C(3，0)，即OC＝3，
∴S△AOB ＝S△BOC ﹣S△AOC
＝ ×2×3﹣ ×3×1
＝ ．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点坐标，掌握待定系数法求函数关系式以及根据关系
式求交点坐标是正确解答的前提．
23．(9分)(2022•开封二模)如图，平面直角坐标系中，反比例函数y＝ (n≠0)与一次函数y＝kx+b(k≠0)的
图象相交于点A(1，m)，B(﹣3，﹣1)两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)直接写出kx+b＞ 的解集；
(3)已知直线AB与y轴交于点C，点P(t，0)是x轴上一动点，作PQ⊥x轴交反比例函数图象于点Q，当
以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2时，求t的值．【分析】(1)把点B坐标可确定反比例函数关系式，进而确定点A的坐标，然后利用待定系数法求出一
次函数的关系式；
(2)由图象的交点坐标以及函数的增减性直接得出答案；
(3)利用点P坐标和三角形的面积公式列方程求解即可．
【解答】解：(1)点B(﹣3，﹣1)在反比例函数y＝ 的图象上，
∴n＝﹣3×(﹣1)＝3，
∴反比例函数的关系式为y＝ ，
当x＝1时，m＝ ＝3，
∴点A(1，3)，
把A(1，3)，B(﹣3，﹣1)代入y＝kx+b得，
，
解得 ，
∴一次函数的关系式为y＝x+2，
答：反比例函数关系式为y＝ ，一次函数的关系式为y＝x+2；
(2)由图象可知，不等式kx+b＞ 的解集为x＞1或﹣3＜x＜0；
(3)一次函数的关系式为y＝x+2与y轴的交点C(0，2)，即OC＝2，
当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2，
即S△COP +S△POQ ＝2，而S△POQ ＝ |k|＝ ，∴ ×|t|×2+ ＝2，
即|t|＝ ，
∴t＝
因此t＝ 时，使以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数图象的交点坐标，利用待定系数法求函数关系式以及由函数关
系式求交点坐标是解决问题的关键．
24．(11分)(2022•绵阳)如图，一次函数y＝k x+b与反比例函数y＝ 在第一象限交于M(2，8)、N两点，
1
NA垂直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为38．
(1)求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN的面积最小时点P的位置(不需
证明)，并求出点P的坐标和△PMN面积的最小值．
【分析】(1)利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而利用四边形的面积得出 (8+ )•(m﹣2)＝
30，解方程即可求得N的坐标，然后把M、N的坐标代入y＝k x+b，进一步求得一次函数的解析式；
1
(2)求出与直线MN平行且在第三象限内与反比例函数y＝ 有唯一公共点的坐标即为点P的坐标，此
时△PMN面积的最小，利用三角形、梯形面积以及各个部分面积之间的关系进行计算即可．
【解答】解：(1)∵反比例函数y＝ 过点M(2，8)，∴k ＝2×8＝16，
2
∴反比例函数的解析式为y＝ ，
设N(m， )，
∵M(2，8)，
∴S△OMB ＝ ＝8，
∵四边形OANM的面积为38，
∴四边形ABMN的面积为30，
∴ (8+ )•(m﹣2)＝30，
解得m ＝8，m ＝﹣ (舍去)，
1 2
∴N(8，2)，
∵一次函数y＝k x+b的图象经过点M、N，
1
∴ ，解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+10；
(2)与直线MN平行，且在第三象限与反比例函数y＝ 有唯一公共点P时，△PMN的面积最小，
设与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x+n，当与y＝ 在第三象限有唯一公共点时，
有方程﹣x+n＝ (x＜0)唯一解，
即x2﹣nx+16＝0有两个相等的实数根，
∴n2﹣4×1×16＝0，
解得n＝﹣8或x＝8(舍去)，
∴与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x﹣8，
∴方程﹣x﹣8＝ 的解为x＝﹣4，
经检验，x＝﹣4是原方程的解，当x＝﹣4时，y＝ ＝﹣4，
∴点P(﹣4，﹣4)，
如图，过点P作AN的垂线，交NA的延长线于点Q，交y轴于点D，延长MB交PQ于点C，由题意得，
PD＝4，DQ＝8，CD＝2，MC＝8+4＝12，NQ＝2+4＝6，
∴S△PMN ＝S△MPC +S梯形MCQN ﹣S△PNQ
＝ ×6×12+ (12+6)×6﹣ ×12×6
＝36+54﹣36
＝54，
答：点P(﹣4，﹣4)，△PMN面积的最小值为54．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式，
掌握反比例函数与一次函数的交点坐标的计算方法是正确解答的前提，根据坐标得出相应线段的长是计
算面积的关键．
