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第二十六章 反比例函数真题模拟题拔高训练
1．（2023·青海西宁·统考中考真题）已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流 （单位： ）与电阻
（单位： ）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是
，那么此用电器的电阻是 ．
【答案】
【分析】设 ，根据函数图象得出 ，进而即可求解．
【详解】解：设 ，依题意，
∴ ，
当 时，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
2．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，将线段 绕点 逆时
针旋转 ，得到线段 ，连接 ，点 恰好落在反比例函数 （ ）的图象上，则 的值是
．【答案】
【分析】过点 作 轴于点 ，由旋转的性质得， ， ，在 中求出 、
的长，即可得出点 的坐标，代入反比例函数解析式即可求出 的值．
【详解】解∶过点 作 轴于点 ，
由旋转的性质得， ， ，
∵点 的坐标为 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得 ．
∴ ，
∴点 的坐标为 ， ，
∵点 恰好落在反比例函数 的图象上，
∴ ，
故答案为∶ ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化之旋转，解答本题的关键是求出
点 的坐标．
3．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，直线 与双曲线 交于点 和点
，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵把 ，直线 与双曲线 交于点 和点 ，
∴当 时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方，
∴不等式 的解集是： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结
合的思想是解此题的关键．
4．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，点 和 在反比例函数 的图象上，其
中 ．过点A作 轴于点C，则 的面积为 ；若 的面积为 ，则
．【答案】 2
【分析】根据 ，得出 ，根据三角形面积公式，即可求出 的面积；过点B作
轴于点D， 交 于点E，根据 ， ，得出
，进而得出 ，根据梯形面积公式，列出方程，化简得 ，令 ，
则 ，求出x的值，根据 ，得出 ，即 ，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点B作 轴于点D， 交 于点E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
整理得： ，
令 ，
则 ，
解得： （舍）， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ，2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，
灵活运用面积关系建立方程．
5．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以 ， 为边，在x轴上方作正方
形 ， ．反比例函数 的图象分别交边 ， 于点P，Q．作 轴于点M，
轴于点N．若 ，Q为 的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．【答案】24
【分析】设 ，则 ，从而可得 、 ，由正方形的性质可得 ，由
轴，点P在 上，可得 ，由于Q为 的中点， 轴，可得 ，则
，由于点Q在反比例函数 的图象上可得 ，根据阴影部分为矩形，且长为 ，
宽为a，面积为6，从而可得 ，即可求解．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在正方形 中， ，
∵Q为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵Q在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵P在 上，∴P点纵坐标为 ，
∵P点在反比例函数 的图象上，
∴P点横坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知
识是解题的关键．
6．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，点A是反比例函数 的图象上一点，过点A作
轴，垂足为点C，延长 至点B，使 ，点D是y轴上任意一点，连接 ， ，若 的
面积是6，则 ．
【答案】
【分析】连结 、 ， 轴，由 得到 ．由 得到
，则 ，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值．【详解】解：如图，连结 、 ，
∵ 轴，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∵图象位于第一象限，则 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数
形结合的思想是解答问题的关键．
7．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 与反比例函数
的图象相交于 ，B两点．
(1)求反比例函数的解析式；(2)若点C为x轴正半轴上一点，且满足 ，求点C的坐标．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）先求出A点坐标，再代入反比例函数解析式即可．
（2）根据反比例函数的对称性可求出 的长，再由 并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半，可求得 的长，进而解决问题．
【详解】（1）解：∵点 在一次函数 的图象上，
∴
∴点A的坐标为 ．
∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ．
∴反比例函数的解析式为 ．
（2）解：过A点作y轴的垂线，垂足为点H，
∵ ，
则 ， ．
由勾股定理，得 ,
由图象的对称性，可知 ．
又∵ ，
∴ ．∴C点的坐标为 ．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟知反比例函数和一次函数的对称性是解题的关键．
8．（2022·山东枣庄·统考中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果
显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即
整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）
的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3
天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数
表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【答案】(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
(2)y＝ （x≥3）；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析．
【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可；
（2）设函数的表达式为：y= ，把C点坐标代入，求出k的值即可；
（3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可．
【详解】（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ，
解得：k=﹣2.5，b=12
∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；
（2）解：当x≥3时，设y= ，
把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5= ，
解得k=13.5，
∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；
（3）解：能，理由如下：
当x=15时，y= =0.9，
因为0.9＜1，
所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关
键．
9．（2023·宁夏·统考中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压
是气体体积 （ ）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过 时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为
多少时气球不会爆炸（球体的体积公式 ， 取3）；
(2)请你利用 与 的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【答案】(1)气球的半径至少为 时，气球不会爆炸；(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【分析】（1）设函数关系式为 ，用待定系数法可得 ，即可得当 时， ，
从而求出 ；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【详解】（1）设函数关系式为 ，
根据图象可得： ，
，
当 时， ，
，
解得： ，
，
随 的增大而减小，
要使气球不会爆炸， ，此时 ，
气球的半径至少为 时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出
反比例函数的解析式．
10．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，点 和 是一次函数 的图象与反比例
函数 的图象的两个交点．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当 为何值时， ？
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．
【详解】（1）解：将点 代入 ，
，
，
将 代入 ，
，
，
将 和 代入 ，
，解得： ，
；
（2）解：根据图象可得，当 时， 的取值范围为： ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
求 的取值范围，从函数图象的角度看，是确定直线在双曲线上方（或下方）部分所有的点的横坐标所构
成的集合．
11．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，
，过点A作 轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使 ，连接 ， ．若
的面积是6．(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为第一象限内直线 上一点，且 的面积等于 面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据 ，可得三角形面积之比，计算出 的面积，面积乘2即为 ，解析
式可得；
（2）根据点的坐标求出直线 的解析式为 ，设符合条件的点 ，利用面积的倍数关系
建立方程解出即可．
【详解】（1）解：∵ ， 的面积是6，
∴ ，
∴ ，
∵图象在第二象限，
∴ ，
∴反比例函数解析式为： ；
（2）∵点 ， ，在 的图象上，
∴ ， ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 轴交x轴于点C，
∴ ，
∴ ，
设直线 上在第一象限的点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．
12．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正六边形 的对称中心
在反比例函数 的图象上，边 在 轴上，点 在 轴上，已知 ．
(1)判断点 是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
(2)求出直线 ： 的解析式，并根据图象直接写出当 时，不等式 的解集．【答案】(1)点E在该反比例函数的图象上，理由见解析
(2) ，
【分析】（1）根据正六边形的性质得出 ， ，则 ，
，得出 ， ，
连接 ，推出 为等边三角形，得出 ，则反比例函数表达式为把 ，
代入 ，求出 ，即可解答；
（2）把 ， 代入 ，求出a和b的值，即可得出直线 的解析式，根据
图象，找出直线 位于双曲线上方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵六边形 为正六边形， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
连接 ，
∵六边形 为正六边形，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ，∴反比例函数表达式为 ．
∵ 为等边三角形，
∴点E和点A关于 对称，
∴ ，
把 代入 得： ，
∴点E在该反比例函数的图象上；
（2）解：把 ， 代入 得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∵ ， ，
∴由图可知，当 时， ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，正六边形的性质，解题的关键是掌握用待
定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正六边形的性质．
一、单选题
1．（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）如图，已知正方形 的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数 的图象上两点．若点D的坐标是 ，则 的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由几何意义得 ，进而得 ，证明出 ，再由正方形
的面积为4，求出 即可．
【详解】解：如图，延长 、 交y轴于点E、F，延长 、 交x轴于点M、N，
由 的几何意义得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点D的坐标是 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵正方形 的面积为4，
∴ ， 而 ，
∴ ．故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数性质的应用，正方形的性质， 的几何意义的应用是解题关键．
2．（2023·广东揭阳·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，函数 与 的图象交于A，B两点，
过A作y轴的垂线，交函数 的图象于点C，连接 ，则 的面积为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【分析】连接 ，根据图象先证明 与 的面积相等，再根据题意分别计算出 与
的面积即可得 的面积．
【详解】解：连接 ，设 与y轴交于点D，如图，
∵反比例函数 与函数 的图象为中心对称图形，
∴O为 的中点，
∴ ，
∵由题意得A点在 上，B点在 上，
∴ ， ；∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次
函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算．
3．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压
（ ）是气体体积 （ ）的反比例函数，如图，当气球内的气压大于 时，气球将爆炸，为
了安全起见，气球体积 应（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得 与 成反比例，设气球内气体的气压 和气体的体积 之间的函数关系式为
，代入 ，求出解析式，由 ，求出 的范围即可．
【详解】解：设气球内气体的气压 和气体的体积 之间的函数关系式为 ，
∵图象过 ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
∵在第一象限内 随 的增大而减小，∴当 时， ，即 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上已知点的坐标，
利用待定系数法求出函数解析式．
4．（2023·河南信阳·校考三模）湿度是指空气的干湿程度，或含有的水蒸气的多少，天气预报中最常用的
是相对湿度，相对湿度是空气中实际水蒸气含量与同温度下的最大可容纳水蒸气含量的百分比值，符号
为%RH．人体感觉舒适的湿度一般为40%RH~70%RH．如图1所示为某实验室的自动除湿机简化后的电路
图，R为装在除湿机内的湿敏电阻，其阻值随相对湿度 变化的图象如图2所示，当湿敏电阻R的阻值发
生变化时，控制电路中线圈的电流I随之发生变化，控制电路中总电阻 （调控电阻 和湿敏电阻R的阻
值之和，其他忽略不计）与电流I的关系图象如图3所示，当电流大于或等于20mA时，L的两个磁性弹片
相互吸合，工作电路的压缩机开始带动系统进行除湿．下列说法不正确的是（ ）
A．相对湿度越高，湿敏电阻R的阻值越小
B．当相对湿度为35%RH时，湿敏电阻R的阻值为150Ω
C．当湿敏电阻R的阻值为50Ω时，实验室内的相对湿度在人体感觉舒适的湿度范围内
D．当相对湿度为45%RH时，若要压缩机开始工作，则调控电阻 的阻值不能低于500Ω
【答案】D
【分析】根据所给条件和函数图象，逐条分析判断即可．
【详解】由题图2，可知湿敏电阻R的阻值随相对湿度 的增大而减小，且当 时， ，
故选项A，B说法正确，不符合题意．
当 时， ，在40%RH~70%RH范围内，故选项C说法正确，不符合题意．当 时，湿敏电阻 ．若要压缩机开始工作，则电流 ， ．
∴调控电阻 ，故选项D说法错误，符合题意．
故选D
【点睛】本题考查了函数及其图象的意义，正确读取图象信息是解题的关键．还要明白在电压一定时，电
阻越大电流越小．
5．（2023·广东东莞·统考一模）如图， 的顶点A，C的坐标分别为 ， ，
，函数 的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理，等腰三角形判定与性质，根据A、C的
坐标分别是 可知 ，进而可求出 ，由 ，又可求 ，通过作垂线构造等
腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．
【详解】解：过点B作 轴，垂足为D，
∵A、C的坐标分别是 ，
，在 中， ，
又 ，
，
又 ，
，
，
，
，
代入 得： ，
故选：D．
6．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）已知点 ， 在函数 的图象上，有下列命题：
①此函数的图象是轴对称图形；
②若 ，则 ；
③连接AB，OA，OB，若 ，则 ．其中的真命题是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，逐项进行判断即可
【详解】解：当 ， （第一象限）；当 ， （第二象限）
画图象如图，所以，①此函数的图象是轴对称图形；故①成立；
②在第一象限内y随x增大而减小，故②成立；
③∵ ，
∴
又点 在函数 的图象上，
∴
故③成立．
故选：D
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数 的图象是双曲线；熟练掌握其性质
是解答此题的关键．
二、填空题
7．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学校联考一模）如图， 为双曲线 上的一点， 轴，垂足为
， 交双曲线 于 ， 轴，垂足为 ， 交双曲线 于 ，连接 ，则 的面
积是 ．
【答案】
【分析】设 ，求得 、 的坐标，进而求得 、 ，最后根据三角形的面积公式求得结果．
【详解】设 ，则 ， ，∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形的面积，解题的关键用 点的横坐标
表示 与 ．
8．（2023·广东云浮·统考一模）某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血
液中的含药量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量
不少于 毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为 小时．
【答案】
【分析】将点 分别代入 ， 中，求出k、m，确定出函数关系式，再把 代入两个函
数式中求出对应的t，把所求两个时间t作差即可．
【详解】解：由题意可得，
当 时， ，
当 时，设函数关系式为 ，
将 代入可得： ，
所以y与t的函数关系式为 ；
当 时，函数关系式为 ，
将 代入可得： ，
所以y与t的函数关系式是： ；当 时，将 代入 可得： ，
解得： ；
当 时，将 代入可得： ，
解得： ．
（小时），
所以成年人服药一次有效的时间是 小时．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了反比例函数和一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
9．（2022·安徽合肥·校考三模）如图，直线 与反比例函数 的图象交于M、N两点，与坐标
轴分别交于点A、B，连接 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】由直线的解析式求得A、B的坐标，求得 的面积，进一步求得 的面积，从而求得N
的坐标，然后利用待定系数法即可求得m的值．
【详解】解：∵直线 ，
，
，
，
，，
，
∵点N在第四象限，
，
∵点N在直线 上，
，
∵反比例函数 的图象过N点，
．
故答案为： ．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求
解析式，三角形的面积，求得N点的坐标是解题的关键．
10．（2022·广东珠海·校考三模）两个反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示，点P在
的图象上， 轴于点C，交 的图象于点A， 轴于点D，交 的图象于点B，当
点P在 的图象上运动时，以下结论：① 与 的面积相等；② 四边形 的面积不会发
生变化；③ 与 始终相等；④ ．其中一定正确的是 ．
【答案】①②④【分析】根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数k的几何意义，对四个选项逐一进行分析，
即可得出正确答案．
【详解】解：由于点A和点D均在同一个反比例函数 的图象上，
所以 ，
故 与 的面积相等，故①正确；
∵矩形 的面积是k、而 、 为定值1，则四边形 的面积只与k有关，
∴四边形 的面积不会发生变化，故②正确；
只有当四边形 为正方形时满足 ，
∴ 与 不一定相等，故③错误；
由图象可知：当 时， ，则 ，
又∵当x取同一个值时， 的图象在 的图象的上方，
故 ，
∴ ，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任
意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为 ，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，
做此类题一定要正确理解k的几何意义．
11．（2023·黑龙江鸡西·校考模拟预测）如图，已知点 ， ， ， ， ，……在 轴正半轴上，分别
以 ， ， ， ，……为边在第一象限作等边 ，等边 ，等边 ，……，
且点 ， ， ， ，……在反比例函数 上，且 ，则点 的坐标为 .【答案】
【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出 、 、 的坐标，得出
规律，进而求出点 的坐标．
【详解】解：如图，作 轴于点 ，设 ，则 ，
， ．
点 在反比例函数 上，
，
解得 ，或 （舍去），
，
点 的坐标为 ， ；
作 轴于点 ，设 ，则 ，
， ， ．
点 在反比例函数 上，
，解得 ，或 （舍去），
，
点 的坐标为 ， ；
同理可得点 的坐标为 ， 即 ；
以此类推 ，
点 的坐标为 ， ，
点 的坐标为 ， ．
故答案为 ， ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出 、 、 的坐标
进而得出点 的规律是解题的关键．
12．（2023·山东临沂·统考一模）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁
四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，
其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛
中成绩优秀人数最多的学校是 ．【答案】丙
【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论．
【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为
，则令甲 、乙 、丙 、丁 ，
过甲点作 轴平行线交反比例函数于 ，过丙点作 轴平行线交反比例函数于 ，如图所示：
由图可知 ，
、乙 、 、丁 在反比例函数 图像上，
根据题意可知 优秀人数，则
① ，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
② ，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③ ，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数 乙学校优秀人数 丁学校优秀人数 丙学校优秀人数，
在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，故答案为：丙．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质
是解决问题的关键．
13．（2022·河北保定·统考一模）如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是 ，
然后按照一次函数关系一直增加到 ，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函
数关系缓慢下降至 ，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至 ，再在此温度下沿着反
比例函数关系缓慢下降至， 如此循环下去．
（1） 的值为 ；
（2）如果在 分钟内温度大于或等于 时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为
分钟．
【答案】 50 20
【分析】先利用待定系数法求得第一次循环中反比例函数的解析式，令 时即可求解，再利用待定系
数法求得第一次循环中一次函数的解析式，分别求得 时对应的 的值求差即可．
【详解】解：设第一次循环过程中反比例函数的解析式为 ，过点 ，
，
，
当 时，则 ，解得 ，
设第一次循环过程中一次函数的解析式为 ，
由题意得 ，解得 ，
一次函数的解析式为 ，
当 时，则 ，解得 ，当 时则 ，解得 ，
分钟内温度大于或等于 时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为
（分钟）
故答案为：（1）50；（2）20．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及求函数值，理解题意是解题的关键．
三、解答题
14．（2023·广东广州·校考一模）如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于A、B两
点，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(1)求反比例函数与一次函数表达式；
(2)结合图象，直接写出不等式 的解集．
【答案】(1) ， ；
(2) 或 ．
【分析】本题为一次函数与反比例函数的综合题．
（1）把 代入 ，可求得m的值，得到反比例函数的解析式，再把 代入反比例函数的解
析式，得n的值，把点A、B的坐标代入直线 得出k，b的值，即可得出一次函数的解析式；
（2）观察图象，写出反比例函数图象在一次函数图象下方时所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：把 代入 得 ，
∴反比例函数解析式为 ，
把 代入 得 ，则 ，把 ， 代入 得 ，解得 ，
∴一次函数解析式为 ；
（2）解：求不等式 的解集，即求函数 的图象在函数 的图象下方时，x的取值
范围即可．
根据两函数图象交点可知，当 或 时，函数 的图象在函数 的图象下方，
∴不等式 的解集为： 或 ．
15．（2023·广东东莞·校联考一模）已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于
和 两点．
(1)求k和n的值；
(2)若点 也在反比例函数 图象上，求当 时，函数值y的取值范围；
(3)直接写出关于x的不等式 的解集 ．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】此题考查一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图象求函数值的范围，
求不等式的解集：
（1）将点 的坐标代入一次函数解析式及反比例函数解析式即可求出k和n的值；（2）根据反比例函数的增减性解答；
（3） 即为反比例函数图象在一次函数图象上方，据此解答．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴点B的坐标为 ．
∵反比例函数 的图象过点 ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴当 时，y随x值增大而减小，
∵ 时 ， 时 ，
∴当 时， ；
（3）由图象可知，不等式 的解集是 或 ，
故答案为 或 ．
16．（2023·河北保定·统考一模）如图，一次函数 与反比例函数 ，点
在反比例函数图象上，点 与点 关于原点对称．
(1)求反比例函数关系式；(2)写出点Q的坐标 ，试说明无论k取何值，一次函数图象必过点Q；
(3)当 时，若 与 有交点，则 的值可能是 ．（填序号）
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ．
【答案】(1)反比例函数关系式为 ；
(2) ，证明见解析
(3)③④
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据中心对称的性质得出 ，由 ，可知无论 取何值，一次函数图象
经过点 ，即可得出无论 取何值，一次函数图象经过点 ；
（3）令 ，整理的 ，解得 ， ，即可得出 ，解不等式
组即可．
【详解】（1） 点 在反比例函数图象上，
，
反比例函数关系式为 ；
（2） 点 与点 关于原点对称，
的坐标为 ，
，
无论 取何值，一次函数图象经过点 ，
无论 取何值，一次函数图象经过点 ；
故答案为： ；（3）令 ，整理的 ，
解得 ， ，
两函数在第三象限的交点的横坐标为 ，
当 时，若 与 有交点，
，
由图象可知 ，
解得 ，
故 的值可能是③④，
故答案为：③④．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，点的中心
对称性，求两函数的交点，根据题意得到关于 的不等式组是解题的关键．
17．（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）已知：一次函数 （ ）的图像与
反比例函数 的图像交于点 和 ．
(1)求一次函数的表达式；
(2)将直线 沿 轴负方向平移 个单位，平移后的直线与反比例函数图像 恰好只有一个交点，求
的值．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）将点 和 代入反比例函数的解析式，求得 的值，确定点 坐标，然
后利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据题意，写出一次函数变化后的新的图像的解析式，然后根据方程的根的判别式即可求得 值．
【详解】（1）解：∵点 和 是反比例函数 的图像上的点，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ， ，
∵ ， 在一次函数 （ ）的图像上，
∴ ，解得 ，
所以，一次函数的表达式是 ；
（2）将直线 沿 轴负方向平移 个单位，可得 ，
联立 ，
消去y可得 ，
整理可得 ，
因为只有一个交点，
所以 ，
解得 ，
所以，将直线 沿 轴负方向平移 个单位长度，平移后的直线与反比例函数图像 恰好只有
一个交点．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、用待定系数法求一次函数解析式，一次函数
平移问题、一元二次方程的应用等知识，综合运用相关知识是解此题的关键．18．（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其
中线段 是竖直高度为 米的平台， 垂直于水平面，滑道分为两部分，其中 段是双曲线 的
一部分， 段是抛物线的一部分，两滑道的连接点 为抛物线的顶点，且 点的竖直高度为 米，当甲
同学滑到 点时，距地面的距离为 米，距点 的水平距离 为 米．
(1)求滑道 所在抛物线的解析式；
(2)求甲同学从点 滑到地面上 点时，所经过的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道 落地点 与最高点 连线与水平面夹角应不大于
，且由于实际场地限制， ，请直接写出 长度的取值范围．
【答案】(1)
(2) 米
(3)
【分析】（1） 点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出 点坐标．又因为点 为抛物线的
顶点，且 点到地面的距离为 米，当甲同学滑到 点时，距地面的距离为 米，距点 的水平距离 为
米．据此可求出解析式；
（2）依据前面的解析式求出 、 的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断 的最小值，再根据已知求出 最大值即可．
【详解】（1）解：依题意， 点到地面的距离为 米，
设 点坐标为 ， ，代入 ，
解得 ，点距地面的距离为 米，距点 的水平距离 为 米，
的坐标 ， ，
由题意得： ， ，
故设滑道 所在抛物线的解析式为 ，
将 的坐标 ， 代入，得 ，
解得： ，
则 ；
（2）令 ， ，
解得： 不合题意，舍去 ，
又将 代入 ，
解得 ，
甲同学从点 滑到地面上 点时，所经过的水平距离为 米 ．
（3）根据上面所得 ， ， ， 时，此时 ，
则 点不可往左，可往右，则 最小值为 ，
又 ，
，
．
长度的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二
次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
19．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销
方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元，乙
商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？
(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为 元，优惠后得到商家的优惠率为
，写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况．
(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是 元，你认为选择哪
家商场购买商品花钱较少？请说明理由．
【答案】(1)310元
(2) ，p随x的增大而减小
(3)当 ，即 时，选甲商场购买商品花钱较少；当 ，即 时，选甲乙
商场一样优惠；当 ，即 时，选乙商场购买商品花钱较少．
【分析】（1）根据题意直接列出算式 即可．
（2）根据商家的优惠率即可列出p与x之间的函数关系式，并能得出p随x的变化情况．
（3）先设购买商品的总金额为x元， ，得出甲商场需花 元，乙商场需花 元，然
后分三种情况列出不等式和方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付 （元）．
（2）解：由题意得，p与x之间的函数关系式为 ．
∵ ，
∴p随x的增大而减小．
（3）解： 时，在甲商场的优惠额是100元，乙商场的优惠额是 ．
当 ，即 时，选甲商场购买商品花钱较少；
当 ，即 时，选甲乙商场一样优惠；
当 ，即 时，选乙商场购买商品花钱较少．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用，
正确理解题意列出对应的方程和不等式以及函数关系式是解题的关键．
20．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在 中， 轴于点A， ，点C在反比例函数的图象上，过点C作 轴，交y轴于点E，交反比例函数 的图象于点D， ，
．
(1)求k的值；
(2)若反比例函数 的图象过AB边的中点F，将 沿x轴向左平移，使点C的对应点 落在y轴上，
得到 ．然后再把 绕点 顺时针旋转 ，此时，点 的对应点 是否在反比例函数
的图象上？说明理由．
【答案】(1)
(2)点 的对应点 在反比例函数 的图象上，理由见解析
【分析】（1）由 ，求出点C坐标，代入关系式即可；
（2）由平移求出 ，再由旋转求出点 ，代入关系式验证即可．
【详解】（1）解：由题知， ，
∴D点的横坐标为 ．
在函数 中，
令 ，得 ，
∴ ．
∵ 轴，
∴ ，
将 代入 ，得 ，解得 ；
（2）解：∵ ，∴ ．
在函数 中，
令 ，得 ，解得 ．
∴ ．
由平移知， ，
∴ ．
由旋转知， ．
∵ ．
∴点 的对应点 在反比例函数 的图象上．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质应用，平移和旋转的性质是解题关键．
