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26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k 的图象和性质
（第三课时——函数y=a(x-h)²+k 的图象)
（导学案）
（1）掌握二次函数y=a(x-h)²+k 的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值；熟练掌握抛
物线横纵综合平移规律，能实现y=ax ²与y=a(x-h)²+k 的图象互推；能利用函数性质解决参数求解、图象
平移、函数值比较等基础题型.
（2）延续“作图—观察—对比—归纳—应用”的探究流程，通过类比旧知探究新知，掌握二次函数图象
变换的通用探究方法，提升数形转化、规律归纳、知识迁移的能力.
（3）在图象动态变换探究中感受函数图象的规律性、对称性与统一性，培养严谨的数学思维和自主探究、
合作交流的学习习惯，建立二次函数知识体系的整体认知.
重点:二次函数y=a(x-h)²+k 的图象性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）；抛物线左加右减、上加
下减的完整平移规律.
难点：准确理解参数h 的几何意义，区分横向平移方向（极易混淆）；灵活结合a、h、k 三个参数综合分
析函数图象特征；利用对称轴和增减性比较函数值大小.
第一环节 自主学习
温故知新：
创设情景，引入新课
复习回顾：（1）二次函数y=2x ²-3 的顶点坐标、对称轴、最值分别是什么？
（2）抛物线y=2x ²-3 由y=2x ²经过怎样的平移得到？
学生作答，教师总结纵向平移规律：上加下减，k 控制图象上下平移.
设问导入：若将函数变形为y=2(x-1)²-3，图象除上下平移外，还会发生什么变化？参数h 会对抛物线产
生什么影响？
【学法指导】
新知自研：自研课本第40-41 页的内容
【学法指导】自研课本P40-41 页内容
（一）画二次函数
图象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
活动1.在平面直角坐标系中，画出二次函数
的图象，并分别指出它们的开口方向、对称
轴和顶点.
列表：
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
…
描点画图：.
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观察图象：.
活动2.观察抛物线
与抛物线
有什么关系?
（二） 函数 y=a(x-h)²+k(a≠0)与函数 y=ax ²的关系
活动3.利用信息技术工具画函数y=a(x-h)²+k(a≠0)与函数 y=ax ²的图象(改变h、k 的值)，观察两图象变
化.
操作观察：
抛物线y=a(x-h)²+k 有如下特点:
活动4.梳理总结y=a(x-h)²+k(a≠0)的完整性质和平移规律
图象共性：
核心要素：
自研课本P40-41 页内容
典型例题
例1：已知二次函数y=-2(x+1)²-4
（1）直接写出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数最值；
（2）说明该抛物线是由y=-2x ²经过怎样的平移得到的；
（3）若有三点A(-2,
)、B(-1,
)、C(0,
)，比较
、
、
的大小.
例2.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线
形水柱在与池中心的水平距离为1.6m 处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，水管的长应为
多少?
第二环节 合作探究
讨论交流:
1. 讨论怎样画二次函数
的图象.
2. 讨论二次函数 y=a(x-h)²+k(a≠0)与y=ax ²两图象的关系.
3.讨论二次函数的y=a(x-h)²+k(a≠0)的完整性质和平移规律.
拓展提升：
1.如图，杭州亚运会上某运动员站在点O 处练习发排球，将球从O 点正上
的A 点处发出，把球看成点，
其运行的路线近似看作是抛物线的一部分．已知球与O 点的水平距离
为
时，达到最高
，球场的
边界距O 点的水平距离为
．
(1)请确定排球运行的高度
与运行的水平距离
满足的函数关系式；
(2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由．
课本课堂练习（P38 第1 题(2，4),第2 题(1).
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1.（2025•台湾）坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+7）2+12 的图形，今将此图形向右平移10 单位，平移过
程中此图形与y 轴的交点也会跟着变化．假设此图形与y 轴的交点为P，判断在平移过程中，P 点位置
的变化情形为下列何者？（ ）
A．持续向下
B．持续向上
C．先向下再向上
D．先向上再向下
2.（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5 运行，其中x 是铅球离初
始位置的水平距离，y 是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA 为1.6m，则铅球掷出的水
平距离OB 为 m．
3.（2026 哈尔滨校考）小明跳起投篮，已知球在
处出手时离地面高
米，与篮圈中心的水平距离为
米，当球出手后在
处达到最大高度
米，此时球运动的水平距离为
米，设篮球运行的轨迹为如图所示
的抛物线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)篮圈中心距离地面米，问此球能否投中？请通过计算说明理由．
4．（2026·台州校考）在平面直角坐标系中，二次函数
的图象经过点
．
(1)求这个函数的表达式．
(2)当
时，
随
的增大而减小，求
的取值范围．
知识技能：（1）掌握顶点式y=a(x-h)²+k 的核心要素：a 定 ，直线 为对称轴， 为顶点；（2）
熟记完整平移规律： 、 ，可实现任意 与 的平移转化；（3）熟练判断 、 ，掌
握 的方法.
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思想方法：（1）数形结合思想：以 解读函数解析式参数含义，以
化
图象性质；
（2）类比迁移思想：类比 规律，探究 规律，实现知识的迁移拓展；（3）从 到 思想：
由 特征，归纳出 性质.
易错提醒：（1）符号误区：识别h 时必须对照 ，x+h 实际对应
数
，极易判断 错误；
（2）平移误区：混淆
平移
对应的参数，h 、k ，不可混淆；（3）性质误区：忽略a
的 直接判断增减性、最值；（4 ）顶点误区：顶点坐标是(h,k) ，切勿直接带入
写错坐标.
