文档内容
22.1 二次函数的图像和性质
教学目标：1．熟练掌握二次函数的有关概念．
2．熟练掌握二次函数y＝ax2的性质和图象．
3．掌握并灵活应用二次函数y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的性质及图象．
4．掌握并灵活应用二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质及其图象．
5．能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式．
教学重难点：图形和性质的应用，及两种形式的转化，解析式求解
知识点一：二次函数的概念
（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中
x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是
常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然
后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变
量的取值范围还需使实际问题有意义．
例题．下列函数中，二次函数是（ ）
A．y=﹣4x+5B．y=x（2x﹣3）C．y=（x+4）2﹣x2 D．y=
【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．
【解答】解：A、y=﹣4x+5为一次函数；
B、y=x（2x﹣3）=2x2﹣3x为二次函数；
C、y=（x+4）2﹣x2=8x+16为一次函数；D、y= 不是二次函数．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．
变式1．圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可
直接得到答案．
【解答】解：圆的面积公式S=πr2中，S和r之间的关系是二次函数关系，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的形式．
变式2．下列函数中，y关于x的二次函数的是（ ）
A．y=x3+2x2+3 B．y=﹣ C．y=x2+x D．y=mx2+x+1
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【解答】解：A、是三次函数，故A不符合题意；
B、最高次是不是2，故B不符合题意；
C、是二次函数，故C符合题意；
D、m=0时是一次函数，故D不符合题意；故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键．
知识点二：二次函数y＝ax2的性质和图象
（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各
取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．
画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称
性画另一侧．
例题．下列图象中，是二次函数y=x2的图象的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数y=x2的图象的特点即可得到结论．
【解答】解：二次函数y=x2的图象是开口向上，顶点在原点的一条抛物线，
故A符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练正确二次函数的图象的特点是解题的关键．
变式1．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是① y=ax2；②y=ax2；③y=ax2，则a ，a ，a 的
1 2 3 1 2 3
大小关系是（ ）A．a＞a＞a B．a＞a＞a C．a＞a＞a D．a＞a＞a
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
【解答】解：如图所示：①y=ax2的开口小于②y=ax2的开口，则a＞a＞0，
1 2 1 2
③y=ax2，开口向下，则a＜0，
3 3
故a＞a＞a．
1 2 3
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
变式2．下列图象中，当ab＞0时，函数y=ax2与y=ax+b的图象是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据直线直线y=ax+b经过的象限得到a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，则可对A进行判断；根据抛
物线y=ax2开口向上得到a＞0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0，由此可对B进行判断；根
据抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0，由此可对C进行判断；
根据抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，并且b＜0，得到直线与y轴的交
点在x轴下方，由此可对D进行判断．【解答】解：A、对于直线y=ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误；
B、由抛物线y=ax2开口向上得到a＞0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误；
C、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误；
D、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直
线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，顶点式为y=a（x﹣
）2+ ，顶点坐标为（﹣ ， ）；当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣
；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数的性质．
知识点三：二次函数y＝ax2＋k的性质和图象
例题．函数y= +1与y= 的图象的不同之处是（ ）
A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状
【分析】根据a相同，可得函数图象的形状相同、开口方向相同，根据a、b相同，可得函数图象的对称轴
相同．
【解答】解：由二次函数y= +1与y= 中a、b均相同，
可知其形状、开口方向、对称轴相同，只有顶点坐标不同，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象，利用了函数图象与 a、b、c的关系，a相同函数的形状相同，开口
方向相同．变式1．在直角坐标系中，函数y=3x与y=﹣x2+1的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】已知一次函数、二次函数解析式，可根据图象的基本性质，直接判断．
【解答】解：∵一次函数y=3x的比例系数k=3＞0，
∴y随x的增大而增大，排除A、C；
因为二次函数y=﹣x2﹣1的图象的顶点坐标应该为（0，1），故可排除B；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象及正比例函数的图象，应该识记一次函数 y=kx+b在不同情况下所在
的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
变式2．在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=bx2+a的图象相比较看是
否一致．【解答】解：A、 由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过一，
三象限，a＞0，故此选项错误；
B、 由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴a＞0，二次项系数b为负数，与一次函数y=ax+b
中b＞0矛盾，故此选项错误；
C、 由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过二，四象限a＜0，故
此选项正确；
D、 由直线可知，图象与y轴交于负半轴，b＜0，由抛物线可知，开口向上，b＞0矛盾，故
此选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．
知识点四：二次函数y＝a(x－h)2的性质及图象例题．与函数y=2（x﹣2）2形状相同的抛物线解析式是（ ）
A．y=1+ B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣2）2 D．y=2x2
【分析】抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同．
【解答】解：y=2（x﹣2）2中，a=2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象，抛物线的形状与a的关系，比较简单．
变式1．在平面直角坐标系中，函数y=﹣x+1与y=﹣ （x﹣1）2的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】已知两函数解析式，分别求出它们经过的象限，开口方向，逐一判断即可．
【解答】解：∵y=﹣x+1的图象过第一、二、四象限，y=﹣ （x﹣1）2的开口向下，顶点在点（1，0），
∴同时符合条件的图象只有选项D．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解答此题只要大致画出一次函数和二次函数的图象，就
可以直接找出问题的答案．
变式2．同一坐标系中，抛物线y=（x﹣a）2与直线y=a+ax的图象可能是（ ）A． B． C． D ．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、由一次函数y=a+ax的图象可得：a＜0或a＞0，此时二次函数y=（x﹣a）2的顶点（a，
0），a＜0，矛盾，故错误；
B、由一次函数y=a+ax的图象可得：a＜0，此时二次函数y=（x﹣a）2的顶点（a，0），a＞0，矛盾，故
错误；
C、由一次函数y=a+ax的图象可得：a＜0或a＞0，此时二次函数y=（x﹣a）2的顶点（a，0），a＜0，矛
盾，故错误；
D、由一次函数y=a+ax的图象可得：a＞0，此时二次函数y=（x﹣a）2的顶点（a，0），a＞0，故正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，应该熟记一次函数 y=kx+b在不同情况下所在的
象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
变式3．函数y=a（x﹣1）2，y=ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．【分析】利用a＞0对照坐标中的二次函数图象及一次函数图象判定即可．
【解答】解：当a＞0时，二次函数的开口向上，对称轴为x=1，一次函数在第一，二，三象限，所以B选
项正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象及一次函数图象，解题的关键是利用a＞0来判定二次函数图象及一
次函数图象的正误．
知识点五：二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质及图象
例题．抛物线y=﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）
【分析】根据抛物线的顶点式，可直接得出抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣3）2+5，
∴抛物线的顶点坐标为（3，5）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的顶点式，从顶点式可以直接得出抛物线的顶点．
变式1．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
A． B． C． D．【分析】根据二次函数图象得出顶点位置，进而根据各选项排除即可．
【解答】解：根据二次函数顶点坐标位于第三象限，
只有选项D的顶点符合要求，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象，根据图象得出顶点位置是解题关键．
变式2．二次函数y=（x+1）2﹣2的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一判断可得．
【解答】解：在y=（x+1）2﹣2中由a=1＞0知抛物线的开口向上，故A错误；
其对称轴为直线x=﹣1，在y轴的左侧，故B错误；
由y=（x+1）2﹣2=x2+2x﹣1知抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），在y轴的负半轴，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对二次函数的图象和性质的应用，注意：数形结合思想的应用，主要考查学生的观察
图象的能力和理解能力．
知识点六：二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质及其图象
4ac−b24a
二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象 b
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移|
2a
个单位，再向上或向下平移|
|个单位得到的
例题．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x﹣4）2﹣25 C．y=（x+4）2+7 D．y=（x+4）2﹣25
【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．
【解答】解：y=x2﹣8x﹣9
=x2﹣8x+16﹣25
=（x﹣4）2﹣25．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
变式1．将二次函数y= x2+x﹣1化为y=a（x+h）2+k的形式是（ ）
A．y= B．y= （x﹣2）2﹣2 C．y= （x+2）2﹣2 D．y= （x﹣2）2+2
【分析】运用配方法把原式化为顶点式即可．
【解答】解：y= x2+x﹣1= （x+2）2﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
变式2．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是
（ ）A．有最大值 2，有最小值﹣2.5
B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5
D．有最大值 2，无最小值
【分析】直接利用利用函数图象得出函数的最值．
【解答】解：∵二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，
∴x=1时，有最大值 2，x=4时，有最小值﹣2.5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值，利用数形结合分析是解题关键．
变式3．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．函数有最小值
B．c＜0C．当﹣1＜x＜2时，y＞0
D．当x＜ 时，y随x的增大而减小
【分析】观察可判断函数有最小值；由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，可判断函数值的符号；由抛物线与y
轴的交点，可判断c的符号；由抛物线对称轴和开口方向可知y随x的增大而减小，可判断结论．
【解答】解：A、由图象可知函数有最小值，故正确；
B、由抛物线与y轴的交点在y的负半轴，可判断c＜0，故正确；
C、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，y＜0，故错误；
D、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，解析式的系数的关系．关键是掌握各项系数与抛物线的性质之
间的联系．
变式4．当a≤x≤a+1时，函数y=x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即
可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当y=1时，有x2﹣2x+1=1，
解得：x=0，x=2．
1 2
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a=2或a+1=0，
∴a=2或a=﹣1，
故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特
征找出当y=1时x的值是解题的关键．
变式5．二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7
时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A．8 B．﹣10 C．﹣42 D．﹣24
【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除
后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．
【解答】不如先通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并
根据二次函数对称周两侧图象增减性特点令x=﹣2时y值小于零和x=6时y值大于零去取舍各位合理．忘
菁优网老师能够采纳．
解：∵抛物线y=2x2﹣8x+m=2（x﹣2）2﹣8+m的对称轴为直线x=2，
而抛物线在﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，
∴m＜0，
当m=﹣10时，则y=2x2﹣8x﹣10，
令y=0，则2x2﹣8x﹣10=0，
解得x=﹣1，x=5，
1 2
则有当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的上方；
当m=﹣42时，则y=2x2﹣8x﹣42，
令y=0，则2x2﹣8x﹣42=0，
解得x=﹣3，x=7，
1 2
则有当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的下方；
当m=﹣24时，则y=2x2﹣8x﹣24，令y=0，则2x2﹣8x﹣24=0，
解得x=﹣2，x=6，
1 2
则有当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方；
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常
数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时
抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
知识点七：二次函数的系数与抛物线的特征之间的关系
例题．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点 A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线
x=1，下列结论正确的是（ ）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物
线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x=1对C选项进行判断；
根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对D选项进行判
断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴﹣ =1，∴2a+b=0，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞
0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣ ；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物
线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
变式1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：① abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣
4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴
及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵a＞0，x=﹣ ＜1，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故③正确；
④当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方
向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
变式2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：① =﹣1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（
）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a＞0，﹣1＜c＜0，b＜0，再对各结论进行判断．
【解答】解：① =﹣1，抛物线顶点纵坐标为﹣1，正确；
②ac+b+1=0，设C（0，c），则OC=|c|，
∵OA=OC=|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，
∴ac+b+1=0，故正确；
③abc＞0，从图象中易知a＞0，b＜0，c＜0，故正确；
④a﹣b+c＞0，当x=﹣1时y=a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，
∴a﹣b+c＞0，故正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，重点是学会由函数图象得到函数的性质．
变式3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y），（1，y）都在抛物线上，则有y＞y．
1 2 1 2
其中正确的结论有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】观察图象判断出a、b、c的符号，即可得出结论①正确，利用对称轴公式 x＜﹣1，可得结论②正
确；判断出﹣b＜a+c＜b，可得结论③正确，利用图象法可以判断出④错误；
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵﹣ ＜0，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①正确，
∵﹣ ＜﹣1，a＞0，
∴b＞2a，
∴2a﹣b＜0，故②正确，
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴a+c＞﹣b，
∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
∴b2＞（a+c）2，故③正确，
∵点（﹣3，y），（1，y）都在抛物线上，
1 2
观察图象可知y＜y，故④错误．
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛
物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二
次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时
（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物
线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x
轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
变式4．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下
列结论：①ab＜0，②b2＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0．其中正确结论的个数
是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】利用抛物线开口方向得a＜0，利用对称轴在y轴的右侧得b＞0，则可对①进行判断；根据二次函
数图象上点的坐标特征得c=1，a﹣b+c=0，则b=a+c=a+1，所以0＜b＜1，于是可对②④进行判断；由于
a+b+c=a+a+1+1=2a+2，利用a＜0可得a+b+c＜2，再根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点
在（1，0）和（2，0）之间，则x=1时，函数值为正数，即a+b+c＞0，由此可对③进行判断；观察函数图象得到x＞﹣1时，抛物线有部分在x轴上方，有部分在x轴下方，则可对⑤进行判断．
【解答】解：∵由抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∴ab＜0，所以①正确；
∵点（0，1）和（﹣1，0）都在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴c=1，a﹣b+c=0，
∴b=a+c=a+1，
而a＜0，
∴0＜b＜1，所以②错误，④正确；
∵a+b+c=a+a+1+1=2a+2，
而a＜0，
∴2a+2＜2，即a+b+c＜2，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），而抛物线的对称轴在y轴右侧，在直线x=1的左侧，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（1，0）和（2，0）之间，
∴x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，
∴0＜a+b+c＜2，所以③正确；
∵x＞﹣1时，抛物线有部分在x轴上方，有部分在x轴下方，
∴y＞0或y=0或y＜0，所以⑤错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b
同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛
物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物
线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有
交点．
变式5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①b2﹣4ac＞0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3b+2c＜0；
④m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1），
其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，①正确；
②由于对称轴为x=﹣1，
∴（1，0）关于直线x=﹣1的对称点为（﹣3，0），
（0，0）关于直线x=﹣1的对称点为（﹣2，0），
当x=﹣2时，y=0，∴4a﹣2b+c=0，故②错误；
③由题意可知： =﹣1，
∴2a=b，
当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴ +b+c＜0，
∴3b+2c＜0，故③正确；
④由于该抛物线的顶点横坐标为﹣1，此时y=a﹣b+c是最大值，
∴am2+bm+c＜a﹣b+c（m≠﹣1），
∴m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1），故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是根据图象判断a、b、c的大小关系，本题属于中等题型．
知识点八：用待定系数法确定二次函数的解析式
例题．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2）．求此抛物线的函数解析
式和顶点坐标．
【分析】将各点代入抛物线解析式，利用待定系数法求出 a，b，c的值即可．把函数的解析式化成顶点式
即可求得．
【解答】解：把点A（1，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣2）的坐标
分别代入y=ax2+bx+c得：解得：
∴二次函数的解析式为y=2x2﹣2
∴抛物线y=2x2﹣2顶点坐标为（0，﹣2）
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确解方程组得出是解题关键．
变式1．已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（﹣2，﹣5），求此二次函数的解析式．
【分析】设顶点式y=a（x﹣1）2+4，然后把（﹣2，﹣5）代入求出a的值即可．
【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，
把（﹣2，﹣5）代入得a（﹣2﹣1）2+4=﹣5，解得a=﹣1，
所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题
目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选
择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶
点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
变式2．已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．
【分析】（1）设顶点式y=a（x﹣3）2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）利用抛物线的对称性得到B（5，3），再确定出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2+5，将A（1，3）代入上式得3=a（1﹣3）2+5，解得a=﹣ ，
∴抛物线的解析式为y=﹣ （x﹣3）2+5，
（2）∵A（1，3）抛物线对称轴为：直线x=3
∴B（5，3），
令x=0，y=﹣ （x﹣3）2+5= ，则C（0， ），
△ABC的面积= ×（5﹣1）×（3﹣ ）=5．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题
目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选
择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶
点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
变式3．二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（2，1），（0，1）．
（1）求该二次函数的表达式及函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）若点P（3+a2，y），Q（4+a2，y）在抛物线上，试判断y 与y 的大小．（写出判断的理由）
1 2 1 2
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）先求得P、Q所处的位置，然后根据抛物线的性质即可判断．
【解答】解：（1）二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（2，1），（0，1）．
∴
解得b=﹣4，c=1
所以该二次函数的表达式是y=2x2﹣4x+1．∵y=2x2﹣4x+1=2（x﹣1）2﹣1，
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），对称轴为直线x=1；
（2）∵4+a2＞3+a2＞1，
∴P、Q都在对称轴的右边，
又∵2＞0，函数的图象开口向上，在对称轴的右边y随x的增大而增大，
∴y＜y．
1 2
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质．
变式4．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，
求这个函数解析式以及点C的坐标．
【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入得 ，然后解法组即可得到抛物线的
解析式，再把C（m，2m+3）代入解析式得到关于m的方程，解关于m的方程可确定C点坐标．
【解答】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y=2x2+x﹣3，
把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m=﹣ ，m=2，
1 2
∴C点坐标为（﹣ ，0）或（2，7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题
目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选
择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶
点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
变式5．已知抛物线y=﹣x2+mx+n，直线y=kx+b，y 的对称轴与y 交于点A（﹣1，5），点A与y 的顶
1 2 1 2 1
点B的距离是4．
（1）求y 的解析式；
1
（2）若y 随着x的增大而增大，且y 与y 都经过x轴上的同一点，求y 的解析式．
2 1 2 2
【分析】（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y 的解析式；
1
（2）分两种情况讨论：当y 的解析式为y=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴的交点（0，0）或（﹣2，0），y
1 1 2
经过（﹣2，0）和A，符合题意；
当y=﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8=0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y 随着x的增
1 2
大而增大，求得y 与y 都经过x轴上的同一点（﹣4，0），然后根据待定系数法求得即可．
1 2
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n，直线y=kx+b，y 的对称轴与y 交于点A（﹣1，5），点A与
1 2 1 2
y 的顶点B的距离是4．
1
∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），
∴﹣ =﹣1， =1或9，
解得m=﹣2，n=0或8，
∴y 的解析式为y=﹣x2﹣2x或y=﹣x2﹣2x+8；
1 1 1
（2）①当y 的解析式为y=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0.0）和（﹣2.0），
1 1
∵y 的对称轴与y 交于点A（﹣1，5），
1 2
∴y 与y 都经过x轴上的同一点（﹣2，0），
1 2把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得 ，
解得 ，
∴y=5x+10．
2
②当y=﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8=0得x=﹣4或2，
1
∵y 随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），
2
∴y 与y 都经过x轴上的同一点（﹣4，0），
1 2
把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得 ，
解得 ；
∴y= x+ ．
2
【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，根
据题意求得顶点坐标是解题的关键．
拓展点一：二次函数的概念求字母系数的值
例题．若函数y=（m+1）x 是二次函数，求m的值．
【分析】根据二次函数定义可得m2﹣2m﹣1=2且m+1≠0，再解即可．
【解答】解：依题意：m2﹣2m﹣1=2，
解得m=3，m=﹣1．
1 2
∵m+1≠0，∴m=3．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫
做二次函数．
变式1．已知函数y=（m2+m）x ．
（1）当函数是二次函数时，求m的值；
（2）当函数是一次函数时，求m的值．
【分析】（1）这个式子是二次函数的条件是：m2﹣2m+2=2并且m2+m≠0；
（2）这个式子是一次函数的条件是：m2﹣2m+2=1并且m2+m≠0．
【解答】解：（1）依题意，得m2﹣2m+2=2，
解得m=2或m=0；
又因m2+m≠0，
解得m≠0或m≠﹣1；
因此m=2．
（2）依题意，得m2﹣2m+2=1
解得m=1；
又因m2+m≠0，
解得m≠0或m≠﹣1；
因此m=1．
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式．
变式2．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答
案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：依题意得
∴
∴m=0；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
∴m≠0且m≠1．
【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．
拓展点二：二次函数的图像问题
例题．画函数y= 的图象．
【分析】二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选
取x值，求出函数值．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接
各点．
【解答】解：列表：描点、连线：
【点评】本题考查了二次函数图象，注意利用描点法画函数图象要用平滑曲线．
变式1．使用五点法画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象．
【分析】找出当x=﹣1、0、1、2、3时的y值，列出表格，描点、连线即可画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的
图象．
【解答】解：列表如下：
x … ﹣1 0 1 2 3 …y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
描点、连线即可画出函数图象，如图所示．
【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握五点法画二次函数图象的方法及步骤是解题的关键．
变式2．下表给出一个二次函数的一些取值情况：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？
【分析】（1）先利用描点、连线的方法画出图形；
（2）找出函数图象位于x轴上方时，自变量x的范围即可．【解答】解：（1）描点、连线得：
（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时，y＞0．
【点评】本题主要考查的是二次函数的图形，数形结合是解题的关键．
变式3．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
﹣
y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …
其中，m= 0 ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数
图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 3 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有 3 个实数根；②方程x2﹣2|x|=2有 2 个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是 ﹣ 1 ＜ a ＜ 0 ．
【分析】（1）把x=﹣2代入函数解释式即可得m的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）根据函数图象得到函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；②如图，根据y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2的交
点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围是﹣1＜a＜0．
【解答】解：（1）把x=﹣2代入y=x2﹣2|x|得y=0，
即m=0，
故答案为：0；
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有3个实数根；
②如图，∵y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2有两个交点，
∴x2﹣2|x|=2有2个实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根，
∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．
拓展点三：二次函数的性质的应用
例题．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．函数有最小值
B．c＜0
C．当﹣1＜x＜2时，y＞0
D．当x＜ 时，y随x的增大而减小
【分析】观察可判断函数有最小值；由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，可判断函数值的符号；由抛物线与y
轴的交点，可判断c的符号；由抛物线对称轴和开口方向可知y随x的增大而减小，可判断结论．
【解答】解：A、由图象可知函数有最小值，故正确；B、由抛物线与y轴的交点在y的负半轴，可判断c＜0，故正确；
C、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，y＜0，故错误；
D、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，解析式的系数的关系．关键是掌握各项系数与抛物线的性质之
间的联系．
变式1．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线的图象如图所示，则下列说法：
①当0＜x＜2时，y＞y；
1 2
②y 随x的增大而增大的取值范围是x＜2；
1
③使得y 大于4的x值不存在；
2
④若y=2，则x=2﹣ 或x=1．
1
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数图象和题意，可以判断题目中①②③④的正确与否，从而解答本题，得到正确的选项．
【解答】解：由题意和图象可知：0＜x≤2时，y＜y，故①错误；
1 2
由图象可知，y 随x的增大而增大，x为全体实数，故②错误；
1因为二次函数的最大值为4，使得y 大于4的x值不存在，故③正确；
2
因为直线经过（0，0）（2，4），所以直线解析式y=2x，故y=2时，x=1，故④错误．
1 1
由上可得，③正确，①②④错误．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象的相关知识，关键是会看函数的图象，能弄懂题意，能找出
所求问题需要的条件．
变式2．已知函数图象如图所示，根据图象可得：
（1）抛物线顶点坐标 （﹣ 3 ， 2 ） ；
（2）对称轴为 x=﹣ 3 ；
（3）当x= ﹣ 3 时，y有最大值是 2 ；
（4）当 x ＜﹣ 3 时，y随着x得增大而增大．
（5）当 ﹣ 5 ＜ x ＜﹣ 1 时，y＞0．
【分析】（1）由抛物线与x轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质可得对称轴；
（3）根据抛物线的顶点坐标即可求解；
（4）根据二次函数的性质即可求解；
（5）抛物线在x轴上方的部分对应的x的取值即为所求．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点（﹣5，0），（﹣1，0），
∴顶点横坐标为 =﹣3，
由图可知顶点纵坐标为2，
∴顶点坐标为（﹣3，2）；
（2）对称轴为x=﹣3；
（3）当x=﹣3时，y有最大值是2；
（4）当x＜﹣3时，y随着x得增大而增大；
（5）当﹣5＜x＜﹣1时，y＞0．
故答案为（1）（﹣3，2）；（2）x=﹣3；（3）﹣3，2；（4）x＜﹣3；（5）﹣5＜x＜﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ，
），对称轴直线x=﹣ ，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，y
随x的增大而增大；x=﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；x=﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
变式3．（1）已知二次函数y=﹣（x+1）2+4的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数y=﹣（x
1 1
﹣2）2+1的图象．
（2）平行于x轴的直线y=k在抛物线y=﹣（x﹣2）2+1上截得线段AB=4，求抛物线y=﹣（x﹣2）2+1的
2 2
顶点到线段AB的距离．
（3）当﹣1＜x＜2时，利用函数图象比较y 与y 的大小．
1 2
【分析】（1）根据图象平移的规律，可得答案；
（2）解方程组得到A（2+ ，k），B（2﹣ ，k），求得k=﹣3，于是得到结论；
（3）根据图象即可得到结论．
【解答】解 （1）如图所示，
（2）解 得， 或 ，
∴A（2+ ，k），B（2﹣ ，k），
∵AB=4，∴2 =4，
∴k=﹣3，
∵抛物线y=﹣（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），
2
∴抛物线y=﹣（x﹣2）2+1的顶点到线段AB的距离=4；
2
（3）当﹣1＜x＜1时，y＞y．当x=1时，y=y．当1＜x＜2时，y＜y．
1 2 1 2 1 2
【点评】题考查了二次函数图象，利用图象平移的规律：左加右减，上加下
拓展点四：二次函数图像的平移问题
例题．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
【解答】解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2
向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平
移方向．
变式1．将抛物线 y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移 2个单位长度，所得到的抛物线为
（ ）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3
【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
【解答】解：将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=﹣5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长
度，
所得到的抛物线为：y=﹣5（x+1）2﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
变式2．将抛物线y= x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．y= （x﹣8）2+5 B．y= （x﹣4）2+5 C．y= （x﹣8）2+3 D．y= （x﹣4）2+3
【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．
【解答】解：y= x2﹣6x+21
= （x2﹣12x）+21
= [（x﹣6）2﹣36]+21= （x﹣6）2+3，
故y= （x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，
得到新抛物线的解析式为：y= （x﹣4）2+3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确配方将原式变形是解题关键．
变式3．将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是 2 ．
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”填空．
【解答】解：将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，得到抛物线解析式为y=（x+m﹣2）2．其对称轴
为：x=2﹣m=0，
解得m=2．
故答案是：2．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平
移后的函数解析式．
拓展点五：确定二次函数的解析式
例题．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
【解答】解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2
向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平
移方向．
变式1．将抛物线 y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移 2个单位长度，所得到的抛物线为
（ ）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3
【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
【解答】解：将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=﹣5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长
度，
所得到的抛物线为：y=﹣5（x+1）2﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
变式2．将抛物线y= x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．y= （x﹣8）2+5 B．y= （x﹣4）2+5 C．y= （x﹣8）2+3 D．y= （x﹣4）2+3
【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．
【解答】解：y= x2﹣6x+21= （x2﹣12x）+21
= [（x﹣6）2﹣36]+21
= （x﹣6）2+3，
故y= （x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，
得到新抛物线的解析式为：y= （x﹣4）2+3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确配方将原式变形是解题关键．
变式3．将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是 2 ．
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”填空．
【解答】解：将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，得到抛物线解析式为y=（x+m﹣2）2．其对称轴
为：x=2﹣m=0，
解得m=2．
故答案是：2．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平
移后的函数解析式．
易错点一：用配方法求抛物线的顶点坐标时易与用配方法解一元二次方程混淆
例题．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x﹣4）2﹣25 C．y=（x+4）2+7 D．y=（x+4）2﹣25【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．
【解答】解：y=x2﹣8x﹣9
=x2﹣8x+16﹣25
=（x﹣4）2﹣25．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
变式1．将二次函数y= x2+x﹣1化为y=a（x+h）2+k的形式是（ ）
A．y= B．y= （x﹣2）2﹣2 C．y= （x+2）2﹣2 D．y= （x﹣2）2+2
【分析】运用配方法把原式化为顶点式即可．
【解答】解：y= x2+x﹣1= （x+2）2﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
变式2．解方程：
（1）x2﹣2x﹣4=0
（2）用配方法解方程：2x2+1=3x
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方
即可得；
（2）将常数项移到方程的右边、一次项移到左边，再把二次项系数化为 1，两边都加上一次项系数一半的
平方配成完全平方式后，开方即可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x=4，
∴x2﹣2x+1=4+1，即（x﹣1）2=5，
则x﹣1=± ，
∴x=1± ；
（2）∵2x2﹣3x=﹣1，
∴x2﹣ x=﹣ ，
∴x2﹣ x+ =﹣ + ，即（x﹣ ）2= ，
则x﹣ =± ，
解得：x=1、x= ．
1 2
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
