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第七章 相交线与平行线章末测试卷
能力提升培优测
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：相交线与平行线（人教版2024）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．（3分）下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置
关系的两个角，互为对顶角，由此判断即可．
【解答】解：A、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；
B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
C、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（3分）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过1.85m获得满分，达到或超过1.95m获得
加分．如图，一女生在起跳线l上的点A处起跳，BC⊥l，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列
说法中正确的是（ ）A．BC可能为1.95m B．BC可能为1.8m
C．AB可能为1.85m D．AB可能为1.95m
【分析】根据题意和垂线段最短的性质判断即可．
【解答】解：∵该女生获得满分但未加分，
∴1.85m≤BC＜1.95m，
∵AB＞BC，
∴AB可能为1.95m，
故选项D符合题意．
故选：D．
3．（3分）如图，直线AB与直线CD被直线EF所截，分别交AB、CD于点F、M，过点M作射线MN，则图
中∠1的同位角有（ ）
A．∠3 B．∠2或∠DME
C．∠2或∠3 D．∠2或∠3或∠DME
【分析】根据同位角的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：由题意可知，∠1的同位角为∠2，或者∠DME．
故选：B．
4．（3分）如图，下列条件，①∠1＝∠2，②∠3＝∠4，③∠A+∠ABC＝180°，④∠A＝∠5，其中能判定
AB∥DC的条件有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的判定定理，能够判定AB∥DC是②④，而条件①③是判定AD∥BC．
【解答】解：①∠1＝∠2，内错角相等，两直线平行，则AD∥BC．
②∠3＝∠4，内错角相等，两直线平行，则AB∥DC．
③∠A+∠ABC＝180°，同旁内角互补，两直线平行，则AD∥BC．
④∠A＝∠5，同位角相等，两直线平行，则AB∥DC．
故选：B．
5．（3分）“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题．正确的反例是（ ）
A．两个角互为邻补角
B． ＝90°， 的补角 ＝90°， ＝
C． ＝120°， 的补角 ＝60°， ＜
α α β β α
D． ＝80°， 的补角 ＝100°， ＞
α α β β α
【分析】根据“任何一个角的补角都不小于这个角”反证法的假设是，至少有一个角的补角小于这个角，
α α β β α
进行判断作答即可．
【解答】解：由题意知，“任何一个角的补角都不小于这个角”反证法的假设是，至少有一个角的补角小
于这个角，
A中互为邻补角可以是∠ ＝60°，∠ 的补角∠ ＝120°，∠ ＞∠ ，错误，故不符合要求；
B中∠ ＝90°，∠ 的补角∠ ＝90°，∠ ＝∠ ，错误，故不符合要求；
α α β β α
C中∠ ＝120°，∠ 的补角∠ ＝60°，∠ ＜∠ ，正确，故符合要求；
α α β β α
D中∠ ＝80°，∠ 的补角∠ ＝100°，∠ ＜∠ ，错误，故不符合要求；
α α β β α
故选：C．
α α β α β
6．（3分）下列说法中：
①互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③过直线外一点P向直线m作垂线段，这条垂线段就是点P到直线的距离；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据邻补角、角平分线以及垂直的定义分析即可；
②根据平行线的性质分析即可；
③根据点到直线的距离的定义分析即可；
④根据平行线公理分析即可．
【解答】解：①互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直，故①正确；②两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故②错误；
③过直线外一点P向直线m作垂线段，这条垂线段的长度就是点P到直线的距离，故③错误；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④错误．
故选：A．
7．（3分）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移
到△DEF的位置，AB＝12，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．60 B．96 C．84 D．42
【分析】由题意可得S△ABC ＝S△DEF ，故S阴影 ＝S△ABC ﹣S△OEC ＝S梯形ABEO ，再根据平移的性质得到BE＝6，
OE＝DE﹣OD＝AB﹣OD＝8，最后根据梯形的面积公式即可解答．
【解答】解：由题意可得S△ABC ＝S△DEF ，DE＝AB＝12，梯形ABEO是直角梯形，
∴S阴影 ＝S△DEF ﹣S△OEC ＝S△ABC ﹣S△OEC ＝S梯形ABEO ．
∵DE＝AB＝12，DO＝4，
∴OE＝DE﹣DO＝8，
∵平移距离为6，
∴BE＝6，
1 1
∴S =S = (AB+OE)⋅BE= (12+8)×6=60．
阴影 梯 形ABE2O 2
故选：A．
8．（3分）将一块含30°角的直角三角板与一把直尺按如图所示方式摆放，∠C＝90°，∠A＝30°．若∠1＝
°，则∠3﹣∠2的大小为（ ）
α
A．30° B．60° C．（30+ ）° D．（30+2 ）°
【分析】过B作BK∥MN，得到BK∥PQ，推出∠5＝∠1＝ °，∠6＝∠2，得到∠2+ °＝60°，因此
α α
2∠2+2 °＝120°，由三角形内角和定理得到∠3+∠2＝150°，即可求出∠3﹣∠2＝（30+2 ）°．
α α
α α【解答】解：过B作BK∥MN，
∵MN∥PQ，
∴BK∥PQ，
∴∠5＝∠1＝ °，∠6＝∠2，
∴∠2+ °＝∠5+∠6＝∠ABC＝60°，
α
∴2∠2+2 °＝120°，
α
∵∠3+∠4＝180°﹣∠A＝150°，∠4＝∠2，
α
∴∠3+∠2＝150°，
∴∠3+∠2﹣（2∠2+2 °）＝150°﹣120°，
∴∠3﹣∠2＝（30+2 ）°．
α
故选：D．
α
9．（3分）如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（ ）
A．∠ +∠ ﹣∠ ＝90° B．∠ ﹣∠ +∠ ＝180°
C．∠ +∠ ﹣∠ ＝90° D．∠ +∠ +∠ ＝180°
α β γ α β γ
【分析】根据平行线的性质得出∠ ＝∠BOF，∠ +∠COF＝180°，进而利用角的关系解答即可．
γ β α α β γ
【解答】解：∵AB∥EF，
α γ
∴∠ ＝∠BOF＝∠ +∠COF，
∴∠COF＝∠ ﹣∠ ，
α β
∵CD∥EF，
α β
∴∠ +∠COF＝180°，
∴∠ ﹣∠ +∠ ＝180°，故B正确．
γ
故选：B．
α β γ
10．（3分）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB
的调节角（∠ABM）的调节范围为12°～70°，激光笔发出的光束DC射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPC＝30°，则反射光束CH与天花板所形成的角（∠PHC）不可能取到的度数为（
）
A．20° B．50° C．70° D．120°
【分析】当点H在点P左侧时，C作CQ∥MN，求出∠PCB，利用反射定律求出∠HAP，再利用内角和定
理求出∠PHA即可；当点H在点P右侧时，C作CQ∥MN，求出∠PCB，利用反射定律求出∠HAP，再利
用内角和定理求出∠PHA．
【解答】解：当点H在点P左侧时，
当ABM＝20°时，过点C作CQ∥MN，
如图1所示，
∵MN∥EF，MN∥CQ，
∴MN∥EF∥CQ，
∴∠PCQ＝∠EPC＝30°，
∵∠BCQ＝∠ABM＝20°，
∴∠PCB＝50°，
依据反射定理可知，∠PCB＝∠HCA＝50°，
∴∠HAP＝80°，
∴∠PHC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
当点H与点P重合时，认为∠PHC＝150°，
∴当点H在点P左侧时，70°≤∠PHG≤150°；
当点H在点P右侧时，
当∠ABM＝70°时，如图2所示，过点C作CQ∥MN，
∴∠PCQ＝∠EPG＝30°，
∵∠BCQ＝∠ABM＝70°，
∴∠PCB＝100°，
依据反射定理可知，∠PCA＝∠HCB＝100°，
∴∠HAP＝200°﹣180°＝20°，
∴∠PHC＝180°﹣20°﹣150°＝10°，
当点H与点P重合时，认为∠PHC＝30°，
∴当点H在点P右侧时，10°≤∠PHC≤30°，
由上述解答可知，70°≤∠PHC≤150° 或 10°≤∠PHC≤30°，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）请将命题“平行于同一直线的两直线互相平行”改成“如果…，那么…”的形式： 如果两条直
线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行 ．
【分析】先找出命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式即可．
【解答】解：题设是平行于同一直线的两直线，结论是这两直线互相平行，
因此写成如果……那么……的形式为：如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行，
故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
12．（3分）如图，将直角△ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置，连结BE，若CD＝3，AF＝7，则BE
的长为 2 ．
【分析】根据平移的性质得到BE＝AD，DF＝AC，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质可知，BE＝AD，DF＝AC，
则DF﹣DC＝AC﹣DC，即CF＝AD，
1 1
∴AD= (AF−CD)= ×(7−3)=2，
2 2∴BE＝2，
故答案为：2．
13．（3分）如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝ 7 0 °时，木条a与b平
行．
【分析】由同位角相等，两直线平行，即可求解．
【解答】解：当∠2＝70°时，a∥b，
∵∠3＝∠2＝70°，∠1＝70°，
∴∠3＝∠1，
∴a∥b，
故答案为：70．
14．（3分）已知∠A与∠B一边互相垂直，另一边互相平行，且∠A比∠B大30°，则∠A的度数为 60 ° 或
150° ．
【分析】如图所示，根据平行线的性质和垂直的性质分两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：①如图所示，∠CPE＝∠A，
即OB∥PE，CP⊥OD，
∴∠B＝∠EPD，∠CPE+∠EPD＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
又∵∠A比∠B大30°，
∴∠A+∠A﹣30°＝90°，∴∠A＝60°．
②如图所示，∠CPE＝∠A，
即OB∥PE，CP⊥OD，
∴∠B＝∠EPD，∠CPD＝90°，
∴∠A＝∠EPD+90°＝∠B+90°，
∴∠A比∠B大90°（不符合题意），
如图，BH∥AF，BG⊥AE，设∠A＝x．则∠ABH＝180°﹣x，∠GBH＝90°+180°﹣x＝1＝270°﹣x，
∵x﹣（270°﹣x）＝30°，
∴x＝150°．
故答案为：60°或150°．
15．（3分）如图①是长方形纸带，∠CFE＝55°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GE折叠成图③，则图③
中∠DEF的度数是 15 ° ．
【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠AEF＝∠CFE＝55°，根据平角定义，则图②中的∠DEG＝
70°，进一步求得图③中∠GEF＝55°，进而求得图③中的∠DEF的度数．
【解答】解：∵AD∥BC，∠CFE＝55°，
∴∠AEF＝∠CFE＝55°，∠DEF＝125°，
∴图②中的∠GEF＝55°，∠DEG＝180°﹣2×55°＝70°，
∴图③中∠GEF＝55°，∠DEF＝70°﹣55°＝15°．故答案为：15°
16．（3分）如图，有一副直角三角板，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠A＝60°，∠C＝30°，∠D＝∠E＝45°，现将
三角板的直角顶点按照图中方式叠放，点D在直线AB上方，且0°＜∠ABD＜180°，则能使三角板ABC有
一条边与DE平行的所有∠ABD的度数为 45 ° ， 165 ° ， 135 ° ．
【分析】根据题意，分别作出能使三角板ABC有一条边与DE平行的图形，要点D在直线AB上方，且0°
＜∠ABD＜180°，再根据平行线的性质，得到结果．
【解答】解：①图1，DE∥AB，
∴∠ABD＝∠D＝45°；
②图2，DE∥AC，
延长DB交CA的延长线于F点，
∴∠F＝∠D＝45°，
∴∠ABF＝∠CAB﹣∠F＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ABF＝180°﹣15°＝165°；③图3，DE∥BC，
∴∠CBD＝∠D＝45°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝90°+45°＝135°；
综上所述，使三角板ABC有一条边与DE平行的所有∠ABD的度数为45°，165°，135°，
故答案为：45°，165°，135°．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，C是河岸AB外一点．
（1）过点C修一条与河岸AB平行的绿化带（绿化带用直线l表示），请画图表示；
（2）现用水管从河岸AB将水引到C处，问：从河岸AB上的何处开口，才使所用的水管最短？画图表
示，并说明设计的理由．【分析】（1）根据平行线的定义画出直线l即可；
（2）根据垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，过点C画一条平行于AB的直线l，则l为绿化带．
（2）如图，过点C作CD⊥AB于点D，从河岸AB上的点D处开口，才能使所用的水管最短．
设计的理由是垂线段最短．
18．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD．
（1）若∠BOD＝40°，求∠COF的度数；
（2）若∠AOC：∠COE＝2：3，求∠DOF的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义，得出∠AOF＝∠DOF，利用∠COF＝∠COA+∠AOF计算即可得解；
（2）根据∠AOC：∠COE＝2：3与∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，求出∠AOC，再利用
∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°解答即可．
【解答】解：（1）∵OF平分∠AOD，∠BOD＝40°，
∴∠AOF＝∠DOF＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵∠COA＝40°，
∴∠COF＝∠COA+∠AOF＝40°+70°＝110°；
（2）∵∠AOC：∠COE＝2：3，3
设∠AOC＝x，则∠COE= x，
2
∵∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，
3
∴x+ x+90°＝180°，
2
解得：x＝36°，
∵∠BOD＝∠AOC＝36°，∠AOF＝∠DOF，
∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°，
∴2∠DOF+36°＝180°，
解得：∠DOF＝72°．
19．（8分）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的
对应点B'．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
（1）画出△A'B'C'；
（2）画出△ABC的高BD；
（3）连接AA'、CC'，那么AA'与CC'的关系是 AA ' ∥ CC ' ， AA ′＝ CC ′ ，线段AC扫过的图形的面积为
10 ．
（4）在AB的右侧确定格点Q，使△ABQ的面积和△ABC的面积相等，这样的Q点有 8 个．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）根据三角形高的定义画出图形即可．
（3）利用分割法求解即可．（4）构造菱形ACBQ，利用等高模型解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求作．
（2）如图，线段BD即为所求作．
（3）AA′∥CC′，AA′＝CC′．
1 1
线段AC扫过的图形的面积为2×10﹣2× ×1×4﹣2× ×1×6＝10．
2 2
故答案为：AA′∥CC′，AA′＝CC′.10．
（4）满足条件的点Q有8个，
故答案为：8．
20．（8分）请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据：
AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3，BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF，理由如下：
∵AB⊥BC（已知），
∴∠ABC＝ 9 0 °，
即∠3+∠4＝ 9 0 °（ 等量代换 ），
又∵∠1+∠2＝90°（ 已知 ），
且∠2＝∠3，
∴ ∠ 1 ＝ ∠ 4 （ 等角的余角相等 ），
∴BE∥DF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【解答】解：BE∥DF，理由如下：
∵AB⊥BC（已知），
∴∠ABC＝90°，
即∠3+∠4＝90°（等量代换），
又∵∠1+∠2＝90°（已知），
且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4（等角的余角相等），
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：90；90；等量代换；已知；∠1；∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
21．（8分）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）AD与EC平行吗？请说明理由．
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝76°，求∠FAB的度数．
【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出AB∥CD，进而得出∠ADC+∠3＝180°，即可得出答案；
（2）利用角平分线的定义结合已知得出∠FAD＝∠AEC＝90°，即可得出答案．
【解答】（1）AD与EC平行，
证明：∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），
∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝76°，
∴∠BDC＝76°，
∵DA平分∠BDC，
1
∴∠ADC= ∠BDC＝38°（角平分线定义），
2∴∠2＝∠ADC＝38°（已证），
又∵DA⊥FA，AD∥CE，
∴CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°（垂直定义），
∵AD∥CE（已证），
∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等），
∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣38°＝52°．
22．（10分）铁一陆港七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于
是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，AB∥CD，M是AB、CD之间的一点，连接BM，DM，则有∠B+∠D＝∠BMD．请你证明这
个结论．
（2）如图2，M、N是AB、CD之间的两点，且2∠M＝3∠N，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，直
接写出∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系．
【分析】（1）如图，过M作MN∥AB．得AB∥MN∥CD，故∠B＝∠BMN，∠D＝∠BMN，因此∠B+∠D
＝∠BMN+∠DMN＝∠BMD；
2
（2）过点N作CD的平行线NE，设∠M＝x，则∠N= x，由“猪蹄模型”可表示∠MNE，再借助平行
3
线的性质计算即可．
【解答】（1）证明：如图，过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠B＝∠BMN，∠D＝∠BMN，
∴∠B+∠D＝∠BMN+∠DMN＝∠BMD；
1
（2）解：∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系： ∠BMN=∠B−∠C．
3
理由如下：如图：过点N作CD的平行线NE．
∵AB∥NE，
∴由“猪蹄模型”知∠B+∠MNE＝∠M，
2
设∠M＝x，则∠N= x，
3
∴∠MNE＝x﹣∠B，
2 1
∠1=∠N−∠MNE= x−(x−∠B)=∠B− x，
3 3
∵NE∥CD，
∴∠1＝∠C，
1
∴∠B− x=∠C，
3
1
∴ x=∠B−∠C，
3
1
即： ∠M=∠B−∠C，
3
1
∴∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系： ∠M=∠B−∠C．
3
23．（10分）如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针
旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋
转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣8|+（b﹣2）2＝0．
（1）a＝ 8 ，b＝ 2 ；
（2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．
（3）若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ第一次到达BA
之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？【分析】（1）依据非负数的性质即可得到a，b的值；
（2）依据∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABQ+∠BAM＝180°，即可得到射线AM、射线BQ第一次互相垂直的时
间；
（3）分两种情况讨论，依据∠ABQ′＝∠BAM″时，BQ′∥AM′′，列出方程即可得到射线AM、射线
BQ互相平行时的时间．
【解答】解：（1）∵|a﹣8|+（b﹣2）2＝0，|a﹣8|≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a﹣8＝0，b﹣2＝0，
∴a＝8，b＝2，
故答案为：8；2；
（2）设至少旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相垂直，
如图，设旋转后的射线AM、射线BQ交于点O，则BO⊥AO，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∵PQ∥MN，
∴∠ABQ+∠BAM＝180°，
∴∠OBQ+∠OAM＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠OBQ＝2t°，∠OAM＝8t°，
∴2t+8t＝90，
∴10t＝90，
∴t＝9，
∴至少旋转9秒时，射线AM、射线BQ互相垂直；
（3）设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．
如图，射线AM绕点A顺时针先转动15秒后，AM转动至AM′的位置，则∠MAM′＝15×8＝120°，
∴∠M′AB＝180°﹣45°﹣120°＝15°；
分两种情况：180°−45°−120°
①当 =1.875＜t＜7.5时，∠QBQ′＝2t°，∠M′AM″＝8t°，
8
∵PQ∥MN，
∴∠BAN＝45°＝∠ABQ，
∴∠ABQ′＝45°﹣2t°，∠BAM″＝∠M′AM″﹣∠M′AB＝8t°﹣15°，
当∠ABQ′＝∠BAM″时，BQ′∥AM″，
∴45﹣2t＝8t﹣15，
∴10t＝60，
解得t＝6；
②当7.5＜t＜13.125时，∠QBQ′＝2t°，∠NAM″＝8（t﹣7.5）°＝8t°﹣60°，
∴∠ABQ′＝45°﹣2t°，∠BAM″＝45°﹣（8t°﹣60°）＝105°﹣8t°，
当∠ABQ′＝∠BAM″时，BQ′∥AM″，
此时，45﹣2t＝105﹣8t，
∴6t＝60，
解得t＝10；
综上所述，射线AM再转动6秒或10秒时，射线AM、射线BQ互相平行．
24．（12分）【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活
动，如图1，已知直线AB∥CD，点E、G分别为直线AB、CD上的点，点F是平面内任意一点，连接
EF、GF．
【探索发现】：
（1）如图1，当∠F＝60°时，求证：∠AEF+∠FGC＝60°；
【深入探究】：
（2）如图2点P、Q分别是直线CD上的点，且∠PFQ＝∠EFG＝90°，直线MN∥FG，交FQ于点K，
“智胜小组”探究∠FKN与∠PFE之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的探究基础上，∠NKQ＝∠AEF，“科创小组”探究∠CPF与∠EFK之间的数量关
系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由．
【分析】（1）过F作HI∥AB，可得HI∥CD，再根据两直线平行内错角相等，可推出∠AEF+∠FGC＝
∠EFI+∠GFI＝∠EFG，从而得出结果；（2）∠FKN与∠PFE之间的数量关系为∠FKN＝∠PFE，利用平行线的性质即可求证；
（3）过点M作RS∥AB，设∠AEF＝∠NKQ＝ ，利用平行线的性质即可求证．
【解答】（1）证明：如图所示，过F作HI∥AB，
α
∵AB∥CD，
∴HI∥CD，
∴∠AEF＝∠EFI，∠FGC＝∠GFI，
∴∠AEF+∠FGC＝∠EFI+∠GFI＝∠EFG，
∵∠EFG＝60°，
∴∠AEF+∠FGC＝60°；
（2）解：∠FKN与∠PFE之间的数量关系为∠FKN＝∠PFE，理由如下：
设∠FKM＝∠NKQ＝ ，
∴∠FKN＝180°﹣∠NKQ＝180°﹣ ，
α
∵MN∥FG，
α
∴∠FKM＝∠GFQ＝ ，
又∵∠PFQ＝∠EFG＝90°，
α
∴∠EFK＝∠EFG﹣∠GFQ＝90°﹣ ，
∴∠PFE＝∠PFQ+∠EFK＝180°﹣ ，
α
∴∠FKN＝∠PFE；
α
（3）解：∠CPF＝2∠EFK；理由如下：
∵∠NKQ＝∠AEF，
∴设∠AEF＝∠NKQ＝ ，
过点M作RS∥AB，
α
∵AB∥CD，
∴RS∥CD，
∴∠EFS＝∠AEF＝ ，
∴∠SFP＝∠PFE﹣∠EFS＝180°﹣2 ，
α
∴∠CPF＝∠SFP＝180°﹣2 ，
α
α又∵∠EFK＝90°﹣ ，
∴∠CPF＝2∠EFK．
α
