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26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k 的图象和性质
（第三课时——函数y=a(x-h)²+k 的图象)
（教学设计）
1.教学内容
本节课是人教版2024 版九年级上册第26 章《二次函数》，26.2 二次函数图像与性质，26.2.2 二次函数
y=a（x-h)²+k 的图象与性质,第三课时二次函数y=a（x-h)²+k 的图象.在学生掌握y=ax ²、y=ax ²+k 图象与
上下平移规律的基础上，学习顶点式y=a(x-h)²+k 的完整图象特征、函数性质，探究二次函数图象左右、
上下综合平移规律，掌握顶点、对称轴、增减性、最值的通用判定方法，并运用性质解决图象平移、参数
求解、函数值比较等基础问题.
2. 内容解析
本节课是第一课时纵向平移（上加下减）知识，补充横向平移规律，整合得出二次函数完整平移法则，构
建顶点式完整知识体系.此前学生已掌握最简二次函数、纵向平移型二次函数的探究方法，本节课将单一
纵向平移拓展为横纵综合平移，是学生从特殊二次函数模型走向通用顶点式模型的关键一步.本课总结的
“左加右减、上加下减”平移规律，是后续二次函数一般式配方、图象变换、最值应用、实际问题建模的
核心基础.同时本节课持续沿用数形结合、类比归纳的探究模式，深度培养学生几何直观、数学抽象与逻
辑推理的新课标核心素养，在整章教学中起到承前启后、整合体系的核心作用.
基于以上分析，本节课的教学重点为:二次函数y=a(x-h)²+k 的图象性质（开口、对称轴、顶点、增减性、
最值）；抛物线左加右减、上加下减的完整平移规律.
教学目标
（1）掌握二次函数y=a(x-h)²+k 的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值；熟练掌握抛
物线横纵综合平移规律，能实现y=ax ²与y=a(x-h)²+k 的图象互推；能利用函数性质解决参数求解、图象
平移、函数值比较等基础题型.
（2）延续“作图—观察—对比—归纳—应用”的探究流程，通过类比旧知探究新知，掌握二次函数图象
变换的通用探究方法，提升数形转化、规律归纳、知识迁移的能力.
（3）在图象动态变换探究中感受函数图象的规律性、对称性与统一性，培养严谨的数学思维和自主探究、
合作交流的学习习惯，建立二次函数知识体系的整体认知.
2.目标解析
目标1 基于学生已掌握的纵向平移知识，突破横向平移难点，整合完整平移规律，让学生全面掌握顶点式
二次函数的所有图象性质，完善二次函数基础模型体系，为复杂二次函数学习扫清障碍.
目标2 通过类比旧知探究新知，强化学生类比迁移的数学思维；通过作图观察、规律总结、例题实操，提
升学生数形结合解题能力和归纳概括能力，形成固定的函数探究思维模型.
目标3 借助图象横纵平移的动态变化，深化几何直观素养；通过特殊函数实例归纳通用性质与平移规律，
培养数学抽象、归纳推理素养；通过性质的实际应用，提升数学运算与模型应用素养，贴合新课标育人要
求.
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学生已熟练掌握y=ax ²、y=ax ²+k 的图象画法与性质，理解纵向平移“上加下减”的规律，具备描点作图、
图象观察、类比归纳的基本数学能力，熟悉二次函数的探究流程，为本节课学习奠定了扎实基础.九年级
学生具象思维较强，但抽象思维仍有待提升，对纵向平移容易掌握，对横向平移的“左加右减”难以理解，
极易记反平移方向；同时容易混淆h、k 的作用，无法区分横、纵向平移对应的参数，在综合平移问题中容
易出错.此外，学生初步具备合作探究能力，适合通过动手作图、对比辨析、例题纠错的方式突破重难点.
基于以上分析，本节课的教学难点确定为：准确理解参数h 的几何意义，区分横向平移方向（极易混淆）；
灵活结合a、h、k 三个参数综合分析函数图象特征；利用对称轴和增减性比较函数值大小.
创设情景，引入新课
复习回顾：（1）二次函数y=2x ²-3 的顶点坐标、对称轴、最值分别是什么？
（2）抛物线y=2x ²-3 由y=2x ²经过怎样的平移得到？
学生作答，教师总结纵向平移规律：上加下减，k 控制图象上下平移.
设问导入：若将函数变形为y=2(x-1)²-3，图象除上下平移外，还会发生什么变化？参数h 会对抛物线产
生什么影响？引出本节课课题.
（设计意图：精准复习上一课时核心知识，唤醒学生已有知识储备，巩固纵向平移规律，搭建新旧知识桥
梁；通过递进式设问制造认知冲突，聚焦本节课新参数h，激发学生探究兴趣，自然衔接新课内容.）
探究点1 画二次函数
图象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
活动1.在平面直角坐标系中，画出二次函数
的图象，并分别指出它们的开口方向、对称
轴和顶点.
列表：
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
…
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描点画图，就得到
的图象，如上左图.
观察图象：可以看出，抛物线
的开口向下，对称轴经过（-1，0）且垂直于x 轴的直线（记
作x=-1），顶点是(-1，-1).
活动2.观察抛物线
与抛物线
有什么关系?
在同一直角坐标系中，画出抛物线
与
、
，如上右图.
观察三个抛物线
与
、
的相同点和不同点是什么？
可以发现，把抛物线
向下平移1 个单位得抛物线
，再向左平移1 个单位长度，就得
到抛物线
.
(设计意图：让学生亲手操作画图，直观感知图象变化，落实学生主体地位；通过小组合作观察对比，培
养学生观察分析、合作交流的能力，从具象图象中提炼抽象规律.)
探究点2 函数 y=a(x-h)²+k(a≠0)与函数 y=ax ²的关系
活动3.利用信息技术工具画函数y=a(x-h)²+k(a≠0)与函数 y=ax ²的图象(改变h、k 的值)，观察两图象变
化.
操作观察：抛物线y=a(x-h)²+k 与y=ax ²形状相同，位置不同.把抛物线y=ax ²向上(或向下)、向左(或向
右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)²+k.平移的方向、距离要根据h，k 的值来决定.
抛物线y=a(x-h)²+k 有如下特点:
(1）当a>0 时，开口向上;当a<0 时，开口向下.
(2）对称轴是x=h.
(3）顶点是(h, k).
活动4.梳理总结y=a(x-h)²+k(a≠0)的完整性质和平移规律
图象共性：图象为抛物线，形状、开口大小、开口方向与y=ax ²完全一致.
核心要素：对称轴：直线x=h,顶点坐标：(h, 0)，平移规律：抛物线y=ax ²左右平移得到y=a(x-h)²，左
加右减h>0：向右平移h 个单位，h<0，向左平移|h|个单位.
函数增减性与最值:当a>0 时，开口向上，顶点为最低点；x<h 时，y 随x 的增大而减小；x>h 时，y 随x 的
增大而增大；当x=h 时，
.当a<0 时，开口向下，顶点为最高点；x<h 时，y 随x 的增大而增大；
x>h 时，y 随x 的增大而减小；当x=h 时，
.
(设计意图：通过学生自主探究+教师精准总结，突破本节课重点知识，系统化梳理函数性质和平移规律，
帮助学生构建完整的知识框架，突破“左右平移”认知难点.)
典型例题
例1：已知二次函数y=-2(x+1)²-4
（1）直接写出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数最值；
（2）说明该抛物线是由y=-2x ²经过怎样的平移得到的；
（3）若有三点A(-2,
)、B(-1,
)、C(0,
)，比较
、
、
的大小.
【分析】本题综合考查本节课所有核心知识点，覆盖参数辨析、图象平移、函数性质、函数值比较四大高
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频考点。解题关键：先将解析式化为标准形式y=a(x-h)²+k，准确识别a、h、k 的数值（重点注意符号变
化）；再结合平移规律、增减性、对称轴性质逐一解题，利用抛物线上点到对称轴的距离快速比较函数值
大小.
【详解】解：（1）函数为标准形式：y=-2[x-(-1)]²-4
可得：a=-2，h=-1，k=-4.
∵ a=-2<0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为(-1，-4)；
当x=-1 时，函数有最大值，最大值为y=-4，无最小值.
（2）根据平移规律“左加右减、上加下减”：抛物线y=-2(x+1)²-4 是由抛物线y=-2x ²向左平移1 个单位，
再向下平移4 个单位得到.
（3）∵ a=-2<0。抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1
开口向下的抛物线，点到对称轴距离越近，函数值越大分别计算三点到对称轴x=-1 的距离：A(-2,
)：
距离|-2-(-1)|=1；B(-1,
)：距离|-1-(-1)|=0（顶点，函数值最大）；C(0,
)：距离|0-(-1)|=1，因
此：
>
=
.
例2.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线
形水柱在与池中心的水平距离为1.6m 处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，水管的长应为
多少?
【分析】将喷水池问题建立平面直角坐标系，构建二次函数问题加以解决.
【详解】解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管所在直线为轴，
建立平面直角坐标系.
点（1.6 ，3 ）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为
y=a(x-1.6)²+3(0≤x≤3.6).
由这段抛物线经过点（3.6，0)，可得0=a(3.6-1.6)²+3.
解得
因此
当x=0 时，y=1.08，也就是说，水管的长应为1.08m.
（设计意图：通过综合性例题，整合本节课所有核心知识点，帮助学生巩固性质和平移规律；规范解题步
骤，培养学生严谨的答题习惯，同时让学生掌握利用对称性、增减性比较函数值的解题技巧，实现知识的
学以致用.)
课本课堂练习（P38 第1 题(2，4),第2 题(1).
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（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的
理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1.如图，杭州亚运会上某运动员站在点O 处练习发排球，将球从O 点正上
的A 点处发出，把球看成点，
其运行的路线近似看作是抛物线的一部分．已知球与O 点的水平距离
为
时，达到最高
，球场的
边界距O 点的水平距离为
．
(1)请确定排球运行的高度
与运行的水平距离
满足的函数关系式；
(2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由．
【详解】（1）由题意可知：该抛物线顶点为
，
∴
，
把
的坐标代入解析式，得
，
解得
，
∴函数关系式为
；
（2）没有出界，理由如下：
设第一次落地点为B，令
，则
，
解之得：
（舍），
，
∵
，
∴排球第一次落地没出界．
1.（2025•台湾）坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+7）2+12 的图形，今将此图形向右平移10 单位，平移过
程中此图形与y 轴的交点也会跟着变化．假设此图形与y 轴的交点为P，判断在平移过程中，P 点位置
的变化情形为下列何者？（ ）
A．持续向下
B．持续向上
C．先向下再向上
D．先向上再向下
【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝﹣（x+7）2+12，
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∴令x＝0，则y＝﹣37，即此时图象与y 轴的交点P 为（0，﹣37）．
又根据“左加右减，上加下减”的平移规律，设此图形向右平移m 单位（0＜m≤10），
∴新图象为y＝﹣（x+7﹣m）2+12．
∴图象与y 轴交点P'为（0，﹣m2+14m﹣37）．
又∵﹣m2+14m﹣37＝﹣（m﹣7）2+12，
∴当m＝7 时，P'的纵坐标取最大值12．
又∵0＜m≤10，
∴P 点位置的变化先向上再向下．
故选：D．
2.（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5 运行，其中x 是铅球离初
始位置的水平距离，y 是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA 为1.6m，则铅球掷出的水
平距离OB 为 m．
【解答】解：由题意，OA＝1.6m，
得A（0，1.6），
将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5，
得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5，
解得：a=−1
10
，
∴y =−1
10 ( x−3)
2+2.5，
令y＝0，得−1
10 ( x−3)
2+2.5=0，
解得：x1＝8，x2＝﹣2，
∴OB 为8m，
故答案为：8．
3.（2026 哈尔滨校考）小明跳起投篮，已知球在
处出手时离地面高
米，与篮圈中心的水平距离为
米，当球出手后在
处达到最大高度
米，此时球运动的水平距离为
米，设篮球运行的轨迹为如图所示
的抛物线．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)篮圈中心距离地面米，问此球能否投中？请通过计算说明理由．
【详解】（1）解：根据题意，
点
的坐标为
，点
坐标为
，
设此抛物线对应的解析式为：
，
，
抛物线经过
，
，
，
抛物线的解析式为：
．
（2）篮圈中心的坐标为
，
将坐标代入解析式中，得，
当
时，
，
故此球能投中．
4．（2026·台州校考）在平面直角坐标系中，二次函数
的图象经过点
．
(1)求这个函数的表达式．
(2)当
时，
随
的增大而减小，求
的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数
的图象经过点
．
∴
，解得：
，
∴这个函数的表达式为：
；
（2）∵
，
∴其对称轴为：
，
∵
，
∴图象开口向上，则当
时，
随
的增大而减小，
∴
的取值范围为
．
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（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
知识技能：（1）掌握顶点式y=a(x-h)²+k 的核心要素：a 定开口，直线x=h 为对称轴，(h,k)为顶点；
（2）熟记完整平移规律：左加右减、上加下减，可实现任意顶点式抛物线与基础抛物线的平移转化；
（3）熟练判断函数最值、增减性，掌握利用对称轴距离比较函数值大小的方法.
思想方法：（1）数形结合思想：以图象直观特征解读函数解析式参数含义，以解析式精准量化图象性质；
（2）类比迁移思想：类比纵向平移规律，探究横向平移规律，实现知识的迁移拓展；（3）从特殊到一般
思想：由具体函数图象特征，归纳出所有顶点式二次函数的通用性质.
易错提醒：（1）符号误区：识别h 时必须对照标准式y=a(x-h)²+k，x+h 实际对应h 为负数，极易判断平
移方向错误；（2）平移误区：混淆横、纵向平移对应的参数，h 管左右、k 管上下，不可混淆；（3）性质
误区：忽略a 的正负直接判断增减性、最值；（4）顶点误区：顶点坐标是(h,k)，切勿直接带入解析式中
的符号写错坐标.
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：课本习题26.2 第2 题(3),P41 练习第1 题(1，3),第2 题(2).
探究性作业：已知二次函数
与
的一些对应值如下表：
…
0
1
2
…
…
0
0
5
…
(1)求此二次函数的表达式；
(2)当
时，直接写出
的取值范围．
【详解】（1）解：由表格可知此二次函数的顶点为
设此二次函数解析式为
∵二次函数经过
，
∴
，
解得
∴此二次函数解析式为
（2）
，
当
时，函数有最小值为
，
，
当
时，
取最大值为
当
时，y 的取值范围是
．
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
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主板书
26.2.2 二次函数 y=a(x-h)²+k 的图象和性质(第3 课
时)
一、标准形式
二、平移规律
三、核心性质
四、易错警示
副板书
典型例题
（预留区域，课堂书写化简、检验例题）
例题
学生练习板演
