第二十六章反比例函数（知识归纳+题型突破）（六大题型，98题）（教师版）-（人教版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第二十六章 反比例函数 （知识归纳+题型突破）1、结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式． 2、能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 探索并理解k >0和k <0时图象的变化情况． 3、能用反比例函数解决简单实际问题． 1.反比例函数的概念： k y= x 一般地， （k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。 （x为自变量，y为因变量，其中x不能为零） 2.反比例函数的等价形式： k y= (k≠0) x y=kx−1 (k≠0) xy=k(k≠0) y是x的反比例函数 ←→ ←→ ←→ ←→ 变量y与x 成反比例，比例系数为k. 3.判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法： xy=k ①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即 >。（通常第二种方法更适 用） 4.反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线 反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的； ②选取的点越多画的图越准确； ③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。 5.反比例函数性质： ①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； ②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； ③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。 6.反比例函数图象的几何特征:(如图1所示) 1 1 S =|xy|=|k| S = |xy|= |k| 矩形OAPB ΔAOB 2 2 点P(x,y)在双曲线上都有B P P B O A A O 图1 题型一反比例函数的定义及其应用 【例1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知反比例函数 的图像经过点 ，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】将点的坐标代入函数解析式即可． 【详解】解：将 代入 得： ， 解得： ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数值求自变量是解题的关键． 例2（2023秋·全国·九年级专题练习）下列问题中的两个变量是成反比例的是（ ） A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间 【答案】A 【分析】形如 （ 为常数， ）的函数称为反比例函数．看两个变量是否具有反比例关系， 主要看它们的乘积是否为非零的常数．依据判断方法逐项分析即可． 【详解】解：A．被除数（不为零）一定，除数与商是反比例函数的关系，故此选项符合题意； B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量是正比例函数的关系，故此选项不符合题意； C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长是一次函数的关系，故此选项不符合题意； D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间是正比例函数的关系，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数，正确区分正比例函数与反比例函数是解题关键．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系． 巩固训练： 1．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是 ．则下列说法 不正确的是（ ） A．当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系； B．当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大； C．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系； D．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系． 【答案】C 【分析】根据正比例函数关系和反比例函数关系的定义进行判断即可． 【详解】解：A．在 中，当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系，故选项正确， 不符合题意； B．在 中，当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大，故选项正确，不符合题意； C．在 中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项不正确，符合题意； D．在 中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了正比例函数关系和反比例函数关系，熟练掌握正比例函数关系和反比例函数关系的定 义是解题的关键． 2．（2023秋·湖南株洲·九年级校联考阶段练习）下列关系式中，是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】形如 的函数是反比例函数，根据定义判断． 【详解】解：选项C符合反比例函数的定义，A，B，D均不符合定义， 故选：C． 【点睛】此题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 3．（2023秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校考阶段练习）下列所涉及的两个变量满足的函数关系属于 二次函数的是（ ）A．等边三角形的面积S与等边三角形的边长x B．放学时，当小希骑车速度一定时，小希离学校的距 离s与小希骑车的时间t C．当工作总量一定时，工作效率y与工作时间t D．正方形的周长y与边长x 【答案】A 【分析】根据题意，列出函数解析式就可以判定． 【详解】A、 ，是二次函数，正确，符合题意； B、 ，v一定，是一次函数，错误，不符合题意； C、 一定，是反比例函数，错误，不符合题意； D、 ，是一次函数，错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握其定义是解决此题关键． 4．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列函数中：① ，② ，③ ，④ （ 为常 数，且 ）；属于反比例函数的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义逐一分析判断即可，形如y＝ ( )的函数是反比例函数． 【详解】①∵ ， ∴ ，是反比例函数，符合题意； ② ，不是反比例函数，不合题意； ③∵ ， ∴ ，是反比例函数，符合题意； ④ （ 为常数，且 ），是反比例函数，符合题意； 是反比例函数的有①③④，共3个，故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的辨别，熟练掌握反比例函数的形式是解题的关键．y＝ ( )的函数 是反比例函数． 5．（2023秋·湖南常德·九年级校考阶段练习）下列 关于 的函数中， 是 的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义“ ”即可求解． 【详解】解： 、 符合反比函数定义，是反比例函数，符合题意； 、 不符合反比函数定义，不是反比例函数，不符合题意； 、 不符合反比函数定义，不是反比例函数，不符合题意； 、 不符合反比函数定义，不是反比例函数，不符合题意； 故选： ． 【点睛】本题主要考查反比例函数定义的理解，掌握其定义，表达式的形式是解题的关键． 6．（2023·青海·统考中考真题）生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒 精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A．酒精浓度越大，心率越高 B．酒精对这种鱼类的心率没有影响 C．当酒精浓度是 时，心率是168次/分 D．心率与酒精浓度是反比例函数关系 【答案】C 【分析】观察图象即可判断A、B、C选项，根据反比例函数的定义，即可判断D选项．【详解】解∶由图象可知，酒精浓度越大，心率越低，故A错误； 酒精浓度越大，心率越低，酒精对这种鱼类的心率有影响，故B错误； 由图象可知，当酒精浓度是 时，心率是168次/分，故C正确； 任意取两个点坐标 ， ，因为 ，所以心率与酒精浓度不是反比例函数 关系，故D错误． 故选∶ C． 【点睛】本题考查了观察图象，读取、分析、处理信息的能力，反比例函数定义，根据反比例函数定义判 断是否为反比例函数是解题的关键． 7．（2023·海南·统考中考真题）若反比例函数 （ ）的图象经过点 ，则k的值是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】把点 代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数 （ ）的图象经过点 ， ∴ ， 解得 ， 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式准确计算是解题的关键． 8．（2023秋·全国·九年级专题练习）若函数 是反比例函数，则m的值是（ ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义即可求出 的值． 【详解】解：∵函数 是反比例函数， ∴ ，且 ， 解得： ， 故选：A．【点睛】此题考查反比例函数的定义：形如 （k为常数， ）的函数就叫做反比例函数， 掌握反比例函数的定义是解题关键． 9．（2023秋·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）已知点 在双曲线 上，则下列各点也 在此双曲线上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】双曲线上的点的横、纵坐标之积为定值，据此逐项判断即可． 【详解】解：点 在双曲线 上， ， A， ， 不在此双曲线上； B， ， 不在此双曲线上； C， ， 不在此双曲线上； D， ， 在此双曲线上； 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上的点的横、纵 坐标之积为定值． 10．（2023春·海南海口·九年级校考期中）若反比例函数 的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出答案． 【详解】解： ， ， ∴图象一定经过的点是 ， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；掌握反比例函数图象上点的坐标特征，即纵横坐标的积等于k（定值）是解决问题的关键． 11．（2023秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）下列各点中，一定在反比例函数 的图象上的点是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各个点代入解析式中，判断是否在函数图象上即可． 【详解】∵反比例函数为 ， ∴ ， 、 ，此点不在图象上，不符合题意； 、 ，此点在图象上，符合题意； 、 ，此点不在图象上，不符合题意； 、 ，此点不在图象上，不符合题意； 故选： ． 【点睛】此题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是正确理解点在函数图象上，则满足 ． 12．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）以下选项中的各点，不在反比例函数 图象上的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算出四点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：由题意得： ， A. ，不符合条件； B. ，不符合条件； C. ，符合条件； D. ，不符合条件；故选C． 【点睛】本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据反比例函数图象上点的坐 标特征进行判断是解此题的关键． 13．（2023秋·全国·九年级专题练习）一个菱形的面积为 ，它的两条对角线长分别为 ， 则 与 之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据菱形面积 对角线的积可列出关系式． 【详解】解：由题意得： ，可得 ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式． 14．（2023秋·湖南娄底·九年级统考阶段练习）若 是反比例函数，则此函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义先求出 的值，再求出函数解析式． 【详解】解：∵ 是反比例函数， ∴ ， 解得： ， ∴此函数解析式为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 转化为 的形式． 15．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考阶段练习）已知函数 是反比例函 数，则 ．【答案】 【分析】根据反比例的定义可得 ，进行计算即可得到答案． 【详解】解： 函数 是反比例函数， ， 解得： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如 的函数叫反比例函数，熟练掌握此定 义是解题的关键． 16．（2023·浙江杭州·校考二模）已知点 在反比例函数 的图象上，则 ． 【答案】2 【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出m值． 【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上， ∴ ， ∴ ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积是定值k；理解点坐标与 解析式的关系是解题的关键． 17．（2023秋·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的 改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足： 与 成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达 式． 1 【答案】 g(x)=f(x)+ x2 −bx 2 【分析】设 ，求出 的值，化简即可．【详解】解：由题意得：设 ∵当投入改造经费1万元时，年产量是2万只 ∴ 解得： ∴ 即： 【点睛】本题考查反比例关系．根据题意正确设出关系式即可． 18．（2023秋·全国·九年级专题练习）水池内有污水 ，设放净全池污水所需时间为 ，每小时放 水量为 ． (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)求当 时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所需时间＝池内污水量÷每小时放水量可得y与x之间的函数关系式； （2）把 代入（1）中函数关系式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）当 时， ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出反比例函数关系以及求反比例函数值，正确列出函数关系式是解题 的关键． 题型二 利用反比例函数的性质求参数 【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知反比例函数 ，当 为何值时： (1)函数的图象在第二、四象限？ (2)在每个象限内， 随 的增大而减小？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数 的图象在第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （2）根据反比例函数的增减性列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象在第二、四象限， ∴ ，解得 ； （2）∵在每个象限内， 随 的增大而减小， ∴ ，解得 ． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 巩固训练 1．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如果反比例函数 （m是常数）的图象在第一、 三象限，那么m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象在第一、三象限，即得出 ，解之即得出答案． 【详解】解：∵反比例函数 （m是常数）的图象在第一、三象限， ∴ ， 解得： ． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．解题的关键是掌握反比例函数 ，当 时，图 象在第一、三象限；当 时，图象在第二、四象限． 2．（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）反比例函数 的图像经过二四象限，则 的取值 范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数 的图像经过二四象限列不等式求解即可得到答案； 【详解】解：∵反比例函数 的图像经过二四象限， ∴ ， 解得： ，故选：A； 【点睛】本题考查反比例函数的性质： 图像在一三象限， 图像在二四象限． 3．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）在反比例函数 图象上有两点 ， ， ， ，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据 ，有 ，判断出反比例函数的比例系数的正负，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵在反比例函数 图象上有两点 ， ， ， ， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ， 解得 ． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数的图象在二、四象 限是解答此题的关键． 4．（2023秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考阶段练习）已知反比例函数 的图象上有 两点，当 时， ，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得 ，而 时， ，则 ，然后解不等式即可； 【详解】解：∵反比例函数 的图象上有当 时， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式． 5．（2022·福建泉州·统考模拟预测）在反比例函数 的图像在某象限内， 随着 的增大而减小， 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用反比例函数增减性得出 的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，反比例函数 的图像在某象限内， 随着 的增大而减小， 则有 ，解得 ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 6．（2023秋·安徽合肥·九年级校考期中）已知反比例函数 的图象在第二、四象限，则k的取值范 围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象和性质求解，即可得到答案． 【详解】解： 反比例函数 的图象在第二、四象限， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题关键是掌握反比例函数中， ，函数图象在第一、 三象限内； ，函数图象在第二、四象限内． 7．（2023秋·吉林长春·九年级长春外国语学校校考阶段练习）已知反比例函数 的图象位于一、 三象限，则 的取值范围为 ． 【答案】【分析】根据反比例函数的性质得 ，然后解不等式即可. 【详解】解：∵反比例函数 的图象在第一、三象限， ∴ ，解得 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数 的图象是双曲线；当 ，双曲线的两 支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当 ，双曲线的两支分别位于第二、 第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大. 8．（2023秋·湖南常德·九年级校考阶段练习）若反比例函数 的图像经过第二、四象限， 则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义和图像经过的象限确定即可确定m的值． 【详解】解：∵ 是反比例函数， ∴ ，即 ， ∵函数图像经过第二、四象限， ∴ ，即 ， ∴ ． 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质等知识点，掌握反比例函数的定义是解答 本题的关键． 9．（2023秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）在反比例函数 的图象上有两点 、 ，当 时，有 ，则 的取值范围是 ． 【答案】 / 【分析】首先根据当 时，有 则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断 的取值 范围． 【详解】解： 时， ，反比例函数图象在第一，三象限， ， 解得： ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，解题的关键是根据题意判断出图象所在象限． 10．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考阶段练习）已知 是关于x的反比例函数． (1)若 时，y随x的增大而减小，求m的值； (2)若该反比例函数图象经过第二象限内点 ，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数图象的性质解题即可； （2）根据反比例函数图象的性质求出解析式，然后代入点的坐标解题即可． 【详解】（1）解：由题意可知 ， 解得 ． （2）由题意可知 ， 解得 ． 即 ， 所以 ， ． 【点睛】本题考查反比例函数的定义和性质，掌握一般地,形如 (k为常数, )的函数叫反比例函数. 11．（2023秋·江苏南京·九年级南京市伯乐中学校考开学考试）若反比例函数 的图象，在每个象 限内y都随x的增大而增大，则k的值可以是 .（写出一个满足条件的即可） 【答案】1（答案不唯一）【分析】由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，然后在这个范围内写出一个则可． 【详解】解：∵反比例函数 的图象，在每个象限内y都随x的增大而增大， ， 解得： ， ∴k可以等于1． 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质和不等式的解法． 12．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）若反比例函数 的图象如图所示． (1)求常数k的取值范围； (2)在每一象限内，y随x的增大而______． 【答案】(1) (2)增大 【分析】（1）根据反比例函数的图象在第二、四象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可； （2）根据反比例函数的增减性回答问题即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数图像位于二、四象限， ∴ ， 解得： ； （2）根据反比例函数的性质得到：在每一象限内，y随x的增大而增大， 故答案为：增大． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 13．（2021秋·陕西延安·九年级校考阶段练习）已知 是反比例函数，且该函数图象的两个 分支分布在第二、四象限，求m的值． 【答案】【分析】根据反比例函数的定义得 ，由反比例函数的性质得 ，进而可求出m的值． 【详解】解：∵ 是反比例函数， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∵该函数图象的两个分支分布在第二、四象限， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数 (k是常数， )的图象是双曲线，当 时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当 时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 14．（2022秋·陕西宝鸡·九年级校考期末）在反比例函数 图象的每一条曲线上，y随x的增大而增 大． (1)函数图象经过哪些象限？ (2)求k的取值范围． 【答案】(1)经过第二、四象限(2) 【分析】（1）根据反比例函数的图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大，得到函数图象经过第二、四 象限即可； （2）根据函数的图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大，得到反比例函数的系数小于0，进行求解即 可． 【详解】（1）解：∵在反比例函数 图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴函数经过第二、四象限． （2）∵在反比例函数 图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴ ，解得 ． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 题型三 比例系数k与图形面积【例4】（2023春·新疆喀什·九年级新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）点A在函数 的图象上，点 在函数 的图象上，如图所示， 为坐标原点， 轴，则 的面积为 ． 【答案】 【分析】根据 的几何意义，结合平行线的性质求解即可. 【详解】解：设 与 轴交于点 ， ∵ 轴，点A在函数 的图象上，点 在函数 的图象上， ∴ ， ∴ ， 故答案为： . 【点睛】本题考查了反比例函数 的几何意义，理解 的几何意义并正确运用是解题的关键. 【例5】36．（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，正方形对称中心在原点O，四个顶点分别 位于两个反比例函数 的图象的四个分支上，则实数 的值为（ ）A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】如图所示，点 在 上，证明 ，根据 的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，点 在 上， ∵ ， ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ， ∵ 点在第二象限， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的 的几何意义，熟练掌握以 上知识是解题的关键． 巩固训练 1．（2022春·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校联考自主招生）如图，在平面直 角坐标系中，菱形 的顶点D在第二象限， 轴， ，且 ， 于E，．反比例函数 ，与边 交于点F，连接 ．若 ，则k的值为 （ ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】延长 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ,根据已知可得 轴;利用 可得 ，得到 ;利用 ，四边形 是菱形， 可得 ．设 ，则 ，由勾股定理可得 ， ，可得 点坐 标为 ，所以 ．由于 为矩形， ，可得点 的坐标为 ，利用 ，列出关于 的方程，求得 的值， 的值即可求出． 【详解】延长 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，如图： 轴， ， 轴 ， ． ，在 和 中， 四边形 是菱形， ， 设 ，则 ． 反比例函数 的图象经过点 ， , 四边形 为矩形． 点 在反比例函数 的图象上，, 解得： 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征， 三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形，菱形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线 段的长度表示出相应点的坐标是解题的关键． 2．（2022春·福建泉州·八年级校考期末）如图，A、B两点在反比例函数 的图象上，C，D两点在反 比例函数 的图象上， 轴于点E， 轴于点F， ， ， 的长度为 ，则 的值是（ ） A．8 B．11 C．15 D．16 【答案】C【分析】由反比例函数的性质可知 ， ，结合 和 可求得 的值． 【详解】解：连接 、 、 、 ，如图： 由反比例函数的性质可知 ， ， ， ①， ， ②， 由①②两式得： ， 解得 ， 则 ， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属 于中考常考题型．3．（2023秋·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）如图，直线 与反比例函数 ， 的图象交 于点A、B，直线 与反比例函数 ， 的图象交于C，D，其中常数t，k均大于0，点P， Q分别是x轴、y轴上任意点，设 和 的面积分别为 ， ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ， 均为定值；正确的有（ ） A．②④⑥ B．①②③ C．④⑥ D．⑤⑥ 【答案】A 【分析】 ， ， ， ，根据反比例函数的几何意义直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：连接 ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ∴ ， , ∴ ， 故选：A；【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数上点与坐标原点及坐标轴垂 线组成三角形面积等于 ． 4．（2021春·湖北武汉·九年级校考自主招生）如图， 、 两点在双曲线 上， 、 两点在 双曲线 上，若 轴，且 ，则 的面积为 ． 【答案】 / 【分析】如图，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，则四边形 是矩形，设 ， ，得到点 和点 的坐标，得到 和 的长，然后由 列 出方程，化简得到 与 的关系，最后用割补法求得 的面积即可． 【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，则四边 形 是矩形，设 ， ， 点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 化简得， ， ， 点 和点 在反比例函数 上， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，切割法求多边形的面积，解题的关键是熟知反比例 函数图象上点的坐标特征．5．（2023春·湖北武汉·九年级校考自主招生）如图， 为双曲线 上的一点， 轴，垂足为 ， 交双曲线 于 ， 轴，垂足为 ， 交双曲线 于 ，连接 ，则 的面积是 ． 【答案】 【分析】设 ，求得 、 的坐标，进而求得 、 ，最后根据三角形的面积公式求得结果． 【详解】设 ，则 ， ， ∴ ， ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形的面积，解题的关键用 点的横坐标 表示 与 ． 6．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以 ， 为边，在x轴上方作正方 形 ， ．反比例函数 的图象分别交边 ， 于点P，Q．作 轴于点M， 轴于点N．若 ，Q为 的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．【答案】24 【分析】设 ，则 ，从而可得 、 ，由正方形的性质可得 ，由 轴，点P在 上，可得 ，由于Q为 的中点， 轴，可得 ，则 ，由于点Q在反比例函数 的图象上可得 ，根据阴影部分为矩形，且长为 ， 宽为a，面积为6，从而可得 ，即可求解． 【详解】解：设 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在正方形 中， ， ∵Q为 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵Q在反比例函数 的图象上， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∵P在 上， ∴P点纵坐标为 ，∵P点在反比例函数 的图象上， ∴P点横坐标为 ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：24． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知 识是解题的关键． 4．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数 和 的图象的四个分支上，则 的值= ． 【答案】 【分析】根据正方形和双曲线的中心对称性， 、 的交点为O，如图，过点A作 轴于M，过 点D作 轴于N，证明 得到 ，利用反比例函数系数k的几何意 义求解即可．【详解】：根据正方形和双曲线的中心对称性， 、 的交点为O，如图，过点A作 轴于M， 过点D作 轴于N，则 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ，则 ， ∵反比例函数 的图象位于第二、四象限， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的性质和系数k的几何意义，熟 练掌握反比例函数系数k的几何意义是解答的关键． 8．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，已知 ， ，将线段 平移至 的位置，其 点在 轴的负半轴上， 点在反比例函数 的图象上，若四边形 的面积是18，则 ．【答案】 【分析】根据平移的性质，结合已知点 ， 的坐标，知点 的纵坐标为3，点 与点 的横坐标的差为 2；然后利用 的面积，来求得点 的坐标，再用待定系数法求出 的值． 【详解】解： ， ， 将线段 平移至 的位置， 点坐标为 ， 点坐标为 ． ∵四边形 的面积是18 ∴ ， ． ． 则点 的坐标为 ． 又点 在反比例函数 的图象上， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，关键是明白 平移到 后，点 的纵坐标为3，点 与点 的横坐标的差为2． 9．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，平行四边形 的顶点B在双曲线 上，顶点C在 双曲线 上， 中点P恰好落在y轴上，已知 ，则 ．【答案】 【分析】连接 ，过 点和 点分别作 轴的垂线段 和 ，先证明 ，则 ， 易知 ， ，由此可得 ，从而得到 ，求出 的值即可． 【详解】解：连接 ，过 点和 点分别作 轴的垂线段 和 ，垂足分别为点E、D，如图所示： ， 中点 恰好落在 轴上， ， ， ， ， 点 在双曲线 上，， 点 在双曲线 上，且从图像得出 ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， 解得： ， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数 的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函 数图象上点到 轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是 ． 10．（2023秋·安徽合肥·九年级校联考阶段练习）如图，在反比例函数 的图象上有点 ， ， ， ， ，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作 轴、 轴的垂线，图中所构成的阴影部 分的面积从左到右依次为 ， ， ， ，已知 的纵坐标为10．（1） 的值为 ； （2）阴影部分的面积 ， ， ， 的和为 ． 【答案】 【分析】（1）可得 ，代入即可求解； （2）可求 ，将所以阴影部分面积移到一起是矩形，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得 ， ， 解得： ， 故答案： ． （2）由（1）得： ， 当 时， ， 解得： ， ， ， 故答案： ． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数关系式，根据 的意义求矩形面积，理解 的意义是解题的 关键． 11．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如图，点 ， 分别在函数 图象的两支 上（ 在第一象限），连接 交 轴于点 ．点 ， 在函数 ( ， )图象上， 轴，轴，连接 ， ． （1）若 ， 的面积为9，则 的值为 ． （2）在（1）的条件下，若四边形 的面积为14，则经过点 的反比例函数解析式为 ． 【答案】 12 【分析】（1）设 ，可求 ，可求 ，从而可求 ， ， 由 ，即可求解； （2）可求 ，由 ，即可求解． 【详解】（1）解：设 ， 轴， ， 解得： ， ， ， ，， ， 解得： ， ， 解得： ， ， 轴， ， ， 的面积为9， ， ， 解得： ； 故答案： ． （2）解： 四边形 的面积为14， ， 由（1）得：， ， ， 解得： ， ； 故答案： ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，设辅助未知数列出方程是解题的关键． 12．（2023秋·安徽亳州·九年级校考阶段练习）如图， 、 是反比例函数 图 象上两点，连接 、 ，求 的面积． 【答案】 【分析】根据反比例函数的坐标特征得到 ，解得 ， ；由反比例函数系数 的几何意义，根据 求得即可． 【详解】解：点 、 是函数 图象上的两点， ，解得 ， ， 、 ， 作 轴于 ， 轴于 ， ∴由反比例函数k的几何意义可知 ， ∴ ． 【点睛】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，根据图象得到 是解题的关键． 13．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，已知反比例函数 的图象经过点 ． (1)求k的值． (2)若点B在x轴上，且 ，则 的面积为______． 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）把点A坐标代入 即可； （2）过A作 与C，设点A的坐标为 ，得到 ，根据 得到 ，将 的面积用m，n来表示即可．【详解】（1）解：把 代入到 ，得 ， 解得， ； （2）如图，过A作 于点C，设点A的坐标为 ， 设点A的坐标为 ， ∴ ∵ ， ， ∴ ， ∴ 的面积为 ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了学生对于待定系数法，等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几 何意义的掌握情况．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． 题型四 反比例函数与几何的综合 【例6】（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形 （ ）交反比例函数 的图象于点D，E．点D的坐标为 ．连接 ．若 ，则 的值为【答案】 【分析】根据四边形 为矩形， 证明 ，得出点E坐标，再根据 点E和点D都在反比例函数图像上列关于k的等式即可求解； 【详解】∵四边形 为矩形， 又 ， 点D的坐标为 故 ∴ 点坐标为 ， ∵ 两点都在反比例函数图像上， ∴ ， 解得： 或 ， ∵反比例函数在第一象限， 故答案为： ． 【点睛】该题主要考查了反比例函数的图像和性质、矩形的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，解 题的关键是数形结合． 巩固训练 1．（2022秋·安徽安庆·九年级校考期末）如图所示，已知 ， 为反比例函数 图象上的两点，动点 在 轴正半轴上运动，当线段 与线段 之差达到最大时，点 的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接 交x轴于点 ，当A、B、 共线时取等号，即点P与点 重合，此时线段 与线段 之差达到最大，利用待定系数法求得直线 的表达式，然后令 求解即可． 【详解】解：连接 交x轴于点 ，则 ，当A、B、 共线时取等号，即点P与点 重合， 此时线段 与线段 之差达到最大， ∵ ， 为反比例函数 图象上的两点， ∴ ， ，则 ， ， 设直线 的表达式为 ， 则 ，解得 ， ∴ ，令 ，由 得 ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、求一次函数解析式，正确得出最大值时点P的位置是 解答的关键． 2．（2022秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 在 轴的 正半轴上， ．对角线 相交于点 ，反比例函数 的图象经过点 ，分别与 交于点 ． (1)若 ，求 的值； (2)若 ，求反比例函数关系式． 【答案】(1)28 (2) 【分析】（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到 ,然后把 点坐标代入 ,可求得 的值; （2）利用勾股定理计算出 ,则 5 ，所以 ， 设 ，则 , ，利用反比例函数图象上点的坐标得到 ，解得 ，从而得到反比例函数解析式为； 【详解】（1） 矩形 的顶点 在 轴的正半轴上， ， ， 对角线 相交于点 ， 点 为 的中点， 如图，过 作 于点 ，则 为 的中点， 易得点 的坐标为 ，把 代人 ，得 ． （2） ， ， 设 ，则 ， 反比例函数 的图象经过点 ， ，解得 ， 反比例函数关系式为 ．【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个 点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，也考查了反比例函数的性质 3．（2023秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ， 的顶点在 轴的正半轴上，点 ，点 在第一象限，且直角边 平行于 轴，反比 例函数 且 的图象经过点 和边 的中点 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】勾股定理求得 的长，设 ，则 ，进而表示出点 的坐标，代入反比例函数解析 式，即可求解． 【详解】解：∵在 中， ， ， ， ∴ ， ∵ 为 的中点， ∴ ， 设 ，则 ∵直角边 平行于 轴， ∴ ， ∵ 在反比例函数图象上， ∴ ，解得： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数与结合图形，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 4．（2022春·安徽芜湖·九年级校考自主招生）如图， 是等腰直角三角形，点 在函数 的图象上，斜边 都在 轴上，则点 的坐标是 ． 【答案】 【分析】过点 作 轴于点 ，设 ，先根据等腰直角三角形的性质，得 ， 设 ， ， ，得 ，同理可得 ，将上面式子全部相加即可． 【详解】解：过点 作 轴于点 ，设 ， 是等腰直角三角形， ，是等腰直角三角形， ， ，即 ，且 ， ， ， 设 ， ， 由已知可得 是等腰直角三角形， 边上的高为 ， 的中点坐标为 ， ， 依题意，得 ， ， 同理可得 ， 将上面式子全部相加得： ， 且 ， ， 故有 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会 探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 5．（2022春·安徽芜湖·九年级校考自主招生）如图，点P为函数 的图象上一点，且到两坐标轴距离相等， 半径为2， ， ，点Q是 上的动点，点C是 的中点，则 的最小值 是 ． 【答案】 【分析】取点 ，连接 交 于点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ．因为 、 ，所以 ，所以当 最小时， 、 最小， 运动到 时， 最小，由此即可解决 问题． 【详解】解：取点 ，连接 交 于点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，此时 最 小． 设点 的坐标为 ，则 ， ， ，点 是 的中点， ， ， ． 当 运动到 时， 最小， 此时 的最小值 ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、完全平方公式、三角形中位线 定理、最小值问题等知识，解题的关键是根据完全平方公式找出 最小时点 的坐标并确定当 最小时 点 的位置． 6．（2023秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中， 的 顶点 在 轴负半轴上， 轴，点 在反比例函数 的图象上， ，若 ， ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】过点 作 轴于点 ，设 ， ，证明 为等边三角形，利用含30度角的 直角三角形的性质和三线合一，得到 ，根据 ，以及反比例函数图象上 的点的坐标特点，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，设 ， ， ∵ 轴， ， ∴ 轴，∴ ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， ∵ 轴， 轴， ， ∴四边形 为矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵点 在反比例函数 的图象上， ∴ ； 故答案为： ． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，主要考查了等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性 质，含30度角的直角三角形的性质，以及反比例函数图象上的点的特征，熟练掌握相关知识点，利用数形 结合的思想解题是关键． 7．（2023秋·浙江金华·九年级校联考开学考试）如图，反比例函数 的图象经过菱形 的 顶点 ，点 在 轴上，过点 作 轴的垂线与反比例函数的图象相交于点 ．若 ，则点 的坐 标是 ．【答案】 【分析】根据题意得出 是等边三角形，从而表示点 的坐标为 ，根据菱形的对称性表示 出点 的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可求得菱形边长a2， 把y2代入解析式即可求得点D的横坐标． 【详解】解：设菱形OABC的边长为a， A60， AOB是等边三角形，  3 1   a，a 点A的坐标为   2 2  ，  3 1  C a, a   2 2  ， 3 反比例函数y x0 的图象经过菱形 的顶点 ，  x OABC C 3 1 a a 3，  2 2 a2（负数舍去）， 菱形OABC的边长为2， D点的纵坐标为2， 3 3 把 代入y x0得，2 ， y2 x x 3 解得x ， 2 3   ,2 点 的坐标是 2 ．  D    3   ,2 故答案为： 2 ．   【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的性质，正确表示出点A的 坐标是解题的关键． 8．（2023秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在轴的正半轴上， k 以线段 为边向上作正方形 ，顶点A在正比例函数 的图像上，反比例函数y ，且 ， BC ABCD y2x x x0 k 0，的图像经过点A，且与边CD相交于点E． (1)若BC 4，求点E的坐标； (2)连接AE，OE． ①若△AOE的面积为24，求k的值； ②是否存在某一位置使得AEOA，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．  4 E6,  【答案】(1)  3 (2)①18；②不存在，理由见解析 ABBC4 At,4 y2x 【分析】(1)根据 ，设 ，代入解析式 确定A的坐标，确定反比例函数解析式，根 据OC OBBC t4，代入反比例函数解析式计算即可； 2  (2)①设 Am,2m ，则k xy2m2， C3m,0 ， E  3m, 3 m ，根据题意，得 S AOE S 梯形ABCE ，列出等式计 AEOA EAD≌OABASA 算即可；②假设 ，证明 ，利用反比例函数解析式建立等式证明即可． k 【详解】（1）∵正方形 ， ，y ， ABCD BC 4 x ∴ABBC4，ABC BCD90，  k  设 At,4 ，则 Ct4,0 ， E  t4, t4  ， At,4 y2x 42t 代入 ，得 ， 解得t2， A2,4 C6,0 故 ，即 ， ∴k 248，  4 E6,  ∴  3； y2x （2）①∵点A在直线 上， Am,2m ∴设 ， k ∵正方形 ，y ， ABCD x ABBC 2m ABC BCD90 k xy2m2 ∴ ， ， ，  2  ∴ C3m,0 ， E  3m, 3 m ， S S 根据题意，得 AOE 梯形ABCE， 1 2  2m m2m24 ∴2 3  ，A3,6 m3 m3 解得 ， （舍去），故 ， k xy2m2 18 故 ； ②∵AEOA， ∴ OAB90EAB， ∵正方形ABCD， ∴AB AD， ∴EAD90EAB， ∴EADOAB， EADOAB  AD AB ∵ ，  EDAOBA EAD≌OABASA ∴ ， ∴OBDE， y2x ∵点A在直线 上， Am,2m k m2m ∴设 ，此时： ， 则OBDEm，ABCD2m， ∴OC OBBC 3m， 即：EC CDDEm， E3m,m ∴ ， ∴k m2m3mm， ∵B、C两点在x轴的正半轴上， ∴m0， ∴23， 这是不可能的，故不存在某一位置使得AEOA． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，三角形面积的分割法 计算，熟练掌握正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，是解题的关键． 9．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴m 的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B坐标为3，6，反比例函数y x0 的图象经过 的 x AB 中点D，且与BC交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值及点E的坐标； (2)点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于ODE的面积，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O，D，E，N四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接 写出N的坐标；若不存在，请说明理由． E3,3 【答案】(1)9，  9 0,  (2) 2 3  (3)  2 ,3 或 1.5,3 或 4.5,9 3，6 【分析】（1）根据矩形的性质以及点坐标为 ，求得D的坐标，即可得出反比例函数解析式； 1 27 （2）设点M的坐标为0,n，根据S S S S S ，可得 3n ，即可求解； ODE 矩形OABC AOD COE BDE 2 4 （3）根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 3，6 AB 【详解】（1）解：∵点B坐标为 ，D为 中点， D1.5,6 ∴ ， ∴m1.569， 9 ∴反比例函数解析式为y ， x 9 把 代入得：y 3， x3 3E3,3 即 ； 0,n （2）解：设点M的坐标为 ， 1.5,6 3,3 ∵点D的坐标为 ，点E的坐标为 ， 1 3 1 3 27 ∴S S S S S 36  6 3  ， ODE 矩形OABC AOD COE BDE 2 2 2 2 4 1 27 由题意得： 3n ， 2 4 9 解得：n ， 2  9 0,  ∴△MBO的面积等于ODE的面积，时，点M的坐标 2； O0,0,D1.5,6,E3,3 （3）解：由题意得： ， Nx,y 设 ， 分三种情况考虑： 3 ①当四边形ON ED为平行四边形时，可得 2 03x,603y， 1 3 3  x ,y3 N  ,3 解得： 2 ，即 1 2 ； OEDN 01.53x,063y ②当四边形 2为平行四边形时，可得 ， x1.5,y3 N 1.5,3 解得： ，即 2 ； OEN D 1.530x,630y ③当四边形 3 为平行四边形时，可得 ， x4.5,y9 N 4.5,9 解得： ，即 3 ， 3  综上，N的坐标为  2 ,3 或 1.5,3 或 4.5,9 ． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，以及三角形，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 题型五 反比例函数与一次函数、二次函数的综合问题 k 【例7】（2023秋·湖南株洲·九年级校联考阶段练习）正比例函数 和反比例函数y 在同一坐标系 ykx x 内的图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数和反比例函数的性质，用排除法解答即可． k 【详解】解：A．由 的图象得 ，由y= 的图象得 ，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； y=kx k 0 x k 0 k B．由 的图象得 ，由y= 的图象得 ，故该选项正确，符合题意； y=kx k 0 x k 0 k C．由 的图象得 ，由y= 的图象得 ，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； y=kx k 0 x k 0 y=kx D．由 的图象应经过原点，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数综合，熟练掌握正比例函数和反比例函数的性质是解答本题 的关键． k 【例8】（2023秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）反比例函数y （ 是常数，且 ）与二次函数 x k k 0 ykx2k2 在同一坐标系内的大致图象是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行逐项判断即可． 【详解】A、先由反比例函数可知k 0， ∴k 0，k2 0，则二次函数图象开口向下，顶点在y轴正半轴上，不符合题意； B、先由反比例函数可知k 0， ∴k 0，k2 0，则二次函数图象开口向下，顶点在y轴正半轴上，不符合题意； C、先由反比例函数可知k 0， ∴k 0，k2 0，则二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴上，符合题意； D、先由反比例函数可知k 0， ∴k 0，k2 0，则二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴上，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了反比例函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想 和分类讨论的数学思想解答． 1 【例9】（2022春·九年级课时练习）如图，抛物线L:y (xt)(xt4)（常数t＞0）与x轴从左到右的交 2 6 点为B，A，过线段OB的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y (x0)于点P． x (1)当t＝1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离； (2)当直线MP与L对称轴之间的距离为1时，求t的值． (3)把L在直线MP右侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最低点的坐标； (4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x，且满足﹣6≤x≤﹣4，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的 0 0取值范围． 1 【答案】(1)2 (2)t＝2 (3)（t﹣2，﹣2） (4)不存在 1 【分析】（1）当t＝1时，令y＝0，得： x1x140，解得：x＝1，x＝﹣3，A（1，0），B 2 1 2 1 1 （﹣3，0），求出AB的长为4；由y x1x3 x122，写出抛物线对称轴为直线x＝﹣1， 2 2  3  M ,0 1 根据M为OB中点，写出  2 ，求出直线MP与L对称轴之间的距离为2； 1 （2）求出抛物线y xtxt4 的对称轴为直线x＝t-2，求出抛物线与x轴交点为A（t，0），B（t 2 t4 ﹣4，0），写出线段OB的中点M( ,0)，根据M与对称轴的距离为1， 解得t＝2． 2 （3）配方y 1 yxtxt4 1   xt2  2 2，当t2 t4 ，即t≤0时，不合题意，当t2 t4 ， 2 2 2 2 即t＞0时，图象G最低点为抛物线L的顶点（t﹣2，﹣2）； x 0 （4）满足条件的t的取值范围不存在．根据交点横坐标为 和二次函数反比例函数解析式得到 1 6 124x x tx t4 t x 2 0 2 0 0 x ，求出 0 x ，推出x 6时， t 4 2 ， x 4时， t 21 ， 0 0 0 0 4+ 2t1 4 2t3 从t值最大到最小分段讨论得到 ， ，由于t＞0，所以满足条件的t的取值范围 不存在． 1 【详解】（1）当t＝1时，令y＝0，得： x1x140， 2 解得：x＝1，x＝﹣3， 1 2 ∴A（1，0），B（﹣3，0），∴AB＝4； 1 1 ∵抛物线L：y x1x3 x122， 2 2 ∴抛物线L的对称轴为直线x＝﹣1， M为OB中点，  3  ∴M ,0，  2  1 ∴直线MP与L对称轴之间的距离为2； 1 tt4 （2）∵抛物线y xtxt4 的对称轴为：直线x＝ ＝t﹣2， 2 2 抛物线L与x轴交点为A（t，0），B（t﹣4，0） t4 ∴线段OB的中点M( ,0)， 2 t4 t2 1 由题意得： 2 ， 解得：t＝2或﹣2， t＞0， ∴t＝2； 1 1 （3）∵y yxtxt4   xt2  2 2， 2 2 t4 ∴当t2 ，即t≤0时，不合题意，舍去 2 t4 当t2 ，即t＞0时，图象G最低点为抛物线L的顶点（t﹣2，﹣2）； 2 （4）满足条件的t的取值范围不存在． 1 6 y x tx t4 y 如图∵ 2 0 0 ， x ， 0 1 6 x tx t4 ∴2 0 0 x ， 0 x x t24x x t12 ∴ 0 0 0 0 ，x x t22 124x ∴ 0 0 0， 124x t x 2 0 ∴ 0 x ， 0 ﹣6≤x≤﹣4， 0 当 x 0 6 时， t 4 2 ， t4 2 或 t4 2 ， x 4 t 21 当 0 时， ，t＝﹣1或﹣3， 随着t的逐渐减小，抛物线L的位置随着A（t，0）向左平移， 当t＝﹣1时，L左侧过点C； t4 2 4+ 2t1 当 时，L左侧过点D，即 ； 3t4+ 2 当 时，L左侧离开了点C，而右侧未到达点D， 即L与该段无交点，舍去； 当t＝﹣3时，L右侧过点C， t4 2 4 2t3 当 时，L右侧过点D，即 ． 综上所述，4+ 2t1或4 2t3． 由于t＞0，所以满足条件的t的取值范围不存在． 【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握二次函数和反比例函数的图 象性质，（1）问，当t＝1时，令y＝0，求得 A（1，0），B（﹣3，0），求出AB的长为4；把L的解析  3  M ,0 式配方，写出其对称轴为直线x＝﹣1，根据OB中点  2 ，求出直线MP与L对称轴之间的距离为 1 21 2；（2）问，求出抛物线的对称轴为直线x＝t-2，求出抛物线与x轴交点A（t，0），B（t﹣4，0），再 t4 求出线段OB的中点M( ,0)，根据M与对称轴的距离为1求出t＝2．（3）问，将解析式配方配方 2 y 1   xt2  2 2，分t2 t4 ，t2 t4 两种情况讨论，即t＞0时，得图象G最低点为（t﹣2，﹣ 2 2 2 x 0 2）；（4）问，满足条件的t的取值范围不存在．根据交点横坐标为 ，联立二次函数反比例函数解析式 124x t x 2 0 求出， 0 x ，对x 6时与 x 4时求出t值，然后按大到小的顺序分段讨论得到t的取 0 0 0 值范围，由于此范围不合t＞0，所以满足条件的t的取值范围不存在． 巩固训练 12k 1．（2023·广东广州·九年级校考自主招生）已知反比例函数y x (x0)，且y随 x 的增大而减小，则 1 一次函数y(k1)xk 的大概图象可能是（ ） 2 A． B． C． D． 【答案】D 1 1 1 【分析】先根据反比例函数的增减性，得到 ，得到k  ，进而得到k1 ,k 0，再根据 12k 0 2 2 2 一次函数的性质，进行判断即可．12k 【详解】解：∵反比例函数y x (x0)，且y随 x 的增大而减小， ∴12k 0， 1 ∴k  ， 2 1 1 ∴k1 ,k 0， 2 2 1 ∴y(k1)xk 的图象过二，三，四象限， 2 故只有选项D满足题意； 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的综合判断．解题的关键是掌握相关函数的性质，求出 k的取值范围． 2．（2023秋·广东深圳·九年级深圳实验学校中学部校考阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交 于点A(1,4)，B(4,1)两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是( ) A．x1 B．1x4 C．x3 D．x>4 【答案】B 【分析】结合图形，一次讨论当x1，x1，1x4，x4，x>4时，反比例函数与一次函数的大小， 即可得到答案． 【详解】解：由图象可知： 当x1时，反比例函数大于一次函数的函数值， 当x1时，反比例函数等于一次函数的函数值， 当1x4时，一次函数大于反比例函数的函数值， 当x4时，反比例函数等于一次函数的函数值， 当x>4时，反比例函数大于一次函数的函数值， 即当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是：1x4， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握数形结合思想是解题的关键．k 3．（2023秋·山东青岛·九年级校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数 与y k 0 的 ykx1 x 图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论： k 0 ykx1 ①当 时， 与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限； k 0 ykx1 ②当 时， 与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限； 综上分析可知，只有选项A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象为性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质， ykxbk 0 k 0 k 0 b0 一次函数 ，当 直线经过一、三象限，当 直线经过二、四象限，当 直线与y 轴正半轴有交点，b0直线与y轴负半轴有交点． k 4．（2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数 与y 的图象大 ykx1 x 致是（ ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】分k 0 ，k 0两类结合函数的性质求解即可得到答案； 【详解】解：当k 0时，一次函数过一、二、三象限，反比例函数过在一三象限，无符合选项， 当k 0时，一次函数过一、二、四象限，反比例函数过在二四象限，无符合选项， 故选：C； 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图像的性质，解题的关键是熟练掌握当k 0，b0时，一次函 数过一、二、三象限，反比例函数过在一三象限，当k 0，b0时，一次函数过一、二、四象限，反比 例函数过在二四象限． 1 5．（2023·河北沧州·模拟预测）用绘图软件绘制直线l:y x1，直线与坐标轴的交点分别为 ， ， 10 A B 其中B不在可视范围内．视窗的大小不变，改变可视范围，且变化前后原点O始终在视窗中心．若使点B 1 k 在可视范围之内，需要将图中坐标系的单位长度至少变为原来的 （ 为整数），则y (x0)的图象是 k k x （ ） A． B．C． D． 【答案】B 1 【分析】已知的可视范围是 -3≤x≤3,-2≤y≤2 ，根据l:y 10 x1得到B10,0，可视范围是 3 ≥10 1 ，故 ，求k的最小整数解即可． -10≤x≤10 k -3≤x≤3,-2≤y≤2 【详解】∵已知的可视范围是 ， 1 根据l:y x1得到B10,0， 10 ∴可视范围是-10≤x≤10， 3 ≥10 1 ∴ ， k 1 解得k≥3 3 故k的最小整数解为k 4， 故选B． 【点睛】本题考查了可视范围问题，正确确定可视范围变化范围是解题的关键． yax2bxc yaxb 6．（2022秋·安徽六安·九年级校考期中）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 c y 和反比例函数 x 在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象推出a0，b0，c0，再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可 得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴， b ∴a0， 0，c0， 2a ∴b0， c ∴一次函数 经过第一、三、四象限，反比例函数y 经过第二、四象限， yaxb x ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应 的系数关系是解题的关键． k 7．（2023春·山东日照·九年级校考期中）在同一直角坐标系中，反比例函数y 与二次函数 x yx2kxkyx2kxk 的大致图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k的取值范围分当k 0时和当k 0时两种情况进行讨论，根据反比例函数的图像与性质以 及二次函数的图像与性质进行判断即可． k 【详解】解：当 k 0 时，反比例函数y x 的图像经过一、三象限，二次函数 yx2kxk 的图像开口向 k 上，其对称轴x 2 在y轴右侧，且与y轴交于负半轴，故选项C、D不符合题意； k 当 k 0 时，反比例函数y x 的图像经过二、四象限，二次函数 yx2kxk 的图像开口向上，其对称轴 k x 2 在y轴左侧，且与y轴交于正半轴，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质，解题关键是根据k的取值 范围分当k 0时和当k 0时两种情况进行讨论． a 8．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）函数 yax22 与y x a0 在同一平面直角坐标系中 的图象可能是（ ） A． B． C． D．【答案】D a 【分析】先根据抛物线顶点排除A、C，然后根据函数y (a0)图象得到 的正负，再与二次函数 x a yax22(a0) 的图象相比较看是否一致． yax22 (0,2) 【详解】解：由函数 可知抛物线的顶点为 ，故A、C不合题意； B、由抛物线可知，a<0，由双曲线可知，a0，故B不合题意； D、由抛物线可知，a<0，由双曲线可知，a<0，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象，反比例函数的图象，熟记反比例函数与二次函数的有关性质是解题的 关键． yax2bxc 9．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 abc yaxb24ac与反比例函数y x 在同一坐标系内的图象大致为（ ） A． B．C． D． 【答案】C 1，abc abc0 【分析】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即 在第四象限可得 ，从而得到 abc 反比例函数y 的图象分布在二、四象限，由抛物线的开口方向和与 的交点个数得到 x x a0，b24ac0 yaxb24ac ，从而得到一次函数 的图象经过一、二、三象限，即可得到答案． 1，abc 【详解】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即 在第四象限， abc0， abc 反比例函数y 的图象分布在二、四象限，  x 抛物线的开口向上， a0， 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，  yaxb24ac 一次函数 的图象经过一、二、三象限， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数、反 比例函数、二次函数的图象与系数的关系，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． a 10．（2023春·山东德州·九年级统考开学考试）某同学利用数学绘图软件探究函数y xbxc 的图象， 在输入一组a，b，c的值后得到如图所示的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a， b，c的值应满足（ ）A．a0，b0，c0 B．a0，b0，c0 a 0，b 0，c0 a0，b0，c0 C． D． 【答案】B 【分析】从函数整体图象来看，发现部分图象有类似反比例函数，再从y轴左侧图象，判断图象虚线代表 的意义，即可求解． 【详解】解：设虚线为xm（显然，m0）， a 由图中可知，当xm时，y 0，xb 0，所以 xc 0， a 当x＞m时，y0，xb＞0，所以 xc 0，可得 xc 在m的左右两侧时，符号是不同的，即cm0； 当x＜c时，xc0，而y0，所以a0显然另外一条分割线为x0b， 故选：B． 【点睛】本题考查函数的图象，要求学生根据学过的反比例函数、分式等知识，通过函数图象，大致发现 图象的一些特征，此类题目难度较大． 4 11．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）抛物线 y(xm)25 与双曲线y=- x 有交点(x ,y )，且满 0 0 1x 2 m 足 0 ，则 的取值范围是( ) 2 3 m2 0m 3 3 m2 3 A． B． 或2 0m2 3 0m2 3 2m2 3 C． D． 或 【答案】D1,4 2,2 【分析】根据题意，求得临界值的交点坐标 或 ，代入抛物线解析式，进而画出草图，结合函 数图象，即可求解． 1x 2 【详解】解：∵ 0 ， 4 当 时，y 4， x1 1 4 当 时，y=- =-2， x2 2 1,4 y(xm)25 41m25 当交点为 时，代入 ，即 解得：m0或m2 2,2 y(xm)25 22m25 当交点为 时，代入 ， m2 3 m2 3 解得： 或 ， 如图所示，m的取值范围为：0m2 3或2m2 3， 选D． 【点睛】本题考查了二次函数与反比例函数综合问题，根据图像法求解是解题的关键． k 12．（2023秋·湖南株洲·九年级校联考阶段练习）如图，一次函数 的图象与反比例函数y 的 yxm x 2,1 图象交于A，B两点，且与 x 轴交于点 C ，点A的坐标为 ．(1)求m及k的值； k (2)结合图象直接写出不等式组0xm 的解集． x m1 k 2 1 x2 【答案】(1) ， (2) A2,1 【分析】（1）把点 分别代入一次函数和反比例函数的解析式即可得到答案； （2）先求出一次函数解析式，再求出点C的坐标，根据图象即可得到答案． A2,1 yxm 【详解】（1）由题意可得：点 在函数 的图象上， 2m1, 解得m1， k  A2,1在反比例函数y 的图象上， x k  1， 2 k 2； （2）由（1）可知一次函数解析式为yx1， 当y0时，x10，解得x1， 1,0 ∴点C的坐标为 ， k 由图象可知不等式组0xm 的解集为 ． x 1 x2 【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，准确求出m及k的值是解题的关键． yax1 x y 13．（2021春·湖北武汉·九年级统考自主招生）如图，一次函数 的图象与 轴， 轴分别相交于 k A,B 两点，与双曲线y x 在第一象限相交于点P,PC x轴于点 C ，且 PC 2 ，点 A 的坐标为2,0．(1)直接写出一次函数与双曲线的解析式； Q Q x M MQ Q (2)若点 为双曲线上一点，过 作 轴的垂线交一次函数的图象于 ，线段 的长度为1，求点 的横 坐标； 1 4 (3)直接写出不等式 x1 0的解集． 2 x 1 4 【答案】(1)y x1,y 2 x Q 2 2 22 3 (2)点 的横坐标： 或 (3)x<4或0x2 【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式，把y2代入直线解析式求出x的 值，确定出P坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可求出． Q M （2）设出 的坐标，再表示出 的坐标，计算求解即可． （3）联立两个解析式并整理，再结合图象，即可得出结果． 2,0 yax1 【详解】（1）解：把点A 代入 中，得： 02a1 1 a 2 1 y x1 2 PCx轴且PC 2 1 设 ，把 点代入y x1中，得： P(m,2) P 2 1 2 m1 2 m2k 把点 代入y 中，得： P(2,2) x k 2 2 k4 4 y x  4  m,  （2）解：设Q的坐标为 m，  1  4 1 m, m1 MQ  m1 1 则M 的坐标为 2  m 2 4 1 MQ  m1 1， m 2 m2 2 m22 3 解得 或 ．  Q 2 2 22 3 点 的横坐标： 或 ． 1 4 （3）解：整理 x1 0，得： 2 x 1 4 x1 2 x 1 4 联立y x1,y 并整理，得： 2 x x22x80 解得：x2或4 1 4 根据图象： x1 的解集为： 或 ． 2 x x<4 0x2 【点睛】此题属于一次函数，反比例函数综合题，涉及的知识有:待定系数法确定直线解析式，待定系数法 确定反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法，并采用数形结合方法是解本题的关键． xOy ykxb y 14．（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交 m 于点A0,2，与 轴交于点B4,0，与反比例函数y  在第三象限内的图象交于点C6,a． x x(1)求反比例函数的表达式； m (2)当kxb 时，求 的取值范围； x x y (3)当点P在 轴上，ABP的面积为6时，直接写出点P的坐标． 6 【答案】(1)反比例函数的解析式是y x (2)自变量x的取值范围为6x0或x2． 0,5 0,1 (3)点P的坐标为 或 【分析】（1）将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；再求解 C的坐标，将C坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式； （2）先求解两函数的另一个交点坐标，再直接由图象法求解即可； 1 （3）如图所示，A0,2，B4,0 ，设P0,y ，结合 S ABP  2 PA46 ， 可得：PA3，从而可得答案.  ykxb A(0,2) B(4,0) 【详解】（1）解： 一次函数 的图象经过 、 两点， b2  4kb0，  1 k   2 解得： b2 ， 1 一次函数的解析式是y x2；  2 1 把C6,a代入得：a 621， 2C6,1 ∴ m 反比例函数y  的图象经过点C6,1，  x m6． 6 反比例函数的解析式是y ；  x  6 y   x （2）解：联立 ， 1 y x2  2 x6 x2   解得：y1，y3， m ∴一次函数 ykxb k 0的图象与反比例函数y  x m0的图象交于 C(6,1) 、 (2,3) 两点． m ∴由图象可得当kxb 时，自变量x的取值范围为 或 ． x 6x0 x2 （3）解：如图， A0,2 B4,0 P0,y ∵ ， ，设 ， 1 S  PA46 根据题意得： ABP 2 ， 解得：PA3， 则OPOAAP235或OP AP OA321． 1 1 0,5 0,1 ∴点P的坐标为 或 ． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次 函数与反比例函数的交点求不等式解集，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法 是解本题的关键．15．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AB：yx4与反 k 比例函数y 的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为6n，2n和m，6． x (1)求反比例函数的解析式； k (2)直接写出不等式x4 的解集； x k (3)点P为反比例函数y x 图象上任意一点，若S 2S ，求点P的坐标． POC AOC 12 【答案】(1)反比例函数的解析式为y x (2)2x0或x6 3，4 3，4 (3)点P的坐标为 或 【分析】（1）点A 6n，2n 代入直线 yx4 ，得出点A的坐标为： 6，2 ，即可求得反比例函数的解析式 12 为y ； x 2,6 （2）根据解析式得出点B的坐标为： ，结合函数图象即可求解； 1 （3）首先求得 ，根据题意，S  OC y 8，即可得出 点的坐标，即可求解． OC4 POC 2 P P 【详解】（1）把点A 6n，2n 代入直线 yx4 得： 2n6n4 ， 解得：n1， 6，2 ∴点A的坐标为： ，k ∵反比例函数y 的图象过点 ， x A ∴k 6212， 12 即反比例函数的解析式为y ； x （2）把点B m，6 代入直线 yx4 得： 6m4 ，解得： m2 ， 2,6 ∴点B的坐标为： ， k 观察得出，不等式x4 的解集为： 或 ； x 2x0 x6 4，0 y0 yx4 C （3）把 代入 得：，点 的坐标为： ， 即OC4， 6，2 结合点A的坐标为： ， 1 ∴S  OCy 4， AOC 2 A S 2S ∵ △POC △AOC， S 8 即： POC ， y 令 P 点的纵坐标为 p， 1 ∴S  OC y 8， POC 2 P y 4 ∴ P ， y 4 ∴ p 12 当点 的纵坐标为 时，则4 ，解得 ， P 4 x x3 12 当点 的纵坐标为 时，则4 ，解得 ， P 4 x x3 3，4 3,4 ∴点P的坐标为 或 ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合，交点问题，面积问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 16．（2023春·浙江金华·八年级校考期中）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函 k y (x0) 数 与正比例函数yx相交于整点A，与一次函数yxt相交于整点B、C，正比例函数yx x 与一次函数 yxt 相交于点D，线段BC与线段AD上的整点个数之比记作m． (1)当k 4时，求D点的坐标和m值． AD 2 (2)当线段BC上的整点个数为7， 时，求t的值． AD 2 (3)当 时，请直接写出t与m之间的关系式． 5 5 【答案】(1)D（ , ）， 2 2 m4 (2)10  1 2 1 1 t m  1 t  m12 (3)当AD 2时，  2 ；当AD 2时， 2 2 A(2,2) B(1,4) yxt B 【分析】（1）联立方程组求解可得 ，根据点 为整点，可得 ，代入 ，求得 4 ，与y  (x0)联立，可求得 ，再通过联立求解可得D( 5 ， 5 )，即可得出答案； yx5 x C(4,1) 2 2 t t t t t （2）根据题意可得D( ， ) 必为整点，即 为偶数，由 ，可得A( 1， 1)，进而推出B( 3， 2 2 t AD 2 2 2 2 t 3) ，建立方程求解即可得出答案； 2 Ad1,d1 AD 2 AD （3）当 时，线段 上有2个整点：设D（d，d）， ，2m1 2m1 5 ，进而得出B(d ,d )，建立方程求解即可求得tm2m ；当 时，线段 上只 2 2 4 AD 2 AD m m m 有1个整点 A ，设A(a,a)，则线段 BC 上有 m 个整点，线段 BD 上有 2 个整点，得出B(a1 2 ，a 2 )， 1 1 1 a m2 m t m2m1 可推出 ，再把点 的坐标代入yxt，即可得出 ． 4 2 B 2 【详解】（1）k 4， 4 y (x0) ， x  4 y  x(x0) x2 由 yx ，解得： y2 ， A(2,2)， 点B为整点，且点B的横坐标是小于2的正整数，  点B的横坐标为1， B(1,4)， 把B(1,4)代入yxt，得41t， 解得：t 5， yx5，  4 y  x (x0) x 1 1 x 2 4 联立得 yx5 ，解得： y 4 ， y 1 ， 1 2 C(4,1)，  5 x   2 由 yx ，解得： 5 ，  y yx5  2 5 5 D( ， )， 2 2  AD (2,2) BC (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) 线段 上整点有1个： ，线段 上整点有4个： ， ， ， ． m4； t t （2） 线段 上的整点个数为7，D( ， ) 必为整点，  BC 2 2t 为偶数，  AD 2 ， t t A( 1 1) ， ， 2 2 t k( 1)2 ， 2 线段BD上有3个整点， t t B( 3 3) ， ， 2 2 t t k( 3)( 3) ， 2 2 t t t ( 3)( 3)( 1)2 ， 2 2 2 解得：t 10； AD 2 （3）当 时，线段AD上整点个数为2，即A、D两点， 2m1 1 ∴线段BC上整点个数为2m，由对称可知，BD上整点个数为 m ， 2 2 2m1 2m1 设D（d，d），则B(d ,d )， 2 2 Ad1,d1 又∴ ，  2m1 2m1 ∴ d1d1d d ，  2  2  4m24m1 ∴d22d1d2 ， 4 4m24m5 ∴2d  ， 4 4m24m5  1 2 t 2d  m  1 ∴ 4  2 ； 4m24m5  1 2 t 2d  m  1 4  2 AD 2 当 时，线段AD上只有一个整点A，∴线段BC上整点个数为m， m  m m a1 ,a  由对称BD上整点个数为 2 ，设A（a，a），则B 2 2 ，  m m m2 m a2 a1 a ,a2 a2a  ∴  2  2  4 2 ， m2 m ∴a  ， 4 2 m2 1 1 ∴ta1 m a m 2a1，即t  m1 m12  ； 2 2 2 2 2  1 2 1 1 t m  1 t  m12 综上，当AD 2时，  2 ；当AD 2时， 2 2 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，抓住图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质 是解决问题的关键． k 17．（2022·河北保定·校考一模）如图，点Pm,1 是抛物线l： yax122a0 和双曲线 y x x0 的一个交点，且位于直线x1的右侧：抛物线l与x轴交于点B，C，（B在C的左侧）与y轴交于点F． (1)当m2时，求a和k的值； (2)若点B在x轴的负半轴上，试确定k的取值范围； (3)ABC的面积为4，且OB:OC1:3，求k的值； (4)直接写出k的值，使O，F两点间的距离为1． 【答案】(1)a3，k 2 6 k 1 (2) 2k 1 6 (3) 1 3 (4)2或 k 【分析】（1）m2时，点P为 2,1 ，把P2,1 代入yax122解得a3，把P2,1 代入 y x x0 解得k 2； yax122 yax122 （2） 的对称轴为直线x1，当 过原点时，则点B即在原点，则 6 0a0122，得到a2，则 y2x122 ，由 12m122 ，解得 m1 2 ．由点 Pm,1 位于 6 6 m1 k m1 直线x1的右侧得到 2 ．则 2 ； yax122 A1,2 （3）由 得到 ．由ABC 的面积为4得到 BC 4 ．分当B在x轴的负半轴和在x轴 的正半轴分别进行求解即可； 0,1 0,1 yax122 （4）由O，F两点间的距离为1得到点F的坐标是 或 ，分别代入 ，求出a的值， 再求出m的值，即可得到k的值． 2,1 【详解】（1）解： m2 时，点P为 ， P2,1 yax122 把 代入 得， 1a2122 ，解得a3， k 把P2,1 代入 y x x0 得 k 1 ， 2 解得k 2， 综上可知，a3，k 2．yax122 yax122 （2）∵ 的对称轴为直线x1，当 过原点时，则点B即在原点， 0a0122 ∴ ， ∴a2． y2x122 ∴ ． 6 12m122 m1 由 ，解得 2 ． Pm,1 x1 ∵点 位于直线 的右侧， 6 m1 ∴ 2 ． 6 k m1 ∴ 2 ． 6 k 1 ∴当点B在x轴的负半轴上时， 2 ； yax122 （3）∵ ， A1,2 ∴ ． ∵ABC的面积为4， 1 ∴4 2BC． 2 ∴BC 4． ①当B在x轴的负半轴时， ∵OB:OC1:3， ∴OB1， B1,0 ∴ ②当B在x轴的正半轴时， 设OBn， ∵OB:OC1:3，∴OC 3n． ∴2n4， ∴n2 ∵对称轴为x1， ∴OB2不合题意，舍去， B1,0 yax122 综上所述可知点 ．代入 得到， 0a112 2 1 ∴a ， 2 1 ∴y x122． 2 1 当 时，1 m122， y1 2 m1 6 解得 ． 6 m1 由（2）可知 2 ， m1 6 ∴ ． k m1 6 ∴ ． （4）∵O，F两点间的距离为1． 0,1 0,1 ∴点F的坐标是 或 ， 0,1 yax122a0 1a0122 把 代入 得到， ， 解得a3， y3x122 ∴ ， Pm,1 13m122 把 代入得到 ， m 2,m 0 解得 1 2k ∵点Pm,1 在双曲线 y x x0 上， m 0 ∴ 2 不合题意，舍去， ∴m2， P2,1 ∴ ， ∴k 212， 0,1 yax122a0 1a0122 把 代入 得到， ， 解得a1， yx122 ∴ ， Pm,1 1m122 把 代入得到 ， m 1 3,m 1 3 解得 1 2 ， k ∵点Pm,1 在双曲线 y x x0 上， m 1 3 ∴ 2 不合题意，舍去， m1 3 ∴ ，   P 1 3,1 ∴ ，   k  1 3 11 3 ∴ ， k 2 1 3 综上可知，当 或 时，O，F两点间的距离为1． 【点睛】此题是二次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、 反比例函数的图象和性质、一元二次方程的解法等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键． 题型六 反比例函数的实际应用 【例10】（2023秋·山东青岛·九年级校考阶段练习）心理学家研究发现，一般情况下，一节课45分钟中， 学生的注意力随教师讲课的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注 y 意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，BC∥x轴，CD为双曲线的一部分）， 其中AB段的关系式为y2x20． (1)根据图中数据，求出CD段双曲线的关系式； (2)一道数学竞赛题，需要讲20分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到32，那么经过适 当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 960 y (x24) 【答案】(1) (2)能 x 【分析】（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）分别求出注意力指数为32时的两个时间，再将两时间之差和20比较，大于20则能讲完，否则不能． y2x20  AB 【详解】（1）解： 段的关系式为 ， 当x10时，y40， 点B的坐标为(10,40)，点C的坐标为(24,40)， k 设 、 所在双曲线的解析式为y  ， C D 2 x 把C(24,40)代入得，k 960， 960 y (x24) ． x y2x2032 （2）令 ， 322x20， x6 960 y 32 令 ， x x30， 3062420，  经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【点睛】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 巩固训练 FN 1．（2023秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）根据物理学知识，一定的压力 作用于物体上产生的压 PPa S  m2 S 5m2 P20Pa 强 与物体受力面积 成反比例，已知当 时， ． (1)试确定P与S之间的函数表达式； (2)如果作用于物体上的压力能产生的压强P要大于 1000Pa 时，求物体受力面积 S  m2 的取值范围． 100 【答案】(1)p ； S (2)0S 0.1． 【分析】（1）根据已知条件利用压强公式即可得出反比例函数解析式； （2）根据反比例函数图象分析即可求解． FN PPa S  m2 【详解】（1）∵一定的压力 作用于物体上产生的压强 与物体受力面积 成反比例， F ∴可设P ，当 时， ， S S 5m2 P20Pa F ∴20 ，F 100N， 5 100 ∴ 与 之间的函数表达式为P ； P S S （2）∵1000， ∴反比例函数图象在第一象限内P随S的增大而减小， 100 当 时，1000 ， P1000Pa S ∴S 0.1m2， ∴作用于物体上的压力能产生的压强P要大于1000Pa， 即P1000Pa时，物体受力面积的取值范围是0S 0.1． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． 2．（2023秋·湖南娄底·九年级统考阶段练习）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 PPa S  m2 是它的受力面积 的反比例函数，其函数图象如图所示．(1)P关于S的函数关系式为 ． S 0.25m2 Pa (2)求当 时，物体所受的压强是 ． (3)当1000P4000时，求受力面积S的变化范围． 100 【答案】(1)P= S 0 S (2)400 (3)0.025S 0.1 k 【分析】（1）观察图象易知P与S之间的是反比例函数关系，所以可以设P ，依据图象上点A的坐标 S 可以求得P与S之间的函数关系式． （2）将S代入上题求得的反比例函数的解析式即可求得压强． （3）将压强代入函数关系式即可求得受力面积的取值范围． k 【详解】（1）解：设P ， S 0.1,1000 由图象可知：点 在函数图象上， k 1000 ∴ ， 0.1 ∴k 100； 100 ∴P= S 0 ； S 100 故答案为：P= S 0 ． S 100 （2）当 ，P 400Pa； S 0.25m2 0.25故答案为：400； 100 （3）当 时，S  0.1m2 ； P1000Pa 1000 100 当 时，S  0.025m2 ； P4000Pa 4000 ∴当1000P4000时，0.025S 0.1． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的 关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 3．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行 驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据 经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围 (3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足3.5t4，求平均速度v的取值范围． 【答案】(1)根据图象判断为反比例函数，画图见解析 300 (2)v 3t5 t 600 (3)75v 7 【分析】（1）根据表格建立直角坐标系，描点，画出图象，根据图象进行判断即可； （2）待定系数法求函数解析式，根据汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时，求出自变 量t的取值范围； （3）根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：由图可知：v与t之间成反比例函数； k （2）设v ，将4,75代入，得： ， t k 475300 300 ∴v ； t ∵60v100， ∴3t5； （3）由图象可知，3.5t4时，v随着t的增大而减小； 600 ∴当 时， 取最大值为： ；当 时， 取最小值为： ； t3.5 v 7 t4 v 75 600 ∴75v ． 7 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的求出函数解析式． 4．（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与 上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系 （如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件． (1)①当0x20时，写出该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的函数表达式为 _________． ②当x20时，写出该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的函数表达式为 _________． (2)销售经理说：至少有28天的日销售量为大于或等于100件，你同意销售经理的说法吗？请说明理由．4000 【答案】(1)①y10x0x20；② y x x20 (2)同意销售经理的说法，理由见解析 【分析】（1）①将已知点的坐标代入到正比例函数中，利用待定系数法确定其解析式即可； ②将已知点的坐标代入到反比例函数中，利用待定系数法确定其解析式即可； （2）分别求得销量不低于100件的天数，相加后大于等于28天则符合销售经理的说法，否则不能． 0x20 ykx 【详解】（1）解：①当 时，设 ， 20,200 20020k k 10 把 代入，得 ，解得 ， y10x0x20 ∴ ； a ②当 时，设y ， x20 x a 把20,200代入，得 200 20 ，解得a4000， 4000 y x20 ∴ ； x （2）解：当0x20时，由10x100，解得x10， ∴10≤x≤20，共有11天， 4000 100 当x20时， 由 x ，解得x40， ∴20x40，共有20天， 估计有112031天， ∵3128， ∴同意销售经理的说法． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数模型． 5．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）为了预防流感，某学校对教室采用药薰 y(mg) x(min) 消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 与时间 成正比例，药物燃 y(mg) x(min) 9min 烧后， 与 成反比例，如图所示，现测得药物 燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为 5mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：(1)分别求出药物燃烧时和药物燃烧后 y 关于x的函数关系式； 3mg 10min (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 且持续时间不低于 时，才能杀灭空气中的毒， 那么这次消毒是否有效？为什么？ 5 【答案】(1)药物燃烧时，y关于 x 的函数关系式为y 9 x(0x9)；药物燃烧后，y关于 x 的函数关系式 45 为y (x9) x (2)消毒无效，见详解 0≤x≤9 y x ykx (9,5) 【分析】（1）设药物燃烧时，即 时， 关于 的函数关系式为 ，将点 代入求解即可； m 设药物燃烧后，即 x9 时，y关于 x 的函数关系式为y  x ，将点 (9,5) 代入求解即可； （2）当两个函数解析式的函数值为3时，求得对应时间，计算两个时间的时间差，比较即可． 0≤x≤9 y x ykx 【详解】（1）解：设药物燃烧时，即 时， 关于 的函数关系式为 ， 5 将点 代入，可得 ，解得k  ， (9,5) 59k 9 5 ∴药物燃烧时，y关于 x 的函数关系式为y 9 x(0x9)； m 设药物燃烧后，即 x9 时，y关于 x 的函数关系式为y  x ， m 将点 代入，可得5 ，解得 ， (9,5) 9 m45 45 ∴药物燃烧后，y关于 x 的函数关系式为y x (x9)； 5 （2）对于函数y x(0x9)， 95 当 时，可得3 x，解得 ， y3 9 x5.4 45 对于函数y (x9)， x 45 当 时，可得3 ，解得 ， y3 x x15 ∴空气中每立方米的含药量不低于3mg的持续时间155.49.6min， ∵9.6min10min， ∴这次消毒无效． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题的关 键． 6．（2023春·山西临汾·八年级校联考期中）如图所示，小明家饮水机中原有水的温度是20，开机通电后， 饮水机自动开始加热，此过程中水温 y （°C）与开机时间x（分）满足一次函数关系．当加热到100°C时 自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温 y （°C）与开机时间x（分）成反比例关系．当水温降 至20°C时，饮水机又自动开始加热……，不断重复上述程序．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当0x5时，求水温 y （°C）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午7:20（水温20°C），开机通电后去上学，11:33放学回到家时，饮水机内水的温 度为多少°C？并求：在7:20——11:33这段时间里，水温共有几次达到100°C？ y16x20(0x5) 【答案】(1) ； (2)25； (3)68°C，10次． 【分析】（1）由函数图像可设函数解析式，再由图中坐标代入解析式，即可求得 y 与x的关系式． （2）首先求出反比例函数解析式进而得到t的值． （3）先求出总时间253分钟，由2532510L L 3得水温共有10次达到100°C，利用已知由x3代入求出饮水机的温度即可． ykxb (0 20)(5 100) 【详解】（1）解：设一次函数 过 ， ， 两点， b20  即5kb100 k 16  解之得b20 ∴y16x20( 0x5 )． m （2）解：设反比例函数的解析式为 ，过 ， y x （5，100） ∴m5100500 500 ∴反比例函数的解析式为y x 当y20时，x25 ∴t 25 （3）解：上午7:20到11:33共253分钟．2532510L L 3， ∴当t3代入y16x20即x3时y68． 所以，11︰33时饮水机内水的温度为68°C 在7:20——11:33这段时间里，水温共有10次达到100°C． 【点睛】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，根据题意正确得出函数解析式是解题关键，解 答时要读懂题意，才不易出错． 7．（2023春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，长10m，宽5m，深4m的长方体水池被隔成底面分别 是3m5m和7m5m的甲，乙两池（设隔墙厚度忽略不计），两池隔墙下方有阀门相连． th t (1)当两池间的阀门关闭时，设进水管每小时注入甲池放得水量是a立方米，注满甲池的时间为 1 ， 1与a 之间的函数关系式是___________； (2)注满甲池后，进水管自动关闭，同时两池间的阀门开启，设甲池的水每小时流入乙池的水量也是a立方t h t 米， 2 后水流停止， 2与a之间的函数关系式是___________； (3)如果要在15h内能依次完成第（1），（2）题中所述的过程，那么进水管和两池间的阀门每小时至少要 通过多少水量？ 60 【答案】(1)t  1 a 42 (2)t  2 a 6.8m3 (3) 【分析】（1）求得甲池的总水量，再根据总水量等于注满水的时间乘以注水速度可求解； （2）先求得甲池和乙池水面齐平时的水的深度，进而求得流入乙池的总水量，进而可求解； 60 42 （3）根据题意得t t 15，即 a  a 15，解方程即可求解． 1 2 60 【详解】（1）解：根据题意，得345ta，则t 1  a ， 1 60 故答案为：t  ； 1 a 345 （2）解：根据题意，当甲池和乙池水面齐平时水流停止，这时水的深度为 1.2m， 510 则乙池总水量为1.25742m3， 42 由at 42得t 2  a ， 2 42 故答案为：t  ； 2 a 60 42 （3）解：由题意，t t 15，即 a  a 15， 1 2 解得a6.8， 经检验，a6.8是所列方程的解， 答：进水管和两池间的阀门每小时至少要通过6.8m3水量． 【点睛】本题考查求反比例函数的实际应用、分式方程的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的 关键． 8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取 水平线OE为x轴，铅垂线OD为 y 轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v(m/s)从D点滑出，运动轨迹yax22x20(a0) 7 CE K DO 近似抛物线 ．某运动员 次试跳的轨迹如图2，在着陆坡 上设置点 （与 相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标． (1)求线段CE的函数表达式； v 7 a v2 (2)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度 的大小有关，进一步探究，测算得 组 与 的对应数据，在平面 直角坐标系中描点如图3． ①猜想a关于 y 的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证． v m/s 1m/s 31.73 52.24 ②当 为多少 时，运动员的成绩恰能达标（精确到 ）？（参考数据： ， ） 1 【答案】(1)y x20(8x40) 2 25 (2)①猜想 a 与 v2 成反比例函数关系，表达式为a v2 ，验证见解析；②当 v18m/s 时，运动员的成绩恰能 达标 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①根据题意中平面直角坐标系横轴与纵轴的大小关系猜想，并代值计算即可求解；②根据点K（与 1 相距 ）作为标准点，点 在线段y x20上，可求出点 的坐标，根据点 在抛物线上，在 DO 32m K 2 K K 反比例函数图像上，由此即可求解． C(8，16) E(40，0) CE：ykxb(k 0) 【详解】（1）解：由图2可知： ， ，设 ， 168kb  将C(8，16)，E(40，0)，代入得：040kb， 1 k   2 解得， b20 ， 1 ∴线段 的函数表达式为y x20(8x40)． CE 2 3 x v2 a v2 a （2）解：①根据图 中 轴表示 ，纵轴表示 ，随着 值的增大， 的值在减小， m ∴猜想 与 成反比例函数关系，设a ， a v2 v2 m 将 (100，0．250) 代入得0.25 100 ，解得 m25 ， 25 ∴ 与 的函数解析式为a ， a v2 v2 25 25 将 (150，0．167) 代入a v2 ，验证： 150 0.167， 25 ∴所求的函数表达式为a ； v2 1 ②由K在线段y x20上，且点 （与 相距 ）作为标准点， 2 K DO 32m 1 ∴ 2 32204，即 K(32，4) ， 5 ∴把点 K(32，4) 代入 yax22x20 得， 322a232204 ，解得，a 64 ， 5 25 ∴把a 代入a ，解得， ， 64 v2 v2 320 又∵v0， y=8 5=8椿2.24 18 ∴ ， ∴当v18m/s时，运动员的成绩恰能达标． 【点睛】本题主要考查函数与实际问题的综合，运用待定系数法求函数解析式，根据函数图像确定自变量 与函数值的关系，对一次函数，反比例函数，二次函数图像性质的理解和掌握是解题的关键． 9．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）电灭蚊器的电阻随温度x℃变化的大致图像如图所示，通电后温 度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值， 1 随后电阻随温度升高而增加，温度每上升 ，电阻增加 k． 1℃ 5(1)当10x30时，求y与x之间的关系式； (2)电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ? 60 y 【答案】(1)当10x30时，y与x的关系式为： x ． (2)温度x取值范围是12x45时，电阻不超过5k． m 【分析】（1）设y与x之间的关系式为y  ，把点10,4n2和点30,n代入求得m的值即可解答； x x30 ykxb y5 （2）当 时，设y与x的关系式为 ，然后求得解析，然后分别求出 时，两函数的函数值 即可求解解答． m 【详解】（1）解：当 时，设y与x之间的关系式为y  ， 10x30 x 10,4n2 30,n 根据题意得：该函数图像过点 和点 ，  m 4n2   10 ∴ ， m n  30 n2  解得：m60， 60 y ∴当10x30时，y与x的关系式为： x ． 60 y （2）解：∵ ， x 60 ∴当 时，y 2， x30 3 30,2 根据题意得：该函数图像过点 ，1 ∵温度每上升 ，电阻增加 k． 1℃ 5 当x30时，设y与x的关系式为ykxb，  1 ∴该函数图像过点31,2 ，  5  30kb2  1  k   1  5 ∴  31kb2 5 ，解得： b4 ， 1 ∴当 时，y与x的关系式为：y x4； x30 5 60 y 对于 x ，当y5时，x12； 1 对于y x4，当 时， ． 5 y5 x45 答：温度x取值范围是12x45时，电阻不超过5k． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，求出两函数解析式是解题的关键． 10．（2023秋·全国·九年级专题练习）五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A 处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发． (1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式． (2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁 荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平 均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至 少还需加多少油？ 55 【答案】(1)s (b0) b (2)不加油不能到达洞头D处，还需加油5升以上【分析】（1）利用公式：路程总容积平均耗油量，即可得的函数关系式； （2）求出到达温州市区A处所需油量与从A处到达洞头D处所需油量之和，再和55升比较即可． 55 【详解】（1）解：根据题意得：s (b0)； b （2）从杭州到温州 A 处，一共耗油 0.130030升， 从 ABCD 处： b0.1120%0.12 ， 79401310.1230 一共耗油 升， 30306055 ∴不加油不能到达洞头D处，还需：3030555升 答：不加油不能到达洞头D处，还需加油 5升 以上． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解平均耗油量与行驶路程的关系． 11．（2023·河南周口·校考三模）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录 pPa S  m2 桌面所受压强 与受力面积 的关系如下表所示． 受力面积S  m2 2 1 0.5 0.4 a 桌面所受压强 20 50 pPa 100 0 400 0 800 (1)根据表中数据，求桌面所受压强 与受力面积 之间的函 pPa S  m2 数表达式及a的值． 0.4m,0.2m,0.1m (2)现想将另一长、宽、高分别为 ，且与该长方体相同重量的长方体按如图2所示的方式 （即A面向上）放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为4000Pa，请你判断这种摆 放方式是否安全？并说明理由．若将此长方体B面向下摆放，请直接判断是否安全．200 【答案】(1)压强pPa关于受力面积S  m2的函数表达式为p S ， a0.25 (2)这种摆放方式安全 【分析】（1）观察图表得：压强p与受力面积S的乘积不变，故压强p是受力面积S的反比例函数，然后 p800 用待定系数法可得函数关系式，令 ，可得a的值； （2）算出S，即可求出p，比较可得答案． 【详解】（1）解：观察图表得：压强p与受力面积S的乘积不变，故压强p是受力面积S的反比例函数， k 设压强pPa关于受力面积S  m2的函数表达式为p ， S k 把 代入得：400 ， (400,0.5) 0.5 解得：k 200， 200 ∴压强pPa关于受力面积S  m2的函数表达式为p ， S 200 当 时，800 ， p800 a 解得：a0.25． （2）解：这种摆放方式安全，理由如下： S 0.40.20.08(m2) 由图可知 ， 200 ∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上的压强为p =2500(Pa)， 0.08 ∵40002500， ∴这种摆放方式安全． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练掌握待定系数法求出函数表达式． 12．（2023秋·全国·九年级专题练习）根据以下素材，探索完成任务． 制作检测75%酒精的漂浮吸管如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的 深度会因液体密度的改变而改变． 素 材 1 小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数（h cm）与液体密度ρ（g/cm3）之间的几组数据 如下表： 素 h（cm） … 19.8 18 16.5 13.2 … 材 2 ρ（g/cm3） … 1.0 1.1 1.2 1.5 … 浓度为a%的酒精密度（酒精与水的密度分别为0.8g/cm3，1.0g/cm3）： 素 材 m a%V 1a%V 3    酒精 酒精 a%0.81a%1.00.002a1 a%酒精 V V 问题解决 任 务 求ρ关于h的函数表达式． 1 由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度．图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出 可以检测75%酒精的吸管位置．（精确到0.1cm） 任 务 219.8 【答案】任务1： ；任务2：见解析； h k 【分析】（1）设 ，把 ， 代入求解即可得到答案； h 1.0 h19.8 （2）根据关系式代入求解即可得到答案； 【详解】任务1： k k 解：由题意，得ρ是关于h的反比例函数，设 ，把 ， 代入，得1.0 ， h 1.0 h19.8 19.8 ∴k 19.8， 19.8 ∴ ． h 任务2： 解：由题意可得，  0.0027510.85 75%酒精 ， 19.8 ∴h 23.3，标注如图， 0.85 ； 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据题意设出解析式，找到相关数据代入求解． 13．（2023·山东青岛·校联考三模）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知 该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一 场，产品就少卖出1台； (1)直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加 组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第 40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据： x（场） 3 10 25 p（万 10.6 12 14.2元） (2)求p与x之间满足的函数关系式； (3)当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？ (4)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ y50x 【答案】(1) 0.2x10,1x20  P105 (2)  10,21 x40其中 为正整数  x x (3)第15场和第35场 (4)第21场获得的利润最大，最大利润为145万元 【分析】（1）根据第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，即可解答； （2）根据题意设出相应的函数表达式，然后通过表格中的数据求出表达式中的未知量即可； p13 （3）把 分别代入（2）中两个解析式中即可求解； （4）分别表示出利润的相关函数，再在自变量取值范围内研究哪一场获得的利润最大，最大利润是多少． 【详解】（1）解：∵第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台， ∴y与x的函数关系式为y50x． （2）解：设基本价为b， ①第1场～第20场，1x20且x为正整数， 设P与x的函数关系式为Paxb， 3ab10.6 a0.2   依题意得10ab12 ，解得b10 ， ∴P0.2x10． 第21场～第40场，即21 x40且x为正整数时， m m 设 与 的函数关系式为P b，即P 10． P x x x m 依题意得14.2 10，解得 ， 25 m105 105 ∴P 10， x0.2x10,1x20  P105 综上所述，  10,21 x40其中 为正整数；  x x （3）解：当P13时，0.2x1013， 解得x15； 105 1013，解得 ． x x35 故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场 （4）解：设每场获得的利润为w（万元）． 当1x20且x为正整数时， w0.2x101050x0.2x210x0.2x252125 ， ∵在对称轴的左侧，w随x的增大而增大， ∴当 x=20 时， w 最大，最大利润为 0.220252125120 （万元）． 105  5250 w 1010 50x 105 当21 x40且x为正整数时，  x  x ， ∵w随x的增大而减小， 5250 ∴当 时， 最大，最大利润为 105145（万元）， x21 w 21 ∵145120， ∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数，是函数的综合运用，解题的关键是：理解题意， 会求出各函数的解析式，在根据函数的图象及性质解答，题目较难． 14．（2023·山东临沂·统考二模）阅读下列材料： 实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间的增加逐步增 高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低． 小明根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精 含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x表示饮酒后的时间（小时）． (x0) 下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时） 的变 化情况．1 1 3 5 3 饮酒后的时间x（小时） … 1 2 3 4 5 6 … 4 2 4 4 2 血液中酒精含量y（毫 175 15 375 20 375 15 225 225 225 4 225 … … 克/百毫升） 2 0 2 0 2 0 2 3 4 5 6 下面是小明的探究过程，请补充完整： xOy y x (1)如图，在平面直角坐标系 中，以上表中各对数值为坐标描点，画出血液中酒精含量 随时间 变化 的函数图象； 3 (2)观察表中数据及图象发现此函数图象在直线x 两侧可以用不同的函数表达式表示，请你直接写出血 2 液中酒精含量 y 随时间x变化的函数表达式； (3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升时属于“醉酒驾驶”，请你求 153.87 出车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升的时间是多少?（ ；最终结果保留 小数点后一位） 【答案】(1)作图见解析   3  200x2400x0x    2 y (2)  225 3 x    x  2 (3)车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升的时间约为2.6小时 【分析】（1）将坐标系中的点按照自左向右的顺序用平滑的曲线顺次连接即可得；3 （2）由图象知x 左侧符合二次函数关系、右侧符合反比例函数关系，利用待定系数法求解可得； 2 y20 x （3）求出反比例函数中 时 的值，据此可判断． 【详解】（1）解：图象如图所示， 3 k （2）解：由函数图象知当x 2 时，y与 x 成反比例函数关系，设y x ， 将点(5,45)代入，得：k 225， 225 y ； x 3 1  由表格知当0 x 2 时，y与 x 成二次函数关系，可设 yax12200 ，代入点 2 ,150  可得： 1 a200150 4 ，解得：a200， y200x12200 y200x2400x ∴ ，即 ，   3  200x2400x0x    2 y 综上所述：血液中酒精含量 随时间 变化的函数表达式为  225 3 ； x  y x   x  2 200x2400x80 （3）解：令 15 3 15 x1  x1 0.226 解得 5 2（舍）， 5 ．225 45 令 80，解得x 2.8125， x 16 ∴t2.81250.2262.58652.6（小时） 答：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升的时间约为2.6小时 【点睛】本题主要考查二次函数与反比例函数的应用，解题的关键是掌握函数图象的画法及待定系数法求 函数解析式的能力． y3x2 15．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数 y3(x2)24 的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所的图像的函数表达式是 ．类似地，函 k k 数y n(k 0,m0,n0)的图象是由反比例函数y 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个 xm x m n 单位得到，其对称中心坐标为(m,n)． 1 y (1)①将 x 的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得图象的函 数表达式为 ； x1 1 ②函数y 的图象可由y 得图象向 平移 个单位得到； x x x1 ③y 的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ x2 4 4 (2)如图，在平面直角坐标系 中，请根据给的 y 的图象画出函数y 2的图象，并根据该图 xOy x x2 象指出，当x在什么范围内变化时，y1． (3)实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知4 识学习后经过的时间为 ，发现该生的记忆存留量随 变化的函数关系式为y  ；若在 时 x x 1 x4 xt(t4) 进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆 8 存留量随 变化的函数关系式为y  ．如果记忆存留量为 1 时是复习的“最佳时机点”，且他第一次 x 2 xa 2 复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答 案． 1 1 1 【答案】(1)① y ，y 1；②上，1；③它的图象可由反比例函数y 的图象先向右平移2个 x1 x1 x 单位，再向上平移1个单位得到 (2)见解析，2x2 (3)x12 x1 1 【分析】（1）①由阅读部分提示信息直接作答即可；②由y  1，结合提示信息可得答案；③由 x x x1 x21 1 y   1，结合提示信息可得答案； x2 x2 x2 4 4 （2）先判断y 2是把 y 先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到；再利用图象的平移 x2 x y1 进行画图即可，结合函数的图象可得 时x的范围； 4,1 y （3）先求出第一次复习的“最佳时机点” ，然后代入 2，求出解析式，然后再求出第二次复习的 “最佳时机点”． 1 1 【详解】（1）解：①由题意可得：将y 的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为y ， x x1 1 再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为y 1； x1 x1 1 ②∵y  1， x x x1 1 ∴函数y 的图象可由y 得图象向上平移1个单位得到； x x x1 x21 1 ③∵y   1， x2 x2 x21 y ∴它的图象可由反比例函数 的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到． x 4 4 （2）∵y 2是把 y 先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到； x2 x 2,2 ∴其对称中心是 ．图象如图所示： 4 由 ，得 21， 解得 ，经检验符合题意． y1 x2 x2 结合图象可得，当2x2时，y1． 4 （3）当 时，y  ， xt 1 t4 4 1 则由y   ，解得： ，经检验符合题意， 1 t4 2 t4 即当t4时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1， 8 ∴点4,1在函数y 2  xa 的图象上， 8 则 1，解得： ， 经检验符合题意； 4a a4 8 8 1 ∴y  ， 当y   ， 2 x4 2 x4 2 解得：x12，经检验符合题意； 即当x12时，是他第二次复习的“最佳时机点”． 【点睛】此题属于反比例函数综合题．主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，及待定系 数法求解析式以及反比例函数的实际应用问题．注意熟悉反比例函数的图象和性质是解决问题的关键． 16．（2023·河南·九年级统考自主招生）某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图 2 所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数 . 已知电源电压 U 为 18V ，定值电阻 R 0 R FN 为 30 ，电阻R为力敏电阻，其阻值 与所受压力 符合反比例函数关系． R FN R FN 3 (1)请补全下面的表格，在图 中补全点，画出 与 的关系图象，并写出阻值 与压力 的函数关系式． FN 120 ______ 60 50 ______ 30 R 5 6 10 12 15 20 U (2)已知电路中电流IA与电阻、电源电压的关系式 I= R+R ，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到 0 量程的最大值.若电流表的量程为0～0.5A，则该台秤最大可称多重的物体？ FN mkg F mgg 10N/kg. (3)已知力敏电阻受压力 与所测物体的质量 的关系为 若力敏电阻阻值的变 mkg 8R25 化范围为 ，则所测物体的质量 的变化范围是______ ． 600 【答案】(1)100，40，图见解析，R F (2)100N (3)2.4m7.5 【分析】（1）根据反比例函数中k为定值可填表，求出函数关系式，再描点画出图象即可； （2）求出R，结合（1）可得F 的值； （3）用m表示出R，再代入8R25得关于m的不等式组，即可解得答案．1205 1205 100 40 【详解】（1） ， ，补全表格如下： 6 15 6 F(N) 120 100 50 40 30 0 1 R() 5 6 12 15 20 0 阻值 与压力 的函数关系式为 ； 600 R FN R F 故答案为：100，40； 18 0.5 （2）电流表的示数为0.5A时， R30 ， 解得R6， 600 把 代入R 得： R6 F 600 6 ， F 解得F=100， 该台秤最大可称100N的物体； 600 （3） ，R ， F mg10m F 600 60 R  ， 10m m 8R25， 60 8 25， m 解得2.4m7.5， 故答案为：2.4m7.5． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解F ，R，I ，U 的关系． 17．（2023·江苏盐城·校考三模）阅读与思考下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日 （星期四）， 在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数 关系的数学活动”． 第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6V不变． 第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化． 第三步，我们根据物理知识P＝UI，通过测量电路中的电流计算电功率． 第四步，计算收集数据如下： R/Ω … 2 4 6 8 10 … P/W … 18 9 6 4.5 3 … 第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以 表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改， 实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 ；（单选） A．数形结合B．类比思想C．分类讨论D．方程思想 (2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式； (3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (4)请直接写出：若P大于10W，R的取值范围为．【答案】(1)B 36 (2)P R (3)图见详解 (4)0R3.6 【分析】（1）通过类比思想发现各数据之间的对应关系； （2）根据R与P的积是定值发现有问题的一组数据； （3）将描出的点用光滑的曲线连接即可； U2 p （4）根据 R 计算出R的取值范围． 【详解】（1）通过类比思想发现数据之间的关系正确与否．故选：B． （2）通过前四组数据发现：R与P的积都是36定值，发现最后一组有问题； 36 与 关系式是：P ， P R R （3）图象如图： 36 10 （4）当 时，即 ，解得 ． P10W R 0R3.6 【点睛】本题考查了反比例函数的具体应用，理解题意是这类题目的突破口．