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26.2.1 二次函数y=ax ²的图象和性质（导学案）
（1）会用描点法规范绘制y=ax ²的图象；认识抛物线的基本要素，熟练掌握y=ax ²的图象特征与性质；精
准掌握系数a 对抛物线开口方向、开口宽窄的影响，能利用性质解决基础习题.
（2）经历画图、观察、对比、归纳的完整探究过程，掌握函数图象的通用探究方法，提升几何直观、归
纳概括和数形结合解题能力.
(3）感受函数图象的对称美、规律美，体会数形结合思想的价值，培养严谨的作图习惯和主动探究的数学
思维，增强学习二次函数的信.
重点：用描点法画二次函数y=ax ²的图象；掌握y=ax ²的图象特征、增减性、最值等核心性质.
难点：结合图象准确理解二次函数的增减性规律（分对称轴左右两侧讨论），理解|a|的大小对抛物线开
口宽窄的影响，区分a 的正负与绝对值的不同作用.
第一环节 自主学习
温故知新：
创设情景，引入新课
回顾提问：二次函数的最简形式是什么？
衔接旧知：研究一次函数、反比例函数的核心方法是什么？
【学法指导】
新知自研：自研课本第33-35 页的内容
【学法指导】自研课本P33-35 页内容
（一）动手作图，探究y=x ²的图象
活动1.动手画函数y=x ²的图象
1.列表：选取对称自变量（-3、-2、-1、0、1、2、3），计算对应函数值
x
……
……
y=ax ²
……
……
2.描点：.
3.连线：
4.观察归纳图象特征：
师生共同总结：图象形状：曲线，叫做抛物线.对称性：关于y 轴对称； 顶点：图象最低点(0,0)，是抛物
线的顶点；开口方向：开口向上.
（二）探究y=x ²图象的性质
活动2.探究函数y=x ²图象的性质
小组合作观察交流：由上图还可以看出，y 轴是抛物线y=x ²的对称轴，抛物线y=x ²与其对称轴的交点
(0，0)叫作抛物线y=x ²的顶点，它是抛物线y=x ²的最低点，实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与
对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.
从二次函数y=x ²的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左
到右上升，也就是说，当x<0 时，y 随x 的增大而减小；当x>0 时，随x 的增大而增大.
在抛物线y=x ²上.
追问1：你能从坐标关系中说明抛物线у=x ²的对称性.
（三）探究y=ax ²图象的性质
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活动3.在同一平面直角坐标系中，画出函数
的图象.
1.列表：
2.描点：
3.连线：
观察思考：
函数
的图象与函数y=x ²的图象（图虚线图形）相比，有什么共同点和不同点？
利用信息技术工具画二次函数y=ax ²(a>0)的图象,改变a 的值，函数y=ax ²的图象也发生了改变.随着a 的
变化，二次函数y=ax ²的图象有什么变化?
活动4.在同一平面直角坐标系中，画出函数
的图象.
1.列表，2.描点，3.连线.
活动5.探究y=ax ²图象的性质
观察以上函数图象，归纳图象性质.
当a>0 时，开口向上，对称轴：直线x=0（y 轴）；顶点坐标：(0,0)； 最值：当x=0 时，y 有最小值0，无
最大值；增减性：x<0 时，y 随x 的增大而减小；当x>0 时，y 随x 的增大而增大.
当a<0 时，开口向下，对称轴：直线x=0（y 轴）；顶点坐标：(0,0)； 最值：当x=0 时，y 有最大值0，无
最小值；增减性：y 随x 的增大而增大；当x>0 时，y 随x 的增大而减小.|a|的大小：|a|越大，抛物线开
口越窄，图象越陡；|a|越小，抛物线开口越宽，图象越平缓.
【自研自探】
自研课本P33-35 页内容
典型例题
例1 .已知二次函数y=-3x ²，下列说法正确的有哪些？ ① 图象开口向上；② 对称轴是y 轴；③ 顶点坐
标为(0,0)； ④ 当x>0 时，y 随x 增大而减小；⑤ 函数最小值为0.
例2.已知点A(-2,
)、B(1,
)、C(3,
)都在抛物线上，比较
、
、
的大小.
例3 .抛物线y=4x ²、
、y=-2x ²中，开口最宽和最窄的分别是哪一个？
第二环节 合作探究
讨论交流:
1. 讨论怎样画二次函数y=x ²的图象.
2. 讨论怎样画二次函数y=ax ²图象.
讨论二次函数y=ax ²图象的性质
拓展提升：
1．已知二次函数
，解答下列问题：
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(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．
(2)判断点
是否在这个函数图象上，说明理由．
(3)求当
时对应的函数图象上的点的坐标．
课本练习P35.
1．（2025·临沂校考）抛物线
共有的性质是（ ）
A．开口向下B．对称轴是
轴C．都有最高点
D．
随
的增大而增大
2．（2026·海南统考）已知点
，
，
三点都在抛物线
的图象上，则
、
、
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·恩施统考）二次函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·松原校考）已知二次函数
的图象经过点
，求该函数的解析式及对称轴．
知识技能:(1)作图方法： 三步法画y=ax ²的抛物线图象；（2）图象要素：抛物线
y=ax ²恒过 ，对称轴为 ，顶点为 ；（3）核心性质： a>0：开口 ，顶点 ，x<0 、x>0
，有 0； a<0：开口 ，顶点 ，x<0 、x>0 ，有 0； （4）a 的作用：正负定 ，|
a|大小定 .
思想方法:（1）数形结合思想：由图象得 ，用性质解 ，数与形 ； （2）分类讨论思想：
分a>0、<0 两类 ，保证思维严谨； （3）从特殊到一般思想：从具体函数图象归纳通用规律，
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掌握 .
易错提醒:（1）作图易错：抛物线必须用 ，不能 ；取值务必 ，保证图象
； （2）性质易错：二次函数增减性必须分 讨论，不能笼统描述； （3）规律易错：开
口宽窄只看|a|，与a 的 ； （4）最值易错：a>0 有 、a<0 有 ，最值均为0，切勿记反.
