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25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
课标要点
课标要点
1.理解韦达定理推导来源：由一元二次方程求根公式，得到两根之和、两根之积与系数a,b,c
的关系，前提条件：𝑎≠0，判别式𝛥= 𝑏2 −4𝑎𝑐≥0，方程有实数根。
2.会直接使用韦达定理求两根和、两根积，不解方程计算代数式的值，如x1
2 + x2
2、|x1 −x2|、
1
𝑥1 +
1
𝑥2。
3.已知两根，能逆用根与系数关系构造一元二次方程；已知方程一根，求另一根或者参数的
值。对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，两根记为𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎,
𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎，简化
形式：方程化为𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞= 0, 则𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝, 𝑥1𝑥2 = 𝑞。
学习重难点
重点：
1.牢记韦达定理公式，注意两根之和带有负号，区分𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0与𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞= 0两种
形式。
2.逆用定理构造方程：已知两根𝑥1、𝑥2,方程写作𝑥2 −(𝑥1 + 𝑥2)𝑥+ 𝑥1𝑥2 = 0。
4.已知一个根，利用韦达定理求另一根和参数。
难点：
1.忽略前提条件：使用韦达定理处理实根问题，必须保证𝛥≥0，含参数题目求出参数后，要
回代检验判别式，舍去使方程无实根的参数。
2.代数式变形错误，不会把目标式子转化为𝑥1 + 𝑥2.、𝑥1𝑥2.的整体形式。
3.构造方程时，常数项、一次项符号写反。
4.分不清：韦达定理代数式形式永远成立，但是只有𝛥≥0时，才有实数根与之对应。
第二十五章
一元二次方程
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知识点
一元二次方程根与系数的关系
一、定理内容
对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，当判别式𝛥= 𝑏2 −4𝑎𝑐≥0时，方程有两个实数根，设两根为
𝑥1、𝑥2，则：
x1 + x2 = −b
a ,
x1x2 = c
a
特殊形式：当二次项系数为1，方程x2 + px + q = 0
x1 + x2 = −p,
x1x2 = q
重要前提
1.𝑎≠0，必须是一元二次方程；
2.𝛥≥0，才有实数根；
若𝛥< 0，方程没有实数根，但韦达的代数式计算形式仍然成立，只是不存在实数与之对应。
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二、推导(由求根公式)
一元二次方程求根公式：𝑥=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，设𝑥1 =
−𝑏+√𝛥
2𝑎
、𝑥2 =
−𝑏−√𝛥
2𝑎
相加𝑥1 + 𝑥2 =
−2𝑏
2𝑎= −
𝑏
𝑎
相乘：𝑥1𝑥2 =
𝑏2−(𝑏2−4𝑎𝑐)
4𝑎2
=
4𝑎𝑐
4𝑎2 =
𝑐
𝑎
三、常见代数式整体变形(高频考点，不解方程求值)
全部转化为𝑥1 + 𝑥2和𝑥1𝑥2的整体代入
1. 𝑥1
2 + 𝑥2
2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2
2. 1
𝑥1
+ 1
𝑥2
= 𝑥1 + 𝑥2
𝑥1𝑥2
3. (𝑥1 −𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2
4. |𝑥1 −𝑥2| = √(𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2
5. (𝑥1 + 1)(𝑥2 + 1) = 𝑥1𝑥2 + (𝑥1 + 𝑥2) + 1
6. 𝑥1
2𝑥2 + 𝑥1𝑥2
2 = 𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)
随学随练
1．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）已知𝑥1, 𝑥2是一元二次方程𝑥2 −5𝑥−9 = 0的两个不相等的实数根，
则2𝑥1 + 2𝑥2 −𝑥1𝑥2的值为__________．
2．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）设𝑥1，𝑥2是方程𝑥2 −2𝑥−1 = 0的两个根，则代数式𝑥1
2𝑥2 + 𝑥1𝑥2
2的
值为______．
3．
（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）若方程𝑥2 −4𝑥−2 = 0的两个根分别是𝑥1, 𝑥2，则
1
𝑥1 +
1
𝑥2的值为________．
4．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 𝑏𝑥+ 1 = 0有两个不相等的实数根𝑚
和𝑛，且𝑚2 + 𝑛2 = 6，则𝑏=______．
解题步骤
1.符号错误𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎极易漏掉负号
2.忽略𝛥≥0：含参数题目，算出参数不检验判别式，保留没有实数根的解；
3.不会对代数式变形，不能把目标式子转成𝑥1 + 𝑥2、𝑥1𝑥2整体；
4.构造方程时一次项符号写反；
5.混淆概念：𝛥< 0时，韦达公式代数计算仍然成立，但方程没有实数根，只有虚根；
6.忘记𝑎≠0，把一元一次方程套用韦达定理。
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拓展
构造一元二次方程求代数式的值
题型特征：给出两个不同字母，分别满足结构完全相同的二次等式，不直接解方程，利用韦达定理求值，
俗称“同构方程”。
核心总思路
1.观察等式结构：两个式子形式一模一样，只是字母换成m、n(或x、y；a、b)。
2.构造一元二次方程：
如果m ≠n, 且m2 + pm + q = 0, n2 + pn + q = 0,
⇒m、n就是方程t2 + pt + q = 0的两个不相等实数根。
3.直接套韦达定理：m + n = −p, mn = q∘
4.部分题目需要变形预处理(两边同除以y²，凑出相同结构)。
5.注意分类：题干没有写明两数不等时，要分两种情况：
①两数不相等，用韦达；②两数相等，直接代入计算。
活学活用
1．（25-26 九年级上·四川南充·阶段检测）已知𝑚≠𝑛，𝑚2 + 2012𝑚= 2021，𝑛2 + 2012𝑛= 2021，则
𝑚𝑛=______．
2．（25-26 九年级上·安徽芜湖·期中）已知𝑥𝑦≠1，且3𝑥2 + 2021𝑥+ 6 = 0，6𝑦2 + 2021𝑦+ 3 = 0，则
𝑦
𝑥=__________．
3．（25-26 八年级下·安徽安庆·期末）若实数a，b 满足等式2𝑎2 −5𝑎−3 = 0，2𝑏2 −5𝑏−3 = 0，则2𝑎2 +
3𝑎𝑏+ 5𝑏=________．
拓展
一元二次方程根与系数的关系中三角形问题
1.第一步：判别式打底
证明有实数根：计算△，证明△≥0；
含参数题目，隐含条件：边长为正数，所以两根>0。
2.第二步：处理方程(二选一)
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①方式A：因式分解，直接解出两个根
②方式B：不方便因式分解，使用韦达定理
3.第三步：分类讨论(核心难点)
等腰三角形分类逻辑
已知三边：两根𝑥1、𝑥2，已知第三边m 两种大情况：
①两根相等：𝑥1 = 𝑥2，即△=0，两腰是方程的两个相等根；
②其中一根等于已知第三边：𝑥1 = m或者𝑥2 = m，也就是第三边作为腰。
直角三角形分类逻辑
已知斜边，两条直角边是方程两根：
勾股定理：AB²+AC²=斜边²
变形：AB²+AC²=(x₁+x₂)²-2x1x₂，整体代入韦达，列方程求参数。求出参数后回代检验：
①△≥0；②边长全部大于0。
活学活用
1．（25-26 八年级下·安徽·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −(3𝑘+ 2)𝑥+ 6𝑘= 0．
(1)求证：方程有两个实数根；
(2)若△𝐴𝐵𝐶的两边𝐴𝐵、𝐴𝐶的长分别是此方程的两个实数根，第三边𝐵𝐶长为5，当△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形时，
求𝑘的值．
2．（25-26 九年级上·福建三明·期中）已知关于𝑥的方程𝑥2 −(𝑘+ 2)𝑥+ 2𝑘= 0．
(1)试说明：无论𝑘取什么实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰Δ𝐴𝐵𝐶的一边长𝑎为1，另两边𝑏，𝑐恰好是这个方程的两个实数根，求△𝐴𝐵𝐶的周长
3．（25-26 九年级上·四川成都·期中）设一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)有两个根𝑥1，𝑥2，则方程
可化为𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2) = 0(𝑎≠0)，即𝑎𝑥2 −𝑎(𝑥1 + 𝑥2)𝑥+ 𝑎𝑥1𝑥2 = 0，与原方程系数进行比较，回答下
列问题：
(1)𝑥1 + 𝑥2 =______，𝑥1𝑥2 =______．（用𝑎，𝑏，𝑐表示）
(2)若方程𝑥2 −𝑥−3 = 0的两个根是𝑥1和𝑥2，求𝑥1
2𝑥2 + 𝑥1𝑥2
2的值．
(3)已知直角△𝐴𝐵𝐶，斜边𝐵𝐶长为13，三角形另两边𝐴𝐵、𝐴𝐶的长是关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + (2𝑚−5)𝑥−
4(𝑚−9) = 0的两个实数根，求𝑚的值．
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题型一 直接用根与系数的关系直接求解
▌例1（25-26 八年级下·福建泉州·期末）已知𝑥1，𝑥2是方程𝑥2 −3𝑥−8 = 0的两个根，则𝑥1𝑥2 + 𝑥1 +
𝑥2 =__________．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）已知实数m、n 满足𝑚2 −5𝑚= 1，𝑛2 −5𝑛= 1，𝑚≠𝑛，
则
1
𝑚+
1
𝑛的值为________________．
▌对点练1-2．已知3𝑥2 −2𝑥−1 = 0的两个根为𝑥1, 𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 =_______，𝑥1𝑥2 =_______，
1
𝑥1 +
1
𝑥2 =_______，
𝑥1
2 + 𝑥2
2 =_______，𝑥1 −𝑥2 =_______．
题型二 利用根与系数的关系中降次问题
易错点
1.必须是一元二次方程：a≠0
2.有实数根：𝛥≥0
注意：韦达代数式形式永远成立，但只有𝛥≥0，才有实实在在的两个实数根。很多题直接套韦达算出
参数，不回代检验𝛥≥0，直接丢分
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▌例2（25-26 八年级下·浙江台州·期末）若𝛼，𝛽是方程𝑥2 + 2𝑥−6 = 0的两个实数根，则𝛼2 + 3𝛼+ 𝛽的
值为___________．
▌对点练2-1．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）设𝑥1，𝑥2是方程𝑥2 −5𝑥+ 3 = 0的两个根，则𝑥1
2 −6𝑥1 −
𝑥2 =________．
▌对点练2-2．（25-26 八年级下·山东泰安·期末）已知m、n 是一元二次方程𝑥2 −3𝑥−6 = 0的两个根，
则𝑚2 −𝑚𝑛+ 𝑛−2𝑚的值为____________．
题型三 利用根与系数的关系求参数
解题思路
题型特征：α、β 是一元二次方程两根，所求代数式含有α²(根的高次项),不求解方程，整体求值。
解题总流程：降次→化简→韦达代入
1.降次(核心第一步)
∵α 是方程的根，把α 代入原方程，得到等式，变形把高次项换成低次项。
例：𝛼2 + 2𝛼−6 = 0 ⟹𝛼2 = −2𝛼+ 6
作用：消去平方项，把二次降为一次。
注意：只能用𝛼2降α 的次方，不能用来降β。
2.替换代入、化简代数式
把a²用一次多项式替换，展开合并同类项，式子最终化简为只含𝛼+ 𝛽、𝛼𝛽的形式。
3.韦达定理写根与系数关系
𝛼+ 𝛽= −𝑏
𝑎, 𝛼𝛽= 𝑐
𝑎
重点：两根之和带负号，最容易出错。
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▌例3 （25-26 九年级上·江西九江·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程𝑥2 + (2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚−1 = 0的
两个根分别是𝑥1，𝑥2，且满足𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥1𝑥2 = 3，则m 的值是（ ）
A．5
B．0
C．−2
D．−5
▌对点练3-1．（25-26 八年级下·重庆·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −3𝑚𝑥+ 𝑚2 + 7𝑚= 0的两个
实数根为𝑥1，𝑥2，且满足𝑥1𝑥2 = 18，则𝑚的值为（ ）．
A．−9
B．2
C．2或−9
D．−2或9
▌对点练3-2．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知关于x 的方程𝑥2 −(𝑘+ 4)𝑥+ 4𝑘= 0(𝑘≠0)的两实数根
解题思路
1.识别方程类型
若题干写明“一元二次方程”,则直接确定a≠0;
若只写“方程有两个实数根”,同样隐含a≠0;
若只写“方程有实数根”,需要分一次方程(𝑎= 0)、二次方程(a≠0)分类讨论。
2.写出韦达定理
𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏
𝑎, 𝑥1𝑥2 = 𝑐
𝑎
重点：两根之和前面有负号，是高频失分点。
3.对题干给的两根关系式变形
把条件式子化成只含𝑥1 + 𝑥2和𝑥1𝑥2的形式。
常用变形：
𝑥1
2 + 𝑥2
2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2
(𝑥1 −𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2
1
𝑥1
+ 1
𝑥2
= 𝑥1 + 𝑥2
𝑥1𝑥2
4.整体代入韦达，得到关于参数的方程，求解参数
5.检验，这一步必不可少
①检验𝑎≠0；
②检验判别式𝛥≥0，舍去使𝛥< 0的参数；
韦达的代数式永远可以计算，但𝛥< 0时不存在实数根，该参数无效。
③特殊背景：如果两根代表边长，额外检验𝑥1 + 𝑥2 > 0,𝑥1𝑥2 > 0，还要满足三边关系。
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为𝑥1，𝑥2，若
2
𝑥1 +
2
𝑥2 = 5，则𝑘=____________．
题型四 根与系数的关系解答题综合
▌例4（25-26 八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −2(𝑘+ 1)𝑥+ 𝑘2 + 2 = 0有两个不
相等的实数根．
(1)求𝑘的取值范围；
(2)已知方程的两个实数根分别为𝛼，𝛽，且(𝛼+ 1)(𝛽+ 1) = 13，求𝑘的值．
▌对点练4-1．（25-26 八年级下·山东泰安·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −4𝑥−𝑚+ 5 = 0有两个
实数根．
(1)求实数𝑚的取值范围；
(2)若𝑥1，𝑥2是该方程的两个根，且满足𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 𝑚2 −2，求𝑚的值．
▌对点练4-2．（25-26 八年级下·山东威海·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −2𝑎𝑥−3𝑎+ 1 = 0有两个
不相等的实数根．
(1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根；
(2)若𝛼，𝛽是该方程的两个根，且𝛼2 + 𝛽2 = 26，求𝑎的值．
题型五 根与系数的关系与几何综合
▌例5 （25-26 八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷相邻两边𝐴𝐵，𝐴𝐷的长度分别是关于𝑥的一元
二次方程𝑥2 + (2𝑎−1)𝑥+ 𝑎2 = 0的两个实数根𝑥1，𝑥2．
(1)若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，求𝑎的值；
(2)若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，且该矩形对角线𝐴𝐶的长度为√7，求𝑎的值．
▌对点练5-1．
（25-26 九年级上·贵州黔西南·期末）已知关于x 的一元二次方程：𝑥2 + (𝑚−2)𝑥−2𝑚= 0．
(1)设𝑥1，𝑥2是方程的两个根，求𝑥12 + 𝑥22（用含m 的式子表示）；
(2)当𝑚= −3时，此方程的两个根分别是菱形𝐴𝐵𝐶𝐷两条对角线长，求菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．
▌对点练5-2．（25-26 九年级上·湖北恩施·期中）已知关于𝑥的方程𝑥2 −(𝑘+ 1)𝑥+
1
4 𝑘2 + 2 = 0．设方程
的两实根为𝑥1，𝑥2．
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(1)当𝑥1 ⋅𝑥2 = 6时，求𝑘的值；
(2)是否存在𝑘值使方程的两个根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为√5？请通过计算说明．
题型六 根与系数的关系中新定义问题
▌例6（25-26 八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎，𝑏，𝑐均
为常数，𝑎≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”．
(1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）．
①𝑥2 + 2𝑥= 0；②𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0；③𝑥2 + 4𝑥+ 3 = 0．
(2)若(𝑥+ 2)(𝑥+ 𝑛) = 0是“美丽方程”，求𝑛的值．
(3)若一元二次方程𝑎𝑥2 + 4𝑎𝑥+ 𝑐= 0（𝑎，𝑐均为常数，𝑎≠0）为“美丽方程”，请写出𝑎、𝑐满足的数量关
系，并说明理由．
▌对点练6-1．（25-26 八年级下·福建福州·期末）定义：如果𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两
个根，且|𝑥1 −𝑥2| = 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程𝑥2 −3𝑥+ 2 = 0的两个根
是𝑥1 = 1，𝑥2 = 2，此时|𝑥1 −𝑥2| = |1 −2| = 1，则方程𝑥2 −3𝑥+ 2 = 0是“邻根方程”．
(1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）．
①𝑥2 = 1；②𝑥2 + 4𝑥+ 4 = 0；③𝑥2 −𝑥= 0．
(2)已知方程(𝑥−𝑘)(𝑥−3) = 0是“邻根方程”，求k 的值．
(3)若方程𝑥2 −𝑏𝑥+ 𝑐= 0是“邻根方程”，求证：𝑏+ 2𝑐+ 1 ≥0．
▌对点练6-2．（25-26 八年级下·浙江绍兴·期末）对于关于𝑥的代数式𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐，若存在实数𝑚，使得
当𝑥= 𝑚时，代数式的值等于−𝑚，则称𝑚为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式𝑥2，当𝑥= 0时，
代数式的值等于0；当𝑥= −1时，代数式的值等于1，我们就称0和−1都是这个代数式的“镜像值”．
(1)代数式𝑥2 −𝑥−1的镜像值是________；
(2)判断代数式𝑥2 −3𝑥+ 3是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由；
(3)关于𝑥的代数式𝑎𝑥2 −(2𝑎+ 1)𝑥−
5
4，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数𝑎的
值．
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题型七 根与系数的关系解答题压轴
▌例7（25-26 九年级上·四川眉山·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）的两个根为𝑥1, 𝑥2，则 𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎
材料2：已知实数m，n 满足𝑚2 −𝑚−1 = 0, 𝑛2 −𝑛−1 = 0，且𝑚≠𝑛，则 m，n 是方程𝑥2 −𝑥−1 = 0的
两个不相等的实数根．
(1)材料理解：一元二次方程 3𝑥2 −6𝑥+ 1 = 0 两个根为 𝑥1, 𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 = ，𝑥1 ⋅𝑥2 = ．
(2)应用探究：已知两实数m，n 满足3𝑚2 −𝑚−2 = 0,3𝑛2 −𝑛−2 = 0，则
𝑛
𝑚+
𝑚
𝑛的值为？
(3)思维拓展：已知实数s，t 分别满足7𝑠2 + 29𝑠+ 1 = 0, 𝑡2 + 29𝑡+ 7 = 0，且𝑠𝑡≠1，求
7𝑠2𝑡−𝑠−29
𝑡
的值．
▌对点练7-1．
（25-26 九年级上·河北保定·阶段检测）
【定义】我们把关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0
与𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑎= 0(𝑎𝑐≠0，𝑎≠𝑐)称为一对“友好方程”
【示例】如2𝑥2 + 7𝑥−3 = 0的“友好方程”是−3𝑥2 + 7𝑥+ 2 = 0．（1）写出一元二次方程12𝑥2 −7𝑥+ 1 = 0
的“友好方程”是______．
【探究】（2）已知一元二次方程12𝑥2 −7𝑥+ 1 = 0的两根为𝑥1 =
1
3 , 𝑥2 =
1
4，则它的“友好方程”的两个根
为______．
【猜想】（3）当Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐≥0时，方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两根𝑥1,𝑥2与其“友好方程”𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑎= 0
的两根𝑥3, 𝑥4之间存在的一种特殊关系为______．(𝑎𝑐≠0，𝑎≠𝑐)
【证明】证明上面的猜想（4）∵方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两根为𝑥1 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
， 𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
；方程
𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑎= 0的两根为𝑥3 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑐
，①______；…请完成上述填空①，并补全证明过程．(备注：证
明一组关系即可)
【应用】（5）已知关于x 的方程2025𝑥2 + 𝑏𝑥−1 = 0的两根是𝑥1 = −1， 𝑥2 =
1
2025请利用（2）中的结论，
写出关于x 的方程(𝑥−1)2 −𝑏𝑥+ 𝑏= 2025的两根为______．
▌对点练7-2．（25-26 九年级上·河南南阳·阶段检测）回归课本，定理证明及应用
我们在学一元二次方程的时候，探究总结了一元二次方程的根与系数关系，也就是我们常常说的伟大的韦
达定理．
具体为：如果一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）有两个不相等的实数根𝑥1，𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，
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𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎
(1)请你证明韦达定理：𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎
证明：∵一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）有两个不相等的实数根𝑥1，𝑥2，
∴该一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）的Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐> 0
∴根据一元二次方程的求根公式，即：𝑥=______（填写此空，并重新写出完整的推理证明过程）
(2)应用：已知a、b 满足𝑎2 + 2𝑎−1 = 0，𝑏2 + 2𝑏−1 = 0，且𝑎≠𝑏，则
𝑎
𝑏+
𝑏
𝑎=______．
基础通关
1．（25-26 八年级下·浙江丽水·期末）已知矩形的两条邻边长是方程𝑥2 −10𝑥+ 24 = 0的两个根，则矩形
的周长是（ ）
A．10
B．12
C．20
D．24
2．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）若𝑥1, 𝑥2是一元二次方程𝑥2 −2𝑥−2026 = 0的两个实数根，则𝑥1
2 −
𝑥1 + 𝑥2的值是（ ）
A．2024
B．2026
C．2028
D．4052
3．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）设𝑥1，𝑥2是一元二次方程3𝑥2 + 4𝑥−2 = 0的两个根，则（ ）
A．𝑥1 + 𝑥2 = −
4
3
B．𝑥1 + 𝑥2 =
4
3
C．𝑥1 ⋅𝑥2 =
2
3
D．𝑥1 ⋅𝑥2 =
4
3
4．
（25-26 八年级下·安徽安庆·期末）已知𝛼，𝛽是方程𝑥2 + 2024𝑥+ 1 = 0的两个根，则(1 + 2026𝛼+ 𝛼2)(1 +
2026𝛽+ 𝛽2)的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（25-26 九年级下·山东烟台·期末）若关于x 的一元二次方程𝑥2 + (𝑘−2)𝑥+
𝑘2
4 = 0的两根互为倒数，
则k 的值为（ ）
A．−2
B．2
C．2 或−2
D．1
6．（25-26 八年级下·江苏南通·期末）Rt △𝐴𝐵𝐶的面积是S，一直角边𝐴𝐶长是x，根据题意可列方程
1
2 𝑥(𝑥+ 𝑚) = 𝑆．若该方程的两根为 𝑥1 = 𝑎, 𝑥2 = 𝑏,其中𝑎> 0，𝑏< 0，则另一直角边𝐵𝐶长是（ ）
A．𝑎+ 𝑏
B．𝑎−𝑏
C．−𝑎𝑏
D．−𝑏
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7．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）已知矩形的两条边长分别是一元二次方程2𝑥2 −4𝑥+ 1 = 0的两个
根，则该矩形的对角线长为__________．
8．（25-26 八年级下·山东淄博·期末）阅读材料：如果𝑎，𝑏是一元二次方程𝑥2 + 𝑥−1 = 0的两个实数根，
则有𝑎2 + 𝑎−1 = 0，𝑏2 + 𝑏−1 = 0．创新应用：如果𝑚，𝑛是两个不相等的实数，且满足𝑚2 −𝑚= 3，𝑛2 −𝑛=
3，那么代数式2𝑛2 −𝑚𝑛+ 2𝑚+ 2015 =________．
9．
（25-26 八年级下·北京·阶段检测）已知m、n 是方程𝑥2 −2𝑥−5 = 0的两个根，代数式3𝑚(𝑚−1) −(𝑚−
3)(𝑚+ 3) −𝑚的值为________；𝑚2 + 𝑛2的值为________．
10．关于x 的一元二次方程𝑥2 + (2𝑘+ 1)𝑥+ 𝑘2 + 1 = 0．
(1)当方程有两个不相等的实数根时，求k 的取值范围．
(2)若方程有两个实数根𝑥1、𝑥2且满足𝑥12 + 𝑥22 = 5，求k 的值．
11．（25-26 八年级下·福建福州·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −(𝑘+ 3)𝑥+ 3𝑘= 0，若方程的两个
实数根为𝑥1，𝑥2，且𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 10，求k 的值．
12．
（25-26 八年级下·安徽亳州·期末）若关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根为𝑥1、𝑥2，
则𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎, 𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎.这就是一元二次方程根与系数的关系．
(1)一元二次方程2𝑥2 −5𝑥−1 = 0的两根为𝑥1、𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 =_____, 𝑥1𝑥2 = ；
(2)已知关于x 的一元二次方程𝑥2 −(2𝑘+ 1)𝑥+
1
2 𝑘2 −2 = 0.
①求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②若方程的两个实数根为𝑥1、𝑥2，满足𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑥1𝑥2 + 5，求k 的值．
素养提升
1．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 1 = 0的两根之差为2，则代
数式12𝑎−𝑏2的最大值为（ ）
A．−8
B．−2
C．4
D．10
2．
（25-26 九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知𝑚，𝑛是方程𝑥2 + 2025𝑥+ 7 = 0的两个根，则(𝑚2 + 2024𝑚+
6)(𝑛2 + 2026𝑛+ 8) =（ ）
A．2017
B．2018
C．2019
D．2020
3．（25-26 九年级上·北京·阶段检测）如果𝑚，𝑛是两个不相等的实数，且满足𝑚2 −𝑚= 3，𝑛2 −𝑛= 3，
那么代数式2𝑛2 −𝑚𝑛+ 2𝑚+ 14的值是（ ）
A．23
B．24
C．25
D．26
4．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）若实数a，b，c 满足𝑎2𝑏2 −2𝑎𝑏2𝑐+ 𝑏2𝑐2 = 0，且𝑎𝑏< 0，则一元
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二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐−𝑎= 0(𝑎≠0)的两个实数根𝑥1, 𝑥2满足的数量关系是（ ）
A．𝑥1𝑥2 = 0
B．𝑥1 = 𝑥2
C．𝑥1 = −𝑥2
D．𝑥1𝑥2 = −1
5．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两个不相等的实数根
分别为𝛼, 𝛽；关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑏= 0的两个实数根分别为𝛼−1, 𝛽−1．则下列方程中，其两
实数根分别为𝛼+ 1, 𝛽+ 1的是（ ）
A．𝑥2 −5𝑥−3 = 0
B．𝑥2 −5𝑥+ 3 = 0
C．𝑥2 + 5𝑥−3 = 0
D．𝑥2 + 3𝑥−5 = 0
6．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，有下列四个结论：
①若𝑥= 𝑐是该方程的一个根，则一定有𝑎𝑐+ 𝑏+ 1 = 0成立；②若𝑎+ 𝑐= 𝑏，则方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0有一
根为𝑥= −1；③若该方程的解为𝑥= 2和𝑥=
1
3，则方程𝑐𝑥2 −𝑏𝑥+ 𝑎= 0的解是𝑥= 3或𝑥=
1
2；④当𝑎< 0，
𝑏+ 𝑐> 0，𝑏−𝑐< 0时，方程一定有实数根．其中，正确的有（ ）
A．①②③④
B．②③④
C．②③
D．②④
7．已知互不相等的实数a，b 满足𝑎2 −√3𝑎−1009 = 0，𝑏2 −√3𝑏−1009 = 0，则𝑎2 + 𝑏2的值为 _____．
8．（25-26 八年级下·安徽蚌埠·期末）如果关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0有两个实数根，且其
中一个根为另一个根的2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）若(𝑥−2)(𝑥+ 𝑚) = 0是倍根方程，则m 的值为______；
（2）若方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0是倍根方程，且5𝑎+ 𝑏= 0，则该方程较大的根为𝑥=______．
9．（25-26 八年级下·四川·期末）已知△𝐴𝐵𝐶的两边𝐴𝐵，𝐴𝐶的长是关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −2(𝑛−1)𝑥+
𝑛2 −2𝑛= 0的两个根，第三边𝐵𝐶的长是10．
(1)求证：无论𝑛取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当𝑛为何值时，△𝐴𝐵𝐶是以𝐵𝐶为斜边的直角三角形？
10．（25-26 九年级上·安徽芜湖·期中）若𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根，则有𝑥1 +
𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1 ⋅𝑥2 =
𝑐
𝑎，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个
关系称为一元二次方程根与系数的关系．
(1)已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −2(𝑘−1)𝑥+ 𝑘2 −1 = 0的两个不相等的实数根分别为𝑥1，𝑥2，且满足：
|𝑥1 + 𝑥2| = 𝑥1𝑥2，求𝑘的值；
(2)若𝛼，𝛽是方程𝑥2 −𝑥−1 = 0的两根，记𝑆1 = 𝛼+ 𝛽，𝑆2 = 𝛼2 + 𝛽2，…，𝑆𝑛= 𝛼𝑛+ 𝛽𝑛，
①当𝑛为不小于3的整数时，证明：𝑆𝑛−2 + 𝑆𝑛−1 = 𝑆𝑛；
②计算𝑆2，𝑆7的值．
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迁移创新
1．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）在复习一元二次方程
时，旺仔同学总结了三个
知识点：
知识点一：根的判别式
；
知识点二：求根公式
；
知识点三：若一元二次方程的两个实数根为
，
，则
．
根据以上知识点完成下列问题：
(1)若一元二次方程
有两个不相等的实数根，求
的取值范围；
(2)若一元二次方程
的两个实数根为
，
①计算
，
；
②求
的值；
(3)若一元二次方程
的两个实数根为
，
，且
，直接写出
的值．
2．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）对于代数式
，若存在实数
，使得当
时，代数式的
值等于常数，则称
为这个代数式的常定数．例如，对于代数式
，当
时，代数式的值为1，
当
时，代数式的值为1，所以0 和2 是这个代数式的常定数，当
时，代数式的值为
，
不是恒定的常数，所以1 不是这个代数式的常定数．
(1)判断：
__________（是或不是）代数式
的常定数．
(2)代数式
是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由．
(3)已知代数式
，当
分别为0 和1 时，代数式的值均为4，若
存在两
个常定数
和
，求
的值．
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