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1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 25.2.2 公式法—解一元二次方程 知识点一 根的判别式 定义：一般地，对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，我们可以通过配方法将 该方程化成(𝑥+ 𝑏 2𝑎)2 = 𝑏2−4𝑎𝑐 4𝑎2 ，由直接开平方法可知，根据 𝑏2−4𝑎𝑐 4𝑎2 和0的大小关系可 以直接决定一元二次方程根的个数，又因为分母4𝑎2恒大于0，所以真正能决定方程 根的个数的部分是分子𝑏2 −4𝑎𝑐，我们将𝑏2 −4𝑎𝑐叫做一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示，即∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐。 （1）当∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐> 0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐= 0时，方程有两个相等的实数根； （3）当∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐< 0时，方程无实数根。 拓展延伸 根的判别式不仅可以用于判断根的情况，还可以拓展至根据根的情况反求参数取值范 围，如“方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0有两个不相等的实数根”⇒∆> 0且𝑎≠0；“方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0有实数根”⇒∆≥0。 特别提醒 ①一元二次方程必须严格整理为一般式，即𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，只有化成一般 式后，才可以用根的判别式判断方程根的情况； ②在化一般式的过程中，警惕移项变号和合并同类项，当方程中含有括号或分母时，必 须先去括号、去分母，确保𝑎, 𝑏, 𝑐是最终合并后的最简系数； ③𝑎, 𝑏, 𝑐分别指代的是二次项系数、一次项系数和常数项，因此在代入根的判别式时，必 须包含系数前的符号，尤其是出现“−”的时候。 归纳总结 对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，若要判断方程根的情况，可以用根的判 别式进行判断，即∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐； （1）当∆> 0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当∆= 0时，方程有两个相等的实数根； 第二十五章 一元二次方程 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 （3）当∆< 0时，方程无实数根。 知识点二 求根公式 定义：一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)可以通过配方转化为(𝑥+ 𝑏 2𝑎)2 = 𝑏2−4𝑎𝑐 4𝑎2 的形式，利用直接开平方法，易得方程的根为𝑥= −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 ，我们将𝑥= −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 称 为一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的求根公式. （1）当∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐> 0时，方程有两个不相等的实数根，即𝑥1 = −𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 , 𝑥2 = −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 ； （2）当∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐= 0时，方程有两个相等的实数根，即𝑥1 = 𝑥2 = − 𝑏 2𝑎； （3）当∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐< 0时，方程无实数根。 拓展延伸 1.公式法解一元二次方程的步骤： ①将方程化为一般式； ②确定𝑎, 𝑏, 𝑐,的值； ③代入“∆”验证方程是否有解； ④若有解，则代入求根公式𝑥= −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 得出方程的解；若无解，直接得出结论。 2.当∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐≥0时，方程有两个实数根。注意：我们无法得到这两个实数根相等 或者不相等的结论，因为∆≥0包括∆> 0和∆= 0两种情况。 3.由于求根公式的计算普遍复杂，因此需要特别注意运算技巧，抓准约分时机。若一元二 次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)中的𝑎, 𝑏, 𝑐有公因数，则先约去公因数再代入，目的是 为了简化运算；若计算出的√∆能开尽，必须先化简根式，再与−𝑏合并，最后再考虑 与分母2𝑎约分。 特别提醒 1.计算∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐不能只作为代入前的“附带计算”，必须将其视为解的存在性判定。 可以在草稿纸上单独写出∆的计算过程，再根据∆> 0、∆= 0、∆< 0分段给出结论，最 后决定是否继续代入求根公式； 2.求根公式𝑥= −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 是一个完整的分数结构，“−𝑏”和“±√𝑏2 −4𝑎𝑐”共同构成分 子，分母“2𝑎”对于整个分子起作用，而并非只对“−𝑏”或“±√𝑏2 −4𝑎𝑐”起作用，因 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 此切不可理解成只有“−𝑏”下面才有分母“2𝑎”，或只有“±√𝑏2 −4𝑎𝑐”下面才有分母 “2𝑎”。 归纳总结 1.求根公式：𝑥= −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 （有时也可以写为𝑥= −𝑏±√∆ 2𝑎） 2.公式法解方程： ① 化为一般式； ② 确定𝑎, 𝑏, 𝑐； ③ 代入“∆”先行判断方程解的情况； ④ 若有解，则代入求根公式；若无解，直接写出结论。 易错点 1 𝒂, 𝒃, 𝒄符号抄错 • 错例：求解方程−2𝑥2 + 3𝑥−1 = 0时，误取𝑎= 2或𝑏= −3 • 错因：死记硬背“公式中的符号”，忽略方程标准形式中必须带着系数前面的正负 号一起代入的原则 • 规避方法：要求必须先将方程整理为𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的形式，若某项前有负号， 则必须将负号和后面紧跟的系数先用括号括在一起，再确定𝑎, 𝑏, 𝑐 易错点 2 求根公式中出现计算错误 • 错例1：计算∆时𝑏2符号处理错误。例如：𝑏= −5，得到𝑏2 = −25 • 错因：对幂运算理解不透彻，认为“负数的平方仍是负数” • 规避方法：强制要求书写中间步骤： 𝑏2 = (−5)2 = 25，不许跳步。 • 错例2：漏乘4𝑎𝑐中的𝑎或𝑐。例如：求解方程−2𝑥2 + 3𝑥−1 = 0时，𝑎= −2, 𝑏= 3, 𝑐= −1，但在计算∆时，得到∆= 𝑏2 −4𝑐= 32 −4 × (−1) = 13 • 错因：公式记忆不牢固，视觉遗漏 • 规避方法：代数时，用连线的方式把方程中的𝑎和𝑐连接起来，可以通过这种重点 标注的办法，物理提醒将“𝑎”和“𝑐”相乘 • 错例3：带入求根公式时，认为2𝑎仅属于分子中的根式部分。例如：𝑥= −𝑏±√∆ 2𝑎 = −𝑏± √∆ 2𝑎 • 错因：认为2𝑎只属于根式，不理解−𝑏± √∆其实是一个整体，2𝑎要对分子整体起 作用 4 / 10 学科网（北京）股份有限公司 • 规避方法：“大括号”隔离法：要求代入后，必须写成𝑥= [(−𝑏)±√∆] (2𝑎) ，强制用括号 把分子和分母括起来，明确整体感 易错点 3 ∆< 𝟎时仍然强行代入求根公式计算 • 错例：对方程𝑥2 −3𝑥+ 3 =求解时，直接代入求根公式，得到𝑥= −𝑏±√∆ 2𝑎 = 3±√9−12 2 = 3±√−3 2 = 3±√3 2 • 错因：急于求成，缺乏“先判断后计算”的解题习惯 • 规避方法：规定做题第一步先找𝑎, 𝑏, 𝑐，第二步必须先计算∆，在没有得到∆的计算 结果之前，禁止碰触求根公式 易错点 4 结果约分不完全 • 错例：求出某一元二次方程的解为𝑥= 2±√8 4 ，直接写出该结果，不知可约分 • 错因：根式化简与分数约分的顺序混乱 • 规避方法：遵循“先化根，后约分”的原则：规定√∆必须开方到最简形式，先处 理分子中的同类项（以错例为例，可以先将分子处理为2 ± 2√2），提取公因数2后，再 与分母4约分。要注意：约分必须在根式化简之后进行。 易错点 5 ∆= 𝟎时只写一个𝒙的值（或忘记写两个相同的根） • 错例：求解方程𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0时，得到∆= 0，代入求根公式后，求得方程的根 为𝑥= 2 • 错因：认为“一个解”就等于“写一个数” • 规避方法：改变根本的认知，重根也是根。在求根公式中，±0实质上是两个相同 的值。因此在最后得出结论时，务必要规定标准的书写格式，即：𝑥1 = 𝑥2 = − 𝑏 2𝑎 题型一：公式法—解一元二次方程 方法技巧 公式法解方程的步骤： ①化为一般式，若系数中含有分数，最好可以先将其简化成整数； ②确定𝑎, 𝑏, 𝑐； ③代入“∆”先行判断方程解的情况； 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 ④若有解，则代入求根公式；若无解，直接写出结论。 1.用公式法解方程 2 1 2 x x −= 时，得 ( ) 4 4 1 2 x − − = □ ，则“”处应填（ ） A．1 B．1 − C．2 D．2 − 2.方程( 3)( 2) 1 x x − + = 的解为（ ） A． 3 x = B． 2 x = − C． 1 2 3, 2 x x = = − D．以上结论都不对 3.一元二次方程 2 4 1 x x − = 的实数根是（ ） A． 1 2 0 x x = = B． 1 2 0 4 x x = = ， C． 1 0 x = ， 2 1 4 x = D． 1 2 1 17 1 17 8 8 x x + − = = ， 4.下列一元二次方程的根可以根据 2 3 3 4 2 1 2 2 x − − = 计算得出的是（ ） A． 2 2 3 1 0 x x + + = B． 2 2 3 1 0 x x + −= C． 2 3 2 0 x x + − = D． 2 2 3 0 x x − − + = 5.用公式法解 2 3 1 x x − + = 时，先求出a 、b 、c 的值，则a 、b 、c 依次为（ ） A．1 −，3，1 − B．1，3 −，1 − C．1 −，3 −，1 − D．1，3 −，1 6.某一元二次方程的根用求根公式表示为 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 3 1 2 3 x −− − −− = ，则该一元二次方 程为（ ） A． 2 2 3 1 0 x x − + −= B． 2 3 2 1 0 x x - - = C． 2 2 3 1 0 x x − + = D． 2 3 2 1 0 x x − + = 7.用公式法解一元二次方程 2 4 2 0 x x − + = 时， 2 4 b ac − 的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 8.用公式法解一元二次方程： 2 3 4 3 2 0 x x − + = ． 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 9.解方程 (1) ( ) ( ) 3 1 2 1 x x x − = − ； (2) 2 1 3 0 4 x x − − = 10.解方程： 2 2 6 1 0 x x + −= ； 11.解方程： (1) 2 2 1 25 x x − + = (2) 2 5 5 0 x x − − = 12.用适当的方法解下列方程： (1) 2 2 1 0 x x + −= ； (2) 2 ( 3) 2 6 x x + = + ． 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 题型二：根据判别式求方程的根的情况 方法技巧 对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，若要判断方程根的情况，可以用根的判 别式进行判断，即∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐； （1）当∆> 0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当∆= 0时，方程有两个相等的实数根； （3）当∆< 0时，方程无实数根； （4）当∆≥0时，方程有两个实数根。 1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A． 2 1 0 x x + −＝ B． 2 2 0 x x + + ＝ C． 2 2 0 x x − ＝ D． 2 2 1 0 x x + − ＝ 2.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A． 2 4 0 x + = B． 2 4 4 0 x x − + = C． 2 2 3 0 x x + + = D． 2 2 3 0 x x + − = 3.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A． 2 1 0 x −= B． 2 2 2 0 x x + − = C． 2 2 0 x x − = D． 2 2 1 0 x x − + = 4.关于一元二次方程 2 1 2 2 0 2 x x − − + = 的根的情况，下列说法正确的是（ ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 5.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A． 2 4 4 0 x x − + = B． 2 2 3 0 x x − − = C． 2 3 6 0 x x − + = D． 2 6 9 0 x x − + = 题型三：根据方程的根的情况求参数取值范围 方法技巧 利用一元二次方程的根的情况求参数取值范围： ①先将方程整理为一般式； 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 ②当所求的参数位于一次项系数或常数项中时： ⅰ).确定𝑎, 𝑏, 𝑐的值； ⅱ).代入根的判别式∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐; ⅲ).若方程有两个不相等的实数根⇒∆> 0，进而得到关于参数的不等式，求解即可； 若方程有两个相等的实数根⇒∆= 0，进而得到关于参数的等式，求解即可； 若方程无实数根⇒∆< 0，进而得到关于参数的不等式，求解即可； 若方程有两个实数根⇒∆≥0，进而得到关于参数的不等式，求解即可； ③当所求的参数位于二次项系数中时： ⅰ).确定𝑎, 𝑏, 𝑐的值； ⅱ).代入根的判别式∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐; ⅲ).若方程有两个不相等的实数根⇒∆> 0且𝑎≠0，求该不等式组即可； 若方程有两个相等的实数根⇒∆= 0 且𝑎≠0，求解即可； 若方程无实数根⇒∆< 0 且𝑎≠0，求该不等式组即可； 若方程有两个实数根⇒∆≥0 且𝑎≠0，求该不等式组即可。 需要额外注意：重点观察题干中对于“方程”的描述，若题干中表述的是“关于𝑥的一元 二次方程……”，则可以按照上述步骤解答；但若题干中表述的是“关于𝑥的方程有实数 根”，则需要对方程中的二次项系数进行分类讨论：①当该方程的二次项系数𝑎= 0，即该方程为一元一次方程时，……；②当该方程的二次项系数𝑎≠0，即该方程为 一元二次方程时，……。 1.关于x 的一元二次方程 2 6 0 x x m + + = 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A． 9 m B． 9 m C． 9 m = D． 6 m 2.若关于x 的一元二次方程( )( ) 1 0 x x m − + = 有两个相等的实数根，则m 的值为（ ） A．1 − B．1 C．2 − D．2 3.关于x 的一元二次方程 2 3 0 x x m + + = 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 （ ） A． 9 4 m B． 9 4 m C． 9 4 m D． 9 4 m − 4.已知关于x 的方程 2 2 3 0 x x k − − = 有实数根，则k 的取值范围是（ ） A． 1 3 k − B． 1 3 k − C． 1 3 k − D． 1 3 k − 5.已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 1 1 0 4 x m x m − + + = 有两个相等的实数根，则m 的值是 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 （ ） A．1 2 B．1 4 C． 1 2 − D．2 6.若关于x 的方程 2 2 1 0 kx x − + = 有两个不相等的实数根，则k 的取值可能是（ ） A．1 − B．0 C．1 D．2 7.关于x 的一元二次方程( ) 2 2 1 0 m x x − − + = 有实数根，则m 的取值范围为（ ） A． 9 4 m 且 2 m B． 9 4 m C． 2 m D． 9 4 m 且 2 m 8.关于x 的一元二次方程 2 4 1 0 kx x − −= 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A． 4 k B． 4 k − C． 4 k 且 0 k D． 4 k −且 0 k 9.若关于x 的一元二次方程( ) 2 2 1 1 0 a x x a − + − + = 有一个根为0，则a 的值等于（ ） A．1 −或0 B．0 C．1 − D．1 或1 − 10.关于x 的一元二次方程( ) 2 5 2 2 0 m x x − + + = 有实数根，则m 的最大整数值是（ ） A．5 B．6 C．3 D．4 11.如果关于x 的方程 ( ) 2 2 2 1 1 0 k x k x − + + = 有实数根，那么k 的取值范围是（ ） A． 1 4 k − B． 1 0 4 且 − k k C． 1 4 k − D． 1 4 k − 且 0 k 12.已知关于x 的一元二次方程 ( ) ( ) 2 4 1 4 1 0 ax a x a − + + − = 有两个实数根，求a 的取值范围． 13.已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 1 0 x m x m + − + = 有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围； (2)任取一个符合条件的m 的值，并求此一元二次方程的解． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 14.已知关于x 的一元二次方程 2 6 0 x x m − + = ． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)若等腰三角形的两条边,a b 是方程 2 6 0 x x m − + = 的两根，边c 是方程 2 25 0 x − = 的一个 根，求m 的值．
