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第二十二章 二次函数
22.1.1 二次函数
学习目标：1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.
2.会利用二次函数的概念解决问题.
3.能根据实际问题列二次函数关系式.
重点：理解掌握二次函数的概念和一般形式.
难点：能根据实际问题列二次函数关系式.
自主学习
一、知识链接
1.什么是函数？
2.什么是一次函数？正比例函数？
3.一元二次方程的一般形式是什么？
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数的相关概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x
的关系式为 .
问题2 n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m与球队数n有什
么关系？
问题3 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产
量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关
系怎样表示？
想一想：问题1~3中函数关系式有什么共同点?
要点归纳：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是
自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
温馨提示：
(1) a，b，c 为常数，且a≠0；
(2)等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
(3)等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x是自变量)①y=ax2+bx+c； ②y=3－2x² ； ③y=x2；
④ ； ⑤y=x²+x³+25 ； ⑥y=(x+3)²－x²；
方法总结：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次
函数除了有一般形式 y=ax2+bx+c(a≠0)之外，还有一些特殊形式，如y=ax2，y=ax2+bx，
y=ax2+c等.
若函数 是二次函数，求m的值.
例2
归纳：本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出 m = -1的错误答案，需要引
起同学们的重视.
一个二次函数
针对训练
(1)求k的值；
(2)当x=0.5时，y的值是多少？
探究点2：根据实际问题列二次函数关系式
问题 矩形绿地的长为x m，面积为y m2.
（1）若该矩形绿地的长为宽的2倍，则宽为___ _m，y 与x之间的关系式为
______________；
想一想 自变量的取值范围是___________.
（2）若该矩形绿地的长比宽多6m，则宽为______m，y 与x之间的关系式为
______________.
想一想 自变量的取值范围是___________.
例3 如图，用一段长为 30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园
ABCD，设AB边长为x米，求菜园的面积y(单位：平方米)与x(单位：米)的函数关系式.
注意：在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.
例4 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生
产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若
生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的
函数关系式.三、课堂小结
形如 y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数.其中 x
二次函数的定义 是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和
常数项
二次函数的一般形式 y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c是常数)
y=ax2；
二次函数的特殊形式 y=ax2+bx；
y=ax2+c(a≠0，a，b，c是常数).
当堂检测
1.下列函数是二次函数的是 ( )
A．y＝2x＋1 B．
C．y＝3x2＋1 D．
2.函数 y=(m－n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A．m，n是常数，且m≠0 B．m，n是常数，且n≠0
C．m，n是常数，且m≠n D．m，n为任何实数
3.把y=(2－3x)(6+x)变成 y = ax² + bx + c 的形式，二次项为 ，一次项系数为 ，
常数项为 .
4. 已知函数y=3x2m-1-5.
①当m= 时，y是关于x的一次函数；
②当m= 时，y是关于x的二次函数 .
5.若函数 是二次函数，
（1）求a的值.
（2）求函数关系式.
（3）当x=－2时，y的值是多少？
6.写出下列各函数关系式：
（1）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系式；
（2）菱形的两条对角线的和为26 cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函
数关系式．
7.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，
一个月能售出500 kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种商品的销售情
况，请解答下列问题：
（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式.(不必写出自变
量x的取值范围)8.矩形的周长为16 cm，它的一边长为x(cm)，面积为y(cm2).
（1）写出y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时，求矩形的面积.
参考答案
自主学习
知识链接
1.一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2.一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx
就叫做正比例函数.
3.ax2+bx+c=0 (a≠0)
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数的相关概念
问题1 y=6x2
问题2
问题3 y=20(1+x)2=20x2+40x+20
想一想 函数都是用自变量的二次整式表示的.
典例精析
例1 解： ②③是二次函数；①不一定是，缺少a，b，c是常数，且a≠0的条件. ④不是，
等式右边是分式；⑤不是，x的最高次数是3；⑥不是，等式右边化简后，等式变形为
y=6x+9，是一次函数.
例2 解：由题意得 ∴m=3.
针对训练
解：（1）由题意的 解得k=2.
(2) 由(1)得， ，将x=0.5代入函数关系式 ，得
.
探究点2：根据实际问题列二次函数关系式
问题 （1）0.5x y=0.5x2 想一想 x＞0
（2）（x-6） y=x(x-6) 想一想 x＞6例3 解：∵AB边长为x米，∴AD边长为 米.∴y＝ (0＜x＜30).
例4 解：由题意得，第 x 档次，提高了 (x－1) 档，利润增加了2(x－1) 元，产量减少了
5(x－1) 件．∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，
且1≤x≤10).
当堂检测
1.C 2.C 3. -3x2 -16 12 4. 1
5.解：（1）由题意，得 解得
（2）当a=-1时，函数关系式为
（3）将x=-2代入函数关系式中，有
6.解：(1) (2)
7.解： (1)当销售单价为每千克 55 元时，由题意， 得
月销售量 = 500 − (55 − 50)×10 = 450 (kg)
单件销售利润 = 55 − 40 = 15 (元)
月销售利润 = 450×15 = 6750 (元)
(2)当销售单价为每千克 x 元时，由题意，得
月销售量 = 500 − (x − 50)×10.
单件销售利润 = x − 40.
月销售利润 y = [500 − (x − 50)×10](x − 40)，
整理，得 y = -10x2 + 1400x − 40000.
8. 解：（1）y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8).
（2）当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2) .
