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第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
学习目标：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程；
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.
重点：运用开平方法解形如x2=p或 (x+n)2=p (p≥0)的方程.
难点：会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
自主学习
一、知识链接
1.如果 x2 = a，那么x叫做a的 .
2.如果 x2= a(a≥0)，那么x= .
3.如果 x2 = 64，那么x= .
4.任何数都可以作为被开方数吗？
课堂探究
二、要点探究
探究点1：直接开平方法
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，小林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形
状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
试一试 解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法.
(1) x2=4； (2) x2=0； (3) x2+1=0.
探究归纳：一般的，对于可化为x2 = p(I) 的方程，
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不相等的实数根 ， ；(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 ；
(3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根.
归纳：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
典例精析
例1 利用直接开平方法解下列方程：
(1) x2=6； (2) x2－900=0.
方法总结：通过移项把方程化为x2 = p的形式，然后直接开平方即可求解
探究点2：直接开平方法解形如(x+n)2=p (p≥0)的方程
探究交流 对照上面的方法，你认为怎样解方程(x+3)2=5？
解题归纳：上面的解法中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次
方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.
例2 解下列方程：
（1）(x＋1)2= 2 ； （2）(x－1)2－4 = 0； （3）12(3－2x)2－3 = 0.
例3 解下列方程：
探究交流
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.
三、课堂小结
直接开平方法的概念 利用平方根的定义求方程的根的方法.
直接开平方法的步骤 关键要把方程化成 x2=p(p≥0)或(x+n)2=p (p≥0).
一元二次方程通过降次、直接开平方法转化为两个一元
直接开平方法的基本思路
一次方程当堂检测
1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）
2
A.x2= -2，解方程，得x= ±
B.(x-2)2=4，解方程，得x-2= 2，x=4
1 7
x x
C.4(x-1)2=9，解方程，得4(x-1)= ±3， 1 x= 4 ， 2 x= 4
1 2
D.(2x+3)2=25，解方程，得2x+3= ±5，x= 1，x=-4
1 2
2.填空：
(1)方程x2=0.25的根是 ；
(2)方程2x2=18的根是 ；
(3)方程(2x-1)2=9的根是 .
3.解下列方程：
(1)x2-81=0； (2)2x2=50； (3)(x＋1)2=4 .
4.(请你当小老师)下面是小李同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗？
如果有错，指出具体位置并帮他改正.
解： ①
②
③
④
挑战自我
解方程：参考答案
自主学习
一、知识链接
1.平方根 2.± 3.±8 4.负数不可以作为被开方数.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：直接开平方法解形如x2=p的方程
问题1 解：设一个盒子的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，由此可列出方
程10×6x2=1500，即x2=25，开平方得x=±5，即x=5，x=－5. 因棱长不能是负值，所以正
1 2
方体的棱长为5dm．
试一试 (1)解：根据平方根的意义，得x=2，x=－2.
1 2
(2)解：根据平方根的意义，得x=x=0.
1 2
(3)解：移项，得x2=－1，因为负数没有平方根，所以原方程无解.
典例精析
例1 解：(1)x2=6，直接开平方，得 ，∴ .
(2)移项，得x2=900，直接开平方，得 ，∴ .
探究点2：直接开平方法解形如(x+n)2=p (p≥0)的方程
探究交流
在解方程 x2 = 25 时，由直接开平方法得 x = ±5.
由此想到，由 (x + 3)2 = 5， ①
得
∴ ，或 .
于是，方程 (x + 3)2 = 5 的两个根为 .
例2 解：(1)∵x+1是2的平方根，∴ .即 .
(2)移项，得(x－1)2=4. ∵x－1是4的平方根，∴ .即 .
(3)移项，得12(3－2x)2=3，两边都除以12，得(3－2x)2=0.25.∵3－2x是0.25的平方根，
∴ .即 ，或 .∴ .
解：(1)
例3
∴方程的两根为 .
(2) 解： 方程的两根为 .
探讨交流
1. 如果一个一元二次方程具有x2 = p或 (x＋n)2 = p (p≥0) 的形式，那么就可以用直接开
平方法求解.
2. 不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2 +2x－3 = 0
当堂检测
1.D(2) (3)
2.(1)
3.解：(1) ； (2) ； (3)
4.解：不对，从②开始错，应改为 ∴ .
拓展提升
解： 或 .∴方程的两根为
.
