文档内容
第 11 课 用配方法解一元二次方程（59 道题，题型全面）
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．一元二次方程 的解为（ ）
A． B． ， C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．
解： ，
移项得： ，
开平方得： ， ，
故选B．
【点睛】
本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．
2．方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
左边利用完全平方公式变形后，利用直接开平方法即可求解．
解：利用完全平方公式变形后得 ，
即 ，
故选：B．【点睛】
本题考查解一元二次方程——直接开平方法．注意本题中等式左侧可利用完全平方公式变形．
3．有关方程 的解说法正确的是（ ）
A．有两不等实数根3和 B．有两个相等的实数根3
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【答案】D
【解析】
【分析】
利用直接开平方法求解即可．
∵ ，
∴ ，
∴该方程无实数解．
故选：D
【点睛】
考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项
移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
4．若 ，则 是（ ）
A．-2 B．2 C．-2或2 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算 ，再用直接开平方法解一元二次方程即可．
故选C
【点睛】
本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键．
5．方程y2＝-a有实数根的条件是（ ）A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可．
解：∵方程y2＝﹣a有实数根，
∴﹣a≥0（平方具有非负性），
∴a≤0；
故选：A．
【点睛】
此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0．
6．计算：4（3x+1）2﹣1＝0、 ﹣2＝0的结果分别为（ ）
A．x＝± ，y＝± B．x＝± ，y＝
C．x＝﹣ ，y＝ D．x＝﹣ 或﹣ ，y＝
【答案】D
【解析】
【分析】
直接开平方与开立方，再解一次方程即可．
解：由4（3x+1）2﹣1＝0得（3x+1）2＝ ，
所以3x+1＝± ，
解得x＝﹣ 或x＝﹣ ，
由 ﹣2＝0得y3＝ ，
所以y＝ ，
所以x＝﹣ 或﹣ ，y＝ ．
故选：D．【点睛】
本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键．
7．用直接开平方的方法解方程 ，做法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
一元二次方程 ，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可
把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．
解：
开方得 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程
化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
8．一元二次方程 化为 的形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】
先把常数项1移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平
方，然后配方即可．
解：∵2x2-3x+1=0，
∴2x2-3x=-1，，
，
，
∴一元二次方程2x2-3x+1=0化为（x+a）2=b的形式是： ，
故选：A．
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项
的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使
方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
9．一元二次方程x2﹣6x+2＝0经过配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝4 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝7
【答案】D
【解析】
【分析】
利用配方法的步骤配方即可解答．
解：移项，得：x2﹣6x＝﹣2，
配方，得：x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，
故选：D．
【点睛】
本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解答的关键．
10．在解方程 时，对方程进行配方，对于两人的做法，说法正确的是（ ）
小思： 小博A．两人都正确 B．小思正确，小博不正确 C．小思不正确，小博正确 D．两人
都不正确
【答案】A
【解析】
【分析】
利用配方法把含未知数的项写成完全平方式，然后利用直接开平方法解方程．
由图知，小思和小博除了第一步x2的系数化1不一致，其他都一样．两人的做法都正确，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，
这种解一元二次方程的方法叫配方法．
11．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A． 化为 B． 化为
C． 化为 D． 化为
【答案】B
【解析】
【分析】
根据配方的步骤计算即可解题．
故B错误．且ACD选项均正确，
故选：B
【点睛】
考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；
第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．
12．已知平行四边形 的面积为12，且 的长是方程 的两个根．过点A作直线 的垂线交 于点E，过点A作直线 的垂线交 于点F，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或 或
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出一元二次方程的两个根即可求出AB和BC，根据平行四边形的性质即可求出CD和AD，然后根据
∠A为锐角和钝角分类讨论，分别画出对应的图形，利用平行四边形的面积求出AE和AF，利用勾股定理
求出BE和DF，即可求出结论．
解：由 得 ．
，
．
四边形 是平行四边形，
．
①如图（1），当∠A为锐角时，
，
．
在 中， ．
在 中， ，．
②如图（2），当∠A为钝角时，
，
．
在 中， ，
在 中， ，
．
综上可得 的值为 或 ．
故选B．
【点睛】
此题考查的是解一元二次方程，平行四边形的性质和勾股定理，掌握一元二次方程的解法、平行四边形的
性质和勾股定理是解决此题的关键．
二、填空题
13．方程 的根是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用直接开平方法解方程.解：
，
∴ ，
故答案为： .
【点睛】
此题考查一元二次方程的解法：直接开平方法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.
14．若 ，则 ______， ______.
【答案】 2 -2
【解析】
【分析】
移项后化为 的形式直接开方法求解．
解：移项得 ，即 ，直接开方得 ，所以
【点睛】
将原方程化为直接开方法解一元二次方程的基本形式 是解题关键．
15．解方程： ，较好的方法是__________法．
【答案】配方
【解析】
【分析】
根据方程的结构特点即可判断较好的方法为配方法．
解：将 看成整体，
∵二次项系数为1，一次项系数为偶数，
∴较好的方法是配方法．
故答案为：配方．
【点睛】
本题考查解一元二次方程——配方法．对于二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程用配方法
比较简单．16．方程 的根是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得出配方得出 ，开方得出： ，即可求解得出根．
解：∵ ．
∴配方得出 ，
，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了运用配方法求解二次方程的根的问题，难度很小，很容易做出，本题属于基础题．
17．关于y的方程 ，用___________法解，得 __， __．
【答案】 配方 102
【解析】
【分析】
利用配方法解一元二次方程即可得．
，
，
，，
，
，
故答案为：配方，102， ．
【点睛】
本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．
18．用配方法解方程2x2 -x -15 = 0的根是 _______________；
【答案】- ,3；
【解析】
【分析】
移项、然后二次项系数化成1，配方、根据平方根的定义转化为两个一元一次方程，即可求解．
移项，得：2x2-x=15，
系数化成1得：x2- x= ，
配方，x2- x+ = + ，
（x- ）2= ，
则x- =± ，
解得：x=3，x=- ．
1 2
故答案是：x=3，x=- ．
1 2
【点睛】
本题考查了配方法解方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
19． 的三边分别为 、 、 ，若 ， ，按边分类，则 是______三角形【答案】等腰
【解析】
【分析】
将 ，代入 中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a与
c的值，进而求出b的值，即可确定出三角形形状．
解：∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
整理得： ，
∵ ， ，
∴ ，即 ； ，即 ，
∴ ，
则△ABC为等腰三角形．
故答案是：等腰．
【点睛】
此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关
键．
20．若一元二次方程的x2﹣2x﹣3599=0两根为a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为_____．
【答案】181
【解析】
x2﹣2x=3599，
x2﹣2x+1=3600
（x﹣1）2=3600，
x﹣1=±60，
所以a=61，b=﹣59，
所以2a﹣b=2×61﹣（﹣59）=181．
故答案为181．三、解答题
21．解方程：
(1)（2x﹣1）2＝9
(2)x2﹣4x﹣12＝0
【答案】(1) ，
(2) ，
【解析】
【分析】
（1）用直接开平方法求解即可；
（2）根据分解因式法求解．
(1)
∵（2x﹣1）2＝9，
∴2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3，
解得： ， ；
(2)
x2﹣4x﹣12＝0
原方程可变形为 ，
∴x－6=0或x+2=0，
∴ ， ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活
选择合适的方法是解答本题的关键．
22．用适当的方法解方程：
（1）
（2）
【答案】（1） ， ；（2） ，【解析】
【分析】
（1）先移项，然后利用开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．
23．解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
【解析】【分析】
（1）根据直接开平方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程计算即可；
（3）先展开，再利用配方法解方程即可；
(1)
，
，
， ；
(2)
；
，
，即 ，
，
， ；
(3)
．
整理得 ，
，即 ，
， ．
【点睛】
本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．
24．用配方法解下列方程：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【解析】
【分析】
利用配方法求解即可．
(1)
解：3x2−5x=2
移项得：x2- x= ，
配方得：x2- x+ = + ，
合并得：（x- ）2= ，
解得：x= + =2，x= - =- ；
1 2(2)
解：x2+8x=9
配方得：x2+8x +16=9+16，
合并得：（x+4）2=25，
解得x=1，x=-9；
1 2
(3)
解：x2+12x−15=0
移项得：x2+12x+36=15+36，
配方得：（x+6）2=51
解得x=-6＋ ，x=-6-
1 2
(4)
解： x2−x−4=0
去分母得： ，
移项得： ，
配方得：x2-4 x+4=16+4，
合并得：（x-2）2=20，
解得：x=2＋2 ，x=2－2 ；
1 2
(5)
解：2x2+12x+10=0
系数化为1得： ，
移项得： ，
配方得：x2+6x+9=-5+9，
合并得：（x+3）2=4，
解得：x=-1，x=--5；
1 2
(6)
解：x2+px+q=0，
移项得： ，配方得：x2+px+ =-q+ ，
合并得：(x+ )2= ，
解得x= ．
【点睛】
本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．一元二次方程 的实数根为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用直接开方法解一元二次方程即可得．
，
两边同除以 得： ，
利用直接开方法得： ，
解得 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．
2．方程 x2=（x﹣1）0 的解为（ ）
A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0
【答案】A【解析】
【分析】
根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x2=1，确定x的值即可.
∵(x-1)0有意义，
∴x-1≠0，即x≠1，
∵x2=（x﹣1）0
∴x2=1，即x=±1
∴x=-1.
故选A.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把
常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂.
3．如果方程 可以用直接开平方求解，那么 的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．任意实数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 时方程有实数解，可求出m的取值范围．
由题意可知 时方程有实数解，解不等式得 ，故选B．
【点睛】
形如 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．
4．方程 的解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】移项后利用直接开平方法解答即可．
解：移项，得 ，
两边直接开平方，得 ，
即 或 ，
解得： ， ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．
5．形如 的方程，下列说法错误的是（ ）
A． 时，原方程有两个不相等的实数根
B． 时，原方程有两个相等的实数根
C． 时，原方程无实数根
D．原方程的根为
【答案】D
【解析】
【分析】
根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．
解：A、当 时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；
B、当 时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；
C、当 时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；
D、当 时，原方程的根为 ，故本选项说法错误，符合题意；故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．
6．已知方程 有实数根，则 与 的关系是（ ）.
A． B． 或 、 异号
C． 或 、 同号 D． 是 的整数倍
【答案】B
【解析】
【分析】
将原方程化为 的形式，根据 可判断出正确答案．
原方程可化为 ，∵ ，∴ 时方程才有实数解．当c=0时， 有实数根；当a、c异号
时， ，方程有实数解．故选B．
【点睛】
形如 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．
7．用配方法解方程 ，正确的是（ ）
A． B．
C． ，原方程无实数解 D． ，原方程无实数解
【答案】D
【解析】
【分析】
方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解．
方程移项得：x2- x=-1，
配方得：x2- x+ =- ，即（x- ）2=- ，
则原方程无实数解，故选D．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．若关于 的一元二次方程 通过配方法可以化成 的形式，则 的值不可能是
A．3 B．6 C．9 D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
方程配方得到结果，即可作出判断．
解：方程 ，变形得： ，
配方得： ，即 ，
，即 ，
则 的值不可能是10，
故选 ．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程 配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．若M=2 -12x+15，N= -8x+11，则M与N的大小关系为（ ）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
【答案】A
【解析】
∵M=2 -12x+15，N= -8x+11，
∴M-N= .
∵ ，
∴M-N 0，
∴M N.
故选A.
点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.
10．已知下面三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰好有一个相同
的实数根 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）
（a2+a+1）=0，即可求出答案．
把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：
（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+ ）2+ ＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
二、填空题
11．方程 的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据0指数幂的意义并利用直接开平方法解答即可．
解：由原方程得 且 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了0指数幂的意义以及利用直接开平方法求解一元二次方程，属于基本题型，熟练掌握上述基本
知识是解题的关键．
12．方程x2－ =0的两根为x=__________，x=__________．
1 2【答案】
【解析】
【分析】
先移项，然后用直接开平方法，即可求出两根.
解：移项得 ，
解得： ，
故答案为 ， .
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解题方法是解题的关键.
13．若实数 满足 ，则 ___________________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
根据题意设a+b=x，根据 ，得出x（2x-1）=1，解方程即可．
解：设a+b=x，则x（2x-1）=1，
则有（x-1）（2x+1）=0，解得x= 或 ，即 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】
本题考查解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代
替它，实行等量替换是解题的关键．
14．已知 ,那么 _____.
【答案】3.
【解析】
【分析】
把 看成一个整体设为x，再解一元二次方程舍去负值即可.设 ,则原方程化为: ,
,
,
,
,
故答案为:3.
【点睛】
本题考查的是解方程，关键是将 看成一个整体，即整体思想的应用，易错点是要注意 的非负
性，注意根的取舍.
15．若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则 =__________.
【答案】4
【解析】
【分析】
利用直接开平方法得到 ，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m-4=0，解得m=1，则方程
的两个根分别是2与-2，则有 ，然后两边平方得到 =4．
由 得 ，解得 ，可知两根互为相反数.
∵一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，
∴m+1+2m－4=0，解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是2和-2，
∴ ，
∴ =4.16．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用一元二次方程的定义得出m的取值范围，再代入方程解方程即可．
由题意得： ，
∴m=1，
原方程变为：﹣x2+2=0，
x= ，
故答案为 ．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握二次项系数不为零是解题关键．
17．如果一个三角形的三边均满足方程 ，则此三角形的面积是______
【答案】
【解析】
解方程： ，得 ，
∴ .
∵一个三角形的三边均满足方程 ，
∴此三角形是以5为边长的等边三角形，
∴三角形的面积= °= .
故答案是： .
18．若一元二次方程的x2﹣2x﹣3599=0两根为a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为_____．
【答案】181
【解析】x2﹣2x=3599，
x2﹣2x+1=3600
（x﹣1）2=3600，
x﹣1=±60，
所以a=61，b=﹣59，
所以2a﹣b=2×61﹣（﹣59）=181．
故答案为181．
19．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2－2x－4y+16的值总是_______数．
【答案】正
【解析】
x2+y2－2x－4y+16=（x2－2x+1）+（y2－4y+4）－1－4+16=（x－1）2+（y－2）2+11，由于（x－1）2≥0，
（y－2）2≥0，故（x－1）2+（y－2）2+11≥11，所以x2+y2－2x－4y+16的值总是正数.
故答案为正.
点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即
可证明.
20．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提
出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，则其面积
．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若 ， ，则此三角形面积的
最大值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．
解：∵ ，p=3，c=2，
∴ ，
∴a+b=4，
∴a=4−b，∴
∴当b=2时，S有最大值为 ．
【点睛】
本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
三、解答题
21．解方程：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
．
【解析】
【分析】
（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；
（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；
（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；
（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．
（1） ，，
，
，
即 ；
（2） ，
，
或 ，
或 ，
即 ；
（3） ，
，
或 ，
或 ，
即 ；
（4） ，
，
，
，
即 ．
【点睛】
本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式
法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．
22．解方程：（1） ；（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）原方程先整理，再利用直接开平方法解答即可；
（2）利用直接开平方法求解即可．
解：（1） ，
整理，得 ．
∴ ，
即 ；
（2） ，
，
∴ 或 ，
解得： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．
23．解下列方程：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．【答案】（1）x＝ ，x＝－ ；（2）x＝ ，x＝－ ；（3）x＝0，x＝－10；（4）x＝1，x＝－3
1 2 1 2 1 2 1 2
【解析】
【分析】
先对各式子进行移项，然后直接开平方求出结果即可，注意（4）要先利用完全平方公式配方．
解：（1）36x2－1＝0，
移项，得36x2＝1，
直接开平方，得6x＝±1，
∴6x＝1，或6x＝－1，
∴原方程的解是x＝ ，x＝－ ．
1 2
（2）4x2＝81，
直接开平方，得2x＝±9，
∴2x＝9，或2x＝－9，
∴原方程的解是x＝ ，x＝－ ．
1 2
（3）（x＋5）2＝25，
直接开平方，得x＋5＝±5，
∴x＋5＝5，或x＋5＝－5，
∴原方程的解是x＝0，x＝－10．
1 2
（4）x2＋2x＋1＝4，原方程化为（x＋1）2＝4，
直接开平方，得x＋1＝±2，
∴x＋1＝2，或x＋1＝－2，
∴原方程的解是x＝1，x＝－3．
1 2
【点睛】
本题主要考查直接开平方法解一元二次方程，属于基础题，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的方法
是解题关键．
24．解下列方程：
（1） ；
（2） ；（3）
（4） ；
（5） ；
（6） ．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3） ；（4）
；（5）原方程无实数解；（6）
【解析】
【分析】
（1）直接利用开平方的方法解方程即可；
（2）直接利用配方法求解即可；
（3）直接利用开平方的方法解方程即可；
（4）直接利用配方法求解即可；
（5）先配方，然后可以得到 ，由此可以判断方程无解；
（6）先去括号，合并同类项，然后用配方法解方程即可．
解：（1）由方程 可得， ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）移项得 ，
配方得 ，
∴ ，
解得 ，∴ ， ；
（3）直接开平方得 ，
即 或 ，
解得 ， ；
（4）移项得 ，二次项的系数化为1得 ， ，
，
，
解得 ；
（5）由原方程，得 ，等号的两边同时乘2，得 ，方程两边同时加上一次项系数
一半的平方，得 ，配方得 ．
∵无论x取何值， 恒大于等于零，
∴原方程无实数解；
（6） ，
，
， ，
解得 ，
∴ ， ．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．
25．（1）设 ，求 的值．（2）已知代数式 ，先用配方法说明：不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取
何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
【答案】（1） 的值为 ；（2）说明见解析，当 时，代数式有最小值 ．
【解析】
【分析】
（1）根据a＞b＞0可知， ，再根据完全平方式把被开方数展开，把a2+b2=3ab代入进行计
算即可；
（2）首先将原式变形为（x- ）2+ ，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是整数，设代数式的值
为M，就有M=x2-5x+7，根据非负数的性质就可以求出最值．
（1）∵a＞b＞0，a2+b2=3ab，
∴原式= = = ；
（2）解：由题意，得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴这个代数式的值总是正数．
设代数式的值为M，则有
M= ，
∴M= ，
∴当 时，这个代数式的值最小为 ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，求代数式的值，代数式中配方法的运用，关键是运用完全平方公式，式子的转化．
26．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4
∵（y＋2）2≥0，
∴（y＋2）2＋4≥4
∴y2＋4y＋8的最小值是4．
（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；
（2）求代数式4－x2＋2x的最大值；
（3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，
另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大
面积是多少？
【答案】（1）3；（2）5；（3）当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2
【解析】
【分析】
（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及 的值即可．
解：（1）x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3
∵（x＋1）2≥0，
∴（x＋1）2＋3≥3
∴x2＋2x＋4的最小值是3．
（2）4－x2＋2x＝－x2＋2x＋4＝－（x2－2x－4）＝－（x2－2x＋1－5）2＝－（x－1）2＋5
∵（x－1）2≥0，
∴－（x－1）2≤0
∴－（x－1）2＋5≤5
∴4－x2＋2x的最大值是5．
（3）设花园的面积为S（m2），根据题意，得S＝AB·BC
＝x（20－2x）
＝－2x2＋20x
＝－2（x2－10x）
＝－2（x2－10x＋25－25）
＝－2（x－5）2＋50
∵－2（x－5）2≤0
∴－2（x－5）2＋50≤50
∴当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
【点睛】
此题考查了配方法的应用，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式．
27．阅读：代数式x2+2x+3可以转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），如：x2+2x+3＝x2+2x+1
﹣1+3＝（x2+2x+1）﹣1+3＝（x+1）2+2
（1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式；
（2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据示例给出的方法将代数式转化为（x+m）2+k的形式即可，
（2）先将代数式转化为（x+m）2+k的形式，再与（x﹣b）2﹣1的形式联立，求出a和b的值即可．
解：（1）仿照示例的方法可得：
（2）
，
即： ， ，．
【点睛】
本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的运算规则是解决本题的关键．
28．选取二次三项式 中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和
一次项配方： ；②选取二次项和常数项配方： 或
；③选取一次项和常数项配方： ．
根据上述材料解决下面问题：
（1）写出 的两种不同形式的配方．
（2）已知 ，求 的值．
（3）已知a、b、c为三条线段，且满足 ，试判断a、b、c能否围成三角形，
并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）1；（3）不能围成三角形，理由详见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据配方的概念，分别对一次项和常数项进行配方；
（2）根据 求出x、y的值，代入求解即可；
（3）将原式进行转换，得出a、b、c之间的等量关系，从而进行判断．
（1） 或 ．
（2） ，
．
， ． ．
（3）不能，理由如下：原式变形： ．．
即 ．
， ， ．
． a、b、c三条线段不能围成三角形．
【点睛】
本题考查了整式的运算，根据题意理解新概念并掌握整式的运算，求解出未知数或者他们之间的等量关系
是解题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2013·辽宁鞍山·中考真题）已知b＜0，关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个实数根
【答案】C
【解析】
∵ 中b＜0，
∴根据偶次幂的非负数性质，方程没有实数根．
故选C．
2．（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一
次方程是 ，则另一个一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
将 两边开平方，得 ，则则另一个一元一次方程是 ．故选D．
3．（2014·四川内江·中考真题）关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x=-3，
1
x=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ）
2
A．x=-6，x=-1 B．x=0，x=5 C．x=-3，x=5 D．x=-6，x=2
1 2 1 2 1 2 1 2【答案】B
【解析】
解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h± ，
而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x=-3，x=2，
1 2
所以-h- =-3，-h+ =2，
方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h± ，
所以x=3-3=0，x=3+2=5．
1 2
故选：B．
【点睛】
本题考查解一元二次方程-直接开平方法．
4．（2013·湖南永州·中考真题）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等
于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一
切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣
1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得
i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
【答案】D
【解析】
由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，
可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵2013÷4=503…1，∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013=i．
故选D．
二、填空题
5．（2019·江苏徐州·中考真题）方程 的根是______．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先利用解一元二次方程的方法求解即可得出答案．
解： ．
移项，得 ．
两边同时开方，得 ．
则 ， ．
故答案为： ， ．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的基本方法是解题的关键．
6．（2020·江苏扬州·中考真题）方程 的根是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用直接开平方法解方程.
解：
，
∴ ，
故答案为： .
【点睛】
此题考查一元二次方程的解法：直接开平方法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.
7．（2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，
则a＝___．
【答案】−1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解把x＝0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a＝±1，然后根据一元二次方
程的定义确定a的值．解：把x＝0代入（a−1）x2−2x＋a2−1＝0得a2−1＝0，
解得a＝±1，
∵a−1≠0，
∴a＝−1．
故答案为：−1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因
为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
也考查了一元二次方程的定义．
8．（2014·山东济宁·中考真题）若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则
=__________.
【答案】4
【解析】
【分析】
利用直接开平方法得到 ，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m-4=0，解得m=1，则方程
的两个根分别是2与-2，则有 ，然后两边平方得到 =4．
由 得 ，解得 ，可知两根互为相反数.
∵一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，
∴m+1+2m－4=0，解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是2和-2，
∴ ，
∴ =4.
