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第 11 课 用配方法解一元二次方程（59 道题，题型全面）
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．一元二次方程 的解为（ ）
A． B． ， C． D．
2．方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
3．有关方程 的解说法正确的是（ ）
A．有两不等实数根3和 B．有两个相等的实数根3
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
4．若 ，则 是（ ）
A．-2 B．2 C．-2或2 D．4
5．方程y2＝-a有实数根的条件是（ ）
A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数
6．计算：4（3x+1）2﹣1＝0、 ﹣2＝0的结果分别为（ ）
A．x＝± ，y＝± B．x＝± ，y＝
C．x＝﹣ ，y＝ D．x＝﹣ 或﹣ ，y＝
7．用直接开平方的方法解方程 ，做法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．一元二次方程 化为 的形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
9．一元二次方程x2﹣6x+2＝0经过配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝4 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝710．在解方程 时，对方程进行配方，对于两人的做法，说法正确的是（ ）
小思：
小博
A．两人都正确 B．小思正确，小博不正确 C．小思不正确，小博正确 D．两人
都不正确
11．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A． 化为 B． 化为
C． 化为 D． 化为
12．已知平行四边形 的面积为12，且 的长是方程 的两个根．过点
A作直线 的垂线交 于点E，过点A作直线 的垂线交 于点F，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或 或
二、填空题
13．方程 的根是_______．
14．若 ，则 ______， ______.
15．解方程： ，较好的方法是__________法．
16．方程 的根是___________．
17．关于y的方程 ，用___________法解，得 __， __．
18．用配方法解方程2x2 -x -15 = 0的根是 _______________；
19． 的三边分别为 、 、 ，若 ， ，按边分类，则 是______三角形
20．若一元二次方程的x2﹣2x﹣3599=0两根为a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为_____．
三、解答题
21．解方程：
(1)（2x﹣1）2＝9
(2)x2﹣4x﹣12＝0
22．用适当的方法解方程：（1）
（2）
23．解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
24．用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．一元二次方程 的实数根为（ ）
A． B．
C． D．
2．方程 x2=（x﹣1）0 的解为（ ）
A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0
3．如果方程 可以用直接开平方求解，那么 的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．任意实数
4．方程 的解为（ ）
A． B．C． D．
5．形如 的方程，下列说法错误的是（ ）
A． 时，原方程有两个不相等的实数根
B． 时，原方程有两个相等的实数根
C． 时，原方程无实数根
D．原方程的根为
6．已知方程 有实数根，则 与 的关系是（ ）.
A． B． 或 、 异号
C． 或 、 同号 D． 是 的整数倍
7．用配方法解方程 ，正确的是（ ）
A． B．
C． ，原方程无实数解 D． ，原方程无实数解
8．若关于 的一元二次方程 通过配方法可以化成 的形式，则 的值不可能是
A．3 B．6 C．9 D．10
9．若M=2 -12x+15，N= -8x+11，则M与N的大小关系为（ ）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
10．已知下面三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰好有一个相同
的实数根 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
二、填空题
11．方程 的解为______．
12．方程x2－ =0的两根为x=__________，x=__________．
1 2
13．若实数 满足 ，则 ___________________．
14．已知 ,那么 _____.15．若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则 =__________.
16．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是_____．
17．如果一个三角形的三边均满足方程 ，则此三角形的面积是______
18．若一元二次方程的x2﹣2x﹣3599=0两根为a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为_____．
19．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2－2x－4y+16的值总是_______数．
20．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提
出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，则其面积
．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若 ， ，则此三角形面积的
最大值是_________．
三、解答题
21．解方程：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
22．解方程：
（1） ；（2） ．
23．解下列方程：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
24．解下列方程：
（1） ；
（2） ；
（3）
（4） ；
（5） ；
（6） ．25．（1）设 ，求 的值．
（2）已知代数式 ，先用配方法说明：不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取
何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
26．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4
∵（y＋2）2≥0，
∴（y＋2）2＋4≥4
∴y2＋4y＋8的最小值是4．
（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；
（2）求代数式4－x2＋2x的最大值；
（3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠
墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？
最大面积是多少？
27．阅读：代数式x2+2x+3可以转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），如：x2+2x+3＝x2+2x+1
﹣1+3＝（x2+2x+1）﹣1+3＝（x+1）2+2
（1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式；
（2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值．
28．选取二次三项式 中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和
一次项配方： ；②选取二次项和常数项配方： 或
；③选取一次项和常数项配方： ．
根据上述材料解决下面问题：
（1）写出 的两种不同形式的配方．
（2）已知 ，求 的值．
（3）已知a、b、c为三条线段，且满足 ，试判断a、b、c能否围成三角形，
并说明理由．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题1．（2013·辽宁鞍山·中考真题）已知b＜0，关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个实数根
2．（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一
次方程是 ，则另一个一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2014·四川内江·中考真题）关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x=-3，
1
x=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ）
2
A．x=-6，x=-1 B．x=0，x=5 C．x=-3，x=5 D．x=-6，x=2
1 2 1 2 1 2 1 2
4．（2013·湖南永州·中考真题）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等
于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一
切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣
1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得
i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
二、填空题
5．（2019·江苏徐州·中考真题）方程 的根是______．
6．（2020·江苏扬州·中考真题）方程 的根是_______．
7．（2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，
则a＝___．
8．（2014·山东济宁·中考真题）若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则
=__________.
