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25.2.2 公式法—解一元二次方程
知识点一 根的判别式
定义：一般地，对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，我们可以通过配方法将
该方程化成(𝑥+
𝑏
2𝑎)2 =
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2 ，由直接开平方法可知，根据
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2 和0的大小关系可
以直接决定一元二次方程根的个数，又因为分母4𝑎2恒大于0，所以真正能决定方程
根的个数的部分是分子𝑏2 −4𝑎𝑐，我们将𝑏2 −4𝑎𝑐叫做一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐=
0(𝑎≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示，即∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐。
（1）当∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐> 0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐= 0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐< 0时，方程无实数根。
拓展延伸
根的判别式不仅可以用于判断根的情况，还可以拓展至根据根的情况反求参数取值范
围，如“方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0有两个不相等的实数根”⇒∆> 0且𝑎≠0；“方程𝑎𝑥2 +
𝑏𝑥+ 𝑐= 0有实数根”⇒∆≥0。
特别提醒
①一元二次方程必须严格整理为一般式，即𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，只有化成一般
式后，才可以用根的判别式判断方程根的情况；
②在化一般式的过程中，警惕移项变号和合并同类项，当方程中含有括号或分母时，必
须先去括号、去分母，确保𝑎, 𝑏, 𝑐是最终合并后的最简系数；
③𝑎, 𝑏, 𝑐分别指代的是二次项系数、一次项系数和常数项，因此在代入根的判别式时，必
须包含系数前的符号，尤其是出现“−”的时候。
归纳总结
对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，若要判断方程根的情况，可以用根的判
别式进行判断，即∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐；
（1）当∆> 0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当∆= 0时，方程有两个相等的实数根；
第二十五章
一元二次方程
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（3）当∆< 0时，方程无实数根。
知识点二 求根公式
定义：一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)可以通过配方转化为(𝑥+
𝑏
2𝑎)2 =
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
的形式，利用直接开平方法，易得方程的根为𝑥=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，我们将𝑥=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
称
为一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的求根公式.
（1）当∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐> 0时，方程有两个不相等的实数根，即𝑥1 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
, 𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
；
（2）当∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐= 0时，方程有两个相等的实数根，即𝑥1 = 𝑥2 = −
𝑏
2𝑎；
（3）当∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐< 0时，方程无实数根。
拓展延伸
1.公式法解一元二次方程的步骤：
①将方程化为一般式；
②确定𝑎, 𝑏, 𝑐,的值；
③代入“∆”验证方程是否有解；
④若有解，则代入求根公式𝑥=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
得出方程的解；若无解，直接得出结论。
2.当∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐≥0时，方程有两个实数根。注意：我们无法得到这两个实数根相等
或者不相等的结论，因为∆≥0包括∆> 0和∆= 0两种情况。
3.由于求根公式的计算普遍复杂，因此需要特别注意运算技巧，抓准约分时机。若一元二
次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)中的𝑎, 𝑏, 𝑐有公因数，则先约去公因数再代入，目的是
为了简化运算；若计算出的√∆能开尽，必须先化简根式，再与−𝑏合并，最后再考虑
与分母2𝑎约分。
特别提醒
1.计算∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐不能只作为代入前的“附带计算”，必须将其视为解的存在性判定。
可以在草稿纸上单独写出∆的计算过程，再根据∆> 0、∆= 0、∆< 0分段给出结论，最
后决定是否继续代入求根公式；
2.求根公式𝑥=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
是一个完整的分数结构，“−𝑏”和“±√𝑏2 −4𝑎𝑐”共同构成分
子，分母“2𝑎”对于整个分子起作用，而并非只对“−𝑏”或“±√𝑏2 −4𝑎𝑐”起作用，因
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此切不可理解成只有“−𝑏”下面才有分母“2𝑎”，或只有“±√𝑏2 −4𝑎𝑐”下面才有分母
“2𝑎”。
归纳总结
1.求根公式：𝑥=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
（有时也可以写为𝑥=
−𝑏±√∆
2𝑎）
2.公式法解方程：
① 化为一般式；
② 确定𝑎, 𝑏, 𝑐；
③ 代入“∆”先行判断方程解的情况；
④ 若有解，则代入求根公式；若无解，直接写出结论。
易错点 1 𝒂, 𝒃, 𝒄符号抄错
•
错例：求解方程−2𝑥2 + 3𝑥−1 = 0时，误取𝑎= 2或𝑏= −3
•
错因：死记硬背“公式中的符号”，忽略方程标准形式中必须带着系数前面的正负
号一起代入的原则
•
规避方法：要求必须先将方程整理为𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的形式，若某项前有负号，
则必须将负号和后面紧跟的系数先用括号括在一起，再确定𝑎, 𝑏, 𝑐
易错点 2 求根公式中出现计算错误
•
错例1：计算∆时𝑏2符号处理错误。例如：𝑏= −5，得到𝑏2 = −25
•
错因：对幂运算理解不透彻，认为“负数的平方仍是负数”
•
规避方法：强制要求书写中间步骤： 𝑏2 = (−5)2 = 25，不许跳步。
•
错例2：漏乘4𝑎𝑐中的𝑎或𝑐。例如：求解方程−2𝑥2 + 3𝑥−1 = 0时，𝑎= −2, 𝑏=
3, 𝑐= −1，但在计算∆时，得到∆= 𝑏2 −4𝑐= 32 −4 × (−1) = 13
•
错因：公式记忆不牢固，视觉遗漏
•
规避方法：代数时，用连线的方式把方程中的𝑎和𝑐连接起来，可以通过这种重点
标注的办法，物理提醒将“𝑎”和“𝑐”相乘
•
错例3：带入求根公式时，认为2𝑎仅属于分子中的根式部分。例如：𝑥=
−𝑏±√∆
2𝑎
=
−𝑏± √∆
2𝑎
•
错因：认为2𝑎只属于根式，不理解−𝑏± √∆其实是一个整体，2𝑎要对分子整体起
作用
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•
规避方法：“大括号”隔离法：要求代入后，必须写成𝑥=
[(−𝑏)±√∆]
(2𝑎)
，强制用括号
把分子和分母括起来，明确整体感
易错点 3 ∆< 𝟎时仍然强行代入求根公式计算
•
错例：对方程𝑥2 −3𝑥+ 3 =求解时，直接代入求根公式，得到𝑥=
−𝑏±√∆
2𝑎
=
3±√9−12
2
=
3±√−3
2
=
3±√3
2
•
错因：急于求成，缺乏“先判断后计算”的解题习惯
•
规避方法：规定做题第一步先找𝑎, 𝑏, 𝑐，第二步必须先计算∆，在没有得到∆的计算
结果之前，禁止碰触求根公式
易错点 4 结果约分不完全
•
错例：求出某一元二次方程的解为𝑥=
2±√8
4 ，直接写出该结果，不知可约分
•
错因：根式化简与分数约分的顺序混乱
•
规避方法：遵循“先化根，后约分”的原则：规定√∆必须开方到最简形式，先处
理分子中的同类项（以错例为例，可以先将分子处理为2 ± 2√2），提取公因数2后，再
与分母4约分。要注意：约分必须在根式化简之后进行。
易错点 5 ∆= 𝟎时只写一个𝒙的值（或忘记写两个相同的根）
•
错例：求解方程𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0时，得到∆= 0，代入求根公式后，求得方程的根
为𝑥= 2
•
错因：认为“一个解”就等于“写一个数”
•
规避方法：改变根本的认知，重根也是根。在求根公式中，±0实质上是两个相同
的值。因此在最后得出结论时，务必要规定标准的书写格式，即：𝑥1 = 𝑥2 = −
𝑏
2𝑎
题型一：公式法—解一元二次方程
方法技巧
公式法解方程的步骤：
①化为一般式，若系数中含有分数，最好可以先将其简化成整数；
②确定𝑎, 𝑏, 𝑐；
③代入“∆”先行判断方程解的情况；
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④若有解，则代入求根公式；若无解，直接写出结论。
1.用公式法解方程
2
1
2
x
x
−=
时，得
(
)
4
4
1
2
x
−
−
= □
，则“”处应填（ ）
A．1
B．1
−
C．2
D．2
−
【答案】C
【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定, ,
a b c 的值，再对照求根公式即
可得到方框内的数值．
【详解】解： ∵
2
1
2
x
x
−=
，
∴ 移项得
2
2
1
0
x
x
−
−=
，
此处
1
a = ，
2
b = −，
1
c
−
=
，
(
)
(
)
(
)
2
2
( 2)
4 1
1
2
4
4
1
2 1
2
x
−−
−
−−
−−
=
=
，
对比题干给出的式子，可知处应填2 ．
2.方程(
3)(
2)
1
x
x
−
+
= 的解为（ ）
A．
3
x =
B．
2
x = −
C．
1
2
3,
2
x
x
=
= −
D．以上结论都不对
【答案】D
【分析】先将原方程整理为标准一元二次方程，求解后判断选项，注意不要误将方程右边
当成0 直接求解．
【详解】解：∵原方程为(
)(
)
3
2
1
x
x
−
+
= ，
展开左边得
2
6
1
x
x
−
−
= ，
整理为标准形式得
2
7
0
x
x
−
−
=
，
计算判别式得
(
)
2
( 1)
4 1
7
29
0
= −
−−
=
，
由求根公式得方程的解为
1
29
2
x
=
，该解不等于3或2
−，
∴选项A，B，C 都错误，故选D．
3.一元二次方程
2
4
1
x
x
−
= 的实数根是（ ）
A．
1
2
0
x
x
=
=
B．
1
2
0
4
x
x
=
=
，
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C．
1
0
x =
，
2
1
4
x =
D．
1
2
1
17
1
17
8
8
x
x
+
−
=
=
，
【答案】D
【分析】先将原一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程求根公式求解即可．
【详解】解：
2
4
1
x
x
−
= ，
2
4
1
0
x
x
−
−=
4,
1,
1
a
b
c
=
= −
= −
，
判别式
(
)
(
)
2
2
4
1
4 4
1
1 16
17
0
b
ac
=
−
= −
−−
= +
=
，
∴代入求根公式
2
b
x
a
−
=
得
1
17
8
x
=
∴
1
2
1
17
1
17
8
8
x
x
+
−
=
=
，
，即选项D 符合题意．
4.下列一元二次方程的根可以根据
2
3
3
4 2 1
2 2
x
−
−
=
计算得出的是（ ）
A．
2
2
3
1
0
x
x
+
+ =
B．
2
2
3
1
0
x
x
+
−=
C．
2
3
2
0
x
x
+
−
=
D．
2
2
3
0
x
x
−
−
+
=
【答案】A
【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可．
【详解】解：根据求根公式可得
2
2
4
3
3
4
2 1
2
2
2
b
b
ac
x
a
−
−
−
−
=
=
，
可得
2,
3,
1
a
b
c
=
=
= ，
所以对应的一元二次方程为
2
2
3
1
0
x
x
+
+ =
．
5.用公式法解
2
3
1
x
x
−
+
= 时，先求出a 、b 、c 的值，则a 、b 、c 依次为（ ）
A．1
−，3，1
−
B．1，3
−，1
−
C．1
−，3
−，1
−
D．1，3
−，1
【答案】A
【分析】将原方程整理为一般形式
2
0
ax
bx
c
+
+
=
，找出对应的二次项系数a 、一次项系数
b 和常数项c 即可．
【详解】解：原方程为
2
3
1
x
x
−
+
= ，
移项整理为一般形式得
2
3
1
0
x
x
−
+
−=
，
可得二次项系数
1
a
−
=
，一次项系数
3
b =
，常数项
1
c
−
=
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6.某一元二次方程的根用求根公式表示为
(
)
(
)
(
)
2
2
2
4 3
1
2 3
x
−−
−
−−
=
，则该一元二次方
程为（ ）
A．
2
2
3
1
0
x
x
−
+
−=
B．
2
3
2
1
0
x
x
-
-
=
C．
2
2
3
1
0
x
x
−
+ =
D．
2
3
2
1
0
x
x
−
+ =
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
的
求根公式为
2
4
2
b
b
ac
x
a
−
−
=
，据此根据题意确定a
b
c
、、的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
3
2
1
a
b
c
=
= −
= −
，
，
，
∴该一元二次方程为
2
3
2
1
0
x
x
−
−=
，
故选：B．
7.用公式法解一元二次方程
2
4
2
0
x
x
−
+
=
时，
2
4
b
ac
−
的值为（）
A．8
B．12
C．16
D．24
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的计算，掌握一元二次方程根的判别式是解
题的关键．
直接用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵方程
2
4
2
0
x
x
−
+
=
为标准形式
2
0
ax
bx
c
+
+
=
，
∴
1,
4,
2
a
b
c
=
= −
=
，
∴
(
)
2
2
4
4
4 1 2
16
8
8
b
ac
−
= −
−
=
−
= ．
故选A．
8.用公式法解一元二次方程：
2
3
4 3
2
0
x
x
−
+
=
．
【答案】
1
2 3
6
3
x
+
=
，
2
2
6
3
3
x
−
=
【分析】根据公式法求解即可．
【详解】解：一元二次方程为
2
3
4 3
2
0
x
x
−
+
=
．
其中
3
a = ，
4 3
b = −
，
2
c =
，
则
(
)
2
4 3
4 3 2
24
0
= −
−
=
，
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∴
4 3
24
4 3
2 6
2 3
6
2 3
6
3
x
=
=
=
，
解得
1
2 3
6
3
x
+
=
，
2
2
6
3
3
x
−
=
．
9.解方程
(1)
(
)
(
)
3
1
2
1
x x
x
−
=
−
；
(2)
2
1
3
0
4
x
x
−
−
=
【答案】(1)
1
1
x = ，
2
2
3
x =
(2)
1
3
2
2
x
+
=
，
2
3
2
2
x
−
=
【详解】（1）解：
(
)
(
)
3
1
2
1
x x
x
−
=
−
(
)
(
)
0
3
1
2
1
x x
x
−
−
−
=
(
)(
)
1 3
2
0
x
x
−
−
=
1
0
x −= 或3
2
0
x −
=
∴
1
1
x = ，
2
2
3
x =
；
（2）解：
2
1
3
0
4
x
x
−
−
=
1
1,
3,
4
a
b
c
=
= −
= −
(
)
2
2
1
4
3
4 1
4
0
4
b
ac
−
= −
−−
=
3
2
2 1
x
=
∴
1
3
2
2
x
+
=
，
2
3
2
2
x
−
=
10.解方程：
2
2
6
1
0
x
x
+
−=
；
【答案】
1
3
11
2
x
−+
=
，
2
3
11
2
x
−−
=
【详解】解：
2
2
6
1
0
x
x
+
−=
2
a =
，
6
b =
，
1
c
−
=
，
(
)
2
6
4
2
1
44
0
=
−
−
=
，
∴
6
44
3
11
2 2
2
x
−
−
=
=
，
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解得
1
3
11
2
x
−+
=
，
2
3
11
2
x
−−
=
．
11.解方程：
(1)
2
2
1
25
x
x
−
+ =
(2)
2
5
5
0
x
x
−
−
=
【答案】(1)
1
6
x =
，
2
4
x = −
(2)
1
5
3 5
2
x
+
=
，
2
5
3 5
2
x
−
=
【分析】（1）由完全平方公式得(
)
2
1
25
x −
=
，再开方可得解；
（2）先确定
1,
5,
5
a
b
c
=
= −
= −，再求出
2
4
b
ac
−
，然后根据求根公式解答．
【详解】（1）解：
2
2
1
25
x
x
−
+ =
，
整理，得(
)
2
1
25
x
=
，
开方，得
1
5
x−= ，
∴
1
2
6,
4
x
x
=
= −；
（2）解：
2
5
5
0
x
x
−
−
=
，
1,
5,
5
a
b
c
=
= −
= −，
∴
2
2
4
( 5)
4 1 ( 5)
45
0
b
ac
−
= −
−−
=
，
∴
5
45
5
3 5
2 1
2
x
=
=
，
∴
1
2
5
3 5
5
3 5
,
2
2
x
x
+
−
=
=
．
12.用适当的方法解下列方程：
(1)
2
2
1
0
x
x
+
−=
；
(2)
2
(
3)
2
6
x
x
+
=
+ ．
【答案】(1)
1
1
2
x = −+
，
2
1
2
x = −−
；
(2)
1
1
x = −，
2
3
x = −．
【详解】（1）解：
2
2
1
0
x
x
+
−=
，
(
)
2
Δ
2
4 1
1
8
0
=
−−
=
，
∴
2
8
2
2 2
1
2
2 1
2
x
−
−
=
=
= −
，
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∴
1
1
2
x = −+
，
2
1
2
x = −−
；
（2）解：
2
(
3)
2
6
x
x
+
=
+
，
(
)
(
)
2
3
2
3
x
x
+
=
+
，
(
)
(
)
2
3
2
3
0
x
x
+
−
+
=
，
(
)(
)
3
3
2
0
x
x
+
+ −
=
，
∴
3 2
0
x+ −
=
或
3
0
x+ = ，
∴
1
1
x = −，
2
3
x = −．
题型二：根据判别式求方程的根的情况
方法技巧
对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，若要判断方程根的情况，可以用根的判
别式进行判断，即∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐；
（1）当∆> 0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当∆= 0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当∆< 0时，方程无实数根；
（4）当∆≥0时，方程有两个实数根。
1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．
2
1 0
x
x
+
−＝
B．
2
2 0
x
x
+
+ ＝
C．
2
2
0
x
x
−
＝
D．
2
2
1 0
x
x +
−
＝
【答案】B
【分析】利用根的判别式逐项判断即可．
【详解】解：A、
(
)
2
Δ
1
4 1
1
5
0
=
−−
=
，
该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、
2
Δ
1
4 1 2
7
0
=
−
= −
，
该方程没有实数根，符合题意；
C、
(
)
2
Δ
2
4 1 0
4
0
= −
−
=
，
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该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、
(
)
2
Δ
2
4 1 1
0
= −
−=
，
该方程有两个相等的实数根，不符合题意．
2.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．
2
4
0
x +
=
B．
2
4
4
0
x
x
−
+
=
C．
2
2
3
0
x
x
+
+
=
D．
2
2
3
0
x
x
+
−
=
【答案】D
【分析】计算方程的判别式，解答即可；
【详解】解：A．
2
4
0
x +
=
，在这里，
1,
0,
4
a
b
c
=
=
=
，得
2
0
4 1 4
16
0
=
−
= −
，方
程无实数根，不符合要求；
B．
2
4
4
0
x
x
−
+
=
，在这里，
1,
4,
4
a
b
c
=
= −
=
，得
(
)
2
Δ
4
4 1 4
0
= −
−
=
，方程有两个相
等的实数根，不符合要求；
C．
2
2
3
0
x
x
+
+
=
，在这里，
1,
2,
3
a
b
c
=
=
= ，得
2
2
4 1 3
8
0
=
−= −
，方程无实数根，
不符合要求；
D．
2
2
3
0
x
x
+
−
=
，在这里，
1,
2,
3
a
b
c
=
=
= −，得
(
)
2
Δ
2
4 1
3
16
0
=
−−
=
，方程有两个
不相等的实数根，符合要求；
3.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．
2
1
0
x −=
B．
2
2
2
0
x
x +
−
=
C．
2
2
0
x
x
−
=
D．
2
2
1
0
x
x
−
+ =
【答案】D
【分析】利用判别式
2
Δ
4
b
ac
=
−
的值判断根的情况，当Δ
0
=
时，一元二次方程有两个相
等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果．
【详解】解：A、
2
1
0
x −=
，
1,
0,
1
a
b
c
=
=
= −
，
(
)
2
Δ
0
4 1
1
4
0
=
−−
=
，方程有两个
不相等的实数根，不符合题意；
B、
2
2
2
0
x
x +
−
=
，
1,
2,
2
a
b
c
=
= −
=
，
2
( 2)
4 1 2
4
0
= −
−
= −
，方程没有实数根，
不符合题意；
C、
2
2
0
x
x
−
=
，
1,
2,
0
a
b
c
=
= −
=
，
2
Δ
( 2)
4 1 0
4
0
= −
−=
，方程有两个不相等的实
数根，不符合题意；
D、
2
2
1
0
x
x
−
+ =
，
1,
2,
1
a
b
c
=
= −
=
，
2
( 2)
4 1 1
0
= −
−=
，方程有两个相等的实数
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根，符合题意．
4.关于一元二次方程
2
1
2
2
0
2 x
x
−
−
+
=
的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，只需计算根的判别式的值与0 的大小关系即
可判断方程根的情况．
【详解】解：对于一元二次方程
2
1
2
2
0
2 x
x
−
−
+
=
可得
1
2
a = −
，
2
b = −，
2
c =
，
(
)
2
2
1
4
2
4
2
4
4
8
0
2
b
ac
=
−
= −
−−
=
+
=
，
∴ 方程有两个不相等的实数根
5.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．
2
4
4
0
x
x
−
+
=
B．
2
2
3
0
x
x
−
−
=
C．
2
3
6
0
x
x
−
+
=
D．
2
6
9
0
x
x
−
+
=
【答案】B
【分析】对于一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
，当
2
Δ
4
0
b
ac
=
−
时，方程有两个不
相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可判断．
【详解】解：A 选项：对于方程
2
4
4
0
x
x
−
+
=
，
2
( 4)
4 1 4
16 16
0
= −
−
=
−
=
， 方
程有两个相等的实数根，不符合要求；
B 选项：对于方程
2
2
3
0
x
x
−
−
=
，
(
)
2
( 2)
4 1
3
4 12
16
0
= −
−−
=
+
=
， 方程有两
个不相等的实数根，符合要求；
C 选项：对于方程
2
3
6
0
x
x
−
+
=
，
2
( 3)
4 1 6
9
24
15
0
= −
−=
−
= −
， 方程没有实数
根，不符合要求；
D 选项：对于方程
2
6
9
0
x
x
−
+
=
，
2
( 6)
4 1 9
36 36
0
= −
−=
−
=
， 方程有两个相等
的实数根，不符合要求．
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题型三：根据方程的根的情况求参数取值范围
方法技巧
利用一元二次方程的根的情况求参数取值范围：
①先将方程整理为一般式；
②当所求的参数位于一次项系数或常数项中时：
ⅰ).确定𝑎, 𝑏, 𝑐的值；
ⅱ).代入根的判别式∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐;
ⅲ).若方程有两个不相等的实数根⇒∆> 0，进而得到关于参数的不等式，求解即可；
若方程有两个相等的实数根⇒∆= 0，进而得到关于参数的等式，求解即可；
若方程无实数根⇒∆< 0，进而得到关于参数的不等式，求解即可；
若方程有两个实数根⇒∆≥0，进而得到关于参数的不等式，求解即可；
③当所求的参数位于二次项系数中时：
ⅰ).确定𝑎, 𝑏, 𝑐的值；
ⅱ).代入根的判别式∆= 𝑏2 −4𝑎𝑐;
ⅲ).若方程有两个不相等的实数根⇒∆> 0且𝑎≠0，求该不等式组即可；
若方程有两个相等的实数根⇒∆= 0 且𝑎≠0，求解即可；
若方程无实数根⇒∆< 0 且𝑎≠0，求该不等式组即可；
若方程有两个实数根⇒∆≥0 且𝑎≠0，求该不等式组即可。
需要额外注意：重点观察题干中对于“方程”的描述，若题干中表述的是“关于𝑥的一元
二次方程……”，则可以按照上述步骤解答；但若题干中表述的是“关于𝑥的方程有实数
根”，则需要对方程中的二次项系数进行分类讨论：①当该方程的二次项系数𝑎=
0，即该方程为一元一次方程时，……；②当该方程的二次项系数𝑎≠0，即该方程为
一元二次方程时，……。
1.关于x 的一元二次方程
2
6
0
x
x
m
+
+
=
有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）
A．
9
m
B．
9
m
C．
9
m =
D．
6
m
【答案】B
【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式
2
Δ
4
0
b
ac
=
−
，据此列不等
式求解参数范围即可．
【详解】解：∵ 一元二次方程
2
6
0
x
x
m
+
+
=
有两个不相等的实数根，
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∴
2
2
Δ
4
6
4 1
0
b
ac
m
=
−
=
−
，
化简得36
4
0
m
−
，
解得
9
m
．
2.若关于x 的一元二次方程(
)(
)
1
0
x
x
m
−
+
=
有两个相等的实数根，则m 的值为（ ）
A．1
−
B．1
C．2
−
D．2
【答案】A
【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据方程有两个相等实数根得判
别式的值为0，解方程即可求出m 的值.
【详解】解：(
)(
)
1
0
x
x
m
−
+
=
展开得
(
)
2
1
0
x
m
x
m
+
−
−
=
，
∵一元二次方程(
)(
)
1
0
x
x
m
−
+
=
有两个相等的实数根，
∴
(
)
(
)
2
Δ
1
4 1
0
m
m
=
−
−−
=
，
解得
1
m = −.
3.关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
x
m
+
+
=
有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是
（ ）
A．
9
4
m
B．
9
4
m
C．
9
4
m
D．
9
4
m −
【答案】C
【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式
2
Δ
4
0
b
ac
=
−
，据此计
算即可求出m 的取值范围．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
x
m
+
+
=
有两个不相等的实数根，
其中
1
a = ，
3
b =
，c
m
=
，
∴
2
2
4
3
4 1
0
b
ac
m
=
−
=
−
，
化简得9 4
0
m
−
，
解得
9
4
m
．
4.已知关于x 的方程
2
2
3
0
x
x
k
−
−
=
有实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．
1
3
k −
B．
1
3
k −
C．
1
3
k −
D．
1
3
k −
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可．
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【详解】解：关于x 的方程
2
2
3
0
x
x
k
−
−
=
有实数根，
(
)
(
)
2
2
4 1
3
4
12
0
k
k
= −
−−
=
+
，
解得
1
3
k −
．
5.已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
1
1
0
4 x
m
x
m
−
+
+
=
有两个相等的实数根，则m 的值是
（ ）
A．1
2
B．1
4
C．
1
2
−
D．2
【答案】A
【详解】解：根据题意，得
(
)
2
2
2
1
Δ
4
1
4
2
1
4
b
ac
m
m
m
−
−
=
−
=
−
=
+ ，
∵关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
1
1
0
4 x
m
x
m
−
+
+
=
有两个相等的实数根，
∴2
1
0
m
−
+ =
，
解得
1
2
m =
，
故选：A．
6.若关于x 的方程
2
2
1
0
kx
x
−
+ =
有两个不相等的实数根，则k 的取值可能是（ ）
A．1
−
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【分析】由方程有两个不相等的实数根，说明方程是一元二次方程，二次项系数不为
0
k
，且判别式
0
，据此求出k 的取值范围，再判断选项即可．
【详解】解：∵关于x 的方程
2
2
1
0
kx
x
−
+ =
有两个不相等的实数根，
∴该方程为一元二次方程，即
0
k
，且判别式
0
，
则
(
)
2
2
4
1
4
4
0
k
k
= −
−=
−
，解得
1
k ，
∴k 的取值范围是
1
k ，且
0
k
，
观察四个选项中只有1
−符合该范围．
7.关于x 的一元二次方程(
)
2
2
1
0
m
x
x
−
−
+ =
有实数根，则m 的取值范围为（ ）
A．
9
4
m
且
2
m
B．
9
4
m
C．
2
m
D．
9
4
m
且
2
m
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方根的判别式，解不等式，一元二次方程的定义等内
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容，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．
根据根的情况和一元二次方程的定义，列出不等式，然后进行求解即可．
【详解】解：根据题意得，
(
)
(
)
2
1
4
2
0
m
= −
−
−
，
解得
9
4
m
，
当
2
0
m−
=
，即
2
m =
时，不符合题意，
∴
2
m
，
综上，
9
4
m
且
2
m
，
故选：D．
8.关于x 的一元二次方程
2
4
1
0
kx
x
−
−=
有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．
4
k
B．
4
k −
C．
4
k
且
0
k
D．
4
k −且
0
k
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式，根据题意可得，
16
4
0
k
+
，
0
k
，再求解即可．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
4
1
0
kx
x
−
−=
有两个不相等的实数根，
∴
0
，即16
4
0
k
+
且
0
k
，
∴
4
k −且
0
k
，
故选：D．
9.若关于x 的一元二次方程(
)
2
2
1
1
0
a
x
x
a
−
+
−
+ =
有一个根为0，则a 的值等于（ ）
A．1
−或0
B．0
C．1
−
D．1 或1
−
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．解题时一定要注意
一元二次方程的二次项系数不等于零．把
0
x =
代入已知方程列出关于a 的方程，解方程求
得a 的值，再由
1
0
a−
即可确定a 的值．
【详解】把
0
x =
代入，得
2
1
0
a
−
+ =
解得
1
a = ．
又∵
1
0
a−
．即
1
a ，
∴
1
a = −．
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故选：C．
10.关于x 的一元二次方程(
)
2
5
2
2
0
m
x
x
−
+
+
=
有实数根，则m 的最大整数值是（ ）
A．5
B．6
C．3
D．4
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答的关
键．根据题意，由
0
且
5
0
m −
求得m 的取值范围，进而可得结果．
【详解】解：∵一元二次方程(
)
2
5
2
2
0
m
x
x
−
+
+
=
有实数根，
∴
(
)
2
2
4
5
2
0
m
=
−
−
且
5
0
m −
，
解得
5.5
m
且
5
m
，
∴m 的最大整数值是4，
故选：D．
11.如果关于x 的方程
(
)
2
2
2
1
1
0
k x
k
x
−
+
+ =
有实数根，那么k 的取值范围是（ ）
A．
1
4
k −
B．
1
0
4 且
−
k
k
C．
1
4
k
−
D．
1
4
k −
且
0
k
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别
式．熟练掌握一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式是解
题的关键．
由题意知，分方程是一元一次方程， 一元二次方程两种情况求解作答即可．
【详解】解：当方程
2
2
2
1)
1
0
k x
k
x
−
+
+ =
（
是一元一次方程，且有实数根时，
0
k =
，
∴
1
0
x
−+ =
，
解得，
1
x = ；
当方程
2
2
2
1)
1
0
k x
k
x
−
+
+ =
（
是一元二次方程时，且有实数根时，
∴
2
0
k
，
(
)
2
2
2
1
4
0
k
k
= −
+
−
，
解得，
1
4
k −
且
0
k
；
综上所述，
1
4
k −
；
故选：A．
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12.已知关于x 的一元二次方程
(
)
(
)
2
4
1
4
1
0
ax
a
x
a
−
+
+
−
= 有两个实数根，求a 的取值范围．
【答案】
1
12
a −
且
0
a
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到
0
a
且
0
，求解即可．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
(
)
(
)
2
4
1
4
1
0
ax
a
x
a−
−
+
+
=
有两个实数根，
∴
0
a
，且
(
)
(
)
2
Δ
4
1
4
4
1
0
a
a
a−
= −
+
−
，
即
0
a
，且12
1
0
a+
，
∴
1
12
a −
且
0
a
．
13.已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
1
0
x
m
x
m
+
−
+
=
有两个不相等的实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)任取一个符合条件的m 的值，并求此一元二次方程的解．
【答案】(1)
1
4
m
(2)当
0
m =
时，
1
0
x =
，
2
1
x =
【分析】（1）根据条件得出
0
，即4
1
0
m
−
+
，即可得出结论；
（2）任取一个符合条件的m 的值，并代入计算即可；
【详解】（1）解：∵
1
a = ，
2
1
b
m
=
−，
2
c
m
=
∴
2
4
b
ac
=
−
(
)
2
2
2
1
4 1
m
m
=
−
−
4
1
m
= −
+ ，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴
0
，即4
1
0
m
−
+
，
∴
1
4
m
；
（2）解：由（1）可知
1
4
m
∴当
0
m =
时，一元二次方程为
2
0
x
x
−
=
，
解得
1
0
x =
，
2
1
x =
14.已知关于x 的一元二次方程
2
6
0
x
x
m
−
+
= ．
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(1)讨论该一元二次方程实数根的情况；
(2)若等腰三角形的两条边,a b 是方程
2
6
0
x
x
m
−
+
= 的两根，边c 是方程
2
25
0
x −
=
的一个
根，求m 的值．
【答案】(1)当
9
m
时，方程有两个不相等的实数根；当
9
m =
时，方程有两个相等的实数
根；当
9
m
时，方程没有实数根
(2)m 的值为5 或9
【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义；
（1）求出根的判别式，通过判别式与0 的大小关系分类讨论方程实数根的情况；
（2）先解方程求出c 的值，再分等腰三角形的两腰为方程相等的根、腰长为5 两种情况，
结合三角形三边关系确定m 的取值．
【详解】（1）解：对于一元二次方程
2
6
0
x
x
m
−
+
= ，其中
1
a = ，
6
b = −，c
m
=
，
计算判别式
(
)
2
2
4
6
4 1
36
4
b
ac
m
m
=
−
= −
−
=
−
，
当36
4
0
m
−
，即
9
m
时，方程有两个不相等的实数根；
当36 4
0
m
-
= ，即
9
m =
时，方程有两个相等的实数根；
当36
4
0
m
−
，即
9
m
时，方程没有实数根；
（2）解方程
2
25
0
x −
=
得：
5
x = ，
因为c 是三角形的边长，
所以
5
c =
，
情况一：若a
b
=
，则方程
2
6
0
x
x
m
−
+
= 有两个相等的实数根，
所以
36
4
0
m
=
−
=
，
解得
9
m =
，
将
9
m =
代入方程得
2
6
9
0
x
x
−
+
=
，
解得：
1
2
3
x
x
=
= ，
因为3 3
5
+ ，满足三角形三边关系，
所以此情况成立；
情况二：若
5
a =
或
5
b =
，即
5
x = 是方程
2
6
0
x
x
m
−
+
= 的根，
将
5
x = 代入方程得25 30
0
m
−
+
=
，
解得
5
m =
，
将
5
m =
代入方程得
2
6
5
0
x
x
−
+
=
，
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解得：
1
1
x = ，
2
5
x =
，
因为1 5
5
+
，满足三角形三边关系，
所以此情况成立；
综上，m 的值为5 或9．
