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21.1—21.2 一元二次方程 解一元二次方程一元二次方程
一、一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数
的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。需要注意的是，一元二次方程只含
有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程。
二、一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0（a≠0）。其中，ax^2是二次项，a是二次项系
数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。在判断一个方程是否为一元二次方程时，
需要特别注意二次项系数a不能为0。
三、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的
解，也叫做一元二次方程的根。这是解方程过程中验根的依据。
在学习一元二次方程时，还需要掌握如何根据实际问题列出一元二次方程，以及如何通过
观察和化简，将方程转化为一般形式，并正确识别出二次项、一次项和常数项以及它们的
系数。
解一元二次方程
一、直接开平方法
利用平方根的定义，通过直接开平方求一元二次方程的解。例如，对于方程x²=p：
当p>0时，方程有两个不等的实数根；
当p=0时，方程有两个相等的实数根x =x =0；
1 2
当p<0时，方程没有实数根。
二、配方法
配方是为了把方程变成左边是平方，右边是数的形式，即(x+n)²=p。用配方法解一元二次方
程的一般步骤包括：
化1：把二次项系数化为1；
移项：把与未知数有关的项放在等式左边，其他项放在等式右边；
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程变为(x+n)²=p；
直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
三、公式法
利用公式法解一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一般步骤包括：
利用一元二次方程整理成一般形式；
确定公式中a，b，c的值；
求出b²-4ac的值；
当b²-4ac≥0时，将a，b，c的值及b²-4ac的值代入求根公式即可；当b²-4ac<0时，方程无实数根。
四、因式分解法
将一元二次方程先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这两个一
次式分别等于0，从而实现降次。因式分解法包括提取公因式法等方法。
巩固课内例1:一元二次方程的一般形式
1．已知一元二次方程 的二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3、5 B． 、5 C．3、 D． 、
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式： ，其中 叫做二次
项，a为二次项系数； 叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解
题的关键．先将原方程化为一般形式，再求解即可．
【详解】解：将 化为一般式为 ，
∴一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ，
故选：D．
2．把一元二次方程： ，化成一般式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式为：
，经过移项、整理后将一元二次方程化成一般式即可．
【详解】解： ，
移项，得 ，
整理后，得 ，
即把一元二次方程 化成一般式是： ，故答案为： ．
3．当 为什么数时，关于 的方程 是一元二次方程？写出它的二
次项系数，一次项系数和常数项．
【答案】当 时，关于 的方程 是一元二次方程，它的二次项
系数、一次项系数和常数项分别是 ， ，
【分析】先把方程化成一般形式，再根据一元二次方程的定义得出当 时，方程是
一元二次方程，再求出答案即可．
【详解】解： ，
，
关于 的方程 是一元二次方程，
，
即当 时，关于 的方程 是一元二次方程，它的二次项系数、
一次项系数和常数项分别是 ， ， ．
巩固课内例2:解下列方程——配方法
1．用配方法解方程 时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了配方法，将方程通过配方法变形，转化为完全平方形式即可．
【详解】解：原方程： ．
移常数项：将 移到右边，得 ．
配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方得：
化简：左边写成完全平方形式，右边合并常数，得：
因此，原方程变形为 ．
故选：C2．将一元二次方程 化成 的形式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键．直接根据配方法
的步骤解题即可．
【详解】解：∵ ，
∴
∴ ，
故答案为 ．
3．用配方法解方程：
(1) ．
(2) ；
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次
方程的方法是解题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可．
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
或
， ．
∴（2）解： ，
，
配方得 ，
∴
∴
，
∴
， ．
∴
巩固课内例3:解下列方程——公式法
1．若 可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式 得出 ，
， ，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键．
【详解】解：∵ 可以表示某个一元二次方程的根，∴ ， ， ，
∴这个一元二次方程为 ，
故选：D．
2．小明用公式法解方程 ，请帮他填空第一步，解： ， ，
．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步
骤是解决问题的关键．
根据求根公式中 的意义求解．
【详解】解： ．
故答案为： ．
3．解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查解一元二次方程，方程整理后运用公式法求解即可．
【详解】解：原方程可化为 ．
， ， ，
，
，
， ，
巩固课内例4:解下列方程——因式分解法
1．一元二次方程 的解为（ ）
A． B．
C． ， D． ，【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，将方程整理为标准形式后，通过因式分解法求解即
可．
【详解】解∶原方程变形为
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故选∶C．
2．方程 的解为
【答案】2或3
【分析】本题主要考查了利用因式分解解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解
解一元二次方程的步骤．
先对方程进行因式分解，再求方程的解即可．
【详解】解：
∴ ，
故答案为：2或3．
3．解方程： ．
【答案】 ，
【分析】此题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解答此题的关键．
通过移项、提公因式，先将原方程化为 ，再运用因式分解法解此方
程即可得出结果．
【详解】解： ，
原方程可化为： ，分解因式，得 ，
则 或 ，
解得 ， ．
巩固课内例5:根与系数关系求和与积
1．若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则它的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，已知方程的一个根为 ，利用根的
和等于 即可求出另一个根即可.
【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得： ，
∴另一个根为： ；
故选 C．
2．若一元二次方程 的两个根是 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系，直接根据根与系数的关系 求解．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个根是 ，
∴ ，
故答案为： ．
3．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根．
【答案】(1) ；
(2)m的值为1， 另一根为3
【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程．（1）由方程有两个实数根结合根的判别式 ，即可得出关于m的一元一次不等式，解
之即可得出m的取值范围；
（2 ）设 为方程 的另一个根，根据根与系数的关系可得出
， ，解方程组即可得出结论．
【详解】（1）解：∵关于x的方程 总有两个实数根，
∴ ，
解得： ；
（2）解：设 为方程 的另一个根，
∴ ， ．
解得： ， ，
∴m的值为1，另一个根为3．
类型一、一元二次方程的定义
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题关键是熟悉一元二次方程的定义．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元
二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数
是2；（3）是整式方程，按照定义逐一分析即可．
【详解】解：A、 中含有两个未知数，是二元一次方程，则A不符合题意，
B、 不是整式方程，则B不符合题意，
C、 符合一元二次方程的定义，则C符合题意，
D、 中，未知数的次数是1，是一元一次方程，则D不符合题意．
故选：C．
2．若关于x的方程 是一元二次方程，则m= ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：
（a，b，c是常数且 ），特别要注意 的条件．根据题意列出关于
m的等式求解即可．
【详解】解：根据题意可知
解得 ．
故答案为： ．
3．当 为何值时，方程
(1)是关于 的一元一次方程．
(2)是关于 的一元二次方程．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未
知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项
的最高次数为1的整式方程是一元一次方程．（1）根据题意得到 ， 或 ，进而求解即可；
（2）根据题意得到 ， ，进而求解即可；
【详解】（1）解：根据题意得， ， 或 ，
∴ 或 ；
（2）解：根据题意得， ，
∴ ，
∴ ．
类型二、解下列方程——直接开平方法
1．方程 的正根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用直接开平方法解答即可求解，掌握
解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】移项得，
∴ ，
∴方程 的正根为 ，
故选： ．
2．方程 的解为 ．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后直接开平方，求出方程的解即可．
【详解】解： ，
移项得： ，
开平方得： ，
∴ ， ．故答案为： ， ．
3．用直接开方法解方程．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ；
(4) ， ．
【分析】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，方程变形后利用平方根定义开方转化
为两个一元一次方程来求解即可．
【详解】（1）解： ，
开方得： 或 ，
解得： ， ；
（2）解： ，
方程变形得： ，
开方得： ， ；
（3）解： ，
方程变形为： ，
方程开方得： ，解得： ；
（4）解： ，
方程变形得： ，
开方得： ，
解得： ， ．
类型三、一元二次方程根的情况
1．若点 在第四象限，则关于 的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法判定
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式 与根的关系，
坐标平面内点的坐标特征，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．先利用第
二象限点的坐标特征得到 ，则判断 ，然后根据判别式的意义判断方程根
的情况．
【详解】解：∵点 在第四象限，
∴ ，
∴方程 的判别式 ，
∴方程 有两个不相等的实数根．
故选：B．
2．一元二次方程 根的情况是 ．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程没有实数根．据此即可求解．求出 的值，再判断符号即可．
【详解】解：一元二次方程 ， ，
∴
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
3．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为 ，且 为正数，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间
的关系是解题的关键：
（1）求出判别式的符号，进行判断即可；
（2）把 代入方程，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）把 代入 ，得： ，
解得： 或 ；
∵ 为正数，
∴ ．
类型四、解下列方程——换元法
1．已知方程 的解是 ， ， 则方程的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，通过变量替换法，将新方程转化为已知解的方
程形式，再解出对应的x值即可．
【详解】解：设 ，则原方程 可转化为 ，
∵方程 的解是 ， ，
∴方程 的解为 ， ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
因此，方程的解为 ， ，
故选：C．
2．若实数x，y满足 ，则 的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握整体代换思想是解题关键．将 看成一
个整体，令 ，转换成一个关于 的一元二次方程，利用因式分解法求出 的值，
再结合平方的非负性，即可得到答案．
【详解】解：令 ，
，
∴，
，
或 ，
或 （舍去），
∴ ．
故答案为：4．
3．请运用“整体换元法”解方程：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是
利用整体换元法解方程的关键．
（1）根据“整体换元法” 设 ，则原方程可化为： ，解新的一元二次
方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解．
（2）根据“整体换元法” 设 ，则原方程可化为： ，解新的一元
二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解．
【详解】（1）解：设 ，
则原方程可化为 ，解得 ．
当 时， ；
当 时， ，此方程无解．
综上所述，原方程的解为 ．
（2）解：设 ，则原方程可化为 ，解得 ．
当 时， ；
当 时， ．
综上所述，原方程的解为 ．
类型五、解下列方程—十字相乘法
1．若菱形两条对角线的长度是方程 的两根，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，先求出方程的解，即可得出 ，
，根据菱形的性质，利用勾股定理求出边长即可．
【详解】解： ，
，
或 ，
解得 ， ，
∵菱形两条对角线的长度是方程 的两根，
∴菱形两条对角线的长度为 ， ，
∴菱形的边长 ．
故选：A．
2．方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把 看做一个整体，把方程左边因式分解得到，则可推出 ，据此求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
3．解方程：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边
通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就
能得到两个一元一次方程的解．
（1）利用因式分解法解方程．
（2）先把方程变形得到 ，然后利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解： ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得： ， ．（2）解：
移项得： ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得： ， ．
类型一、一元二次方程的根求参
1．若关于 的方程 没有实数根，则 的值可能为（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，当判别式
小于0时，方程无实数根，计算判别式并建立不等式求解m的范围，再结合选项判断，即
可作答．
【详解】解：∵关于 的方程 没有实数根，
∴
∴ ，
故选：D
2．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据方程的系数结合根的判别式
，可得出 ，解之即可得出 的值．【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
，
解得： ，
故答案为： ．
3．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若 是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答
本题的关键．
（1）根据方程 有两个不相等实数根，可知 ，然后即可求得 的取
值范围；
（2）将 代入题目中的方程，可以求得 的值，然后即可求出方程的根，从而可以得
到方程的另一个根．
【详解】（1）解： 方程 有两个不相等实数根，
，
解得 ；
（2）解： 是方程 的一个根，
，
解得 ，
方程为 ，
解得 ， ，方程的另一个根是 ．
类型二、一元二次方程变形求值
1．若方程 中，a，b，c满足 和 ，则方程的根
是（ ）
A．1，0 B． ，0 C．1， D．2，
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键
根据当 时， ；当 时， 作答即可
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ；当 时， ；
∴方程的根是 或 ，
故选：C
2．若 是一元二次方程 一个解，则代数式 的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的加减法、分式的化简求值等知识点，理解
一元二次方程的解的定义是解题的关键．
根据已知易得 即 ，则 ，然
后代入式子中计算即可．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 一个解，
∴ ，即 ，
∴
∴ ．
故答案为：2．
3．阅读下列材料：
方程 两边同时除以 ，得 ，即 ．因为，所以 ．
根据以上材料解答下列问题：
(1)已知方程 ，则 _____； _____．
(2)若m是方程 的根，求 的值．
【答案】(1)4，18
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值：
（1）仿照题意求解即可；
（2）根据一元二次方程解的定义得到 ，进而得到 ，再仿照题意
求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4；18；
（2）解：∵m是方程 的根，
∴ ，
∴ （ 时不满足原方程），∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
类型三、一元二次方程与三角形结合
1．已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程 的根，则该三角
形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定
理判断出三角形的形状是解题的关键．先求出方程 的解，结合 第三边
，得到第三边的边长，再根据勾股定理的逆定理即可得出结论．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
一个三角形两边的长是3和5，
第三边 ，
∴三角形的第三边为 ，
，
该三角形的形状是直角三角形．
故选：C．
2．已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程 的一个实
数根，则该三角形的周长是 ．【答案】10或12
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，三角形周长计算，先根据
三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的长的取值范围，
再解方程求出第三边的长，最后根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵三角形两边的长分别是4和3，
∴ 第三边的长 ，
解方程 得 或 ，
∴第三边的长为3或5，
∴该三角形的周长为 或 ，
故答案为：10或12．
3．已知三角形 的一边 ，另两边长 恰好是关于 的方程 的
两个根，且 ．求 的周长．
【答案】7
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与
系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系可得 ， ，
从而可得 ，则 ，再根据三角形的周长公式求解即可得．
【详解】解：∵ 的两边长 恰好是关于 的方程 的两个根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵三角形 的一边 ，
∴ 的周长为 ．
类型四、一元二次方程与四边形结合
1．已知菱形 的边长是一元二次方程 的一个根，且两条对角线长的和
为 ，则菱形 的边长为（ ）
A． B． C． D． 或【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，三角形的三边关系，能熟记菱形的性
质和解一元二次方程是解此题的关键．先根据菱形的性质得出 ，
求出方程的解，利用三角形的三边关系确定解即可．
【详解】解：如图，
由题意得 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
解 ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
2．已知菱形 边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程
的两根，则这个一元二次方程为 ．
【答案】
【分析】先根据菱形的性质，设出对角线长，利用菱形面积公式和勾股定理得到关于对角
线长的两个等式，再结合根与系数的关系确定一元二次方程．
【详解】解：设菱形 的两条对角线长分别为 ， ．
∵菱形面积等于对角线乘积的一半，且面积为
，即
∴又∵菱形对角线互相垂直平分，边长为 ，根据勾股定理， ，化简得
由完全平方公式 ，把 ， 代入，可得
，
∴ （因为对角线长为正，舍去负根）
， 是一元二次方程 的两根，根据韦达定理，两根之和 ，两根
∵
之积
，即 ；
∴∴这个一元二次方程为
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、完全平方公式以及根与系数的关系，熟
练掌握菱形性质和根与系数的关系是解题的关键．
3．已知 的两邻边 的长是关于 的方程 的两个实数根．
(1)若 的长为2，求 的值；
(2)当 为何值时， 是菱形？
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根的判别式；熟练根据一元二次方程根的
情况列出对应的等式是解题的关键．
（1）将 代入方程即可解出 的值；
（2）先根据菱形的性质得到 ，然后利用一元二次方程根的判别式列等式求解即
可．
【详解】（1））解：当 时，
将 代入方程 得：解得： ；
（2）∵ 是菱形，
∴关于 方程 有两个相等的实数根，
解得： ，
故当 时， 是菱形．
类型一、降次法
1．将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的
一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法
称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：
，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得 ，代入 即可得出答案．
【详解】∵ ，
∴ ， ，
∴
==
=
=
= ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴原式= ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降
为一次．
2．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程 ，它的实数
解是 ．
【答案】 或 / 或
【分析】本题考查的是利用“降次”的思想解高次方程，一元二次方程的解法，把方程化
为 ，再进一步解方程即可．
【详解】解： ，
，
或 ，
当 ，
．
当 ，此时方程无解；
故答案为： 或 ．
3．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解： ．
二次项系数化为1，得 ．第一步
移项，得 ．第二步
配方，得 ，即 ．第三步
由此，可得 ．第四步
所以 ．第五步
完成下列任务：
(1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此
过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数
学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）；
(2)“第二步”变形的数学依据是_____；
(3)小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误．
(4)用配方法完整解方程
【答案】(1)降次；完全平方公式
(2)等式的基本性质
(3)三
(4) ，
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
（1）根据降次思想，完全平方公式解答；
（2）根据移项的依据是等式的性质解答；
（3）由完全平方公式判断即可解答；
（4）用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一
元一次方程，此过程所体现的数学思想是降次，其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式；
故答案为：降次，完全平方公式；
（2）解：“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）
同一个整式，所得结果仍是等式）；
故答案为：等式的基本性质；
（3）解：小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误，
故答案为：三；
（4）解：二次项系数化为1，得 ．
移项，得 ．
配方，得 ，即 ．
由此，可得 ．
所以 ， ．
类型二、一元二次方程整体带入
1．关于 的方程 的根是 ， （a，m，b，c均为常数，
），则关于 的方程 的根是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把所求方程中的 看做一个整体，根据已
知方程的解可得 或 ，据此求解即可．
【详解】解：∵关于 的方程 的根是 ， ，
∴关于 的方程 的根满足 或 ，解得 或
，故选；A．
2．关于 的方程 的解是 ， ，（ ， ， 均为常数， ），
则方程 的解是 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程 换元法，利用关于 的方程 的解是
， 得到 或 ，从而得到方程 的解．
【详解】解：把方程 看作关于 的一元二次方程，
关于 的方程 的解是 ， ，
或 ，
， ，
方程 的解为 和 ．
故答案为： ， ．
3．阅读材料：已知实数m、n满足 ，试求 的值．
解：设 ，则原方程变为 ，
整理得 ，即 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)已知x、y满足 ，求 的值；
(2)已知a、b满足 ，求 的值．
【答案】(1)18(2) 或1
【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算-化简求值，掌握换元法解
一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
（1）设 ，则原方程可变为 ，解方程即可得到结论；
（2）设 ，则原方程可变为 ，列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：设 ，
则原方程可变为 ，
解得： ，
，
，
．
（2）解：设 ，
则原方程可变为 ，
即 ，
解得： ，
或1，
或1．
类型三、配方法的应用
1．若关于 的一元二次方程： 与 ，称为“同族二次方
程”．如 与 是“同族二次方程”．现有关于 的一元二次方
程： 与 是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2018 B．2020 C．2025 D．2030
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的应用、配方法的应用，正确求得a、b值是解答的关键．
根据“同族二次方程”的定义，第二个方程可表示为 ，展开后与题目给出
的方程比较系数，求出 和 的值，再利用配方法求代数式的最小值．
【详解】解：由题意，方程 可表示为 ，展开得：
，
则 ， ， ，
解得 ， ， ，
∴
，
∵ ，
∴当 时，代数式 取得最小值 ，
故选：B．
2．当 时，代数式 的值最小．
【答案】
【分析】本题考查的是代数式的最小值问题，利用配方法及平方的非负性是解答的关键.
对代数式进行配方，利用平方的非负性解答.
【详解】解：
∵∴
∴当 时，原式有最小值
即当 时，代数式 取得最小值.
故答案为：
3．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分
通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的
变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成 （ 为整数）的形式，则称这个数为“美丽数”．例
如，5是“美丽数”，理由：因为 ，所以5是“美丽数”．
解决问题：
(1)已知53是“美丽数”，请将它写成 （ 为整数）的形式．
(2)若 可配方成 （ ， 为常数），求 的值；
(3)已知 （ 是整数， 是常数），要使 为“美丽数”，试求
出 的值．
【答案】(1)
(2)8
(3)13
【分析】本题考查配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据“美丽数”的定义即可求解；
（2）先通过配方求出m和n的值，再求 的值；
（3）通过配方将 变形为 ，再根据
“美丽数”的定义即可求解．
【详解】（1）解： ，
故（2）解： ，
， ，
，
（3）解：
，
为“美丽数”，
，
．
类型四、黄金分割数
1．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全
部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的
高为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像下部高 米，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设雕像的下部高为x m，则上部长为（2﹣x）m，然后根据题意列出方程即可．
【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2﹣x）m，
由题意得： ，
即 ，
整理得：
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出方程．
2．科学研究表明，当雕塑的上部与下部的高度比，等于下部与全部的高度比时，雕塑看起
来最美，我们把这个比叫做黄金分割数，如何求黄金分割数．把上面问题一般化，如图，线段 的长为1，线段 上的点C满足关系式 ，则线段 的长度为
．（用含有根号的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查解一元二次方程，根据 ，结合线段 的长为1，
，进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；
故答案为： ．
3．关于 的一元二次方程 ，当 时，该方程的正根称为黄金分割数．宽
与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形．
(1)求黄金分割数；
(2)如图，在正方形 中， 是边 的中点，以 为圆心，线段 长为半径作弧，
交 的延长线于点 ，作矩形 ，试说明矩形 是黄金矩形．
【答案】(1) ；
(2)见解析【分析】（ ）依据题意，将 代入然后解一元二次方程 即可得解；
（ ）设正方形 的边长为 ，则 ，由中点及勾股定理得
，从而求得 ，即可证明结论成立；
【详解】（1）解：将 代入 得 ，
， ，
∴
解得 ，
∵黄金分割数大于 ，
∴黄金分割数为 ．
（2）证明：设正方形 的边长为 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ 是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴矩形 是黄金矩形．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，矩形，勾股定理，正方形的性质，中点定义．
解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程
的特点灵活选用合适的方法．熟练掌握正方形的性质及勾股定理是解题的关键．
