25.2.4一元二次方程方程的根与系数的关系（分层作业）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十五章一元二次方程_题型专练

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分层作业
25.2.4 一元二次方程方程的根与系数的关系
目录
A 组巩固过关
题型01 一元二次方程根与系数关系的基础应用
题型02 利用一元二次方程根与系数关系求值
题型03 利用一元二次方程根与系数关系求值
题型04 利用一元二次方程根与系数关系构造方程
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
一元二次方程根与系数关系的基础应用
1．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程
2
2
1
0
x
x


的两根为
1x 、
2x ，则
1
2
x
x

的值是（
）
A．2
B．2

C．1
D．1

【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系
1
2
b
x
x
a


，即可求解．
【详解】解：一元二次方程
2
2
1
0
x
x


的两根为
1x 、
2x ，则
1
2
2
2
1
x
x




．
2．
（25-26 八年级下·江苏宿迁·期末）若
1
2
,
x x 是方程
2
2
5
0
x
x



的两个根，则
1
1
2
2
2
2
x
x x
x


的值为（
）
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A．9

B．1

C．1
D．0
【答案】C
【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可．
【详解】解：∵
1x ，
2x 是方程
2
2
5
0
x
x



的两个根，
∴
1
2
2
x
x



，
1
2
5
x x ．
整理所求代数式得：


1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
x
x x
x
x
x
x x





，
∴原式



2
2
5
4 5
1


．
3．（25-26 八年级下·安徽宣城·期末）已知m ，n 是一元二次方程
2
5
1
0
x
x



的两个实数根，下列结论
中正确的是（
）
A．
1
m
n


B．
1
mn 
C．
5
mn 
D．
5
m
n


【答案】D
【分析】一元二次方程


2
0
0
ax
bx
c
a




，若方程的两个实数根为
1x ，
2x ，则
1
2
b
x
x
a


，
1 2
c
x x
a

．
【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程
2
5
1
0
x
x



的两个实数根．
∴
5
5
1
m
n




，
1
1
1
mn


．
4．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期中）若一元二次方程

2
3
4
0
x
x 


的两根之和与两根之积分别为m ，n ，
则点

,
m n 在平面直角坐标系中位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据根与系数的关系解题即可．
【详解】解：

2
3
4
0
x
x 


，
2
2
3
4
0
x
x



，
∴
1
2
3
3
2
2
m
x
x





，
1
2
4
2
2
n
x x



，
∴点

,
m n 为3 , 2
2






，在第四象限．
5．（2026·广东清远·三模）一元二次方程
2
3
4
0
x
x


的两根为
1x ，
2x ，则
1
2
1
2
x
x
x x


______．
【答案】1

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可．
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【详解】解：∵一元二次方程
2
3
4
0
x
x


的两根为
1x ，
2x ，
∴
1
2
3
3
1
b
x
x
a





，
1
2
4
4
1
c
x x
a





，
∴


1
2
1
2
3
4
1
x
x
x x






．
题型02
利用一元二次方程根与系数关系求值
6．（25-26 八年级下·北京顺义·期中）已知关于x 的一元二次方程
2
3
4
3
0
x
x



的两实数根分别为
1x 和
2x ，
则
2
2
1
2
x
x

的值等于（
）
A．34
9
B．
2
9

C．2
3
D．
2
3

【答案】A
【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求式子利用完全平方公式变形后代入计
算即可．
【详解】解：∵对于一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a




，若
1
2
,
x x
是方程的两个实数根，则
1
2
b
x
x
a

=-
，
1 2
c
x x
a

，
已知方程为
2
3
4
3
0
x
x



，
∴
3
a ，
4
b 
，
3
c ，
∴
1
2
4
3
x
x


，
1
2
3
1
3
x x


，
又∵


2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x x




，
代入得：


2
2
2
1
2
4
16
16
18
34
2
1
2
3
9
9
9
9
x
x














．
7．（2026·广西桂林·二模）若Rt
ABC
△
的两直角边长a，b 分别为一元二次方程
2
5
3
0
x
x



的两个实数根，
则Rt
ABC
△
的面积为（
）
A．5
B．3
C．5
2
D．3
2
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得
3
ab 
，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可得到答
案．
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【详解】解：∵Rt
ABC
△
的两直角边长a，b 分别为一元二次方程
2
5
3
0
x
x



的两个实数根，
∴
3
ab 
，
∴Rt ABC 的面积
1
3
2
2
S
ab


．
8．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）若m，n 是方程
2
2
2026
0
x
x



的两个实数根，则代数式
2
3
m
m
n


的
值为（
）
A．2

B．2024
C．2026
D．2028
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程两根之和的关系整体代入计
算即可求解．
【详解】解：∵
,
m n 是方程
2
2
2026
0
x
x



的两个实数根，
∴由方程根的定义得
2
2
2026
0
m
m



，
由一元二次方程两根之和的关系得：
2
m
n

，
∴
2
2026
2
m
m


，
∴
2
3
m
m
n


2026
2
3
m
m
n




2026
m
n



2026
2


2024

．
9．（2026·四川眉山·中考真题）若方程
2
4
3
0
x
x



的两个根是
1x ，
2x ，则
2
2
1
2
1
2
x x
x x

的值为________．
【答案】12

【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最
后整体代入求值即可．
【详解】解：对于一元二次方程
2
4
3
0
x
x



，两个根为
1x ，
2x
根据根与系数的关系可得：
1
2
4
b
x
x
a



，
1
2
3
c
x x
a


∵


2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
x x
x x
x x
x
x



∴将
1
2
4
x
x


，
1
2
3
x x 代入得：原式


3
4
12



．
10．（25-26 八年级下·浙江温州·期中）已知m ，n 是方程
2
4
5
0
x
x


的两个根，则1
1
m
n

________．
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【答案】
4
5

/ 0.8

【分析】根据根与系数的关系得到方程两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入数值计算
即可得到结果．
【详解】解：
m ，n 是方程
2
4
5
0
x
x


的两个根，
根据根与系数的关系可得
4
m
n


，
5
mn ，
对1
1
m
n

通分得
1
1
m
n
m
n
mn



，
将
4
m
n


，
5
mn 代入得
原式
4
4
5
5



．
题型03
利用一元二次方程根与系数关系求值
11．（2024·广东清远·二模）若关于x 的一元二次方程
2
27
0
x
mx



两根为
1x 、
2x ，且
1
2
3
x
x

，则m 的
值为（
）
A．12
B．9

C．12

D．9
【答案】C
【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出m 的值．
【详解】解：对于一元二次方程
2
27
0
x
mx



，由根与系数的关系可得
1
2
27
x x 
，
1
2
x
x
m


∵
1
2
3
x
x

∴代入得
2
2
3
27
x 
，即
2
2
9
x 
解得
2
3
x 
或
2
3
x 
当
2
3
x 
时，
1
9
x 
，
1
2
3
9
12
m
x
x





当
2
3
x 时，
1
9
x ，


1
2
3
9
12
m
x
x




∴
12
m 
．
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12．
（2026·河北秦皇岛·一模）已知
  
m
n
、是关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
x
c



的两个实数根，若
3
m
n
mn


，
则c 的值是（
）
A．1

B．2

C．2
D．3
【答案】A
【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式建立关于c的方程，求解即可得
到c 的值．
【详解】解：∵m 、n 是关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
x
c



的两个实数根，
∴
3
3
1
m
n


，mn
c

，
又∵
3
m
n
mn


，
∴3
3c

，
解得
1
c


．
13．（25-26 九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x 的方程


2
2
2
1
0
x
m
x
m




的两实数根为
1
2
,
x x ，若
1
2
7
x
x


，则m 的值为（）
A．3

B．3
C．7 或
7
-
D．
7
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系得到
1
2
1 2
x
x
m


，进行求解即可.
【详解】解：由题意，
1
2
1 2
7
x
x
m



，
解得
3
m ，
此时方程化为
2
7
9
0
x
x



，
49
4 9
13
0




，符合题意；
故
3
m .
14．（25-26 九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x 的方程
2
2
0
x
x
k



有两个实数根
1
2
,
x x ．
(1)求k 的取值范围；
(2)若

1
2
1
2
3
k x
x
x x


，求k 的值．
【答案】(1)
1
k 
(2)3
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不
等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解决此题的关键．
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（1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得
1
2
1
2
2,
x
x
x x
k


，再代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵方程
2
2
0
x
x
k



有两个实数根
1x ，
2x ，
∴


2
Δ
2
4 1
0
k



，
解得：
1
k ；
（2）解：∵方程
2
2
0
x
x
k



有两个实数根
1x ，
2x ，
∴
1
2
1
2
2,
x
x
x x
k


，
∵

1
2
1
2
3
k x
x
x x


，
∴2
3
k
k

，
解得：
3
k ．
15．（25-26 九年级上·湖南湘西·期末）已知关于x 的方程
2
6
(2
1)
0
x
x
m




．
(1)若方程总有两个实数根，求m 的取值范围；
(2)若
1x 与
2x 是该方程的两个实数根，且满足
2
2
1
2
22
x
x


，求m 的值．
【答案】(1)
4
m 
(2)
3
m 
【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）根据方程有实数根得到




2
6
4 1
2
1
0
m



，进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，得到关于m 的方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，
∴




2
6
4 1
2
1
0
m



，
即36
8
4
0
m



，
解得
4
m 
；
（2）解：∵
1x 与
2x 是该方程的两个实数根，
∴
1
2
1
2
6,
2
1
x
x
x x
m



，
∵
2
2
1
2
22
x
x


，
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∴




2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
36
2 2
1
22
x
x
x
x
x x
m








解方程36
4
2
22,
m



得
3
m 
．
题型04
利用一元二次方程根与系数关系构造方程
16．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x 的方程
2
2
3
0
x
x



的两根为
1
2
,
x x ，则以
1
2
1
2
,
x
x x x

为两
根的一元二次方程是（
）
A．
2
5
6
0
x
x



B．
2
5
6
0
x
x



C．
2
2
3
0
x
x



D．
2
3
2
0
x
x



【答案】A
【分析】先利用根与系数的关系求得
1
2
1
2
2,
3
x
x
x x


，则新方程的两个根为
3
4
2,
3
x
x

再逐项判断
即可．
【详解】解：A．由根与系数的关系可得方程
2
5
6
0
x
x



的
3
4
3
4
5
6
,
x
x
x x




，符合题意；
B．由根与系数的关系可得方程
2
5
6
0
x
x



的
3
4
3
4
5,
6
x
x
x x



，不符合题意；
C．由根与系数的关系可得方程
2
2
3
0
x
x



的
3
4
3
4
2,
3
x
x
x x



，不符合题意；
D．由根与系数的关系可得方程
2
3
2
0
x
x



的
3
4
3
4
3,
2
x
x
x x



，不符合题意．
17．（25-26 九年级上·广东深圳·期中）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过
程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是3 和2；小明在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方
程的两个根是1
和2
，则原来的方程是（
）
A．
2
5
2
0
x
x



B．
2
3
6
0
x
x



C．
2
3
6
0
x
x



D．
2
5
2
0
x
x



【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中
1
2
1
2
5,
2
x
x
x x



，即可求解．
【详解】解：根据题意设一元二次方程为：
2
0
x
bx
c



，
∵小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是3 和2，
∴
1
2
3
2
5
x
x
b



，即
5
b ，
又∵小明写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1
和2
，
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∴



1
2
1
2
2
x x
c




，
∴原来的方程是
2
5
2
0
x
x



．
故选：D．
18．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程
2
0
x
ax
b



的两个根为
1x ，2x ，且
1
2
4
x
x


，1
2
3
x x

，
那么这个一元二次方程是_____.
【答案】
2
4
3
0
x
x



【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程
2
0
x
ax
b



的两个根为
1x ，
2x ，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：
1
2
1
2
,
x
x
a x x
b



，
∵
1
2
4
x
x


，
1
2
3
x x

，
∴
4,
3
a
b


，
∴这个一元二次方程是
2
4
3
0
x
x


．
19．若
2
2
4
3
0,
4
3
0,
x
x
y
y
x
y







，则
2
x
y
xy


的值是___________．
【答案】2

【分析】构造一元二次方程，根据
1
2
1 2
,
b
c
x
x
x x
a
a



求解．
【详解】解：∵
2 4
3
0
x
x

-
+
，
2
4
3
0
y
y



，且x
y

，
∴x ，y 可看作一元二次方程
2
4
3
0
m
m



的两个不相等实数根，
根据根与系数的关系可得：
4
4
1
x
y




，
3
3
1
xy 

，
2
4
2 3
4
6
2
x
y
xy






．
20．（25-26 九年级上·河北保定·期中）若一元二次方程的两个根分别为3 和2
，且二次项系数为1，请写出
这个一元二次方程的一般形式_______．
【答案】
2
6
0
x
x



【分析】本题考查了根与系数的关系：若
1x ，
2x 是一元二次方程
2
0
x
px
q



的两根时，
1
2
x
x
p


，
1
2
x x
q

．先计算出3 和2
的和、积，然后根据根与系数的关系写出一个满足条件的一元二次方程．
【详解】解：根据题意设一元二次方程为
2
0
x
px
q



，
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∵两个根分别为3 和2
，
∴


3
2
1
p 

，


3
2
6
q 
，
∴以3 和2
为根的一元二次方程可为
2
6
0
x
x



，
故答案为：
2
6
0
x
x



．
21．（25-26 八年级下·安徽马鞍山·期末）已知a，b 是一元二次方程
2
3
1
0
x
x


的两个实数根，则
b
a
a
b

的值为（
）
A．3

B．3
C．1
3
D．
3
±
【答案】B
【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b 的符号，再化简所
求二次根式，最后代入计算即可．
【详解】解：∵a ，b 是一元二次方程
2
3
1
0
x
x


的两个实数根，
∴由根与系数的关系可得
3
a
b

，
1
ab ，
∵
3
0
a
b


，
1 0
ab ，
∴
0
a 
，
0
b 
，
∴




1
3
1
1
3
1
ab a
b
b
a
ab
ab
ab
a
b
a
b
a
b
ab




















．
22．（25-26 八年级下·安徽安庆·期末）如果关于x 的一元二次方程


2
0
0
ax
bx
c
a




有两个实数根，且其
中一个根是另一个根的n 倍，则称这样的方程为“ n 倍方程”，以下关于n 倍方程的说法正确的是（
）
①方程
2
3
2
0
x
x



是2 倍方程；②若


3
1
0
x
mx



为3 倍方程，则
1
9
m 
；③若p ，q满足
8
pq 
，
则关于x 的方程
2
6
0
px
x
q



为2 倍方程；④若关于x 的方程
2
0
ax
bx
c



为n 倍方程，则


2
2
1
nb
n
ac


．
A．①③
B．①④
C．①③④
D．①②③
【答案】C
【分析】根据新定义“n 倍方程”，一元二次方程的解法与根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到结论．
【详解】解：①解方程
2
3
2
0
x
x



，
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因式分解得


1
2
0
x
x



，
解得
1
2
1,
2
x
x


，
2
2 1
，满足2 倍方程定义，①正确；
②方程


3
1
0
x
mx



的两根为
1
2
1
3,
x
x
m


，
∵方程是3 倍方程，
故分两种情况讨论：
当
1
2
3
x
x

时，
1
3
3
m






，解得
1
m ，
当
2
1
3
x
x

时，
1
3 3
m

，解得
1
9
m 
，
1
m

或
1
9
m 
，故②错误；
③若
8
pq 
，则方程
2
6
0
px
x
q



的判别式
2
( 6)
4
36
4 8
4
0
pq





，
∴方程有两个不相等的实数根，
由求根公式得
6
4
6
2
2
2
x
p
p




，
即
1
2
8
4
4
2
,
2
2
x
x
p
p
p
p




，
∴
1
2
2
x
x

，满足2 倍方程定义，故③正确；
④设方程


2
0
0
ax
bx
c
a




的两根为,n

，
由根与系数的关系得：
b
n
a




，
c
n
a




，
则


1
b
a n


，
2
c
n
a

，
将


1
b
a n


代入得：
2
2
2
(
1)
b
c
n a
n
a



，
两边同乘
2
2
(
1)
a n 
整理得：
2
2
(
1)
nb
n
ac


，故④正确．
23．（2026·四川广安·中考真题）已知
1x ，
2x 是关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
k



的两个实数根，且
1
2
1
2
3
2
x
x
x x



，则k 的取值范围是_____．
【答案】
1
2
k 
【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到k 的初步范围，再利用根与系数的关系得
到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解k 的范围，最后取交集得到最终结果．
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【详解】解：
1x ，
2x 是关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
k



的两根
方程的根的判别式
0

即
2
Δ
( 2)
4 1
4
4
0
k
k





解得
1
k ，
由根与系数的关系可得：
1
2
2
x
x


，
1
2
x x
k

1
2
1
2
3
2
x
x
x x



代入得：2
3
2k

移项，系数化为1 得：
1
2
k 
1
1
2 ，两个不等式解集的交集为
1
2
k 
．
24．（25-26 八年级下·安徽淮北·期末）已知关于x 的一元二次方程
2
8
0
x
x
m



的一个根为15
4

．
（1）m ________；
（2）求代数式
3
2
10
17
1
x
x
x


的值为________．
【答案】
1
3

【分析】（1）设一元二次方程
2
8
0
x
x
m



的另一个根为
2x ，利用根与系数的关系求得
2
15
4
x 
，
1
2
1
m
x
x


；
（2）由题意得
2
8
1
x
x

，对原式化简，再利用整体代入求解即可．
【详解】解：（1）设一元二次方程
2
8
0
x
x
m



的另一个根为
2x ，
则
1
2
8
x
x

，
1
15
4
x 

，
2
15
4
8
x



，
2
15
4
x



，
1
2
1
m
x
x


；
（2）
2
8
1
0
x
x


，
2
8
1
x
x


，
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3
2
10
17
1
x
x
x






2
2
8
2
17
1
x x
x
x
x





2
2
17
1
x
x
x





2
2
8
1
x
x



2 1

3
．
25．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x 的一元二次方程


2
3
2
1
0
x
k
x
k




．
(1)求证：无论k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若
1x ，
2x 是该方程的两个根，且满足
2
1
2
1
2
8
x x
x
x
k
k




，求k 的值．
【答案】(1)证明：方程


2
3
2
1
0
x
k
x
k




中，
1
a ，


3
b
k


，
2
1
c
k

，
∴






2
2
2
2
4
3
4 1
2
1
2
5
1
4
b
ac
k
k
k
k
k
















．
∵无论k 取何值，

2
1
0
k 

，
∴


2
1
4
4
0
k





，
即无论k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)
2
k 
【分析】（1）先得到一元二次方程的判别式，再由平方非负性判定
0

即可得证；
（2）由一元二次方程根与系数关系得到
1
2
3
x
x
k



，
1
2
2
1
x x
k

，整体代入已知等式解一元二次方程即
可．
【详解】（1）解：略
（2）解：关于x 的一元二次方程


2
3
2
1
0
x
k
x
k




，
1
2
3
x
x
k



，
1
2
2
1
x x
k

，
∵
2
1
2
1
2
8
x x
x
x
k
k




，
∴
2
2
1
3
8
k
k
k
k





，
∴
2
4
4
0
k
k



，即

2
2
0
k 

，解得
2
k 
．
26．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c



（
0
a 
）有两个非零实数
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根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”．
(1)一元二次方程
2
2
5
2
0
x
x



是“逆根方程”吗？请说明理由．
(2)若一元二次方程




2
1 3
1
0
0
ax
a x
a




是“逆根方程”，求此方程的两个根．
【答案】(1)
是，理由如下：
解：
2
2
5
2
0
x
x



(2
1)(
2)
0
x
x



解得
1
2
x 
，
2
1
2
x 
两个根均为非零实数，且其中1
2 是2的倒数，符合“逆根方程”的定义
一元二次方程
2
2
5
2
0
x
x



是“逆根方程”；
(2)
方程的两个根为2
3

和2
3

【分析】（1）先求解给定的一元二次方程，得到两个根后，根据“逆根方程”的定义判断即可；
（2）根据“逆根方程”的定义得到两根乘积为1，利用根与系数的关系求出a 的值，再代入原方程求解即可得
到两个根．
【详解】（1）略
（2）解：设方程
2
(1 3 )
1
0(
0)
ax
a x
a




的两个根为
1
2
,
x x
该方程是“逆根方程”
1
2
1
x x


由一元二次方程根与系数的关系得
1
2
1
x x
a


1
1
a


，
解得
1
a


将
1
a


代入原方程得：
2
4
1
0
x
x



整理得
2
4
1
0
x
x


由求根公式得
4
16
4
2
3
2
x





方程的两个根为2
3

和2
3

．
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27．（25-26 八年级下·江苏南通·期末）已知m ，n 是一元二次方程
2
1
0
x
kx


的两个实数根，p ，q是一
元二次方程
2
0
x
x
k



的两个实数根，则
2
2
2
m
n
p
q
k
n
m




的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k 的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化
简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值．
【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程
2
1
0
x
kx


的两个实数根，
∴m
n
k

，
1
mn ，
2
1
4
0
k



，即
2
4
k 
，
∵p ，q是一元二次方程
2
0
x
x
k



的两个实数根，
∴
1
p
q

，pq
k

，
2
1 4
0
k


，即
1
4
k 
，
∴k 的取值范围为
2
k ，
∴
2
2
2
m
n
p
q
k
n
m




2
2
2
2
2
2
2 q
m
n
p
q
k
mn
n
p
m
pq









2
2
2
2
2p
m
n
p
q
k
mn
q










2
2
2
2
2
p
m
n
mn
p
q
k
mn
q











2
2
2
2
2
1
1
k
k
k






2
2
2
1
2
k
k
k





2
1
k


∵2
0

，
∴原式随k 的增大而减小，且
2
k ，
∴当k 取最大值2
时，原式取得最小值，即


2
2
1
3


．
28．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程


2
0
0
ax
bx
c
a




，下列说法：
①若
0
a
b
c


，则方程一定有解；
②若c 是方程
2
0
ax
bx
c



的一个根，则一定有
1
0
ac
b


成立；
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③若方程


2
0
0
ax
bx
c
a




两根为
1x ，
2x ，且满足
1
2
0
x
x


，则方程


2
0
0
cx
bx
a
c




，必有实数
根
1
1
x ，
2
1
x ．
④若
0
a
c


，则方程
2
0
ax
bx
c



必有两个不相等的实数根；
⑤若
0
ab
bc


，且
2
a
c ，则方程
2
0
ax
bx
c



的两实数根一定互为相反数．其中，正确的有几个（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、根的判别式、根与系数的关系，逐一判断每个说法的正误，
统计正确结论的个数即可．
【详解】解：①将
1
x 代入方程
2
0
ax
bx
c



，得左边


2
( 1)
1
0
a
b
c
a
b
c









，
因此
1
x 是方程的根，方程一定有解，故①正确；
②
c 是方程
2
0
ax
bx
c



的一个根，代入得
2
0
ac
bc
c



，
提取公因式得

1
0
c ac
b



，
当
0
c 
时，
1
ac
b

不一定等于0，故②错误；
③
1
2
,
x x 是
2
0
ax
bx
c



的两根，
1
2
x
x

且
1
2
,
0
x x 
，对
2
1
1
0
ax
bx
c



两边同除以
2
1x ，得
2
1
1
1
1
0
c
b
a
x
x















，
同理
2
1
x 也满足该等式，
因此
1
2
1
1
,
x
x 是方程


2
0
0
cx
bx
a
c




的根，故③正确；
④
0
a
c

，
c
a
，
判别式


2
2
2
2
Δ
4
4
4
b
ac
b
a
a
b
a







，
0
a 
，
2
4
0
a


，又
2
0
b 
，
因此
0

，方程必有两个不相等的实数根，故④正确；
⑤
0
ab
bc


，


0
b a
c



，得
0
b 
或a
c

，
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2
0
a
c 
，
,a c

异号，因此a
c

，可得
0
b 
，
方程化为
2
0
ax
c


，判别式
2
0
4
4
ac
ac



，
,a c异号，
0
ac 
，
0

，方程有两个实数根，两根之和为
0
b
a


，
因此两实数根互为相反数，故⑤正确；
综上，正确的结论共4个．
29．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）对于一元二次方程
2
0
ax
bx
c



，下列说法正确的个数为（
）
①若方程的两个根为2
和1，则2
0
b
c


；
②若
0
a
b
c


，则方程一定有解；
③若
0
ab
bc


，且
1
a
c ，则方程的两实数解一定互为相反数；
④若
2
2
0
am
bm
c
an
bn
c






，则m
n

A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】由根与系数的关系得到2 1
, 2 1
b
c
a
a


，则可推出
2
c
b

，据此可判断①；当
0
a
b
c


时，
可证明
1
x 是原方程的解，据此可判断②；可证明
0
ac 
，
0
b 
，则可证明
2
4
0
4
0
b
ac
ac





，由根
与系数的关系可得原方程的两实数解的和为
0
b
a


，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断③；
根据题意可得
,
m n 都是关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c



的实数根，而关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c



可以有两个不相等的实数根，据此可判断④．
【详解】解：①若方程的两个根为2
和1，则2 1
, 2 1
b
c
a
a


，
∴
,
2
b
a c
a


，
∴
2
c
b

，即2
0
b
c


，故①正确；
②
0
a
b
c



，
∴将
1
x 代入方程得
21
1
0
a
b
c
a
b
c







，
1
x
是方程的根，即方程一定有解，故②正确；
③若
0
ab
bc


，则

0
b a
c


，
∵
1
a
c ，即a
c

，
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∴
0
a
c


，
0
ac 
，
∴
0
b 
，
∴
2
4
0
4
0
b
ac
ac





，
∴原方程有两个不相等的实数解，
∴由根与系数的关系可知，原方程的两实数解的和为
0
b
a


，即原方程的两实数解一定互为相反数，故③
正确；
④若
2
2
0
am
bm
c
an
bn
c






，则
,
m n 都是关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c



的实数根，
∵关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c



可以有两个不相等的实数根，
∴是可以存在m
n

这种情况的，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，共3 个．
30．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程
2
0
ax
bx
c



（
0
a 
），下列说法：
①若
0
a
b
c


，则
2
4
0
b
ac


；
②若方程
2
0
ax
c


有两个不相等的实数根，则方程
2
0
ax
bx
c



必有两个不相等的实数根；
③若c 是方程
2
0
ax
bx
c



的一个根，则一定有
1
0
ac
b


成立；
④若
0x 是一元二次方程
2
0
ax
bx
c



的根，则


2
2
0
4
2
b
ac
ax
b



；
⑤若方程
2
0
ax
bx
c



有两个不相等的实数根，则方程
2
0
cx
bx
a



也一定有两个不相等的实数根．
其中正确的个数有（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题根据一元二次方程根的定义，一元二次方程判别式与根的关系，逐个判断五个说法的正误，
统计正确个数即可得到答案．
【详解】解：①若
0
a
b
c


，则
1
x 是方程
2
0
ax
bx
c



的根，方程有实根，因此判别式
2
4
0
b
ac


，
故①正确；
②若方程
2
0
ax
c


有两个不相等的实数根，则该方程判别式
2
1
0
4
4
0
ac
ac




，即4
0
ac


；
对于方程
2
0
ax
bx
c



，其判别式
2
4
b
ac


，
2
0
b 
，
2
4
0
b
ac



，
因此方程
2
0
ax
bx
c



必有两个不相等的实数根，故②正确；
③若c是方程
2
0
ax
bx
c



的一个根，代入得
2
0
ac
bc
c



，整理得

1
0
c ac
b



；
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当
0
c 
时，等式成立，但
1
1
ac
b
b


不一定等于0，故③错误；
④若
0x 是方程
2
0
ax
bx
c



的根，则
2
0
0
0
ax
bx
c



，两边同乘4a得
2
2
0
0
4
4
4
0
a x
abx
ac



，
配方整理得
2
2
0
4
(2
)
b
ac
ax
b



，故④正确；
⑤若方程
2
0
ax
bx
c



有两个不相等的实数根，则
2
4
0
b
ac


；
当
0
c 
时，方程
2
0
cx
bx
a



变为
0
bx
a


，是一元一次方程，只有一个实数根，故⑤错误；
综上，正确的说法共3个．
31．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）已知m、n 是方程
2
2
5
0
x
x



的两个根，代数式
3 (
1)
(
3)(
3)
m m
m
m
m





的值为________；
2
2
m
n

的值为________．
【答案】
19
14
【分析】对于第一空，根据单项式乘以多项式的运算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，根
据方程的解的定义推出
2
2
5
m
m


，再由


2
2
2
4
9
2
2
9
m
m
m
m





可得答案；对于第二空，由根与系数
的关系得到
2
5
m
n
mn



，
，再根据完全平方公式的变形求解即可．
【详解】解：3 (
1)
(
3)(
3)
m m
m
m
m







2
2
3
3
9
m
m
m
m





2
2
3
3
9
m
m
m
m





2
2
4
9
m
m



，
∵m 是方程
2
2
5
0
x
x



的一个根，
∴
2
2
5
0
m
m



，
∴
2
2
5
m
m


，
∴


2
2
2
4
9
2
2
9
2 5
9
19
m
m
m
m








；
∵m、n 是方程
2
2
5
0
x
x



的两个根，
∴
2
5
m
n
mn



，
，
∴




2
2
2
2
2
2
2
5
4 10
14
m
n
m
n
mn









．
32．（25-26 八年级下·安徽安庆·期末）若实数a，b 满足等式
2
2
5
3
0
a
a



，
2
2
5
3
0
b
b



，则
2
2
3
5
a
ab
b


________．
【答案】
11或60 或
5
4

【分析】先由a、b 满足结构相同的方程，确定二者是一元二次方程
2
2
5
3
0
x
x



的根，同时将
2
2a 变形为
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5
3
a 
代入待求式降次，把式子转化为含a
b

与ab的形式，再分两种情况讨论，①a
b

时用一元二次方程
根与系数关系
求出a
b

、ab后代入计算，a
b

时先解出方程的根，再分别代入求值．
【详解】解：∵实数a，b 满足等式
2
2
5
3
0
a
a



，
2
2
5
3
0
b
b



，
∴a，b 可看作方程
2
2
5
3
0
x
x



的根，
∵
2
2
5
3
0
a
a



，
∴
2
2
5
3
a
a

，
∴


2
2
3
5
5
3
3
5
5
3
3
a
ab
b
a
ab
b
a
b
ab









，
分两种情况讨论：
①a
b

：
由一元二次方程根与系数关系得
5
2
a
b


，
3
2
ab 
，
原式
5
3
5
3
3
11
2
2











；
②a
b

：
解方程
2
2
5
3
0
x
x



，
因式分解，得(2
1)(
3)
0
x
x



，
解得
1
3
x ，
2
1
2
x 
，
当
3
a
b


时，原式


5
3
3
3 3 3
3
60




；
当
1
2
a
b


时，原式
1
1
1
1
5
5
3
3
2
2
2
2
4



































；
综上，
2
2
3
5
11
a
ab
b



或60 或
5
4

．
33．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果一类关于x 的一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a




有两个实
数根
1x ，
2x ，且满足
1
2
x
x
t

恒成立，这类方程叫做t 的偏向方程．已知关于x 的一元二次方程
2
(
)
1
0
x
m
n x
mn
n





有两个实数根
1x ，
2x ，且对于任意的实数m，都满足3 的偏向方程，则n 的取值
范围是________．
【答案】
5
4
n 
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出


1
2
x
x
m
n



，1
2
1
x x
mn
n


，再由题意确定
1
2
3
x
x


，
21 / 26
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得出

2
1
2
1
2
4
9
x
x
x x



，代入得出

2
4
5
m
n
n



，然后根据题意建立不等式求解即可．
【详解】解：


2
1
0
x
m
n x
mn
n





，


1
2
x
x
m
n




，
1
2
1
x x
mn
n


．
满足3 的偏向方程的定义，
1
2
3
x
x



，
2
1
2
(
)
9
x
x





2
1
2
1
2
4
9
x
x
x x



，




2
4
1
9
m
n
mn
n






．


2
4
5
m
n
n



．
对于任意的实数m，都满足3 的偏向方程的定义，
4
5
0
n



，
5
4
n


．
34．（2026·山东德州·一模）两个非零实数m ，n 满足
2
3
1
m
m

，
2
3
1
n
n

，且m
n

，则m
n
n
m

的值
为______．
【答案】
21

【分析】根据题意，可知m ，n 是一元二次方程
2
3
1
0
x
x


的两个不相等的实数根，利用根与系数的关
系得到两根和与两根积，再将所求式子变形，代入计算即可．
【详解】解：由题意得，m ，n 满足方程
2
3
1
0
x
x


，且m
n

，因此m ，n 是一元二次方程
2
3
1
0
x
x


的两个不相等的实数根．
根据根与系数的关系可得：
3
m
n


，
1
mn


．
m
n

，
0
m
n



．






2
2
4
3
4
1
3
4
7
m
n
m
n
mn











．
对所求式子变形得：



2
2
m
n
m
n
m
n
m
n
n
m
mn
mn






．
将
3
m
n


，
1
mn


，
7
m
n


代入得：


7
3
21
1




．
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35．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c


（
0
a 
）与
2
0
px
qx
r



（
0
p 
）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且abc
pqr

，则这两个方程是互为“高关联
方程”．例如，方程
2
4
0
x 

与
2
2
0
x
x


是互为“高关联方程”．
(1)若关于x 的一元二次方程
2
2
3
0
x
x



与
2
2
0
x
x
k



是互为“高关联方程”，求k 的值及相同的根．
(2)若关于x 的一元二次方程
2
3
2
0
x
x
m



①与
2
3
4
0
x
x
n



②是互为“高关联方程”，且
0
mn 
，求m ，n
的值．
【答案】(1)
3
k ，相同根为
1
x 
(2)
8,
4
m
n


【分析】（1）先利用条件abc
pqr

求出k ，再解方程找到唯一公共根；
（2）先由abc
pqr

得到m
n
、关系式，再设公共根联立方程求出参数，并检验仅有一个公共根．
【详解】（1）解：
2
2
3
0
x
x



因式分解：(
3)(
1)
0
x
x



，
得
1
2
1,
3
x
x

．
方程1：
1,
2,
3
a
b
c


，
1 2 ( 3)
6
abc 

方程2：
2,
1,
p
q
r
k



，
2 1
2
pqr
k
k



由abc
pqr

：
2
6
k 
3
k 
把
3
k 代入
2
2
0
x
x
k



因式分解：(2
3)(
1)
0
x
x



，
根为
3
1,
2
x
x


．
两个方程只有唯一公共根
1
x ，满足“有且只有一个相同根”．
3
k

，相同根为
1
x 
（2）解：方程①：
2
3
2
0
x
x
m



，
3 2
6
abc
m
m


方程②：
2
3
4
0
x
x
n



，
3 4
12
pqr
n
n


小学
初中
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6
12
m
n


，即
2
m
n

，
只有一个公共根，设公共根为t
2
2
3
2
0
3
4
0
t
t
m
t
t
n









两式相减：2
0
t
n
m



把
2
m
n

代入：
2
n
t 
将
,
2
2
n
t
m
n


代入
2
3
2
0
t
t
m



：
化简得3 (
4)
0
n n 

已知
0
mn 
，故
0
n 
，
得
4
n ．
则
2
2 ( 4)
8
m
n



．
检验：
方程①：
2
3
2
8
0
x
x



，根
1
2
4 ,
2
3
x
x


方程②：
2
3
4
4
0



x
x
，根
1
2
2 ,
2
3
x
x


只有唯一公共根
2
x ，符合题意．
8,
4
m
n



36．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料：
有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程
的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n 满足
2
1
0
m
m


，
2
1
0
n
n


，且m
n

，则可将m，
n 看作方程
2
1
0
x
x



的两个不相等的实数根．
方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b 满足
3
a
b


，
2
ab 
，则可以将a，b 看作方程
2
3
2
0
x
x



的两个实数根．
根据上述材料解决下列问题：
(1)已知一元二次方程
2
3
3
0
x
x



的两根
1x ，
2x ，则
1
2
x
x

______，
1
2
x x ______；
(2)已知实数m，n 满足
2
3
2
0
m
m



，
2
3
2
0
n
n



，求n
m
m
n

的值；
(3)已知实数a，b，c 满足
5
a
b
c



，
16
5
ab
c


，且
5
c 
，求c 的最大值．
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【答案】(1)3；3

(2)
13
6

或2
(3)1
【分析】（1）根据根与系数关系
1
2
b
x
x
a


、
1 2
c
x x
a

，结合一元二次方程
2
3
3
0
x
x



直接求解即可得到
答案；
（2）当m
n

时，m 、n 是方程
2
3
2
0
x
x



的两根，利用根与系数的关系可求得m
n

和mn 的值，然后
利用整体代入的方法计算原式的值；当m
n

时，易得原式
2

；
（3）将a 、b
看作是方程


2
16
5
0
5
x
c
x
c





的两实数根；利用判别式的意义得到


2
16
Δ
5
4 1
0
5
c
c















，所以

3
5
64
c 

，解得
1
c ，从而得到c的最大值．
【详解】（1）解：
一元二次方程
2
3
3
0
x
x



的两根为
1x ，
2x ，

1
2
3
3
1
b
x
x
a




，
1
2
3
3
1
c
x x
a



；
（2）解：当m
n

时，
实数m 、n 满足
2
3
2
0
m
m



，
2
3
2
0
n
n



，
m

、n 可看作方程
2
3
2
0
x
x



的两根，
1
3
m
n



，
2
3
mn 
，
原式


2
2
2
1
2
2
2
13
9
3
2
6
3
m
n
mn
n
m
mn
mn















，
当m
n

时，则原式
1 1
2

；
综上所述，原式的值为
13
6

或2；
（3）解：
5
a
b
c


，
16
5
ab
c


，
∴


5
a
b
c


，


16
5
a
b
c



，
将a 、b
看作是方程


2
16
5
0
5
x
c
x
c





的两实数根，


2
16
Δ
5
4 1
0
5
c
c















，
又∵
5
c 
，即
5
0
c 
，


3
5
64
c



，
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5
4
c

，即
1
c ，
c
的最大值为1．
37．（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程
2
4
3
0
x
x



的两根是
1x ，2x ，则
2
2
1
2
x
x

的值为_______．
【答案】
22
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计
算即可．
【详解】解：∵一元二次方程
2
4
3
0
x
x


的两根为
1x ，
2x ，其中
1
a ，
4
b 
，
3
c


，
∴
1
2
4
b
x
x
a





，
1
2
3
c
x x
a



，
∴
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
(
4)
2 ( 3)
16
6
22
x
x
x
x
x x









．
38．（2026·河北·中考真题）已知关于x 的一元二次方程
2
1
0
4
x
x
m



有两个实数根，其中一个根是另一个
根的平方，则m _________．
【答案】
1
8

【分析】设方程的两根分别为t 和
2t ，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解t 的
值，再计算m ，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可．
【详解】解：设一元二次方程
2
1
0
4
x
x
m



的两根分别为t ，
2t ．
根据根与系数的关系可得
2
1
4
t
t


，
2
t t
m


．
整理
2
1
4
t
t


得
2
1
0
4
t
t


．变形得
2
1
0
2
t







．
解得1
2
1
2
t
t


．
将
1
2
t


代入
3
m
t

得
3
1
1
2
8
m








．
验证判别式：
2
1
1
1
9
4
4
0
4
16
8
16
m


















，符合题意．
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39．（2026·四川南充·中考真题）关于x 的一元二次方程


2
2
2
1
2
0
x
k
x
k
k






．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)已知方程的两个实数根分别为
1x ，
2x ，且
1
2
2
x
x

，求k 的值．
【答案】(1)
证明：∵原方程为


2
2
2
1
2
0
x
k
x
k
k 





，
∴




2
2
Δ
(2
1)
4 1
2
k
k
k






2
2
4
4
1
4
4
8
k
k
k
k





9
0


，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)
k 的值为4或5

【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论；
（2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合
1
2
2
x
x

的条件，得到关于k 的一元二次方程，求解即
可得到k 的值．
【详解】（1）略
（2）解：∵方程的两个实数根为
1
2
,
x x ，
∴
1
2
2
1
x
x
k


，
2
1
2
2
x x
k
k 


，
∵
1
2
2
x
x

，
∴
2
2
2
2
1
x
x
k


，
∴
2
2
1
3
k
x


，
∴
1
2(2
1)
3
k
x


，
代入
2
1
2
2
x x
k
k 


得：
2
2
2(2
1)
2
9
k
k
k 



，
整理得
2
20
0
k
k 


，
解得
4
k 
或
5
k


．