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21.1—21.2 一元二次方程 解一元二次方程一元二次方程
一、一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数
的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。需要注意的是，一元二次方程只含
有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程。
二、一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0（a≠0）。其中，ax^2是二次项，a是二次项系
数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。在判断一个方程是否为一元二次方程时，
需要特别注意二次项系数a不能为0。
三、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的
解，也叫做一元二次方程的根。这是解方程过程中验根的依据。
在学习一元二次方程时，还需要掌握如何根据实际问题列出一元二次方程，以及如何通过
观察和化简，将方程转化为一般形式，并正确识别出二次项、一次项和常数项以及它们的
系数。
解一元二次方程
一、直接开平方法
利用平方根的定义，通过直接开平方求一元二次方程的解。例如，对于方程x²=p：
当p>0时，方程有两个不等的实数根；
当p=0时，方程有两个相等的实数根x =x =0；
1 2
当p<0时，方程没有实数根。
二、配方法
配方是为了把方程变成左边是平方，右边是数的形式，即(x+n)²=p。用配方法解一元二次方
程的一般步骤包括：
化1：把二次项系数化为1；
移项：把与未知数有关的项放在等式左边，其他项放在等式右边；
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程变为(x+n)²=p；
直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
三、公式法
利用公式法解一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一般步骤包括：
利用一元二次方程整理成一般形式；
确定公式中a，b，c的值；
求出b²-4ac的值；
当b²-4ac≥0时，将a，b，c的值及b²-4ac的值代入求根公式即可；当b²-4ac<0时，方程无实数根。
四、因式分解法
将一元二次方程先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这两个一
次式分别等于0，从而实现降次。因式分解法包括提取公因式法等方法。
巩固课内例1:一元二次方程的一般形式
1．已知一元二次方程 的二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3、5 B． 、5 C．3、 D． 、
2．把一元二次方程： ，化成一般式是 ．
3．当 为什么数时，关于 的方程 是一元二次方程？写出它的二
次项系数，一次项系数和常数项．
巩固课内例2:解下列方程——配方法
1．用配方法解方程 时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
2．将一元二次方程 化成 的形式为 ．
3．用配方法解方程：
(1) ．
(2) ；
巩固课内例3:解下列方程——公式法
1．若 可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．小明用公式法解方程 ，请帮他填空第一步，解： ， ，
．
3．解方程： ．
巩固课内例4:解下列方程——因式分解法
1．一元二次方程 的解为（ ）
A． B．
C． ， D． ，
2．方程 的解为
3．解方程： ．
巩固课内例5:根与系数关系求和与积
1．若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则它的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
2．若一元二次方程 的两个根是 ，则 的值为 ．
3．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根．类型一、一元二次方程的定义
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的方程 是一元二次方程，则m= ．
3．当 为何值时，方程
(1)是关于 的一元一次方程．
(2)是关于 的一元二次方程．
类型二、解下列方程——直接开平方法
1．方程 的正根为（ ）
A． B． C． D．
2．方程 的解为 ．
3．用直接开方法解方程．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
类型三、一元二次方程根的情况1．若点 在第四象限，则关于 的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法判定
2．一元二次方程 根的情况是 ．
3．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为 ，且 为正数，求 的值．
类型四、解下列方程——换元法
1．已知方程 的解是 ， ， 则方程
的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．若实数x，y满足 ，则 的值为 ．
3．请运用“整体换元法”解方程：
(1) ．
(2) ．
类型五、解下列方程—十字相乘法
1．若菱形两条对角线的长度是方程 的两根，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
2．方程 的解是 ．
3．解方程：(1) ．
(2) ．
类型一、一元二次方程的根求参
1．若关于 的方程 没有实数根，则 的值可能为（ ）
A．2 B．0 C． D．
2．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为
．
3．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若 是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根．
类型二、一元二次方程变形求值
1．若方程 中，a，b，c满足 和 ，则方程的根
是（ ）
A．1，0 B． ，0 C．1， D．2，
2．若 是一元二次方程 一个解，则代数式 的值是 ．
3．阅读下列材料：
方程 两边同时除以 ，得 ，即 ．因为
，所以 ．
根据以上材料解答下列问题：(1)已知方程 ，则 _____； _____．
(2)若m是方程 的根，求 的值．
类型三、一元二次方程与三角形结合
1．已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程 的根，则该三角
形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形
2．已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程 的一个实
数根，则该三角形的周长是 ．
3．已知三角形 的一边 ，另两边长 恰好是关于 的方程 的
两个根，且 ．求 的周长．
类型四、一元二次方程与四边形结合
1．已知菱形 的边长是一元二次方程 的一个根，且两条对角线长的和
为 ，则菱形 的边长为（ ）
A． B． C． D． 或
2．已知菱形 边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程
的两根，则这个一元二次方程为 ．
3．已知 的两邻边 的长是关于 的方程 的两个实数根．
(1)若 的长为2，求 的值；
(2)当 为何值时， 是菱形？类型一、降次法
1．将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的
一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法
称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：
，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程 ，它的实数
解是 ．
3．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解： ．
二次项系数化为1，得 ．第一步
移项，得 ．第二步
配方，得 ，即 ．第三步
由此，可得 ．第四步
所以 ．第五步
完成下列任务：
(1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此
过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数
学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）；
(2)“第二步”变形的数学依据是_____；
(3)小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误．
(4)用配方法完整解方程
类型二、一元二次方程整体带入1．关于 的方程 的根是 ， （a，m，b，c均为常数，
），则关于 的方程 的根是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．关于 的方程 的解是 ， ，（ ， ， 均为常数， ），
则方程 的解是 ．
3．阅读材料：已知实数m、n满足 ，试求 的值．
解：设 ，则原方程变为 ，
整理得 ，即 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)已知x、y满足 ，求 的值；
(2)已知a、b满足 ，求 的值．
类型三、配方法的应用
1．若关于 的一元二次方程： 与 ，称为“同族二次方
程”．如 与 是“同族二次方程”．现有关于 的一元二次方
程： 与 是“同族二次方程”．那么代数式
能取的最小值是（ ）A．2018 B．2020 C．2025 D．2030
2．当 时，代数式 的值最小．
3．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分
通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的
变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成 （ 为整数）的形式，则称这个数为“美丽数”．例
如，5是“美丽数”，理由：因为 ，所以5是“美丽数”．
解决问题：
(1)已知53是“美丽数”，请将它写成 （ 为整数）的形式．
(2)若 可配方成 （ ， 为常数），求 的值；
(3)已知 （ 是整数， 是常数），要使 为“美丽数”，试求
出 的值．
类型四、黄金分割数
1．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全
部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的
高为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像下部高 米，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．科学研究表明，当雕塑的上部与下部的高度比，等于下部与全部的高度比时，雕塑看起
来最美，我们把这个比叫做黄金分割数，如何求黄金分割数．把上面问题一般化，如图，
线段 的长为1，线段 上的点C满足关系式 ，则线段 的长度为
．（用含有根号的式子表示）3．关于 的一元二次方程 ，当 时，该方程的正根称为黄金分割数．宽
与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形．
(1)求黄金分割数；
(2)如图，在正方形 中， 是边 的中点，以 为圆心，线段 长为半径作弧，
交 的延长线于点 ，作矩形 ，试说明矩形 是黄金矩形．
