文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
25.2.4 一元二次方程根与系数的关系
（导学案）
(1)理解一元二次方程根与系数关系的推导过程，熟记韦达定理公式；掌握定理成立的前提条件（
）；能不解方程，利用根系关系求两根和、两根积、含两根的代数式的值，能简单检验方
程根的正确性、求解简单参数问题.
(2)经历“计算观察—猜想归纳—严谨证明—应用拓展”的探究过程，提升从特殊到一般的归纳推理能力、
代数逻辑证明能力，体会数形结合、整体代入的数学思想.
(3)在自主探究与合作交流中感受数学规律的简洁性与统一性，培养严谨的数学思维习惯；通过定理的推
导与应用，增强学习代数知识的兴趣，提升自主探究、合作解题的自信心.
重点：一元二次方程根与系数的关系公式理解与基础应用，能够熟练利用韦达定理求解两根和、两根积及
简单根系代数式的值.
难点:根与系数关系的严谨推导过程；解题中精准把握定理成立的前提条件，规避无实数根时误用定理、
看错系数符号的易错问题；灵活运用整体代入思想变形求解复杂的根系代数式.
第一环节 自主学习
温故知新：
情境导入，特例探究
教师出示三组简单一元二次方程，要求学生快速解方程，求出两根并计算两根之和、两根之积：
①
②
③
学生独立计算后汇报结果，教师板书整理数据，引导学生观察：
方程的两根和、两根积与方程的二次项、一次项、常数项之间存在什么规律？
【学法指导】
新知自研：自研课本第15-16 页的内容
【学法指导】自研课本P15-16 页内容
(一)严谨推导，得出定理
活动1：猜想的规律是否适用于所有有实数根的一元二次方程？怎样进行推导.
师生共同推导：对于一般形式一元二次方程
，当
时，方程的两个实
数根为：
，
.
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
分步计算两根和、两根积：
归纳总结：一元二次方程根与系数的关系：
若一元二次方程
的两个实数根为
，则
.
核心前提：方程必须有实数根，即.
特例：当a=1 时，方程
，则.
（二）理解定理，及时应用
活动2. 判断下列说法是否正确.
方程
的两根和为-2，两根积为3.
（2）方程
的两根和为2，两根积为
.
活动3：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根
的和与积:
（1）
； （2）
； （3）
.
（三） 灵活运用 拓展提升
活动4：代数式变形求值（核心应用）
已知
是方程
的两根，不解方程，求下列代数式的值：（1）
（2）
活动5：参数解决综合问题
已知方程
的两根之和为1，求m 的值及两根之积。
【自研自探】
自研课本P15-16 页内容
典型例题
例1.已知关于x 的方程
有两实数根．
(1)求k 的取值范围：
(2)设方程两实数根分别为：
，
，且
，求实数k 的值．
例2．若关于x 的一元二次方程
有一个根是
，求b 的值及方程的另一个根．
例3．已知
，
是关于
的一元二次方程
的两个不相等的实数根，
(1)求
的值
(2)求
的值
(3)求
的值
第二环节 合作探究
1.
讨论怎样推导一元二次方程根与系数的关系定理
2.
讨论应用一元二次方程根与系数的关系定理的条件是什么？
3.
讨论如何拓展应用一元二次方程根与系数的关系定理解决问题.
拓展提升：
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1．已知关于
的一元二次方程
．
(1)若方程有实数根，求实数
的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为
，
，且满足
，求实数
的值．
课本课堂练习（P16）.
1．（2025•湖北）一元二次方程x2﹣4x+3＝0 的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝﹣4
B．x1+x2＝3
C．x1x2＝4
D．x1x2＝3
2．（2025•绥化）已知m，n 是关于x 的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0 的两个根，则（m+1）（n+1）＝
．
3．（2025•眉山）已知方程x2﹣2x﹣5＝0 的两根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为 ．
4．（2025•广安）已知方程x2﹣5x﹣24＝0 的两根分别为a 和b，则代数式a2﹣4a+b 的值为 ．
5．（2025•泸州）若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0 的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β 的值为 ．
6．（2025•南充）设x1，x2是关于x 的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根．
（1）当x1＝﹣1 时，求x2及m 的值．
（2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0．
1. 知识与技能：（1）核心定理：对于
，当
时，方程两个实数根为
，则
；（2）特殊形式：方程
，则两根和为 ，两根积为 ；（3）核心应用：不解方程
值、求 .
2. 思想方法：（1）特殊到一般：从具体方程 ，再推导 ，是代数探
究的 ；（2）整体代入：将 变形为 的整体形式代入计算，简化运算；（3）转化
思想：将陌生的代数式求值问题转化为 问题.
3. 易错提醒：（1）忽略前提条件：必须先判断
，方程无实数根时，根与系数定理
，严禁 ；（2）符号错误：两根和公式是
，容易 ，需重点关注
符
号；
（3）系数混淆：必须将方程化为一般形式后 ，避免非 错误；（4）变形失误：代数
式变形（完全平方、通分）时容易 、 出错，变形后需及时检查.
