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25.2.1 配方法（第1 课时 直接开平方法）
（导学案）
（1 ）理解直接开平方法的定义和解题依据，熟练掌握用直接开平方法解
和
型一元二次方程的步骤；能准确判断方程是否有实数根，规范书写解题过程.
（2）经历从平方根知识推导方程解法的探究过程，体会一元二次方程“降次转化”的核心思想，提升类
比迁移、归纳总结和代数运算能力.
（3）通过新旧知识的衔接探究，感受数学知识的连贯性和逻辑性，体验解题方法的简洁性，增强学习代
数的信心，培养严谨细致的运算习惯.
重点：掌握直接开平方法解
和
型一元二次方程的方法及规范解题步骤.
难点：理解直接开平方法“降次转化”的数学思想；准确判断p 的正负，区分方程实数根的三种情况；避
免开平方时遗漏负根.
第一环节 自主学习
温故知新：
创设情景，引入新课
复习提问：①什么是平方根？②正数、0、负数的平方根各有什么性质？
③求下列各数的平方根：4、0、
、-2.
情境设问：若一个数的平方等于9，这个数是多少？若
，如何求解x？
【学法指导】
新知自研：自研课本第5-6 页的内容
【学法指导】自研课本P5-6 页内容
(一)解一元二次方程的基本思想
活动1：解一元二次方程的基本思想
追问1：怎样解一元一次方程的？
解一元二次方程的基本思想：降次转化为一元一次方程.
（二）基础型方程
活动2：怎样解
型方程
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交流思考：解方程
，
追问1：结合平方根性质思考：方程的根有几种情况？由什么决定？
根据平方根性质有三种情况，
是由
决定的
追问2：对方程
的根有几种情况？由什么决定？
师生归纳：当
时，方程
有两个不相等的实数根：
；
当
时，方程
有两个相等的实数根：
；
当
时，方程
无实数根（平方数非负）.
及时巩固：用直接开平方法解方程
.
解题示范：移项得
，因为25>0，所以
，即
.
（三）探究复合型方程
活动3：怎样解
型方程
交流思考：如何解方程
？能否把x+1 看作一个整体？
追问1：如果把x+1 设其为y，方程变形为什么？怎样解方程呢？
设y=x+1，方程转化为
，先求，再反求x.
直接开平方，求出y，即x+1，可以求出x.
巩固练习：解方程
.
系数化为1 得
，开方得
，解得
追问2：你能归纳出用平方法解一元二次方程的步骤吗？交流讨论.
师生总结解题步骤：
① 整理方程：化为
的标准形式；
② 判断符号：看常数p，是负数没有实数根；
③ 开方降次：整体开平方，得到两个一元一次方程；
④ 求解整理：解一元一次方程，写出方程的根.
【自研自探】
自研课本P5-6 页内容
典型例题
例１.解下列方程:
(1)
; (2)
.
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【分析】按解一元二次方程的步骤，先转化为
形式，直接开平方.
【详解】解:(1)移项，并将二次项系数化为1，得
由此可得
，
即
.
(2) 移项，得
由此可得
x+2=3，或x+2=-3，
即
.
例2.解方程：
【分析】将一元二次方程转化为
形式，再直接开平方.
【详解】解：移项，并将二次项系数化为1，得
此题考查了一元二由此可得
，或
，
即
.
第二环节 合作探究
1.讨论解一元二次方程的基本思想
2.讨论怎样解
型方程
3.讨论怎样解
型方程
拓展提升：
1.某汽车公司随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021 年8 月份的39 万元/辆下降到10
月份的31.59 万元/辆，若月平均降价的百分率保持不变，求月平均降价率．
【详解】设月平均降价率是
，
依题意得：
，
解得：
，
（不符合题意，舍去），
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∴月平均降价率是
．
课本课堂练习（P6）第1 题、第2 题（1、3、5）.
1．（2025•重庆）某景区2022 年接待游客25 万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024 年接待游客
达到36 万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A．10%
B．20%
C．22%
D．44%
【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，
根据题意得：25（1+x）2＝36，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%．
故选：B．
2．（2025•台湾）已知甲方程式为（x﹣4）2＝9，乙方程式为（x+9）2＝﹣4．关于甲、乙两方程式的解的
情形，下列叙述何者正确？（ ）
A．甲有两个相异的解，乙无解
B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解
C．甲有两个相同的解，乙无解
D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解
【解答】解：对于方程（x﹣4）2＝9，
x﹣4＝±3，
解得x1＝7，x2＝1；
对于方程（x+9）2＝﹣4．
因为负数没有平方根，
所以此方程没有实数解．
故选：A．
1. 知识技能：（1）解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程.（2）掌握了完整解题
步骤：整理方程→判断
p 的符号
→开方降次→求解根，同时能准确判断方程有无实数根.
2. 思想方法：（1）核心数学思想为转化降次思想：将一元二次方程通过开平方转化为两个一元一次方程，
化未知为已知；（2）运用整体思想，把多项式mx+n 看作整体简化运算，这是后续配方法解题的核心思维.
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3. 易错提醒：（1）开平方时必须保留正负号，极易遗漏负根，导致少解一个根；（2）当p<0 时，方程无
实数根，不可强行开方求解；（3）解方程前需先将方程化为平方等于常数的标准形式，注意系数化为
1 ；
（4）p=0 时，方程有两个相等的实数根，不可只写一个根.
