文档内容
第 05 讲 一元二次方程 100 道计算题专项训练（10 大题型）
题型一 直接开方法解一元二次方程
题型二 配方法解一元二次方程
题型三 公式法解一元二次方程
题型四 因式分解法解一元二次方程
题型五 指定方法解一元二次方程
题型六 由一元二次方程的解求代数式值
题型七 配方法的应用
题型八 换元法解一元二次方程
题型九 一元二次方程根与系数的关系计算
题型十 一元二次方程的新定义运算
【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】
1．（24-25九年级下·全国·阶段训练）用直接开方法解方程．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
2．（24-25九年级上·河南南阳·期中）直接写出下列方程的根：
(1)
(2)
(3)
(4)
3．（24-25九年级上·北京·课后作业）用直接开平方法解下列方程：（1）（x﹣2）2=3；
（2）2（x﹣3）2=72；
（3）9（y+4）2﹣49=0；
（4）4（2y﹣5）2=9（3y﹣1）2．
4．（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：
(1) (x－3)2－9＝0;
(2) (2t－1)2＝16.
5．（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
6．（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1) ; (2) ；(3) ; (4) .
7．（24-25八年级·全国·阶段训练）利用直接开平方法解方程：
（1）（x﹣1）2＝3．
（2）x2﹣9＝0
（3）4（x﹣1）2﹣9＝0
（4）4（2x﹣1）2﹣36＝0
8．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）用直接开平方法解方程．
(1)
(2)
9．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程．
（1） ；
（2） ．
10．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法求下列各方程的根：
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） ．
【经典计算题二 配方法解一元二次方程】
11．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程：
(1) ．
(2) ；
12．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）用配方法解方程：
(1)
(2) ．
13．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）用配方法解方程： ．
14．（24-25九年级上·广东广州·期中）用配方法解方程：
15．（24-25八年级下·北京房山·期末）用配方法解方程： ．
16．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
17．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：
(1) ．
(2) ．18．（24-25九年级下·全国·阶段训练）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
19．（24-25九年级下·全国·阶段训练）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
20．（24-25九年级下·全国·阶段训练）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【经典计算题三 公式法解一元二次方程】
21．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）解方程： ．
22．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）用公式法解方程： ．
23．（24-25九年级上·吉林长春·期中）解方程： ．24．（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
25．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）解方程： ．
26．（24-25九年级下·全国·阶段训练）用公式法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
27．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
28．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： ．
29．（24-25九年级下·全国·阶段训练）用公式法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
30．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】31．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）解方程： ．
32．（24-25八年级下·黑龙江黑河·期中）解方程：
33．（2025·广东广州·二模）解方程： ．
34．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）解方程：
(1)
(2)
35．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）解一元二次方程 ．
36．（24-25八年级下·浙江金华·期末）解方程：
(1) ；
(2) ．
37．（24-25八年级下·北京平谷·期末）解方程：
(1)
(2)
38．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）解方程：
(1) ；
(2) ．
39．（24-25九年级上·福建莆田·期中）用适当的方法求解下列方程：
(1) ；
(2) ．
40．（24-25九年级上·江苏常州·期中）解方程
(1)(2)
【经典计算题五 指定方法解一元二次方程】
41．（24-25九年级下·全国·阶段训练）用适当方法解方程：
(1)
(2)
(3)
42．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
43．（24-25八年级下·山东泰安·期中）用适当的方法解方程
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
44．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用指定方法解下列方程：
(1) ；（配方法）
(2) ；（公式法）
45．（24-25八年级下·山东东营·期中）用适当的方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；(3) ．
46．（2025九年级上·全国·专题练习）用适当的方法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
47．（2025九年级上·全国·专题练习）用适当的方法解一元二次方程：
(1) ．
(2) ．
48．（2025九年级上·全国·专题练习）用适当的方法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
49．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）（1）用配方法解方程：
（2）用公式法解方程：
50．（24-25九年级上·山东青岛·期中）解下列方程组
(1) ；
(2) ；
(3) ．【经典计算题六 由一元二次方程的解求代数式值】
51．（24-25九年级上·全国·期中）已知 是方程 的根，则代数式 的值为
（ ）
A． B．2 021 C． D．2 022
52．（25-26九年级上·全国·课后作业）若 是关于x的一元二次方程 的根，则
的值是（ ）
A．2025 B．2025 C．2024 D．2025
53．（24-25八年级上·全国·期中）已知m是方程 的一个根，则 的值为（ ）
A． B．4 C．1 D．
54．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）已知关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则
（ ）
A． B．1 C．2 D．
55．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若 是关于 的方程 的一个根，则 的
值是（ ）
A．2027 B．2026 C．2025 D．2024
56．（2025·四川南充·二模）设 是方程 的一个实数根，则 的值为 ．
57．（2025九年级上·全国·专题练习）若 是方程 的一个根，则 的值为
．
58．（2025·吉林长春·三模）若a是方程 的一个根，则 的值为 ．
59．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）已知 是关于 的方程 的一个根，
(1)求 的值；
(2)求 ．60．（24-25八年级下·北京·期中）已知 是方程 的根，求代数式 的
值．
【经典计算题七 配方法的应用】
61．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）对于 取任意实数，多项式 的值是一个正数，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
62．（24-25九年级下·全国·阶段训练）若关于 的一元二次方程： 与 ，称为
“同族二次方程”．如 与 是“同族二次方程”．现有关于 的一元二次方程：
与 是“同族二次方程”．那么代数式 能取的最小值是
（ ）
A．2018 B．2020 C．2025 D．2030
63．（2025·山东淄博·一模）已知 为实数，设 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C．5 D．6
64．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若多项式 ．那么 的最小值是
．
65．（2025九年级上·全国·专题练习）已知 是一元二次方程 的一个根，则 的最
大值为 ； 的最小值为 ．
66．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数 ， 满足 ，则代数式 的最小
值等于 ．
67．（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以
解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程 的过程：
解：移项，得 ．配方，得 ，
所以 ．
直接开平方，得 ，
所以 ， ．
【问题解决】
（1）小明配方的依据是
A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则
（2）用配方法解方程： ．
【拓展应用】
（3）已知x是实数，求代数式 的最小值．
68．（24-25八年级下·江西萍乡·期末）阅读与思考
配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几
个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在
因式分解、最值问题中有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：
；
②求代数式 的最小值：
，
∵ 是非负数，即 ，
∴ ，则代数式 的最小值是 ．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解： __________；
(2)求 的最小值；(3)若 ，求 的最小值．
69．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式 的最小值时，
利用公式 ，对式子作如下变形： ，因为
，所以 ．所以当 时， 有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问
题：
(1)代数式 的最小值为；
(2)求代数式 的最大或最小值．
70．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料：
将代数式 进行如下变形：
．
，
．
当 时， 存在最小值2．
根据以上材料，完成下列问题：
(1) _____ ；
(2)求代数式 的最小值；
(3)求代数式 的最值．
【经典计算题八 换元法解一元二次方程】71．（2025九年级上·全国·专题练习）解方程： ．
解：设 ，则原方程可化为 ，得 ．
当 时，即 ，解得： ；
当 时，即 ，解得： ．
故原方程的解为 ．
上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程： ．
72．（25-26九年级上·全国·课后作业）【例】解方程 ．
解：设 ，
则原方程可化为 ，
解得 ．
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ．
综上所述，原方程的解为 ．
上述解法称为“整体换元法”．
请运用“整体换元法”解方程：
(1) ．
(2) ．
73．（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
材料：为解方程 ，可将方程变形为 ，
然后设 ，则 ，原方程化为 ，
解得 ， ，
当 时， 无意义，舍去；当 时， ，解得 ；
所以原方程的解为 或 ．
问题：
(1)已知方程 ，若设 ，则原方程化为一般式为 ；
(2)利用以上学习到的方法解下面方程：
74．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）【阅读材料】
方程 是一个一元四次方程，我们可以把 看成一个整体，设 ，则原方
程可化为 ①，
解方程①可得 ， ；
当 时， ，即 ， ；
当 时， ，即 ， ；
原方程的解为 ， ， ， ．
【解决问题】
(1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体
现了数学的转化思想；
(2)已知 ，求 的值；
(3)请仿照材料中的方法，解方程： ．
75．（24-25九年级下·四川资阳·阶段练习）已知 ，求 的值．
76．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）阅读材料：为解方程 ，我们可以将
视为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 .解得 ，
当 时， ，∴ .∴ ；
当 时， ，∴ .∴ .
∴原方程的解为 ， ， ， ；
请利用以上知识解决下列问题：
如果 ，求 的值.
77．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）阅读与思考：
下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程
的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形
式，将其开平方，从而进一步求得方程的解．
【例如】解一元二次方程 ，
设 （m为常数），
将原方程化为 ，①
方程①整理，得 ，②
令 ，解得 ．
当 时， ，
方程②化为 ，解得 ，
___________， ___________．
任务：
(1)直接写出材料中“ ”部分方程的解 ___________， ___________．
(2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程 ．
78．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）阅读下列材料：解方程： ．
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ①，
解这个方程得： ， ．
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ，
所以原方程有四个根： ， ， ， ．
根据上述解方程的方法，解决下列问题：
(1)解方程 时，若设 ，直接写出用 表示该方程；
(2)若 ，求 的值；
(3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．
79．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方
程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次
方程或一次方程进行求解．例如，
①换元法求解四次方程： ．
设 ，则原方程可变为 ，解得 ， ，
当 时，即 ， ；
当 时，即 ， ；
原方程有四个根： ， ， ， ．
②因式分解法求解三次方程： ．
将其变形为 ，
，
，
，，
或 ，
原方程有三个根： ， ， ．
(1)仿照以上方法解方程：
① ；
② ；
(2)已知： ，且 ，求 的值．
80．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料：
解方程 ，
解：设 ，则原方程化为 ，
解得 ， ．
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得 ．
原方程的解为： ， ， ， ．
以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的
转化思想．
(1)请用上述方法解下列方程： ；
(2)已知实数 ， 满足 ，求 的值．
【经典计算题九 一元二次方程根与系数的关系计算】
81．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）设 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，
求下列各式的值．
(1)(2)
82．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知一元二次方程 的两实数根为 、 ，不解方程，
求 的值．
83．（24-25九年级上·江西新余·期中）一元二次方程 的两根为 ， ，利用两根与系数的关
系，求下列式子的值：
(1) ， ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
84．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知 ， 是方程 的两个实数根，求下列各式的值．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
85．（24-25九年级上·全国·课后作业）不解方程，求下列方程两个根的和与积：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．86．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于 的方程 （ 为常数）．
(1)求证：不论 取何值时，该方程总有实数根；
(2)若该方程的两个实数根 、 满足 ，求 的值．
87．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)已知方程的一个实数根为2，求方程的另一个根．
88．（24-25八年级下·福建福州·期中）关于 的一元二次方程 ．
(1)如果方程有实数根，求 的取值范围；
(2)如果 ， 是这个方程的两个根，且 ，求 的值．
89．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为 ， ，且满足 ，求实数m的值．
90．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若 是该方程的两个实数根，且 ，求a的值．
【经典计算题十 一元二次方程的新定义运算】
91．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：如果关于 的一元二次方程 满足
，那么我们称这个方程为“完美方程”．
(1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号）
① ② ③
(2)已知 是关于 的“完美方程”，若 是此“完美方程”的一个根，求 的值．92．（24-25八年级下·安徽六安·期末）定义：若一个一元二次方程的“某一个根”是另一个一元二次方程
的一个根，则称这两个方程为“友好方程”．已知关于 的一元二次方程 与 是
“友好方程”，求 的值．
93．（2025·江苏扬州·一模）对于实数a、b，定义一种新运算“a☆b”，规定如下： ，例如
．
(1)若 ，则满足条件的x值为______；
(2)对于 ，存在两个不同的数值x，求a的取值范围；
(3)若 时，求x的取值范围．
94．（24-25九年级上·江苏常州·期中） 定义：如果关于x的一元二次方程 有两个实
数根为x ，x，那么以这两个根的倒数 ， 为根的一元二次方程称为原方程的倒根方程．
1 2
应用：
(1)通过计算，判断方程②是不是方程①的倒根方程：
① ，
② ，
(2)请求出一元二次方程 的倒根方程．
95．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）定义： 与 ，其中 ，这样的
两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程．
(1) 的友好方程是___________；
(2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根；
(3)如果 的两个根为 ．求友好方程的两个根．
96．（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数 平方后得到的数 称为完全平方数．例如：， ，我们就将 这些数都称为完全平方数．
(1)如果一个完全平方数 满足 ，则满足条件 的值为 （请写出所有满足条件的数）；
(2) 是正整数，如果 和 都是完全平方数，求 的值；
(3)如果关于 的一元二次方程 至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正
整数 的值．
97．（24-25九年级上·山东济南·期中）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且
其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程 的
两个根是 和 ，则方程 是“倍根方程”．
(1)根据上述定义，一元二次方程 ________（填“是”或“不是”）“倍根方程”．
(2)若一元二次方程 是“倍根方程”，则c=________．
(3)若关于x的一元二次方程 是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为________．
(4)若 是“倍根方程”，求代数式 的值．
98．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，
且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”；例如，一元二次方程 的两个
根是 ，则方程 是“邻根方程”．
(1)根据上述定义，判断方程 ______（填“是”或“不是”）“邻根方程”；
(2)已知关于x的方程 （ 是常数）是“邻根方程”，求m的值；
99．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程 的两根 有如下的关系（韦达定理）：
；
材料2：如果实数m、n满足 、 ，且 ，则可利用根的定义构造一元二次方程
，将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数m、n满足 、 ，求 的值．
(2)已知实数a、b、c满足 、 ，且 ，求c的最大值．
100．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）定义：设 是方程 的两个实数根，若满足
，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程 是“同步方程”．
(1)下列方程是“同步方程”的是________（填序号）；
① ，② ，③ ；
(2)若方程 是“同步方程”，求 的值；
(3)若方程 为“同步方程”，直接写出 满足的数量关系．
