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技巧 03 数学文化与数学阅读解题技巧
【目录】
..............................................................................................................................................1
..............................................................................................................................................1
..............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................8
考点一：融合传统文化和数学史的数学阅读题......................................................................................................8
考点二：融合其他学科知识的数学阅读题............................................................................................................11
考点三：融合社会热点和建设成就的数学阅读题................................................................................................14
考点四：融合生活实际的数学阅读题...................................................................................................................17
数学文化与数学阅读是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以选择题、填空题为主，
难度适中．
数学文化与数学阅读试题一般从中外优秀传统文化和生产生活实际中挖掘素材，将数学文化、生活情
境与高中数学知识有机结合．其解答过程大致需要实现两个转化：先是将实际问题转化为数学问题，然后
再将数学问题转化为问题结果．具体地说，就是先通过阅读情境、审读题目，在明确对象、分析过程（或
状态）的基础 上过滤情境，并构造出符合题意的数学模型，从而使“实际问题”转化为“数学问题”；
接着选用恰当的数学方法求解作答，得出“问题结果”，并将其纳入原问题的情境中，予以“检验讨论”，
对解题过程作出评价．其中过滤情境、构建模型的环节至关重要，它既是使复杂的实际问题转化为相应的
数学问题的前提，也是正确选用数学方法、求解数学问题的依据，起着承上启下的关键作用．1．（2023·北京·统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以
勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两
个面是全等的等腰三角形．若 ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面
与平面 的夹角的正切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，过 做 平面 ，垂足为 ，过 分别做 ， ，垂足分别为 ，
，连接 ，
由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为 和 ，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，.
同理： ，又 ，故四边形 是矩形，
所以由 得 ，所以 ，所以 ，
所以在直角三角形 中，
在直角三角形 中， ， ，
又因为 ，
所有棱长之和为 .故选：C
2．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的水
平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知
成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
依题意，有 ，且 ，
所以 ，故 ，
故选：D
3．（2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长
度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上， ．
“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时， （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】如图，连接 ，
因为 是 的中点，
所以 ，
又 ，所以 三点共线，
即 ，
又 ，
所以 ，
则 ，故 ，
所以 .
故选：B.
4．（2021·全国·统考高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统
中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表
面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所
成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖
地球表面的表面积为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
【解析】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
5．（2021·北京·统考高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位： ）．24h降雨量的等级划分如下：
等级 24h降雨量（精确到0.1）
…… ……
小雨 0.1~9.9
中雨 10.0~24.9
大雨 25.0~49.9
暴雨 50.0~99.9
…… ……
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过
程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】B
【解析】由题意，一个半径为 的圆面内的降雨充满一个底面半径为 ，
高为 的圆锥，
所以积水厚度 ，属于中雨.
故选：B.
6．（2023·北京·统考高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、
用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，该
数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ；数列
所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【解析】方法一：设前3项的公差为 ，后7项公比为 ，则 ，且 ，可得 ，
则 ，即 ，可得 ，
空1：可得 ，
空2：
方法二：空1：因为 为等比数列，则 ，
且 ，所以 ；
又因为 ，则 ；
空2：设后7项公比为 ，则 ，解得 ，
可得 ，所以
.
故答案为：48；384.
7．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这
种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边
，则该三角形的面积 ．
【答案】 .
【解析】因为 ，所以 ．
故答案为： .
8．（2021·全国·统考高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把
纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图形，
它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，
它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 .
【答案】 5
【解析】（1）由对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，所以对着
三次的结果有： ，共4种不同规格（单位 ；
故对折4次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积
成公比为 的等比数列，首项为120 ,第n次对折后的图形面积为 ，对于第n此对折后的
图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为 种（证明从略），故得猜想 ，
设 ，
则 ，
两式作差得：
，
因此， .
故答案为： ； .
考点一：融合传统文化和数学史的数学阅读题
【例1】（2024·安徽·高三校联考期末）法国数学家蒙日发现椭圆两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴和短半轴的平方和．如
图所示为稀圆 及其蒙日圆 ，点 均为蒙日圆与坐标轴的交点， 分别
与 相切于点 ，若 与 的面积比为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，蒙日圆 为 ，设 ，
则直线 的方程为 ，
由 ，消 得到 ，
显然有 ，解得 ，
又 与 的面积比为 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
得到 ，所以 ，
故选：C.【变式1-1】（2024·福建漳州·统考模拟预测）公元 年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆
术”.祖暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的
高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面
之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积
相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”. 打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，
现在用 打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为 的水平截面的面积 可以近似用函数
， 拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
圆锥 的高和底面半径为 ，平行于圆锥 底面的截面角圆锥 的母线 于点 ，
设截面圆圆心为点 ，且 ，则 ，
易知 ，则 ，即 ，可得 ，
所以，截面圆圆 的半径为 ，圆 的面积为 ，
又因为 ，
根据祖暅原理知，该“睡美人城堡”的体积与一个底面圆半径为 ，
高为 的圆锥的体积近似相等，
所以该“睡美人城堡”的体积约为 ，
故选：D.
【变式1-2】（2024·浙江温州·高三统考期末）《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八
尺，高五尺，问积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之
一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，则堆放的米约有（ ）
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为 ，则 ，解得 ，
故米堆的体积 （立方尺）．
1斛米的体积约为1.62立方尺，
故 （斛）.
故选：B.
【变式1-3】（2024·北京顺义·高三统考期末）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四
棱锥称为“阳马”．现有一“阳马” ， 平面 ， ， 为底面
及其内部的一个动点且满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 平面 ， ，连接 ，由 ，可得
，
四边形 为矩形，以 为 轴建立如图所示坐标系，
则 ，设 ， ，
则 ，
所以
因为 ，则 ，则 ，所以 .
故选：D
考点二：融合其他学科知识的数学阅读题
【例2】（2024·全国·高三专题练习）球面几何是几何学的一个重要分支，在刚海､航空､卫星定位等方面都
有广泛的应用.如图，A，B，C是球而上不在同一大圆(大圆是过球心的平面与球面的交线)上的三点，经过
这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB，BC，CA，由这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC.已知地球
半径为R，北极为点N，P､Q是地球表面上的两点.
①若P，Q在赤道上，且经度分别为东经40°和东经100°，则球面△NPQ的面积为 .②若
，则球面 的面积 .
【答案】
【解析】 在赤道上，且经度分别为 和 ，
上半球面面积为 ，
球面 面积为 ，
当 时， 为等边三角形，根据题意构造一个正四面体 ，如图所示：
其中心为 ， 是高 的靠近 的四等分点，
则 ，
由余弦定理可得： ，
解得 ，正好为题目所给的长度，
所以球面 的面积为 ，
故答案为： ； ．
【变式2-1】（多选题）（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为
卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的远行规律时发现的.在平面直角坐标系 中，
设 到 与 两点的距离之积为2的点的轨迹为曲线 ，则（ ）
A．
B．曲线关于原点对称
C．曲线围成的面积不大于7
D．曲线C上任意两点之间的距离不大于3
【答案】BC
【解析】设 ，则 ， ，
，
化简 ，所以 ，
对于A， ，所以 ，得 ，A选项错误；
对于B，曲线方程 ，显然若 在曲线上，则 也在曲线上，曲线关于原点
对称，B选项正确；
对于C， ，令 ，则 ， ，所以曲线围成的面积 ，C选项正确；
对于D，当 时， ，此时两点距离为 ，D选项错误.
故选：BC
【变式2-2】（多选题）（2024·山东济南·统考一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西
尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系 中，
， ，动点P满足 ，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是
（ ）
A．曲线C与y轴的交点为 ， B．曲线C关于x轴对称
C． 面积的最大值为2 D． 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】设点 ，依题意， ，整理得： ，
对于A，当 时，解得 ，即曲线C与y轴的交点为 ， ，A正确；
对于B，因 ，由 换 方程不变，曲线C关于x轴对称，B正确；
对于C，当 时， ，即点 在曲线C上， ，C不正确；
对于D，由 得： ，解得 ，
于是得 ，解得 ，D正确.
故选：ABD
考点三：融合社会热点和建设成就的数学阅读题
【例3】（2024·江苏徐州·高三统考学业考试）如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，
图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形 和四边形 是两个全等的等腰梯形，
和 是两个全等的正三角形．已知该多面体的棱 与平面 成的角 ，
，则该屋顶的侧面积为（ ）
A．80 B． C．160 D．【答案】D
【解析】设 分别是 的中点，连接 ，根据对称性可知，
在平面 的射影在 上，设其为 ，连接 ，
则 平面 ，而 平面 ，所以 ，
所以 是 与平面 成的角，即 ，
所以 ，
过 作 ，垂足为 ，连接 ，
由于 平面 ，所以 ，
由于 平面 ，所以 平面 ，
由于 平面 ，所以 ，
，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以该屋顶的侧面积为：
.
故选：D
【变式3-1】（2024·江西景德镇·统考）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场
馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞
天.中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞
天的助滑道可以看成一个线段 和一段圆弧 组成，如图所示.在适当的坐标系下圆弧 所在圆的方
程为 ，若某运动员在起跳点 以倾斜角为 且与圆 相切的直线方向起跳，起跳
后的飞行轨迹是一个对称轴在 轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】由题意知： ，又 ，
直线 方程为： ，即 ；
由 得： 或 ，
即 或 ，
为靠近 轴的切点， ；
设飞行轨迹的抛物线方程为： ，则 ，
在点 处的切线斜率为 ， ，解得： ，
，解得： ， ，
即抛物线方程为： .
故选：A.
【变式3-2】（2024·江苏无锡·高三江苏省江阴市第一中学校考阶段练习）2022年卡塔尔足球世界杯吸引了
全世界许多球迷的关注，足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，
北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，
D，连接这四点构成三棱锥 如图所示，顶点A在底面的射影落在△BCD内，它的体积为
，其中△BCD和△ABC都是边长为 的正三角形，则该“鞠”的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ，作 于点 ，
因为△BCD和△ABC都是正三角形，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，
则 ，
即 ，解得 ，
，
则 ，
设 外接圆的圆心为 ，三棱锥外接球的球心为点 ，则 平面 ，
外接圆的半径 ， ，
设外接球的半径为 ， ，
则 ， ，
故 ，解得 ，
所以 ，
所以该“鞠”的表面积为 .
故选：B.考点四：融合生活实际的数学阅读题
【例4】（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考阶段练习）天津相声文化是天津具有代表性的地域
文化符号，天津话妙趣横生，天津相声精彩纷呈，是最具特色的旅游亮点之一.某位北京游客经常来天津听
相声，每次从北京出发来天津乘坐高铁和大巴的概率分别为0.6和0.4，高铁和大巴准点到达的概率分别为
0.9和0.8，则他准点到达天津的概率是 （分数作答）.若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐
高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高 （分数作答）.
【答案】
【解析】设事件 为他准点到达天津，事件 为他乘坐高铁到达天津，事件 为他乘坐大巴到达天津，
若他乘坐高铁，且正点到达天津的概率为 ；
若他乘坐大巴，且正点到达天津的概率为 ；
则 ，且 ,
所以乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高 .
故答案为： ，
【变式4-1】（2024·全国·高三专题练习）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数
学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体
的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于
该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有 个面角，每个面角是 ，所以正四面体在每个
顶点的曲率为 ，故其总曲率为 .给出下列三个结论：
①正方体在每个顶点的曲率均为 ；
②任意四棱锥的总曲率均为 ；③若某类多面体的顶点数 ，棱数 ，面数 满足 ，则该类多面体的总曲率是常数.
其中，所有正确的结论是 （填写序号）.
【答案】①②③
【解析】对于①，根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为 ，故①正确；
对于②，由定义可得多面体的总曲率 顶点数 各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为
4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为 ，故②正确；
对于③，设每个面记为 边形，
则所有的面角和为 ，
根据定义可得该类多面体的总曲率 为常数，故③正确.
故填：①②③
【变式4-2】（2024·全国·高三专题练习）某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅
读之后，对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣．书上说，斐波那契数列 满足： ，
， 的通项公式为 .在自然界，兔子的数量，树木枝
条的数量等都符合斐波那契数列．该学习兴趣小组成员也提出了一些结论：
①数列 是严格增数列；②数列 的前n项和 满足 ；
③ ；④ .
那么以上结论正确的是 （填序号）
【答案】②③
【解析】对于①，由题意可知， ， ， .
由已知 ，则当 时， 单调递增.
所以， 时，由已知 可知， 单调递增，且 .
所以数列 在 时，为严格增数列.
但是该数列的前三项不满足，故①错误；
对于②，当 时，有
，
，
，
，
，，
两边同时相加可得， ，
所以， ，故②正确；
对于③，由已知可得， ，
，
，
，
两边同时相加可得， ，故③正
确；
对于④，当 时，左边为 ，右边为 ，显然不成立，故④错误.
所以，结论正确的是②③.
故答案为：②③.
【变式4-3】（2024·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞
不管是张开还是收拢，伞柄 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 ，且 ，从而保证伞
圈 能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈 已滑动到 的位置，且 、 、 三点共线，
， 为 的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈 沿着伞柄向下滑动的距离为 ，
则当伞完全张开时， 的正弦值是 .
【答案】 /
【解析】依题意分析可知，当伞完全张开时， ，因为 为 的中点，
所以， ，当伞完全收拢时， ，
所以， ，
在 中， ，则 为锐角，所以 ，
所以 .
故答案为：
