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25.2.3 因式分解
课标要点
1. 理解因式分解法解一元二次方程的原理：若A⋅B=0，则A=0 或B=0，会把一元二次方程
转化为两个一元一次方程求解；
2. 掌握因式分解法的常用分解手段：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘法；
3. 掌握换元法思想，把复杂的高次 / 重复结构方程，通过换元转化为一元二次方程，求解
后回代求出原方程的根，会检验根。
学习重难点
重点：
1. 因式分解法解题步骤：移项使方程右边 = 0；将左边因式分解；令每个因式等于 0；解两
个一元一次方程得到原方程的根；
2. 识别适合换元法的方程特征：方程含有重复相同整体，设新元替换重复整体，降次变为一
元二次方程；
3. 换元求解之后必须回代，求出原未知数的解。
难点：
1. 用因式分解法解方程，不移项化为右边= 0，直接拆分等式两边因式，出现丢根；
2. 因式分解不彻底，十字相乘符号出错；
3. 换元法只解出新元，忘记回代求原未知数；
4. 换元设元之后，没有舍去新元不符合取值的解；
5. 分不清什么时候适合因式分解法，盲目套公式法，增加计算量。
第二十五章
一元二次方程
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知识点
解一元二次方程-因式分解
一、原理
零乘积性质：如果两个因式的积等于0，那么至少其中一个因式为0。
即：若A·B=0，则A=0 或B=0。
因式分解法的核心思想：降次，把一元二次方程，转化为两个一元一次方程求解。
注意：“或”表示二者至少一个成立，不是同时成立。
二、适合用因式分解法的方程特点
1.方程移项后，左边可以因式分解，右边等于0；
2.优先顺序：能因式分解优先用因式分解法，计算比公式法、配方法简单；
3.常用分解手段：提公因式、平方差、完全平方公式、十字相乘法。
四个分解工具
1.提公因式：ax+bx =x(a+b)
2.平方差：a²-b²=(a+b)(a-b)
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3.完全平方：a²±2ab+b²=(a±b)²
4.十字相乘：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
随学随练
1．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数为1，两个根分别为−1，2，
则这个方程为（ ）．
A．(𝑥+ 1)(𝑥−2) = 0
B．(𝑥−1)(𝑥−2) = 0
C．(𝑥+ 1)(𝑥+ 2) = 0
D．(𝑥−1)(𝑥+ 2) = 0
【答案】A
【分析】解出每个选项一元二次方程的根，再一一辨别即可．
【详解】A：(𝑥+ 1)(𝑥−2) = 0，两个根分别为−1,2，符合题意；
B：(𝑥−1)(𝑥−2) = 0，两个根分别为1,2，不符合题意，
C：(𝑥+ 1)(𝑥+ 2) = 0，两个根分别为−1, −2，不符合题意，
D：(𝑥−1)(𝑥+ 2) = 0，两个根分别为1, −2，不符合题意．
2．（25-26 九年级上·四川眉山·期中）方程𝑥2 −12𝑥+ 27 = 0的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三
角形的周长为________．
【答案】21
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是正确求解方
程的两个根．
先解一元二次方程得到两个根，再根据等腰三角形的性质分类讨论腰和底的取值，利用三角形三边关系判
断是否成立，最后计算周长．
【详解】解：𝑥2 −12𝑥+ 27 = 0，
解得𝑥1 = 3，𝑥2 = 9，
若腰为3、底为9，则三边长为3、3、9，但3 + 3 = 6 < 9，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不
解题步骤
口诀：一移、二分、三令、四解
1.移项：把所有项移到左边，使方程右边=0;
2.分解：将方程左边因式分解，写成两个整式相乘；
3.令因式为0：令每一个因式分别等于0,得到两个一元一次方程；
4.求解：解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。
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成立；
若腰为9、底为3，则三边长为9、9、3，满足三角形三边关系，周长为9 + 9 + 3 = 21，
故答案为：21．
3．（25-26 九年级上·新疆哈密·期中）解方程：
(1)2𝑥2 + 3 = 7𝑥．
(2)(𝑥−3)2 + 2𝑥(𝑥−3) = 0
【答案】(1)𝑥1 =
1
2，𝑥2 = 3
(2)𝑥1 = 3，𝑥2 = 1
【详解】（1）解：原方程移项得2𝑥2 −7𝑥+ 3 = 0，
因式分解得(2𝑥−1)(𝑥−3) = 0，
则2𝑥−1 = 0或𝑥−3 = 0，
解得𝑥1 =
1
2，𝑥2 = 3；
（2）解：原方程因式分解得(𝑥−3)(𝑥−3 + 2𝑥) = 0，
整理得(𝑥−3)(3𝑥−3) = 0，
则𝑥−3 = 0或3𝑥−3 = 0，
解得𝑥1 = 3，𝑥2 = 1．
知识点
解一元二次方程--换元法
一、概念与核心思想
换元法(也叫整体代换法) 把方程中重复出现的相同代数式看成一个整体，用一个新的未知数去替换这个整
体，把复杂方程降次，转化成我们熟悉的一元二次方程求解。
核心：降次、简化结构。
换元法本身不是专门解标准一元二次方程，主要用来解“可化为一元二次方程”的高次方程、复合方程。
二、方程识别(什么样的题用换元)
特征：同一个代数式反复多次出现。
典型例子：
①(x²+x)²-4(x²+x)-12=0，重复整体：x²+x
②(x-2)²-3(x-2)-10=0，重复整体：x-2
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注意：只要看到一大块式子一遍又一遍重复，优先考虑换元。
随学随练
1．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b 满足(𝑎2 + 2𝑏2)(𝑎2 + 2𝑏2 −3) = 10，则𝑎2 + 2𝑏2的
值为（ ）
A．5 或−2
B．−5或2
C．5
D．2
【答案】C
【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果．
【详解】解：设𝑥= 𝑎2 + 2𝑏2 ≥0，
原方程可化为𝑥(𝑥−3) = 10，
整理得𝑥2 −3𝑥−10 = 0，
因式分解得(𝑥−5)(𝑥+ 2) = 0，
解得𝑥1 = 5，𝑥2 = −2（舍去），
∴𝑥= 5，
∴𝑎2 + 2𝑏2 = 5．
2．（25-26 八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程
𝑥−1
𝑥=
3𝑥
𝑥−1 −2时，设
𝑥−1
𝑥= 𝑦，则原方程可化为关
于y 的方程是（ ）
A．𝑦2 + 2𝑦−3 = 0
B．𝑦2 + 2𝑦+ 3 = 0
C．𝑦2 −2𝑦−3 = 0
D．𝑦2 −2𝑦+ 3 = 0
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程．
解题步骤
口诀：找整体→设新元→代换求解→回代→检验写根
1.找整体：找出方程反复出现的代数式；
2.设元：设新未知数，例如令y=重复的整体；
3.代换：把原方程全部换成关于y 的方程，得到普通一元二次方程；
4.解新方程：解关于y 的一元二次方程，求出y 的值；
5.回代(最关键)：把求出的y 代回“y=整体”的关系式，解出原来未知数x;
6.检验：把根代入原方程检验，舍去增根、无效解，写出全部根。
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由题意可得𝑦=
3
𝑦−2，再去分母可得𝑦2 + 2𝑦−3 = 0，即可求解．
【详解】解：设
𝑥−1
𝑥= 𝑦，
则原方程可化为： 𝑦=
3
𝑦−2，
𝑦2 = 3 −2𝑦，
𝑦2 + 2𝑦−3 = 0，
故选：A．
3．（25-26 九年级上·江西抚州·阶段检测）请阅读下面解方程(𝑥2 + 1)2 −2(𝑥2 + 1) −3 = 0的过程．
解：设𝑥2 + 1 = 𝑦，则原方程可变形为𝑦2 −2𝑦−3 = 0．
解得𝑦1 = 3，𝑦2 = −1．
当𝑦= 3时，𝑥2 + 1 = 3，∴𝑥= ±√2．
当𝑦= −1时，𝑥2 + 1 = −1，𝑥2 = −2，此方程无实数解．
∴原方程的解为𝑥1 = √2，𝑥2 = −√2．
我们将上述解方程的方法叫做换元法．
请用换元法解方程：(
𝑥
𝑥−1)
2
−2 (
𝑥
𝑥−1) −15 = 0．
【答案】𝑥1 =
3
4，𝑥2 =
5
4
【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程等知识，理解“换元法”是解题关键，注意分式方程要
进行检验．设
𝑥
𝑥−1 = 𝑎得到𝑎2 −2𝑎−15 = 0，解得𝑎= −3或𝑎= 5，再分别代入
𝑥
𝑥−1 = 𝑎，解方程，检验即可
求解．
【详解】解：(
𝑥
𝑥−1)
2
−2 (
𝑥
𝑥−1) −15 = 0．
设
𝑥
𝑥−1 = 𝑎
则𝑎2 −2𝑎−15 = 0，
解得𝑎= −3或𝑎= 5，
当𝑎= −3时，
𝑥
𝑥−1 = −3，
解得𝑥=
3
4，
经检验，𝑥=
3
4是分式方程的解，
当𝑎= 5时，
𝑥
𝑥−1 = 5，解得𝑥=
5
4，
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经检验，𝑥=
5
4是分式方程的解，
∴原分式方程的解是𝑥1 =
3
4，𝑥2 =
5
4．
拓展
一元二次方程特殊解法
给出方程①A(式子1)²+B=0 的根，求结构完全相同的方程②A(式子2)²+B=0 的根。
特点：二次项系数、常数项完全不变，只有括号内部代数式不一样，不用求参数、不用展开计算，常见于
顶点式一元二次方程。
通用做题步骤(四步)
1.观察结构：确认两个方程除括号内整体以外，其余全部相同。
2.换元对齐：把第二个方程括号内的整体设为新元t，让方程变成和已知方程一模一样的形式。核心：令t=
第二个方程括号里面那一大块，则新方程和已知方程完全相同，因此t 直接等于已知方程给出的根。
3.回代列等式：把t 等于已知的每一个根，分别列出关于原未知数的一次方程。
4.求解，得到最终的x。
活学活用
1．（25-26 九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程𝑎(𝑥+ 𝑚)2 = 𝑛（𝑎≠0）的两根分别为−3、1，
则一元二次方程𝑎(𝑥+ 𝑚−2)2 −𝑛= 0（𝑎≠0）的两根分别为________．
【答案】𝑥1 = −1，𝑥2 = 3/𝑥1 = 3，𝑥2 = −1
【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应
关系式，即可求解．
【详解】解：将所求方程𝑎(𝑥+ 𝑚−2)2 −𝑛= 0(𝑎≠0)移项变形得 𝑎[(𝑥−2) + 𝑚]2 = 𝑛 ，
∵一元二次方程𝑎(𝑥+ 𝑚)2 = 𝑛(𝑎≠0)的两根分别为−3，1，
∴可得𝑥−2 = −3或𝑥−2 = 1，
解得𝑥1 = −3 + 2 = −1，𝑥1 = 1 + 2 = 3，
∴一元二次方程𝑎(𝑥+ 𝑚−2)2 −𝑛= 0(𝑎≠0)的两根分别为𝑥1 = −1，𝑥2 = 3．
2．
（25-26 九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥−𝑐= 0的解是𝑥1 = 1，𝑥2 = −2，
则另一个关于𝑥的方程𝑎(𝑥+ 3)2 + 𝑏(𝑥+ 3) = 𝑐的解是_____．
【答案】𝑥1 = −2，𝑥2 = −5
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【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
令𝑥+ 3 = 𝑡，则𝑎(𝑥+ 3)2 + 𝑏(𝑥+ 3) = 𝑐整理为𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡= 𝑐，由题意知，𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡−𝑐= 0的解是𝑡1 = 1，
𝑡2 = −2，即𝑥+ 3 = 1或𝑥+ 3 = −2，计算求解即可．
【详解】解：令𝑥+ 3 = 𝑡，
∴𝑎(𝑥+ 3)2 + 𝑏(𝑥+ 3) = 𝑐整理为𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡= 𝑐，
∴𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡−𝑐= 0，
∵关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥−𝑐= 0的解是𝑥1 = 1，𝑥2 = −2，
∴𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡−𝑐= 0的解是𝑡1 = 1，𝑡2 = −2，
∴𝑥+ 3 = 1或𝑥+ 3 = −2，
解得𝑥1 = −2，𝑥2 = −5，
故答案为：𝑥1 = −2，𝑥2 = −5．
3．（25-26 九年级上·江苏宿迁·期中）若一元二次方程𝑎(𝑥+ 𝑛)2 + 𝑝= 0的两个根为𝑥1 = 1，𝑥2 = −3，
则一元二次方程𝑎(𝑥+ 𝑛+ 3)2 + 𝑝= 0的解为______．
【答案】𝑥1 = −2，𝑥2 = −6
【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，得到方程𝑎(𝑥+ 𝑛+ 3)2 + 𝑝= 0的两根𝑥1、𝑥2满
足关系式𝑥1 + 3 = 1、𝑥2 + 3 = −3是解答的关键．由方程𝑎(𝑥+ 𝑛)2 + 𝑝= 0的两根为𝑥1 = 1，𝑥2 = −3，得
出方程𝑎(𝑥+ 𝑛+ 3)2 + 𝑝= 0的两根𝑥1、𝑥2满足关系式𝑥1 + 3 = 1、𝑥2 + 3 = −3，据此求解即可．
【详解】解：∵方程𝑎(𝑥+ 𝑛)2 + 𝑝= 0的两根为𝑥1 = 1，𝑥2 = −3，，
∴方程𝑎(𝑥+ 𝑛+ 3)2 + 𝑝= 0的两根𝑥1、𝑥2满足关系式𝑥1 + 3 = 1, 𝑥2 + 3 = −3，
∴𝑥1 = −2、𝑥2 = −6．
故答案为：𝑥1 = −2，𝑥2 = −6．
题型一 因式分解与几何综合
▌例1 （25-26八年级上·上海·期中）已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程𝑥2 −16𝑥+ 48 =
0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．25
B．21
C．19
D．17
【答案】A
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【分析】先求解给定的一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系排除不符合的取值，最
后计算得到三角形的周长.
【详解】解：∵𝑥2 −16𝑥+ 48 = 0，
因式分解得(𝑥−4)(𝑥−12) = 0，
∴𝑥= 4或𝑥= 12，
当𝑥= 4时，4 + 4 < 9，不满足三边关系，不能构成三角形，舍去，
当𝑥= 12时，4 + 9 > 12，满足三边关系，可以构成三角形，
∴三角形的周长为4 + 9 + 12 = 25.
▌对点练1-1（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程𝑥2 −9𝑥+ 14 = 0的两根恰好是某菱形的对角线长，则
这个菱形的面积是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积
等于其对角线乘积的一半计算面积即可．
【详解】解：∵𝑥2 −9𝑥+ 14 = 0，
∴(𝑥−2)(𝑥−7) = 0，
∴𝑥−2 = 0或𝑥−7 = 0，
解得𝑥= 2或𝑥= 7，
∵方程𝑥2 −9𝑥+ 14 = 0的两根恰好是某菱形的对角线长，
∴该菱形的两条对角线的长分别为2 和7，
∴该菱形的面积为
1
2 × 2 × 7 = 7．
▌对点练1-2（2026·山西朔州·模拟预测）一个菱形的边长是方程𝑥2 −8𝑥+ 15 = 0的一个根，菱形的一条
对角线长为6，则该菱形的面积为（ ）
A．48
B．24
C．24 或48
D．48 或40
【答案】B
【分析】先解方程得到边长的可能值，结合三角形三边关系舍去不合理的解，再利用菱形对角线互相垂直
平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线长，最后计算菱形面积即可．
【详解】解：解方程𝑥2 −8𝑥+ 15 = 0，
分解因式得(𝑥−3)(𝑥−5) = 0，
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解得𝑥= 3或𝑥= 5，
∵菱形对角线互相垂直平分，已知一条对角线长为6，因此该对角线一半长为3，
若菱形边长为3，则3 + 3 = 6，不能构成三角形，舍去；
若菱形边长为5，由勾股定理得另一条对角线的一半长为√52 −32 = 4，
∴另一条对角线长为2 × 4 = 8，
∴菱形面积为
1
2 × 6 × 8 = 24．
▌对点练1-3（2026·河南·一模）已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程𝑥2 −10𝑥+ 24 = 0的解，
则这个三角形的周长是（ ）
A．12
B．16
C．16或18
D．18
【答案】D
【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系筛选出符合条件的第三边，最后
计算周长得到结果．
【详解】解：解方程𝑥2 −10𝑥+ 24 = 0，
因式分解得(𝑥−4)(𝑥−6) = 0，
解得𝑥= 4或𝑥= 6，
∵三角形两边长为4 和8，
根据三角形三边关系，得第三边𝑐满足8 −4 < 𝑐< 8 + 4，
即4 < 𝑐< 12，
∴𝑥= 4不符合三边关系，舍去；
𝑥= 6符合要求，
∴三角形的周长为4 + 8 + 6 = 18．
题型二 已知方程的一个解求另一个解
解题步骤
1.代入已知解：把已知的解代入原方程，方程变为只含参数的一元一次方程。
2.解出参数：求解得到参数的具体数值。
3.(可选回代验证)：把求得的参数代回原方程，解方程，检验是否与已知解一致。
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▌例2（25-26 九年级上·四川绵阳·期末）已知2是关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 2𝑥−𝑘= 0的一个实数解，
则该方程的另一个解为（ ）
A．−4
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义、一元二次方程的解法以及根与系数的关系（韦达定理），
熟练掌握代入求值法和根与系数的关系公式是解题的关键．
方法一：将已知根𝑥= 2代入方程，求出参数𝑘的值，再解一元二次方程得到另一个根．
方法二：利用一元二次方程根与系数的关系，直接根据两根之和求出另一个根．
【详解】方法一：
∵2是方程𝑥2 + 2𝑥−𝑘= 0的一个实数解，
∴将𝑥= 2代入方程得22 + 2 × 2 −𝑘= 0，
即4 + 4 −𝑘= 0，
∴𝑘= 8
则原方程为𝑥2 + 2𝑥−8 = 0，
因式分解得(𝑥+ 4)(𝑥−2) = 0，
∴𝑥+ 4 = 0或𝑥−2 = 0，
解得𝑥1 = −4，𝑥2 = 2，
∴方程的另一个解为−4；
方法二：
设方程的另一个解为𝑥0，
∵在一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）中，两根之和为−
𝑏
𝑎，
在方程𝑥2 + 2𝑥−𝑘= 0中，𝑎= 1，𝑏= 2，
∴2 + 𝑥0 = −
2
1 = −2，
∴𝑥0 = −2 −2 = −4，
即方程的另一个解为−4．
故选：A．
▌对点练2-1（2026·辽宁沈阳·模拟预测）一元二次方程𝑥2 −3𝑥+ 𝑚= 0的一个根为3，那么它的另一个
根为（ ）
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A．−3
B．0
C．2
D．−2
【答案】B
【分析】已知一元二次方程的一个根，可先将根代入方程求出参数m 的值，再解一元二次方程得到另一个
根即可．
【详解】解：∵𝑥= 3是一元二次方程𝑥2 −3𝑥+ 𝑚= 0的根，
∴将𝑥= 3代入原方程得32 −3 × 3 + 𝑚= 0，可得𝑚= 0，
∴原方程为𝑥2 −3𝑥= 0，即𝑥(𝑥−3) = 0，
解得𝑥1 = 0,𝑥2 = 3，
∴方程的另一个根为0．
▌对点练2-2（25-26 八年级下·河南漯河·期末）关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −4𝑥+ 𝑐= 0的一个根为𝑥= 3，
那么它的另一个根为𝑥=（ ）
A．−3
B．1
C．3
D．−7
【答案】B
【分析】已知根代入方程求出参数𝑐，再解一元二次方程即可得到另一个根．
【详解】解：∵ 𝑥= 3 是一元二次方程 𝑥2 −4𝑥+ 𝑐= 0 的根，
∴ 将 𝑥= 3 代入原方程得：32 −4 × 3 + 𝑐= 0，
解得 𝑐= 3，
∴ 原方程为 𝑥2 −4𝑥+ 3 = 0，
(𝑥−3)(𝑥−1) = 0，
解得方程的两个根为 𝑥1 = 3，𝑥2 = 1.
∴ 方程的另一个根为 1．
题型三 因式分解解一元二次方程
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▌例3 （25-26 九年级上·河北邯郸·开学考试）解下列一元二次方程：
(1)𝑥2 −4𝑥−3 = 0
(2)𝑥2 −4 = 3(𝑥+ 2)
【答案】(1)𝑥1 = 2 −√7，𝑥2 = 2 + √7
(2)𝑥1 = −2，𝑥2 = 5
【分析】（1）根据公式法直接求解即可.
（2）把原方程等号左边部分进行因式分解，右边的项移到左边，再进一步分解因式求解即可.
【详解】（1）解：𝑥2 −4𝑥−3 = 0
∵Δ = (−4)2 −4 × 1 × (−3) = 16 + 12 = 28 > 0
∴𝑥=
−(−4)±√Δ
2
= 4 ± √28
2
= 4 ± 2√7
2
= 2 ± √7
∴𝑥1 = 2 −√7，𝑥2 = 2 + √7.
（2）解：𝑥2 −4 = 3(𝑥+ 2)
(𝑥+ 2)(𝑥−2) −3(𝑥+ 2) = 0
(𝑥+ 2)(𝑥−2 −3) = 0
(𝑥+ 2)(𝑥−5) = 0
易错点
1.等号右侧没有化为0 直接分解(最高频错误)
原理是“若A·B=0，则A=0 或B=0”，只有乘积等于0 才能拆分。
错例：x²-3x=4，直接写成x(x-3)=4，令x=4，x-3=4。
正确：移项得x²-3x-4=0，再因式分解。
2.方程两边直接约去含有未知数的因式，丢失根
只要因式里含未知数，不能直接除。
错例：x(x-2)=3x，两边同除以x，得到x-2=3，漏掉根x=0。
正确：移项x(x-2)-3x=0，提公因式再分解。
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𝑥+ 2 = 0或𝑥−5 = 0
𝑥1 = −2，𝑥2 = 5
▌对点练3-1．（25-26 八年级下·江西南昌·期末）解下列方程：
(1)𝑥2 −2𝑥+ 1 = 0；
(2)𝑥(𝑥−2) = 𝑥−2．
【答案】(1)𝑥1 = 𝑥2 = 1
(2)𝑥1 = 2，𝑥2 = 1
【详解】（1）解：𝑥2 −2𝑥+ 1 = 0
(𝑥−1)2 = 0
𝑥−1 = 0
解得𝑥1 = 𝑥2 = 1；
（2）解：𝑥(𝑥−2) = 𝑥−2
𝑥(𝑥−2) −(𝑥−2) = 0
(𝑥−2)(𝑥−1) = 0
∴𝑥−2 = 0或𝑥−1 = 0，
解得𝑥1 = 2，𝑥2 = 1．
▌对点练3-2．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）解方程：
(1)(𝑥−1)2 = 25；
(2)𝑥(𝑥+ 6) = −5(𝑥+ 6)．
【答案】(1)𝑥1 = 6, 𝑥2 = −4
(2)𝑥1 = −6,𝑥2 = −5
【详解】（1）解：(𝑥−1)2 = 25，
开平方，得𝑥−1 = ±√25，
∴𝑥−1 = 5或𝑥−1 = −5，
解得𝑥1 = 6,𝑥2 = −4；
（2）解：𝑥(𝑥+ 6) = −5(𝑥+ 6)，
移项，得𝑥(𝑥+ 6) + 5(𝑥+ 6) = 0，
因式分解，得(𝑥+ 6)(𝑥+ 5) = 0，
∴𝑥+ 6 = 0或𝑥+ 5 = 0，
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∴𝑥1 = −6,𝑥2 = −5．
题型四 判断因式分解步骤是否正确并改正
▌例4 （25-26 八年级下·浙江台州·期末）某同学解一元二次方程(𝑥−2)2 −3(𝑥−2) = 0的步骤如下：
(1)小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号）
(2)请写出你认为正确的解答过程．
【答案】(1)第②步
(2)𝑥= 2或𝑥= 5
【分析】不能在不确定𝑥−2 ≠0的前提下，等式两边同时除以(𝑥−2)，否则会漏掉𝑥−2 = 0这个解，正确
做法是移项后因式分解求解方程．
【详解】（1）第②步
（2）解：(𝑥−2)2 −3(𝑥−2) = 0，
(𝑥−2)(𝑥−5) = 0，
𝑥= 2或𝑥= 5．
▌对点练4-1．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程𝑥2 −4𝑥= 5时，两位同学的解法如
下：
嘉嘉同学
𝑥2 −4𝑥= 5
𝑥(𝑥−4) = 5
𝑥= 1或𝑥−4 = 5
∴𝑥1 = 1, 𝑥2 = 9
琪琪同学
∵𝑎= 1, 𝑏= −4, 𝑐= 5
∴𝑏2 −4𝑎𝑐= 16 −20 = −4 < 0
∴原方程无实数根
(1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填
“正确”或“错误”）；
(2)请选择合适的方法解一元二次方程：4𝑥(2𝑥+ 1) = 3(2𝑥+ 1)．
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【答案】(1)错误；错误．
(2)𝑥1 =
3
4 , 𝑥2 = −
1
2．
【分析】（1）由乘积为5 的两个因数有无数种情况从而可判断嘉嘉错误，通过移项分析发现琪琪对𝑐的分
析是错的；
（2）移项后用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：∵乘积为5 的两个因数有无数种情况，
∴嘉嘉由𝑥(𝑥−4) = 5得到𝑥= 1或𝑥−4 = 5是错误的；
因𝑥2 −4𝑥= 5化为一般式是𝑥2 −4𝑥−5 = 0，
∴𝑎= 1，𝑏= −4，𝑐= −5，
∴琪琪同学的解法错误；
（2）解：4𝑥(2𝑥+ 1) = 3(2𝑥+ 1)
移项得：4𝑥(2𝑥+ 1) −3(2𝑥+ 1) = 0，
提取公因式得：(4𝑥−3)(2𝑥+ 1) = 0，
∴4𝑥−3 = 0或2𝑥+ 1 = 0，
∴𝑥1 =
3
4 , 𝑥2 = −
1
2．
▌对点练4-2．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程5(𝑥−2) = (𝑥−2)2的过程
如图：
小明：
两边同除以(𝑥−2)，
得5 = 𝑥−2，
解得𝑥= 7．
小颖：
移项，得5(𝑥−2) −(𝑥−2)2 = 0，
提取公因式，得(𝑥−2)(5 −𝑥−2) = 0．
∴𝑥−2 = 0或5 −𝑥−2 = 0．
解得𝑥1 = 2,𝑥2 = 3．
(1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程；
(2)请结合上述解题过程归纳总结：形如𝑚𝑥2 = 𝑛𝑥的一元二次方程的一般解法．
【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确．
正确的解答过程：整理得：(𝑥−2)2 −5(𝑥−2) = 0，
∴(𝑥−2)[(𝑥−2) −5] = 0，即(𝑥−2)(𝑥−2 −5) = 0，
∴(𝑥−2)(𝑥−7) = 0，
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∴𝑥−2 = 0或𝑥−7 = 0，
∴𝑥1 = 2, 𝑥2 = 7．
(2)先移项将其整理为𝑚𝑥2 −𝑛𝑥= 0的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元
一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解．
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案；
（2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答．
【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑𝑥−2 = 0的情况，直接除以𝑥−2导致漏解，小颖错误的原因
是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案．
（2）解：先移项将其整理为𝑚𝑥2 −𝑛𝑥= 0的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两
个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解．
题型五 利用换元法求代数式的值
▌例5（25-26 九年级上·山东枣庄·阶段检测）已知实数𝑥满足(𝑥2 −4𝑥+ 4)2 + 5(𝑥2 −4𝑥+ 4) −6 = 0，
则𝑥2 −4𝑥+ 4的值为（ ）
A．−6或1
B．−1或6
C．6
D．1
【答案】D
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．
将𝑥2 −4𝑥+ 4看做一个整体，代入(𝑥2 −4𝑥+ 4)2 + 5(𝑥2 −4𝑥+ 4) −6 = 0求解，再根据𝑥2 −4𝑥+ 4 =
(𝑥−2)2 ≥0判断即可．
【详解】𝑥2 −4𝑥+ 4 = (𝑥−2)2 ≥0，
解题步骤
1.设元(换元):令重复出现的复杂代数式t=【重复的那一串式子】,把原方程转化为关于t 的一元二次方程。
2.解关于的一元二次方程，求出的两个候选解。
3.挖掘t 本身隐藏取值范围(关键!高频坑点)
①如果是平方、完全平方：t≥0
②如果t 是算术平方根：t≥0
③如果是分式：分母≠0
4.舍去不符合取值范围的t,留下符合条件的值，即为答案。
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设𝑥2 −4𝑥+ 4 = 𝑡，
∵实数𝑥满足(𝑥2 −4𝑥+ 4)2 + 5(𝑥2 −4𝑥+ 4) −6 = 0，
∴𝑡2 + 5𝑡−6 = 0，
∴(𝑡−1)(𝑡+ 6) = 0，
解得：𝑡1 = 1，𝑡2 = −6（舍去），
∴𝑥2 −4𝑥+ 4的值为1．
故选：D．
▌对点练5-1．（25-26 九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知实数x 满足(𝑥2 −𝑥)2 −4(𝑥2 −𝑥) −12 = 0，
则代数式𝑥2 −𝑥+ 1的值为（ ）
A．7
B．−1
C．7 或−1
D．−2或1
【答案】A
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将𝑥2 −𝑥看作一个整体，再用换元法解方程求出𝑥2 −𝑥的值即
可，解题的关键是掌握换元法解方程．
【详解】解：设𝑥2 −𝑥= 𝑦，则原方程可化为：𝑦2 −4𝑦−12 = 0，
解得𝑦= −2，𝑦= 6；
当𝑦= −2时，𝑥2 −𝑥= −2，即𝑥2 −𝑥+ 2 = 0，Δ = 1 −8 < 0，原方程没有实数根，故𝑦= −2不合题意，
舍去；
当𝑦= 6时，𝑥2 −𝑥= 6，即𝑥2 −𝑥−6 = 0，Δ = 1 + 24 > 0，故𝑦的值为6；
∴𝑥2 −𝑥+ 1 = 𝑦+ 1 = 6 + 1 = 7．
故选：A．
▌对点练5-2．
（25-26 八年级上·四川眉山·期中）若实数𝑥、𝑦满足(𝑥2 + 𝑦2 −2) (𝑥2 + 𝑦2 + 2)＝77，则𝑥2 + 𝑦2
＝（ ）
A．±9
B．9
C．±√79
D．√79
【答案】B
【分析】先把𝑥2 + 𝑦2看作一个整体，设𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎，则原方程可化为(𝑎−2) (𝑎+ 2) = 77，整理后解一元
二次方程即可得出方程的解，进而得出答案．
【详解】解：设𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎且𝑎≥0
∴(𝑎−2) (𝑎+ 2) = 77
整理得：𝑎2 = 81
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解得：𝑎= 9或𝑎= −9（舍）
则：𝑥2 + 𝑦2 = 9
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的常用解法是解题的关键．
题型六 利用换元法化简方程
▌例6 用换元法解方程
2𝑥
𝑥−1 −3 =
𝑥−1
𝑥时，设
𝑥
𝑥−1 = 𝑦，则原方程可化为关于𝑦的方程是（ ）
A．2𝑦2 −3𝑦−1 = 0
B．3𝑦2 −2𝑦+ 3 = 0
C．𝑦2 + 2𝑦−3 = 0
D．𝑦2 −2𝑦+ 1 = 0
【答案】A
【分析】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．设
𝑥
𝑥−1 = 𝑦，则原方程化为2𝑦−3 =
1
𝑦，
再整理即可．
【详解】解：
2𝑥
𝑥−1 −3 =
𝑥−1
𝑥，
设
𝑥
𝑥−1 = 𝑦，则原方程化为：2𝑦−3 =
1
𝑦，
2𝑦2 −3𝑦= 1，
2𝑦2 −3𝑦−1 = 0，
故选：A．
▌对点练6-1．（25-26 八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程
𝑥−1
𝑥=
3𝑥
𝑥−1 −2时，设
𝑥−1
𝑥= 𝑦，则原方
程可化为关于y 的方程是（ ）
A．𝑦2 + 2𝑦−3 = 0
B．𝑦2 + 2𝑦+ 3 = 0
C．𝑦2 −2𝑦−3 = 0
D．𝑦2 −2𝑦+ 3 = 0
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程．
由题意可得𝑦=
3
𝑦−2，再去分母可得𝑦2 + 2𝑦−3 = 0，即可求解．
【详解】解：设
𝑥−1
𝑥= 𝑦，
则原方程可化为： 𝑦=
3
𝑦−2，
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𝑦2 = 3 −2𝑦，
𝑦2 + 2𝑦−3 = 0，
故选：A．
▌对点练6-2．（2026·上海嘉定·二模）用换元法解方程
𝑥
𝑥−1 +
𝑥−1
𝑥= 2时，如果设
𝑥
𝑥−1 = 𝑦，那么原方程可
化为关于𝑦的整式方程是____．
【答案】𝑦2 −2𝑦+ 1 = 0
【分析】此题主要考查了换元法解分式方程，设
𝑥
𝑥−1 = 𝑦，则方程
𝑥
𝑥−1 +
𝑥−1
𝑥= 2可转化为：𝑦+
1
𝑦= 2，然后
再去分母，将该分式方程转化为整式方程即可．
【详解】解：设
𝑥
𝑥−1 = 𝑦，
则方程
𝑥
𝑥−1 +
𝑥−1
𝑥= 2可转化为：𝑦+
1
𝑦= 2，
去分母，方程两边同时乘以𝑦得：𝑦2 −2𝑦+ 1 = 0，
故答案为：𝑦2 −2𝑦+ 1 = 0．
题型七 换元法解一元二次方程
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▌例7 （25-26 九年级上·河南周口·期末）（1）解方程：(𝑥−2)2 + 2 −𝑥= 0；
（2）若(𝑥+ 2𝑦)2 + 4(𝑥+ 2𝑦) −5 = 0，求𝑥+ 2𝑦的值．
【答案】（1）𝑥1 = 2，𝑥2 = 3；（2）1 或−5．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）设𝑥+ 2𝑦= 𝑡，则原方程换元为𝑡2 + 4𝑡−5 = 0，可得𝑡1 = 1，𝑡2 = −5，即可求解．
本题考查了解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
【详解】解：（1）(𝑥−2)2 + 2 −𝑥= 0，
(𝑥−2)2 −(𝑥−2) = 0，
(𝑥−2)(𝑥−3) = 0，
∴𝑥−2 = 0，或𝑥−3 = 0，
∴𝑥1 = 2，𝑥2 = 3；
（2）设𝑥+ 2𝑦= 𝑡，则有𝑡2 + 4𝑡−5 = 0，
∴(𝑡−1)(𝑡+ 5) = 0，即𝑡−1 = 0或𝑡+ 5 = 0，
∴𝑡1 = 1，𝑡2 = −5，
∴𝑥+ 2𝑦的值为1 或−5．
解题步骤
1.观察，确定换元对象
找出重复出现的相同代数式，设t=该代数式。
记下t 自带取值范围：完全平方t≥0；分式t≠0；根号t≥0。
2.整体代入，转化方程
把原方程中重复部分全部替换成t,得到关于t 的一元二次方程：at²+bt+c=0。
3.解关于新元t 的一元二次方程
优先因式分解，其次公式法，求出t1、t2。
关键一步：根据的实际意义，舍去不符合取值范围的解。
4.回代，解原来的未知数
把有效的t 代回t=【原来代数式】,得到普通方程，解出原未知数x。
5.检验
①整式方程：代入验算；
②分式方程：必须检验分母不为0,舍去增根。
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▌对点练7-1．（25-26 八年级上·上海杨浦·阶段检测）解方程：(1 −𝑥)2 + √2(𝑥−1) −4 = 0．
【答案】𝑥1 = 1 −2√2,𝑥2 = 1 + √2
【分析】本题考查了解一元二次方程，设𝑥−1 = 𝑡解关于𝑡的方程，进而即可求解．
【详解】解：(1 −𝑥)2 + √2(𝑥−1) −4 = 0
设𝑥−1 = 𝑡，则原方程为𝑡2 + √2𝑡−4 = 0
∵𝑎= 1, 𝑏= √2, 𝑐= −4,Δ = 𝑏2 −4𝑎= 2 + 16 = 18
∴𝑡= −√2 ± √18
2
= −√2 ± 3√2
2
∴𝑡1 = −2√2，𝑡2 = √2．
∴𝑥1 = 1 −2√2, 𝑥2 = 1 + √2
▌对点练7-2．（2026 九年级下·广东茂名·竞赛）解方程：𝑥2 +
4
𝑥2 = 3 (𝑥+
2
𝑥)
【答案】𝑥= 2 ± √2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方
程变形是解题的关键．
先把原方程变为(𝑥+
2
𝑥)
2
−3 (𝑥+
2
𝑥) −4 = 0，设𝑥+
2
𝑥= 𝑦，则𝑦2 −3𝑦−4 = 0，解出方程可得𝑦= 4或𝑦=
−1，即可求解．
【详解】解：原方程变为(𝑥+
2
𝑥)
2
−3 (𝑥+
2
𝑥) −4 = 0，
设𝑥+
2
𝑥= 𝑦，则𝑦2 −3𝑦−4 = 0，
解得：𝑦= 4或𝑦= −1，
由𝑦= 4 即𝑥+
2
𝑥= 4，
解得𝑥= 2 ± √2，
由𝑦= −1 即𝑥+
2
𝑥= −1，此方程无解；
经检验：𝑥= 2 ± √2是原方程的解；
综上所述，原方程的解为𝑥= 2 ± √2．
题型八 换元法解答题综合
▌例8 （25-26 八年级下·山东济南·期末）解方程(𝑥−1)2 −5(𝑥−1) + 4 = 0时，我们可以将𝑥−1看成
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一个整体，设𝑥−1 = 𝑦，则原方程可化为𝑦2 −5𝑦+ 4 = 0，解得𝑦1 = 1，𝑦2 = 4．当𝑦= 1，即𝑥−1 = 1，
解得𝑥= 2；当𝑦= 4，即𝑥−1 = 4，解得𝑥= 5．所以原方程的解𝑥1 = 2，𝑥2 = 5．
(1)请你利用这种方法解方程：(2𝑥−1)2 −4(2𝑥−1) + 3 = 0；
(2)已知△𝐴𝐵𝐶三条边的长度分别为𝑎，𝑏，𝑐，若满足(𝑎2 + 𝑏2)2 −3(𝑎2 + 𝑏2) −4 = 0，且𝑐= 2，请判断△𝐴𝐵𝐶
的形状，并说明理由．
【答案】(1)𝑥1 = 1，𝑥2 = 2
(2)△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；理由如下：
∵𝑎、𝑏、𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三边，
∴𝑎2 > 0, 𝑏2 > 0，
∴𝑎2 + 𝑏2 > 0，
设𝑎2 + 𝑏2 = 𝑦 (𝑦> 0)，
则原方程可化为𝑦2 −3𝑦−4 = 0，
解得：𝑦1 = 4，𝑦2 = −1（舍去），
得𝑎2 + 𝑏2 = 4．
又∵𝑐= 2，
∴𝑐2 = 4．
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
【分析】（1）根据题中方法，设2𝑥−1 = 𝑦，将原方程可化为𝑦2 −4𝑦+ 3 = 0，解方程求出𝑦1 = 1，𝑦2 = 3；
分别代入求出𝑥的值即可；
（2）根据题中方法，设𝑎2 + 𝑏2 = 𝑦，求出𝑦，结合𝑐= 2，根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】（1）解：设2𝑥−1 = 𝑦，
则原方程可变为：𝑦2 −4𝑦+ 3 = 0，
解得：𝑦1 = 1，𝑦2 = 3，
当𝑦1 = 1即2𝑥−1 = 1时，解得：𝑥= 1；
当𝑦2 = 3即2𝑥−1 = 3时，解得：𝑥= 2；
∴原方程的解为：𝑥1 = 1，𝑥2 = 2；
（2）略
▌对点练8-1．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料：
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为解方程(𝑥2 −1)2 −5(𝑥2 −1) + 4 = 0，我们可以将(𝑥2 −1)视为一个整体，然后设𝑥2 −1 = 𝑦，则
(𝑥2 −1)2 = 𝑦2，原方程可化为𝑦2 −5𝑦+ 4 = 0， ①
解得𝑦1 = 4，𝑦2 = 1．
当𝑦= 4时，𝑥2 −1 = 4，∴𝑥2 = 5，∴𝑥= ±√5．
当𝑦= 1时，𝑥2 −1 = 1，∴𝑥2 = 2，∴𝑥= ±√2．
∴原方程的解为𝑥1 = √2，𝑥2 = −√2，𝑥3 = √5，𝑥4 = −√5．
以上方法就叫换元法，体现了转化的思想．
请仿照材料解决问题：
(1)解方程：(𝑥2 −2𝑥)2 −5𝑥2 + 10𝑥−6 = 0．
(2)若四个连续正整数的积为120，求出这四个连续的正整数．
【答案】(1)原方程的解为𝑥1 = 1 + √7，𝑥2 = 1 −√7，𝑥3 = 𝑥4 = 1
(2)这四个整数为2，3，4，5
【分析】（1）将原方程整理，设𝑦= 𝑥2 −2𝑥，则原方程可化为𝑦2 −5𝑦−6 = 0，利用因式分解法解方程，
再求x．
（2）设最小数为𝑥，由题意得𝑥(𝑥+ 1)(𝑥+ 2)(𝑥+ 3) = 120，即(𝑥2 + 3𝑥)(𝑥2 + 3𝑥+ 2) = 120，设𝑥2 + 3𝑥= 𝑦，
则𝑦(𝑦+ 2) = 120再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x 即可．
【详解】（1）解：原方程整理得(𝑥2 −2𝑥)2 −5(𝑥2 −2𝑥) −6 = 0 ，
设𝑦= 𝑥2 −2𝑥，
则原方程可化为𝑦2 −5𝑦−6 = 0，
因式分解得(𝑦−6)(𝑦+ 1) = 0，
解得𝑦1 = 6，𝑦2 = −1，
当𝑦= 6时，𝑥2 −2𝑥= 6，配方，得(𝑥−1)2 = 7，
解得𝑥1 = 1 + √7，𝑥2 = 1 −√7，
当𝑦= −1时，𝑥2 −2𝑥= −1，配方，得(𝑥−1)2 = 0，
解得𝑥3 = 𝑥4 = 1，
∴原方程的解为𝑥1 = 1 + √7，𝑥2 = 1 −√7，𝑥3 = 𝑥4 = 1．
（2）解：设最小数为𝑥，
由题意得𝑥(𝑥+ 1)(𝑥+ 2)(𝑥+ 3) = 120，
即(𝑥2 + 3𝑥)(𝑥2 + 3𝑥+ 2) = 120，
设𝑥2 + 3𝑥= 𝑦，
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则𝑦(𝑦+ 2) = 120，即𝑦2 + 2𝑦−120 = 0，
因式分解得(𝑦+ 12)(𝑦−10) = 0 ，
∴𝑦1 = −12，𝑦2 = 10，
∵𝑥为正整数，∴𝑥2 + 3𝑥= 10，即𝑥2 + 3𝑥−10 = 0，
因式分解得(𝑥−2)(𝑥+ 5) = 0，
解得𝑥1 = 2，𝑥2 = −5( 舍去)．
∴这四个整数为2,3,4,5．
▌对点练8-2．（25-26 九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题．
解方程：(4𝑥−1)2 −10(4𝑥−1) + 24 = 0．
解：把4𝑥−1视为一个整体，设4𝑥−1 = 𝑦，
则原方程化为𝑦2 −10𝑦+ 24 = 0，
解得𝑦1 = 6，𝑦2 = 4．
∴4𝑥−1 = 6或4𝑥−1 = 4．
∴𝑥1 =
7
4，𝑥2 =
5
4．
以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)𝑥4 −3𝑥2 + 2 = 0．
(2)(𝑥2 −2𝑥)2 −5𝑥2 + 10𝑥−6 = 0．
【答案】(1)
𝑥1 = 1，𝑥2 = −1，𝑥3 = √2，𝑥4 = −√2
(2)
𝑥1 = 1 + √7，𝑥2 = 1 −√7，𝑥3 = 𝑥4 = 1
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键．
（1）设𝑦= 𝑥2，将方程转化为关于𝑦的一元二次方程求解，再解关于𝑥的方程；
（2）设𝑦= 𝑥2 −2𝑥，将方程转化为关于𝑦的一元二次方程求解，再解关于𝑥的方程．
【详解】（1）解：设𝑦= 𝑥2，则原方程化为𝑦2 −3𝑦+ 2 = 0，
∴(𝑦−1)(𝑦−2) = 0，
∴𝑦−1 = 0或𝑦−2 = 0，
∴𝑦= 1或𝑦= 2，
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∴𝑥2 = 1或𝑥2 = 2，
∴原方程的解为𝑥1 = 1，𝑥2 = −1，𝑥3 = √2，𝑥4 = −√2；
（2）解：原方程为(𝑥2 −2𝑥)2 −5𝑥2 + 10𝑥−6 = 0，
即(𝑥2 −2𝑥)2 −5(𝑥2 −2𝑥) −6 = 0，
设𝑦= 𝑥2 −2𝑥，则原方程化为𝑦2 −5𝑦−6 = 0，
∴(𝑦−6)(𝑦+ 1) = 0，
∴𝑦−6 = 0或𝑦+ 1 = 0，
∴𝑦= 6或𝑦= −1，
∴𝑥2 −2𝑥= 6或𝑥2 −2𝑥= −1，
对于𝑥2 −2𝑥= 6，即𝑥2 −2𝑥−6 = 0，
∵Δ = (−2)2 −4 × 1 × (−6) = 4 + 24 = 28，
∴𝑥=
2±√28
2
=
2±2√7
2
= 1 ± √7，
对于𝑥2 −2𝑥= −1，即𝑥2 −2𝑥+ 1 = 0，
∵(𝑥−1)2 = 0，
∴𝑥3 = 𝑥4 = 1，
∴原方程的解为𝑥1 = 1 + √7，𝑥2 = 1 −√7，𝑥3 = 𝑥4 = 1．
基础通关
1．关于𝑥的方程𝑥2 −4𝑥+ 3 = 0，下列说法错误的是（ ）
A．二次项系数为1
B．常数项为0
C．一次项系数为−4
D．适合用因式分解法解方程
【答案】B
【分析】先根据一元二次方程各项系数的定义找出二次项、一次项、常数项，再对多项式因式分解，判断
解方程适用方法，选出错误说法．
【详解】解：选项A：方程𝑥2 −4𝑥+ 3 = 0的二次项系数为1，不符合题意；
选项B：方程𝑥2 −4𝑥+ 3 = 0的常数项是3，符合题意；
选项C：方程𝑥2 −4𝑥+ 3 = 0的一次项系数为−4，不符合题意；
选项D：∵𝑥2 −4𝑥+ 3 = (𝑥−1)(𝑥−3)，
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∴适合用因式分解法解方程，不符合题意．
2．（25-26 九年级上·浙江温州·开学考试）已知直角三角形有两条边长分别是方程𝑥2 −14𝑥+ 48 = 0的
两个根，则该直角三角形的斜边长是（ ）
A．10
B．2√7
C．10 或8
D．10 或2√7
【答案】C
【分析】先解一元二次方程，题目未说明给出的两条边都是直角边，需要分情况讨论，结合斜边是直角三
角形最长边的性质计算即可．
【详解】解：𝑥2 −14𝑥+ 48 = 0，
因式分解得(𝑥−6)(𝑥−8) = 0，
解得𝑥1 = 6,𝑥2 = 8，
即直角三角形的两条边长为6 和8，
∵直角三角形中斜边是最长边，
∴分两种情况讨论：
①当6 和8 均为直角边时，斜边长为√62 + 82 = √36 + 64 = √100 = 10；
②当8 为斜边，6 为直角边时，斜边长即为8；
综上，该直角三角形的斜边长为10 或8．
3．（25-26 八年级下·北京顺义·期末）方程𝑥2 = 2𝑥的解为（ ）
A．𝑥1 = 𝑥2 = 2
B．𝑥1 = 0，𝑥2 = 2
C．𝑥1 = 0，𝑥2 = −2
D．𝑥1 = 2，𝑥2 = −2
【答案】B
【分析】使用因式分解法即可得到方程的解，用到因式分解中提取公因式的方法和“若两个数的乘积为0，
则至少其中一个数为0”的性质．
【详解】将原方程移项整理得 𝑥2 −2𝑥= 0，
提取公因式得 𝑥(𝑥−2) = 0，
∴𝑥= 0 或 𝑥−2 = 0，
解得 𝑥1 = 0，𝑥2 = 2．
4．（2026·河北沧州·三模）保定古莲花池内一个景观石的坐标为(𝑚, 𝑛)且满足：𝑚，𝑛是一元二次方程𝑥2 −
2𝑥−3 = 0的两个根，𝑚< 𝑛，则表示景观石位置的点(𝑚, 𝑛)在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
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【分析】先解一元二次方程得到两个根，结合𝑚< 𝑛确定点横纵坐标的符号，再根据象限的坐标特征判断点
所在象限．
【详解】解：𝑥2 −2𝑥−3 = 0，
(𝑥−3)(𝑥+ 1) = 0，
∴ 𝑥−3 = 0 或 𝑥+ 1 = 0，
解得 𝑥1 = 3，𝑥2 = −1，
∵ 𝑚，𝑛是方程的两个根，且𝑚< 𝑛，
∴ 𝑚= −1，𝑛= 3，即点坐标为(−1,3)，
∵ 横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征，
∴ 点(𝑚, 𝑛)在第二象限．
5．（2026·安徽宣城·二模）如图，这是小卫同学解一元二次方程5𝑥(3𝑥−2) = 2(2 −3𝑥)的过程，判断他
在解答过程中出现错误的步骤是（ ）
小卫同学解答过程：
解：5𝑥(3𝑥−2) = 2(2 −3𝑥)， 第一步
5𝑥(3𝑥−2) −2(2 −3𝑥) = 0， 第二步
(5𝑥−2)(3𝑥−2) = 0， 第三步
5𝑥−2 = 0或3𝑥−2 = 0， 第四步
解得𝑥=
2
5或𝑥=
2
3． 第五步
A．第一步
B．第二步
C．第三步
D．第四步
【答案】C
【详解】解：正确步骤如下：
5𝑥(3𝑥−2) = 2(2 −3𝑥)，
5𝑥(3𝑥−2) −2(2 −3𝑥) = 0，
(5𝑥+ 2)(3𝑥−2) = 0，
5𝑥+ 2 = 0或3𝑥−2 = 0，
解得𝑥= −
2
5或𝑥=
2
3．
∴第三步的提取公因式出错．
6．（2026·安徽安庆·模拟预测）我们规定一种新运算“★”，其意义为𝑎★𝑏= 𝑎2 −𝑎𝑏+ 2，若(2𝑥−1) ★
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(𝑥+ 3) = 11，则𝑥的值为（ ）
A．𝑥1 =
1
2，𝑥2 = −5
B．𝑥1 = −
1
2，𝑥2 = 5
C．𝑥1 = −1，𝑥2 =
5
2
D．𝑥1 = 1，𝑥2 = −
5
2
【答案】B
【分析】根据新运算的定义将原式转化为一元二次方程，整理求解即可得到答案．
【详解】解：∵𝑎⋆𝑏= 𝑎2 −𝑎𝑏+ 2，
∴(2𝑥−1) ⋆(𝑥+ 3) = (2𝑥−1)2 −(2𝑥−1)(𝑥+ 3) + 2，
又∵(2𝑥−1) ⋆(𝑥+ 3) = 11，
∴4𝑥2 −4𝑥+ 1 −(2𝑥2 + 5𝑥−3) + 2 = 11，
2𝑥2 −9𝑥−5 = 0，
(2𝑥+ 1)(𝑥−5) = 0，
解得：𝑥1 = −
1
2，𝑥2 = 5．
7．（25-26 九年级下·云南昆明·阶段检测）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律
排列下去，第（ ）个图形共有45 个小球．
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】A
【分析】根据图形变化规律可知，第n 个图形有1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ 𝑛=
1
2 𝑛(1 + 𝑛)个小球，据此规律列出
一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：第1 个图中有1 个小球，
第2 个图中有3 个小球，3 = 1 + 2，
第3 个图中有6 个小球，6 = 1 + 2 + 3，
第4 个图中有10 个小球，10 = 1 + 2 + 3 + 4，
．．．．．．
照此规律，第𝑛个图中有1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ 𝑛=
1
2 𝑛(1 + 𝑛)个小球，
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由题意得
1
2 𝑛(1 + 𝑛) = 45，
解得𝑛= 9或𝑛= −10，
∴第9 个图形共有45 个小球．
8．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）若𝑥= 1是关于x 的一元二次方程(𝑚−1)𝑥2 −𝑥+ 𝑚2 = 0的一个
根，则m 的值是________ ．
【答案】−2
【分析】把𝑥= 1代入方程(𝑚−1)𝑥2 −𝑥+ 𝑚2 = 0中，求出𝑚的值，结合𝑚−1 ≠0即可得解．
【详解】解：由题意得：把𝑥= 1代入方程(𝑚−1)𝑥2 −𝑥+ 𝑚2 = 0中得：𝑚−1 −1 + 𝑚2 = 0，
解得：𝑚1 = −2，𝑚2 = 1，
∵𝑚−1 ≠0，
∴𝑚≠1，
∴𝑚= −2，
9．
（25-26 八年级下·安徽马鞍山·期末）一个三角形的两边长分别为5 和7，第三边长是方程𝑥2 −6𝑥+ 8 = 0
的根，则这个三角形的周长为___________．
【答案】16
【分析】先解一元二次方程得到方程的两个根，再根据三角形三边关系判断符合题意的第三边长度，最后
计算三角形周长即可．
【详解】解：解方程𝑥2 −6𝑥+ 8 = 0，得𝑥1 = 2，𝑥2 = 4．
设第三边长为𝑥，
根据三角形三边关系可得7 −5 < 𝑥< 7 + 5，即2 < 𝑥< 12，
所以第三边长为4．
所以三角形的周长为5 + 7 + 4 = 16．
10．（25-26 九年级上·广东广州·期末）定义新运算“𝑎∗𝑏”：对于任意实数𝑎，𝑏，都有𝑎∗𝑏= (𝑎+ 𝑏)2 −2𝑎，
如2 ∗3 = (2 + 3)2 −2 × 2 = 25 −4 = 21．若𝑥∗𝑚= 0（𝑚为实数）是关于𝑥的方程，且𝑥= 2是这个方程
的一个根，则𝑚的值是______．
【答案】0 或−4
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键．
将𝑥= 2代入方程𝑥∗𝑚= 0，根据定义运算得到关于m 的方程，然后解方程即可．
【详解】解：∵𝑥= 2是方程𝑥∗𝑚= 0的一个根，
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∴2 ∗𝑚= 0，
∵𝑎∗𝑏= (𝑎+ 𝑏)2 −2𝑎，
∴2 ∗𝑚= (2 + 𝑚)2 −2 × 2．
∵𝑥∗𝑚= 0，
∴(2 + 𝑚)2 −2 × 2 = 0，
∴(2 + 𝑚)2 = 4，
∴2 + 𝑚= ±2，
解得𝑚= 0或𝑚= −4．
故答案为：0 或−4．
11．（25-26 八年级下·甘肃嘉峪关·期末）解方程：
(1)𝑥2 −5𝑥= 0；
(2)𝑥2 −7𝑥+ 6 = 0；
(3)(𝑥+ 3)2 = 2𝑥+ 5．
【答案】(1)𝑥1 = 0，𝑥2 = 5
(2)𝑥1 = 1，𝑥2 = 6
(3)𝑥1 = 𝑥2 = −2
【详解】（1）解：𝑥2 −5𝑥= 0
𝑥(𝑥−5) = 0，
𝑥= 0或𝑥−5 = 0，
∴𝑥1 = 0，𝑥2 = 5；
（2）解：𝑥2 −7𝑥+ 6 = 0
(𝑥−6)(𝑥−1) = 0，
𝑥−6 = 0或𝑥−1 = 0，
∴𝑥1 = 1，𝑥2 = 6；
（3）解：(𝑥+ 3)2 = 2𝑥+ 5，
𝑥2 + 6𝑥+ 9 −2𝑥−5 = 0，
𝑥2 + 4𝑥+ 4 = 0，
(𝑥+ 2)2 = 0，
𝑥+ 2 = 0，
∴𝑥1 = 𝑥2 = −2．
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12．（25-26 九年级上·江苏淮安·开学考试）关于x 的一元二次方程𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 𝑚2 + 𝑚= 0有两个不相
等的实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)已知𝑥= 2是方程的一个解，求m 的值．
【答案】(1)𝑚< 0；
(2)−1或−4．
【分析】（1）根据根的判别式求解即可；
（2）将𝑥= 2代入𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 𝑚2 + 𝑚= 0，求解关于𝑚的一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 𝑚2 + 𝑚= 0有两个不相等的实数根，
∴(2𝑚)2 −4 × 1 × (𝑚2 + 𝑚) > 0，
即4𝑚2 −4𝑚2 −4𝑚> 0，
解得：𝑚< 0；
（2）解：将𝑥= 2代入𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 𝑚2 + 𝑚= 0得4 + 4𝑚+ 𝑚2 + 𝑚= 0，
即𝑚2 + 5𝑚+ 4 = 0，
∴(𝑚+ 1)(𝑚+ 4) = 0，
∴𝑚+ 1 = 0或𝑚+ 4 = 0，
解得：𝑚1 = −1, 𝑚2 = −4．
∵𝑚1 = −1, 𝑚2 = −4均满足𝑚< 0，
∴m 的值是−1或−4．
13．（25-26 八年级下·吉林·期末）如果方程𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞= 0满足两个实数解都为整数解，我们就称所有
这样的一元二次方程为同族方程，并规定𝐺=
𝑝2
𝑞，例如𝑥2 −7𝑥+ 12 = 0有整数解3 和4，所以𝑥2 −7𝑥+ 12 =
0属于同族方程，所以𝐺=
(−7)2
12
=
49
12．
(1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号)
①𝑥2 −5𝑥+ 6 = 0；②𝑥2 −3𝑥+ 1 = 0；③2𝑥2 −3𝑥−2 = 0；④𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0．
(2)如果同族方程𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞= 0中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对
任意一个完美方程，总有𝐺= 4；
(3)关于x 的一元二次方程𝑘𝑥2 −(𝑘−3)𝑥−3 = 0属于同族方程，求正整数k 的值．
【答案】(1)①④
(2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞= 0有两个相等的实数解，
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∴ Δ = 𝑝2 −4𝑞= 0，即𝑝2 = 4𝑞．
∵ 𝐺=
𝑝2
𝑞有意义，
∴ 𝑞≠0．
∴ 𝐺=
4𝑞
𝑞= 4．
故对任意一个完美方程，总有𝐺= 4
(3)正整数𝑘的值为1 或3
【分析】（1）分别解四个方程即可得解；
（2）由题意可知根的判别式Δ = 𝑝2 −4𝑞= 0，从而求出𝐺=
𝑝2
𝑞=
4𝑞
𝑞= 4；
（3）求解这个一元二次方程，再根据同族方程定义即可得解．
【详解】（1）解方程𝑥2 −5𝑥+ 6 = 0得：𝑥1 = 2, 𝑥2 = 3，满足两个实数解都为整数解，
故①𝑥2 −5𝑥+ 6 = 0是同族方程；
解方程𝑥2 −3𝑥+ 1 = 0得：𝑥1 =
3+√5
2
, 𝑥2 =
3−√5
2 ，不满足两个实数解都为整数解，
故②𝑥2 −3𝑥+ 1 = 0不是同族方程；
解方程2𝑥2 −3𝑥−2 = 0得：𝑥1 = 2, 𝑥2 = −
1
2，不满足两个实数解都为整数解，
故③2𝑥2 −3𝑥−2 = 0不是同族方程；
解方程𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0得：𝑥1 = 𝑥2 = 2，满足两个实数解都为整数解，
故④𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0是同族方程；
故是同族方程的是①④；
（2）略
（3）由一元二次方程𝑘𝑥2 −(𝑘−3)𝑥−3 = 0得：(𝑥−1)(𝑘𝑥+ 3) = 0，𝑘≠0，
解得：𝑥1 = 1, 𝑥2 = −
3
𝑘，
∵一元二次方程𝑘𝑥2 −(𝑘−3)𝑥−3 = 0属于同族方程，
∴−
3
𝑘是整数，
∴正整数k 的值为1 或3．
素养提升
1．（2026·四川雅安·一模）如图①是第14 届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽
的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，已知大
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正方形的边长𝐴𝐷为25，小正方形的边长𝐸𝐹为17，则𝐴𝐸的长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得到𝐴𝐻= 𝐷𝐺，推出𝐴𝐸= 𝐷𝐻，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，△𝐴𝐷𝐻≌△𝐷𝐶𝐺，
∴𝐴𝐻= 𝐷𝐺，
∵小正方形的边长𝐸𝐹为17，
∴𝐸𝐻= 𝐸𝐹= 𝐻𝐺= 17，
∴𝐴𝐻−𝐸𝐻= 𝐷𝐺−𝐻𝐺，即𝐴𝐸= 𝐷𝐻，
∵大正方形的边长𝐴𝐷为25，∠𝐴𝐻𝐷= 90°，
∴𝐴𝐷2 = 𝐴𝐻2 + 𝐷𝐻2，
∴252 = (𝐴𝐸+ 17)2 + 𝐴𝐸2
∴𝐴𝐸= 7或𝐴𝐸= −24（舍去）．
2．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）若关于𝑥的一元二次方程(𝑥−𝑚)(𝑥−𝑛) = 0的解也是𝑎(𝑥−3)2 = 𝑏
（𝑎≠0）的解，则𝑚与𝑛满足的数量关系为（ ）
A．𝑚+ 𝑛= 3
B．𝑚+ 𝑛= 6
C．𝑚+ 𝑛= 6𝑎
D．𝑚+ 𝑛= 6𝑏
【答案】B
【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算𝑚与𝑛的和，得到二者的数量关
系．
【详解】解：对于方程(𝑥−𝑚)(𝑥−𝑛) = 0，
∴𝑥1 = 𝑚, 𝑥2 = 𝑛，
对于方程𝑎(𝑥−3)2 = 𝑏(𝑎≠0)，
变形得 (𝑥−3)2 =
𝑏
𝑎，
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直接开方得 𝑥−3 = ±√𝑏
𝑎，
整理得 𝑥1 = 3 + √𝑏
𝑎, 𝑥2 = 3 −√𝑏
𝑎，
∵两个方程的解相同，
∴𝑚+ 𝑛= (3 + √𝑏
𝑎) + (3 −√𝑏
𝑎) = 6，
即𝑚+ 𝑛= 6．
3．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）若关于𝑥的一元二次方程4𝑥2 + 4𝑚𝑥+ 2𝑚2 + 6𝑚+ 9 = 0有解，则
该方程的解是（ ）
A．−1.5和1.5
B．1.5和1.5
C．0和−1.5
D．0和3
【答案】B
【分析】利用一元二次方程有解的条件，即判别式Δ ≥0，结合平方数的非负性求出𝑚的值，再代入原方程
求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程4𝑥2 + 4𝑚𝑥+ 2𝑚2 + 6𝑚+ 9 = 0有解，
∴判别式Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐≥0，
其中𝑎= 4，𝑏= 4𝑚，𝑐= 2𝑚2 + 6𝑚+ 9代入得，
Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐= (4𝑚)2 −4 × 4 × (2𝑚2 + 6𝑚+ 9)，
= 16𝑚2 −16 × (2𝑚2 + 6𝑚+ 9)
= −16(𝑚2 + 6𝑚+ 9)
= −16(𝑚+ 3)2
∵对任意实数𝑚，都有(𝑚+ 3)2 ≥0，
∴−16(𝑚+ 3)2 ≤0，结合Δ ≥0，得−16(𝑚+ 3)2 = 0，
解得𝑚= −3，
将𝑚= −3代入原方程，得4𝑥2 −12𝑥+ 9 = 0，
整理为(2𝑥−3)2 = 0，
解得𝑥1 = 𝑥2 = 1.5，
所以该方程的解是1.5和1.5．
4．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐸⊥𝐵𝐷于点E，若𝐴𝐵= 3，𝐴𝑂−𝐵𝐸=
3
2，
则𝐴𝐷的长为（ ）
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A．4
B．3√2
C．3√3
D．6
【答案】C
【分析】根据矩形的性质得出𝐴𝐶= 𝐵𝐷，𝐴𝑂=
1
2 𝐴𝐶，𝐵𝑂=
1
2 𝐵𝐷，∠𝐵𝐴𝐷= 90°，设𝐵𝐸= 𝑥，则𝐴𝑂= 𝐵𝑂=
3
2 + 𝑥，
根据勾股定理得出32 −𝑥2 = (𝑥+
3
2)
2
−(
3
2)
2
，解方程得出𝑥1 =
3
2，𝑥2 = −3（舍去），根据勾股定理求出𝐴𝐷=
√𝐵𝐷2 −𝐴𝐵2 = 3√3即可．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐷，𝐴𝑂=
1
2 𝐴𝐶，𝐵𝑂=
1
2 𝐵𝐷，∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
∴𝐴𝑂= 𝐵𝑂，
∵𝐴𝑂−𝐵𝐸=
3
2，
∴𝐵𝑂−𝐵𝐸=
3
2，即𝑂𝐸=
3
2，
设𝐵𝐸= 𝑥，则𝐴𝑂= 𝐵𝑂=
3
2 + 𝑥，
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐸𝑂= 90°，
根据勾股定理得：𝐴𝐸2 = 𝐴𝐵2 −𝐵𝐸2，𝐴𝐸2 = 𝐴𝑂2 −𝑂𝐸2，
∴𝐴𝐵2 −𝐵𝐸2 = 𝐴𝑂2 −𝑂𝐸2，
即32 −𝑥2 = (𝑥+
3
2)
2
−(
3
2)
2
，
解得：𝑥1 =
3
2，𝑥2 = −3（舍去），
∴𝐵𝑂= 𝑥+
3
2 = 3，
∴𝐵𝐷= 2𝐵𝑂= 6，
∴𝐴𝐷= √𝐵𝐷2 −𝐴𝐵2 = 3√3．
5．（25-26 八年级下·江苏苏州·期末）关于𝑥的方程𝑥2 + (𝑚+ 3)𝑥+ 2𝑚+ 2 = 0有一个小于1的非负数解，
那么𝑚的取值范围是（ ）
A．−1 ≤𝑚< 0
B．−1 < 𝑚≤0
C．−2 ≤𝑚< −1
D．−2 < 𝑚≤−1
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【答案】D
【分析】先对一元二次方程因式分解得到两个根，再根据“有一个小于1 的非负数解”的条件列出不等式
组，求解即可得到𝑚的取值范围．
【详解】解：∵𝑥2 + (𝑚+ 3)𝑥+ 2𝑚+ 2 = 0，
∴(𝑥+ 2)(𝑥+ 𝑚+ 1) = 0，
∴𝑥+ 2 = 0或𝑥+ 𝑚+ 1 = 0，
解得𝑥1 = −2, 𝑥2 = −𝑚−1，
∵关于𝑥的方程𝑥2 + (𝑚+ 3)𝑥+ 2𝑚+ 2 = 0有一个小于1的非负数解，且−2 < 0，即−2不是非负数，
∴0 ≤−𝑚−1 < 1
解得−2 < 𝑚≤−1．
6．（25-26 八年级上·上海金山·阶段检测）如果|𝑚2 + 2𝑚| + √𝑛2 + 𝑚𝑛−2 = 4𝑚−1，那么𝑚+ 𝑛的值
为（ ）
A．3 或2
B．−3或2
C．−1或2
D．3 或−2
【答案】C
【分析】此题考查了绝对值和算术平方根的非负性，解一元二次方程，代数式求值，完全平方公式，解题
的关键是掌握以上知识点．
由方程左边非负可得4𝑚−1 ≥0，求出𝑚≥
1
4，得到𝑚2 + 2𝑚> 0，方程化为𝑚2 −2𝑚+ 1 + √𝑛2 + 𝑚𝑛−2 =
0，利用非负性求出𝑚= 1，𝑛= −2或𝑛= 1，然后代入求解即可．
【详解】解：∵|𝑚2 + 2𝑚| ≥0，√𝑛2 + 𝑚𝑛−2 ≥0，且|𝑚2 + 2𝑚| + √𝑛2 + 𝑚𝑛−2 = 4𝑚−1，
∴4𝑚−1 ≥0，
∴𝑚≥
1
4，
∴𝑚2 + 2𝑚> 0，
∴𝑚2 + 2𝑚+ √𝑛2 + 𝑚𝑛−2 = 4𝑚−1，
∴𝑚2 −2𝑚+ 1 + √𝑛2 + 𝑚𝑛−2 = 0，
∴(𝑚−1)2 + √𝑛2 + 𝑚𝑛−2 = 0，
∴𝑚−1 = 0，𝑛2 + 𝑚𝑛−2 = 0，
∴𝑚= 1，𝑛2 + 𝑛−2 = 0，
∴(𝑛+ 2)(𝑛−1) = 0，
∴𝑛+ 2 = 0或𝑛−1 = 0，
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∴𝑛= −2或𝑛= 1，
∴𝑚+ 𝑛= 1 + (−2) = −1或𝑚+ 𝑛= 1 + 1 = 2．
故选：C．
7．（25-26 八年级下·安徽蚌埠·期末）若𝑚，𝑛为正实数，设𝑘=
𝑚
𝑛，𝑡是关于𝑥的方程𝑥2 + 2𝑚𝑥= 𝑛2的一
个正实数根．
（1）当𝑘= 𝑡= 1时，则𝑚的值是________；
（2）当𝑘=
1
2时，则
𝑡
𝑛的值是________．
【答案】 1 + √2/√2 + 1 √5−1
2
【分析】（1）根据t 是关于x 的方程的一个正实数根得到𝑡2 + 2𝑚𝑡= 𝑛2，配方即可得(𝑡+ 𝑚)2 = 𝑚2 + 𝑛2，
根据𝑘= 𝑡= 1，𝑘=
𝑚
𝑛，得到𝑚= 𝑛，即可得到𝑚2 −2𝑚−1 = 0，再解方程即可；
（2）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到𝑡2 + 2𝑚𝑡= 𝑛2，配方即可得(𝑡+ 𝑚)2 = 𝑚2 + 𝑛2，根据𝑘=
1
2，
𝑘=
𝑚
𝑛，得到𝑚=
1
2 𝑛，即可得到(𝑡+
1
2 𝑛)
2
= (
1
2 𝑛)
2
+ 𝑛2，化简后两边同时除以𝑛2，将方程转化为(
𝑡
𝑛)
2
+
𝑡
𝑛= 1，
解方程即可．
【详解】解：（1）∵𝑡是关于𝑥的方程𝑥2 + 2𝑚𝑥= 𝑛2的一个正实数根，
∴𝑡2 + 2𝑚𝑡= 𝑛2，
∴𝑡2 + 2𝑚𝑡+ 𝑚2 = 𝑛2 + 𝑚2，
即(𝑡+ 𝑚)2 = 𝑚2 + 𝑛2．
∵𝑘= 𝑡= 1，𝑘=
𝑚
𝑛，
∴𝑛= 𝑚，
∵(𝑡+ 𝑚)2 = 𝑚2 + 𝑛2，
∴(1 + 𝑚)2 = 𝑚2 + 𝑚2，
∴𝑚2 −2𝑚−1 = 0，
解得𝑚=
2±2√2
2
= 1 ± √2，
∵𝑚，𝑛为正实数，
∴𝑚= 1 + √2．
（2）∵𝑡是关于𝑥的方程𝑥2 + 2𝑚𝑥= 𝑛2的一个正实数根，
∴𝑡2 + 2𝑚𝑡= 𝑛2，
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∴𝑡2 + 2𝑚𝑡+ 𝑚2 = 𝑛2 + 𝑚2，
即(𝑡+ 𝑚)2 = 𝑚2 + 𝑛2．
∵𝑘=
1
2，𝑘=
𝑚
𝑛，
∴𝑚=
1
2 𝑛，
∵(𝑡+ 𝑚)2 = 𝑚2 + 𝑛2，
∴(𝑡+
1
2 𝑛)
2
= (
1
2 𝑛)
2
+ 𝑛2，
∴𝑡2 + 𝑛𝑡+
1
4 𝑛2 =
1
4 𝑛2 + 𝑛2，
∴(
𝑡
𝑛)
2
+
𝑡
𝑛−1 = 0，
解得
𝑡
𝑛=
−1±√5
2
，
∵n、t 均为正实数，
∴
𝑡
𝑛= √5−1
2 ．
8．若方程(2026𝑥)2 −2025 × 2027𝑥−1 = 0的较大根为𝑎，方程𝑥2 −2026𝑥−2027 = 0的较小根为𝑏，则
(𝑎+ 𝑏)2027 =______________．
【答案】0
【分析】分别用因式分解法解两个一元二次方程，根据题意求得𝑎= 1，𝑏= −1，再代入代数式，即可求解．
【详解】解：(2026𝑥)2 −2025 × 2027𝑥−1 = 0
∴(2026𝑥)2 −(2026 −1)(2026 + 1)𝑥−1 = 0
即(2026𝑥)2 −(20262 −1)𝑥−1 = 0
∴(𝑥−1)(20262𝑥+ 1) = 0
解得：𝑥1 = 1, 𝑥2 = −
1
20262
∴𝑎= 1
∵𝑥2 −2026𝑥−2027 = 0
∴(𝑥+ 1)(𝑥−2027) = 0
解得：𝑥1 = −1,𝑥2 = 2027
∴𝑏= −1
∴(𝑎+ 𝑏)2027 = 02027 = 0.
9．（25-26 八年级下·浙江杭州·阶段检测）若3𝑚2 −2𝑚−5 = 0, 5𝑛2 + 2𝑛−3 = 0，其中𝑚, 𝑛为实数且𝑚, 𝑛≠
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1，𝑚≠
1
𝑛，则𝑚+
1
𝑛=____________．
【答案】
2
3
【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于
1
𝑛的一元二次方程，该方程与已知关于𝑚的方程形式相同，结
合条件可知𝑚和
1
𝑛是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和．
【详解】解：已知3𝑚2 −2𝑚−5 = 0，5𝑛2 + 2𝑛−3 = 0，且𝑚≠1，𝑛≠1．
由5𝑛2 + 2𝑛−3 = 0可得𝑛≠0，若𝑛= 0，等式左边为−3 ≠0，不成立．
将5𝑛2 + 2𝑛−3 = 0两边同时除以𝑛2，
得：5 +
2
𝑛−
3
𝑛2 = 0，
移项整理得：3(
1
𝑛)2 −2 ⋅
1
𝑛−5 = 0，
因此𝑚和
1
𝑛都是一元二次方程3𝑥2 −2𝑥−5 = 0的根．
对3𝑥2 −2𝑥−5 = 0因式分解，
得(3𝑥−5)(𝑥+ 1) = 0，
解得方程的两个根为𝑥1 =
5
3，𝑥2 = −1．
∵𝑚≠
1
𝑛，因此𝑚和
1
𝑛为方程两个不同的根．
𝑚+
1
𝑛=
5
3 + (−1) =
2
3．
10．（25-26 八年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴
围成矩形的周长与面积两者数值相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点𝑃分别作𝑥轴，𝑦轴的垂线，与
坐标轴围成矩形𝑂𝐴𝑃𝐵的周长与面积的数值如果相等，则点𝑃是和谐点．
(1)判断点𝑀(1,2)，𝑁(−4,4)是否为和谐点，点𝑀___________和谐点，点𝑁___________和谐点（填“是”、
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“不是”）
(2)求出在直线𝑦= 𝑥−3上且位于第一象限的和谐点的坐标．
(3)若和谐点𝑃(𝑎, 3)在直线𝑦= −𝑥+ 𝑏（𝑏为常数）上，求𝑎, 𝑏的值．
【答案】(1)不是；是
(2)(6,3)
(3)𝑎= 6, 𝑏= 9或𝑎= −6,𝑏= −3
【分析】（1）根据新定义，结合长方形的周长与面积公式求解；
（2）设直线𝑦= 𝑥−3上且位于第一象限的和谐点的坐标为(𝑚, 𝑚−3)，根据象限的坐标特征列出不等式组
求出𝑚的取值范围，再由定义列方程求解；
（3）根据定义得到(|𝑎| + 3) × 2 = 3|𝑎|，求出𝑎，再代入直线𝑦= −𝑥+ 𝑏求解𝑏．
【详解】（1）解：∵1 × 2 ≠2 × (1 + 2),|−4| × 4 = 2 × (|−4|+4)
∴点M 不是和谐点，点N 是和谐点；
（2）解：设直线𝑦= 𝑥−3上且位于第一象限的和谐点的坐标为(𝑚, 𝑚−3)
{
𝑚> 0
𝑚−3 > 0
，此时𝑚> 3
由题意得，𝑚(𝑚−3) = 2[𝑚+ (𝑚−3)]
𝑚2 −3𝑚= 4𝑚−6
𝑚2 −7𝑚+ 6 = 0
解得𝑚= 6或𝑚= 1（舍去）
∴和谐点为(6,3)；
（3）解：∵点𝑃(𝑎, 3)是和谐点
∴(|𝑎| + 3) × 2 = 3|𝑎|，解得𝑎= ±6
∴点P 的坐标为(6,3)或(−6,3)
∵点P 在直线𝑦= −𝑥+ 𝑏上
∴代入得3 = −6 + 𝑏或3 = 6 + 𝑏
解得𝑏= 9或𝑏= −3
∴𝑎= 6, 𝑏= 9或𝑎= −6, 𝑏= −3．
迁移创新
1．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）【阅读理解】
滨滨在学习二次根式性质时，发现有些含二次根式的式子，可以化成另一个含二次根式的式子的平方．例
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如4 + 2√3 = (1 + √3)
2，他的计算方法如下：
设4 + 2√3 = (𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2（𝑎> 0，𝑏> 0），得𝑎2 + 𝑏2 = 4，𝑎𝑏= √3，猜想𝑎𝑏= 1 × √3，验
证𝑎2 + 𝑏2 = 12 + (√3)
2 = 4成立，得4 + 2√3 = (1 + √3)
2．
【深入思考】
(1)江江发现把𝑎𝑏= √3两边平方，得𝑎2𝑏2 = 3，设𝑥= 𝑎2，又因为𝑎2 + 𝑏2 = 4，所以𝑏2 = 4 −𝑥，
这样就能先求𝑥的值，再求出𝑎，𝑏的值，请你把江江求𝑎，𝑏值的这个解题过程写完整．
【尝试探究】
(2)把下列各式化成含二次根式的式子的平方（直接写出结果）：
①6 + 2√5
②10 −2√21
【答案】(1)
把𝑎𝑏= √3两边平方，得𝑎2𝑏2 = 3，设𝑥= 𝑎2，又因为𝑎2 + 𝑏2 = 4，所以𝑏2 = 4 −𝑥，
所以𝑥(4 −𝑥) = 3，
整理得：𝑥2 −4𝑥+ 3 = 0，解得𝑥1 = 1，𝑥2 = 3，
当𝑥= 1时，𝑎2 = 1，𝑏2 = 3，
∵𝑎> 0，𝑏> 0，
∴𝑎= 1，𝑏= √3；
当𝑥= 3时，𝑎2 = 3，𝑏2 = 1，
∵𝑎> 0，𝑏> 0，
∴𝑎= √3，𝑏= 1；
综上，𝑎= 1，𝑏= √3或𝑎= √3，𝑏= 1．
(2)
① (√5 + 1)2；② (√7 −√3)2
【分析】（1）根据题干中的方法列出关于𝑥的一元二次方程，解方程即可；
（2）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：①设6 + 2√5 = (𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2（𝑎> 0，𝑏> 0），
得𝑎2 + 𝑏2 = 6，𝑎𝑏= √5，
猜想𝑎𝑏= 1 × √5，
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验证𝑎2 + 𝑏2 = 12 + (√5)
2 = 6成立，
得6 + 2√5 = (1 + √5)
2．
②设10 −2√21 = (𝑎−𝑏)2 = 𝑎2 −2𝑎𝑏+ 𝑏2（𝑎> 𝑏> 0），
得𝑎2 + 𝑏2 = 10，𝑎𝑏= √21，
猜想𝑎𝑏= √7 × √3，
验证𝑎2 + 𝑏2 = (√7)
2 + (√3)
2 = 10成立，
得10 −2√21 = (√7 −√3)
2．
2．（25-26 八年级下·安徽池州·期末）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中
有著名的数学家，也有业余数学爱好者．下面构造了一个新的证法：把两个全等的Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐸𝐷𝐴按
如图1 方式放置，其三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐸𝐴= 90°．
(1)请你利用图1 证明勾股定理；
(2)已知Rt △𝐴𝐵𝐶的三边为𝑎，𝑏，𝑐（𝑐为斜边），其中𝑎，𝑏满足(𝑎2 + 𝑏2)(𝑎2 + 𝑏2 −4) = 5，求Rt △𝐴𝐵𝐶的
斜边的长．
(3)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 𝑎，𝐴𝐶= 𝑏，𝐴𝐵= 𝑐，且𝑐> 𝑏> 𝑎，当△𝐴𝐵𝐶是钝角三角形时，猜想𝑎2 + 𝑏2与
𝑐2之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)证明：根据题意，由图1 可知：
𝐴𝐵= 𝐷𝐸= 𝑎，𝐴𝐶= 𝐴𝐸= 𝑏，𝐵𝐶= 𝐴𝐷= 𝑐，∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐷𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐸𝐴= 90°，
∴∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐹𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐴+ ∠𝐹𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐹𝐶= 180° −(∠𝐵𝐶𝐴+ ∠𝐹𝐴𝐶) = 180° −90° = 90°，
∴𝐵𝐶⊥𝐴𝐷，
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐶= 𝑆△𝐴𝐷𝐵+ 𝑆△𝐴𝐷𝐶 =
1
2 𝐴𝐷⋅𝐵𝐹+
1
2 𝐴𝐷⋅𝐶𝐹 =
1
2 𝐴𝐷⋅𝐵𝐶 =
1
2 𝑐2；
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又∵𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐶= 𝑆△𝐵𝐸𝐷+ 𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷
= 1
2 𝐷𝐸⋅𝐵𝐸+ 1
2 𝐷𝐸⋅𝐴𝐸+ 1
2 𝐴𝐶⋅𝐸𝐴
= 1
2 𝑎(𝑎−𝑏) + 1
2 𝑎× 𝑏+ 1
2 𝑏2
=
1
2 (𝑎2 + 𝑏2)，
∴
1
2 𝑐2 =
1
2 (𝑎2 + 𝑏2)，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2．
(2)√5
(3)𝑎2 + 𝑏2 < 𝑐2，理由如下：
过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝐶𝐵交𝐵𝐶延长线于𝐻，设𝐶𝐻= 𝑦，
在Rt △𝐴𝐻𝐶中，𝐴𝐻2 = 𝑏2 −𝑦2，
在Rt △𝐴𝐻𝐵中，𝐴𝐻2 = 𝑐2 −(𝑎+ 𝑦)2，
∴𝑏2 −𝑦2 = 𝑐2 −(𝑎+ 𝑦)2，
化简得，𝑎2 + 𝑏2 −𝑐2 = −2𝑎𝑦，
∵𝑎> 0，𝑦> 0，
∴−2𝑎𝑦< 0，
∴𝑎2 + 𝑏2 −𝑐2 < 0，
∴𝑎2 + 𝑏2 < 𝑐2．
【分析】（1）先证明𝐵𝐶⊥𝐴𝐷，再根据𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐶= 𝑆△𝐴𝐷𝐵+ 𝑆△𝐴𝐷𝐶，𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐶= 𝑆△𝐵𝐸𝐷+ 𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷，
结合三角形的面积公式推导结论即可；
（2）根据勾股定理得𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2，结合已知得到𝑐2(𝑐2 −4) = 5，进而解方程求得c 值即可；
（3）过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝐶𝐵交𝐵𝐶延长线于𝐻，设𝐶𝐻= 𝑦，在Rt △𝐴𝐻𝐶和Rt △𝐴𝐻𝐵中，利用勾股定理得到𝐴𝐻2 =
𝑏2 −𝑦2 = 𝑐2 −(𝑎+ 𝑦)2，进而化简即可证得结论．
【详解】（1）略
（2）解：在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2，
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∵(𝑎2 + 𝑏2)(𝑎2 + 𝑏2 −4) = 5
∴𝑐2(𝑐2 −4) = 5，
∴𝑐4 −4𝑐2 −5 = 0，
解得，𝑐2 = 5，𝑐2 = −1，
∵𝑐2 > 0，
∴𝑐2 = 5，
∴𝑐= √5（负值舍去）
∴Rt △𝐴𝐵𝐶的斜边的长为√5．
（3）略
