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专题21.8 公式法和因式分解法（专项练习）（拓展培优篇）
【试题信息】本专项练习分选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分.
一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要
求）
1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知 是一元二次方程 的一个实数根，则 的值为（ ）
A．0 B．0或2 C．2 D．0或
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握方程的解是满足方程的未
知数的值成为解题的关键．
把 代入一元二次方程 关于a的方程求解即可．
解：∵ 是一元二次方程 的一个实数根，
∴ ，解得： 或2．
故选：B．
2．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）对于两个不相等的实数 ，我们规定 表示 中较大的
数，如 ，若已知 ，则 的值为（ ）
A．3或 B． 或
C． 或 D．3或
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解 的定义，正确建立方程是解题关键．分两种情
况：①当 ，即 时，②当 ，即 时，根据定义建立方程，解方程即可得．
解：①当 ，即 时，则 ，
解得 或 （不符合题设，舍去）；
②当 ，即 时， ，解得 或 （不符合题设，舍去）；
综上， 的值为3或 ，
故选：D．
3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知实数 满足 ，则 的值为（ ）
A． B．4 C． 或4 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、
公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．设 ，则原方程可化为 ，利用因式
分解法解方程可得 的值，由此即可得．
解：设 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，即 ，
解得 或 ，
∴当 ，即 时，此时方程无解，
∴ ，
故选：B．
4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则 （ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可解：依题意得： ，
整理得： ，
解得： （舍去）
故选：B
5．（24-25八年级下·重庆·期中）若正数 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了代数式的变形求值，解一元二次方程，分式的运算等知识，根据公式法求出
，再将 变形为 ，最后将 代入即可求解，掌握相关知识是解题
的关键．
解： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∵ 是正数，
∴ ，
∵正数 满足 ，
∴ ，即 ，
∴ ，把 代入 ，得： ，
∴ ，
故选：C．
6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）小亮在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正
确答案小1，则 （ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】C
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
由题意，得 ，用因式分解法求解即可．
解：根据题意，得 ，
，
∴ ，
∵a为正数，
∴ ，
故选：C．
7．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知 是方程 和方程 的一个实数根，则方程
一定有实数根（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解，公式法
解一元二次方程是解题的关键．由题意知， ， ，则 ，即 ，可求 ，则
，即 ，公式法解方程，然后作答即可．
解：由题意知， ， ，
∴ ，即 ，
解得， ，即 ，
∴ ，即 ，
解得， ， ，
∴方程 一定有实数根 ，
故选：B．
8．（2025·河南郑州·二模）一次函数 的图象如图所示，则关于 的一元二次方程
的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．根的情况无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据一次函数的图像确定参数的范围，一元二次方程根的判别式确定根的情况，
先根据一次函数的图像得出 ， ，再根据一元二次方程根的判别式
即可得出答案．
解：根据题意可知： ， ，
对于 ，
，方程 有两个不相等的实数根，
∴
故选 C
∶
9．（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于x的方程 的根的判别式的值为1，若
， ，则P，Q的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程 的根的判别式为 ．
先利用根的判别式的意义得到 ，则 ，所以 ，然后计算 ，从而
可对各选项进行判断．
解：∵关于x的方程 的根的判别式的值为1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
故选：B．
10．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）2024年9月16日，邯郸市半程马拉松鸣枪开跑，嘉琪和她的
朋友李明参加了本次马拉松赛事．在比赛过程中，他们之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联
系．嘉琪运动到 点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口 向 运动后，就
失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为 ，李明的跑步速度为 足够长，多少秒后
他们再次取得联系？（ ）A． B． C． D．不会再取得联系
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，解一元二次方程；设 秒后他们再次取得联系，根据勾股定理建立方程，
解方程，即可求解．
解：设 秒后他们再次取得联系，依题意得， 米，再次取得联系时他们相距 米，
，
解得： （舍去）
答： 秒后他们再次取得联系，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知： ，若 ，则 的值
为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
运用因式分解法解一元二次方程，再把求得的结果代入 运算即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ （不符合题意舍去）， ，
把 代入 可得： ，故答案为： ．
12．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若 ，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了非负数的性质、解一元二次方程，由非负数的性质可得 ，
，再解一元二次方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
解 可得 或 ，
解 得 或 ，
综上所述， ，
故答案为： ．
13．（24-25九年级上·重庆永川·期中）已知关于 的分式方程 解为整数，且关于 的一元二
次方程 有实数根，则满足条件的整数a的和为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得
，根据分式方程有整数解可得 或 或 或 或 或 ，即可得到 或 或 或
或 或 ，再根据分式方程有意义可得 ，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得 ，进而
得到满足条件的所有整数 ，进而即可求解，根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数 的
值是解题的关键．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵分式方程 有整数解，
∴ 或 或 或 或 或 ，即 或 或 或 或 或 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 或 或 或 ，
又∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴满足条件的所有整数 的和为 ，
故答案为： ．
14．（2025·广东广州·一模）根据如图所示的程序计算函数 的值．若输入 的值为4，则输出 的值为
7．若输出的 值为13，则输入的 值为 ．
【答案】 或7/ 或
【分析】本题考查函数值、解一元二次方程，先根据已知求得b值，再由 分别解方程求得x值即可．
解：∵输入 的值为4，则输出 的值为7，且 ，
∴ ，解得 ，
若输出的 值为13，
则当 时，由 得 ；
当 时，由 得 ， （舍去），
综上，若输出的 值为13，则输入的x值为 或7，
故答案为： 或7．
15．（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限．
【答案】三
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一元二次方
程根的判别式，一次函数的图像与性质．先利用一元二次方程根的判别式的意义得到 ，然后根据一
次函数的性质解决问题．
解： 关于 的方程 有两个不相等的实数根，
，
解得： ，
，
函数 过第一、二、四象限，不经过第三象限
故答案为：三．
16．（22-23九年级下·四川南充·自主招生）若二次方程组 有唯一解，则k的所有可能取值
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了代入法，以及一元二次方程根的判别式，通过适当的方法，把不熟悉的问题转化为
熟悉的知识求解是解题的关键．利用代入法将方程组化为 ，再根
据二次方程组有唯一解分以下情况①当 时，②当 时，结合一元二次方程根的判别式讨论
求解，即可解题．
解：将 代入 中，
有 ，
整理得 ，
二次方程组 有唯一解，即 只有一个解，
①当 时，即 时，方程有一个解，②当 时，即 时，方程为一元二次方程，
有当 时，方程有两个相同的实数根，
即 ，
整理得 ，
，
此方程无实数根，
综上所述，当 时，二次方程组有唯一解，
故答案为： ．
17．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知关于 的方程 ，下列说法：
①当 时，方程无解；
②当 时，方程有两个相等的实数根；
③当 时，方程有两个相等的实数根；
④当 时，方程有两个不相等的实数根．
其中错误的是： （只填序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，当 时，找出 ．①当
时，找出方程，解方程发现方程有一个实数根，从而判断①不正确；②将 代入 中，
得出 ，由此得出②不正确；③将 代入 中，得出 ，由此得出③正确；④
结合①可知当 时，方程有一个实数根，从而得出④不正确，结合上面所述即可得出结论．
解：当 时， ．
①当 时，原方程为 ，
解得： ，故①不正确；
②当 时， ，
方程有两个不相等的实数根，故②不正确；③当 时， ，
方程有两个相等的实数根，故③正确；
④当 ， 时，方程有一个解 ，故④不正确；
综上，错误的是①②④．
故答案为：①②④．
18．（22-23九年级下·浙江宁波·自主招生）我国古代数学名著《九毫算术》的论割圆术中有：“割之弥
细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转
化过程．比如在表达式 中“ ”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程
，求得 ．类比上述过程，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了类比推理，通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去
负根），在运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．
解：类比题意的过程，令 ，
则两边平方得，则 ，
即 ，解得 ，或 （舍去），
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）解方程：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键；
（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
解：（1）解： ，，
或 ，
解得： ．
（2）解： ．
∴ ，
∴ ，
，
．
20．（本小题满分8分）（2025·广东广州·二模）已知 ．
（1）化简A；
（2）已知x满足 ，求A的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了分式化简和解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键．
（1）A括号内两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）利用因式分解法求出方程的解，结合分式有意义的条件，再代入化简后的代数式中计算即可．
解：（1）解：
；（2）解： ，
∴ ，
解得： ， ，
∵分式有意义，
∴ ， ，
∴当 时，
原式 ．
21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·重庆·期末）计算：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）设 ，则原方程化为 ，得到 或 ，当 时 ，解得 ；
当 时 ，方程无实数解；即可得到答案；
（2）整理方程得到 ，用因式分解法解方程即可．
解：（1）解：
设 ，则原方程化为 ，
解得 或 ，
当 时 ，解得 ；
当 时 ，方程无实数解；
；（2）解：
或
解得： ．
22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·浙江·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若方程有两个实数根，求 的范围；
（2）设方程的两个实数根是 ， ，若 ，试求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，
（1）根据方程的根的判别式 ，即可得出关于 的一元一次不等式，解之可得出 的取值范围；
（2）根据一元二次方程的解，可得出 ， ，将其代入
，可得出 ，再结合（1）中 的取值范围即可得
到 的取值范围；
解题的关键：（1）利用根的判别式 可确定 的取值范围；（2）利用一元二次方程的解得出
， ．
解：（1）解：∵关于 的一元二次方程 即 有两个实数根，
∴ ，
∴解得： ，
∴ 的范围是 ；（2）∵ ， 是方程的两个实数根
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ．
23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程
．
（1）若方程的一个根为 ，求a的值；
（2）若 ，求方程的两个根；
（3）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）1，2
【分析】本题考查一元二次方程的根的应用、求解方程的根以及根据方程根的情况求参数取值，解题关
键是熟练运用方程根的性质代入计算、选择合适方法解方程以及利用判别式建立不等式求解参数 ．
（1）把 代入方程求出a即可．
（2）将 代入方程，解一元二次方程即可；
（3）由题意可得 ，根据不等式，求出 的取值范围，再结合 是正整数求解．
解：（1）解：把 代入 得：
，
解得 ；
（2） 代入方程 得，
解得 ， ．
（3）解：∵方程 有实数根，
∴ ，
即 ，
，
，
．
∵又因为 是正整数且 ，
∴所以满足条件的正整数 的值为 ， ．
24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）利用数学的“转化”思想，我们可以将一些
新的方程转化成我们熟悉的方程来解．例如，一元三次方程 ，可以通过因式分解把它转化为
，分别解方程 和 ，可得方程 的解．
（1）问题：方程 的解是 ， ， ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪 的长 ，宽 ，小华把一根长为 的绳子的一端
固定在点 ，沿草坪边沿 ， 走到点 处，把长绳 段拉直并固定在点 ，然后沿草坪边沿 、
走到点 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 ．求 的长．
【答案】（1） ，2；（2） ；（3）
【分析】本题考查了解无理方程和高次方程，掌握一元二次方程的解法、因式分解、勾股定理及无理方
程的解法是解决本题的关键；（1）利用因式分解法求解；
（2）方程的两边平方，把根式方程化为整式方程，求解即可；
（3） ，先根据勾股定理用含 的代数式表示出 与 ，再利用线段的和差关系得方程，最后解
无理方程即可得结论．
解：（1）解： ，
，
．
或 或 ．
， ， ．
故答案为： ，2．
（2）解： ，
方程的两边平方，得 ，即 ．
．
或 ．
或 ．
经检验， 不是原方程的解．
原方程的解为 ．
（3）解：设 ，则 ．
在 和 中，
， ，
，
．
两边平方，得 ，
，方程两边平方，得 ，
整理，得 ．
．
．
经检验， 是原无理方程的解．
．
答： 长为 ．
