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专题21.8 公式法和因式分解法（专项练习）（拓展培优篇）
【试题信息】本专项练习分选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分.
一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要
求）
1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知 是一元二次方程 的一个实数根，则 的值为（ ）
A．0 B．0或2 C．2 D．0或
2．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）对于两个不相等的实数 ，我们规定 表示 中较大的
数，如 ，若已知 ，则 的值为（ ）
A．3或 B． 或 C． 或 D．3或
3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知实数 满足 ，则 的值为（ ）
A． B．4 C． 或4 D．2
4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则 （ ）
A． B． C． D． 或
5．（24-25八年级下·重庆·期中）若正数 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）小亮在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正
确答案小1，则 （ ）
A．1 B． C． D．1或
7．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知 是方程 和方程 的一个实数根，则方程
一定有实数根（ ）A． B． C． D．
8．（2025·河南郑州·二模）一次函数 的图象如图所示，则关于 的一元二次方程
的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．根的情况无法确定
9．（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于x的方程 的根的判别式的值为1，若
， ，则P，Q的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）2024年9月16日，邯郸市半程马拉松鸣枪开跑，嘉琪和她的
朋友李明参加了本次马拉松赛事．在比赛过程中，他们之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联
系．嘉琪运动到 点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口 向 运动后，就
失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为 ，李明的跑步速度为 足够长，多少秒后
他们再次取得联系？（ ）
A． B． C． D．不会再取得联系
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知： ，若 ，则 的值
为 ．12．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若 ，则 ．
13．（24-25九年级上·重庆永川·期中）已知关于 的分式方程 解为整数，且关于 的一元二
次方程 有实数根，则满足条件的整数a的和为 ．
14．（2025·广东广州·一模）根据如图所示的程序计算函数 的值．若输入 的值为4，则输出 的值为
7．若输出的 值为13，则输入的 值为 ．
15．（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则直线
不经过第 象限．
16．（22-23九年级下·四川南充·自主招生）若二次方程组 有唯一解，则k的所有可能取值
为 ．
17．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知关于 的方程 ，下列说法：
①当 时，方程无解；
②当 时，方程有两个相等的实数根；
③当 时，方程有两个相等的实数根；
④当 时，方程有两个不相等的实数根．
其中错误的是： （只填序号）
18．（22-23九年级下·浙江宁波·自主招生）我国古代数学名著《九毫算术》的论割圆术中有：“割之弥
细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转
化过程．比如在表达式 中“ ”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得 ．类比上述过程，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）解方程：
（1） ； （2） ．
20．（本小题满分8分）（2025·广东广州·二模）已知 ．
（1）化简A；
（2）已知x满足 ，求A的值．
21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·重庆·期末）计算：
（1） （2）
22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·浙江·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若方程有两个实数根，求 的范围；
（2）设方程的两个实数根是 ， ，若 ，试求 的取值范围．
23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程
．（1）若方程的一个根为 ，求a的值；
（2）若 ，求方程的两个根；
（3）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）利用数学的“转化”思想，我们可以将一些
新的方程转化成我们熟悉的方程来解．例如，一元三次方程 ，可以通过因式分解把它转化为
，分别解方程 和 ，可得方程 的解．
（1）问题：方程 的解是 ， ， ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪 的长 ，宽 ，小华把一根长为 的绳子的一端
固定在点 ，沿草坪边沿 ， 走到点 处，把长绳 段拉直并固定在点 ，然后沿草坪边沿 、
走到点 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 ．求 的长．
