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第21章 一元二次方程章末拔尖卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考期末）下列一元二次方程中，有两个
相等的实数根的是（ ）
A．x2-3x-1=0 B．2x2-5x+2=0
C．x2-4x+4=0 D．4(x-1)(x+3)=-5
【答案】C
【分析】逐项分析四个选项中一元二次方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．
【详解】解：A.在x2-3x-1=0中，Δ=(-3) 2-4×1×(-1)=9+4=13>0，所以该方程有两个不相等的实
数根，故A不符合题意；
B.在2x2-5x+2=0中，Δ=(-5) 2-4×2×2=25-16=9>0，所以该方程有两个不相等的实数根，故B不
符合题意；
C.在x2-4x+4=0中，Δ=(-4) 2-4×1×4=16-16=0，所以该方程有两个相等的实数根，故C符合题意；
D.将4(x-1)(x+3)=-5整理得：4x2+8x-7=0，Δ=82-4×4×(-7)=64+112=176>0，所以该方程
有两个相等的实数根，故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有
如下关系：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根，②Δ=0，方程有两个相等的实数根，③Δ<0，方程没
有实数根．
2．（3分）（2023春·山东威海·九年级统考期中）关于x的一元二次方程x2+ax-6=0的解为x =2，x =b，
1 2
则代数式(2a+b) 2023的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．52023
【答案】C
【分析】把x =2代入方程x2+ax-6=0求得a，再解方程求得b，将a、b的值代入(2a+b) 2023求值即可．
1【详解】解：将x =2代入x2+ax-6=0得：22+2a-6=0，
1
解得：a=1，
∴ x的一元二次方程x2+x-6=0，
解得：x =2，x =-3即b=-3，
1 2
将a=1，b=-3代入(2a+b) 2023，
得：(2a+b) 2023=[2×1+(-3)] 2023 =(-1) 2023=-1，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未
知数的值．
3．（3分）（2023春·浙江温州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有一个根是
x=m，则方程x2+bx+a=0有一个根是（ ）
1
A．x=m B．x=-m C．x= D．x=1-m
m
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的解，可得出am2+bm+1=0，在等式的两边同时除以m2，可得出
1 1 1
a+b⋅ +( ) 2=0，进而可得出方程x2+bx+a=0有一个根是x= ．
m m m
【详解】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有一个根是x=m，
∴am2+bm+1=0，
1 1
在等式的两边同时除以m2得：a+b⋅ +( ) 2=0，
m m
1
∴方程x2+bx+a=0有一个根是x= ．
m
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解”是解题的关键．
4．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）方程x2+4x-5=0的解是x =1,x =-5，现给出另一个方程
1 2
(2x-1) 2+4(2x-1)-5=0，它的解是（ ）
A．x =1,x =2 B．x =1,x =-2
1 2 1 2C．x =-1,x =2 D．x =-1,x =-2
1 2 1 2
【答案】B
【分析】结合已知方程的解，利用换元法解一元二次方程即可得．
【详解】解：(2x-1) 2+4(2x-1)-5=0，
令y=2x-1，则方程可转化为y2+4 y-5=0，
由题意得：y =1,y =-5，
1 2
即2x -1=1,2x -1=-5，
1 2
解得x =1,x =-2，
1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．
5．（3分）（2023春·山西晋城·九年级校考期末）关于x的方程x2-2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，
若a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是（ ）．
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由关于x的方程x2-2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，可得△=(-2c) 2-4(a2+b2)=0，整理
得c2=a2+b2，根据勾股定理逆定理判断△ABC的形状即可．
【详解】解：∵关于x的方程x2-2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，
∴△=(-2c) 2-4(a2+b2)=0，整理得c2=a2+b2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵
活运用．
6．（3分）（2023春·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考期末）已知x=a是方程x2+3x-1=0的一
个根，则代数式a2+3a+√3的值应在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
【答案】C
【分析】将a代入方程得a2+3a=1，然后整体代入得结果，最后根据√3得范围确定结果的范围即可；
【详解】解：∵x=a是方程x2+3x-1=0的一个根，
∴将a代入方程，得：a2+3a-1=0，即：a2+3a=1，
将上式代入a2+3a+√3中得：1+√3，
∵1<√3<2，
∴2<1+√3<3．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，判断无理数的范围，整体代入等知识点，整体代入的运用是解题
关键．
7．（3分）（2023春·河南郑州·九年级统考期末）为加快推动生态巩义建设步伐，形成“城在林中、园在
城中、山水相依，林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，
矩形长为40m，宽为30m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为
816m2，道路的宽度应为多少?设矩形地块四周道路的宽度为xm，根据题意，下列方程不正确的是（ ）
A． B．
1200-(80x+60x-4x2)=816 (40-x)(30-x)=816
C．(40-2x)(30-2x)=816 D．80x+2x(30-2x)=1200-816
【答案】B
【分析】根据要使草坪的面积为816m2，列一元二次方程，进一步判断即可．
【详解】解：可列方程(40-2x)(30-2x)=816，
故C选项不符合题意，
变形后，可得 或 ，
1200-(80x+60x-4x2)=816 80x+2x(30-2x)=1200-816
故A选项不符合题意，D选项不符合题意，
(40-x)(30-x)=816不能得到，
故B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键．
8．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论：
①当a>-1时，方程有两个不相等的实根；
②当a>0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a>-1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a>3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的求根公式对每个
选项进行一一判断即可．
【详解】解：∵x2-2x-a=0，
∴Δ＝4+4a，
∴①当a>-1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当a>0时，两根之积=-a<0，方程的两根异号，故②错误，
2±√4+4a
③方程的根为x＝ =1±√1+a，
2
∵a>-1，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，
④当a>3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程的求根公式，熟练掌
握一元二次方程的相关知识是解题的关键．
9．（3分）（2023春·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考期中）已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0
1 1
有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+ 上，点Q( a，b)在直线l下方，则PQ
2 2
的最小值为（ ）
3 √2 1 √6
A． √2 B． C． D．
4 4 2 4
【答案】A
【分析】先利用根判别式得到△＝（a+2b）2﹣4＝0，则a+2b=2或a+2b=-2，即点Q的坐标为（1-b，b）或
（-1-b，b），如图：当点Q在直线y=-x-1上， EF为两直线的距离，最后求出EF得到PQ的最小值即可
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根，
∴△＝（a+2b）2﹣4＝0，
∴a+2b＝2或a+2b＝﹣2，1
∵点Q（ a，b），即Q（1﹣b，b）或（﹣1﹣b，b），
2
∴点Q所在的直线为y＝﹣x+1或y＝﹣x﹣1，
1 1
∵点Q（ a，b）在直线y＝﹣x+ 的下方，
2 2
∴点Q在直线y＝﹣x﹣1上，如图，EF为两直线的距离，
√2 √2
∵OE＝ ，OF＝ ，
4 2
3√2
∴EF＝ ，
4
3√2
∴PQ的最小值为 ．
4
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根的判别式和垂线段最短，掌握一元二次方程的根的判别式△与根的关系：当
△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根
是解答本题的关键.
10．（3分）（2023·浙江杭州·九年级）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足
， ，则 的值为（ ）
(a2012-c2012)(a2012-d2012)=2012 (b2012-c2012)(b2012-d2012)=2012 (ab) 2012-(cd) 2012
A．-2012 B．-2011 C．2012 D．2011
【答案】A
【分析】根据题意可将a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，把所求的式子被减数利
用积的乘方逆运算变形后换为xx，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出xx，代入整理后的式子
1 2 1 2
中，即可求出所求式子的值．
【详解】解：设a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，
方程整理得：x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0，
则（ab）2012-（cd）2012=xx−(cd)2012，
1 2又xx=（cd）2012-2012，
1 2
则（ab）2012-（cd）2012=xx−(cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012．
1 2
故选：A．
【点睛】此题考查了根与系数的关系的运用，利用了方程的思想，其中当一元二次方程ax2+bx+c=0
b c
（a≠0）有解，即b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x，x，则有x+x=- ，xx= ．
1 2 1 2 1 2
a a
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·甘肃酒泉·九年级校考期中）若关于 的方程 是一元二次方
x (k-1)x|k|+1-4x+5=0
程，则k= ．
【答案】-1
【分析】根据一元二次方程的定义得出k−1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．
【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
(k-1)x|k|+1-4x+5=0
∴k−1≠0且|k|＋1＝2，
解得：k＝−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知
数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
12．（3分）（2023春·四川成都·九年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）已知x ,x 是一元二次方程
1 2
的两个实数根，则使x x 的值为整数的实数k的整数值为 .
4kx2-4kx+k+1=0 1+ 2-2
x x
2 1
【答案】-2或-3或-5
【分析】根据一元二次方程根的判别式及根与系数的关系可进行求解．
【详解】解：由题意得：Δ=b2-4ac=16k2-16k(k+1)≥0，且4k≠0，
解得：k<0，
k+1
由一元二次方程根与系数的关系可得：x +x =1，x x = ，
1 2 1 2 4k
∴x x x 2+x 2 (x +x ) 2-2x x 1 4k 4 ，
1+ 2-2= 1 2 -2= 1 2 1 2-2= -4= -4=-
x x x x x x x x k+1 k+1
2 1 1 2 1 2 1 2
∴k+1=1或-1或2或-2或4或-4，∴k=0或-2或1或3或-3或-5，
∵k<0，
∴k=-2或-3或-5；
故答案为-2或-3或-5．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及
根与系数的关系是解题的关键．
13．（3分）（2023春·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）一个三角形的两边长分别为3和
5，其第三边是方程x2-13x+40=0的根，则此三角形的周长为 ．
【答案】13
【分析】因式分解法解方程可求得三角形的第三边，再根据三角形三边关系进行取舍即可求得答案．
【详解】解：解方程x2-13x+40=0可得x=5或x=8，
当第三边为5时，则三角形的三边长为3、5、5，满足三角形三边关系，其周长为13；
当第三边为8时，则三角形的三边长为3、5、8，不满足三角形三边关系，舍去．
则此三角形的周长为13．
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，求得方程的两根是解题的关键，注意分类
讨论．
14．（3分）（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期末）关于x的一元二次方程
x2-2x+m=0的两实数根分别为x 、x ，且x -2x =1，则m的值为 ．
1 2 1 2
5
【答案】
9
1
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x+x =2，结合已知求出x = ，然后代入一元二次方程
2 2 3
即可求出m的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实数根分别为x 、x ，
1 2
∴x+x =2，
2
∵x -2x =1，
1 2
∴ ，
x+x -(x -2x )=2-1
2 1 2
1
∴x = ，
2 3
1 (1) 2 1
把x = 代入x2-2x+m=0得： -2× +m=0，
2 3 3 35
解得：m= ，
9
5
故答案为： ．
9
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，若一元二次方程ax2+bx+c=0
b c
（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x ，x ，则x +x =- ，x ⋅x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
15．（3分）（2023春·上海杨浦·九年级校考期中）已知x为实数，若x2+ 1 -5 ( x+ 1) +8=0，那么x+ 1
x2 x x
的值为 ．
【答案】2或3
( 1) 2 ( 1) 1 1
【分析】将原方程变形为 x+ -5 x+ +6=0，然后把x+ 看作一个整体运用因式分解法求出x+
x x x x
的值即可．
【详解】解：∵x2+ 1 -5 ( x+ 1) +8=0，
x2 x
∴x2+ 1 +2-5 ( x+ 1) +6=0,
x2 x
( 1) 2 ( 1)
∴ x+ -5 x+ +6=0,
x x
( 1 )( 1 )
∴ x+ -2 x+ -3 =0,
x x
1 1
∴x+ -2=0,x+ -3=0，
x x
1 1
解解，x+ =2,x+ =3，
x x
故答案为：2或3．
【点睛】本题主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正确将原方程进行变形运用因式分解法
求解是解答本题的关键．
16．（3分）（2023春·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考期中）对于实数a、b，定义运算“*”；
a*b=¿，关于x的方程(2x)*(x-1)=t+3恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．
【答案】-3x-1 x>-1 (x-1) 2-2x(x-1)=t+3
即：x2=-t-2(x>-1)，
要使关于x的方程(2x)*(x-1)=t+3恰好有三个不相等的实数根，则x2=-t-2(x>-1)和
2x2+2x-t-3=0(x≤-1)都必须有解，
∴¿，
7
∴- ≤t≤-2，
2
（1）当-t-2=0时，即t=-2时，方程x2=-t-2(x>-1)只有一个根x=0，
∵当t=-2时，√2t+7=√3，
-1+√3 -1-√3
∴ >0， <-1，
2 2
∴此时方程2x2+2x-t-3=0(x≤-1)只有一个根符合题意，
∴t=-2不符合题意；
（2）当-3-1)的两个根-10， <-1，
2 2
∴方程2x2+2x-t-3=0(x≤-1)只有一个根符合题意，
∴当-3-1)的一个根≥1，另外一个根≤-1，
t
∴此时方程x2=-t-2(x>-1)只有一个根符合题意，
1 -1+√2t+7 -1-√2t+7 1
∵- ≤ ≤0，-1≤ <- ，
2 2 2 2
7
∴当- ≤t≤-3时，方程2x2+2x-t-3=0(x≤-1)最多有一个根符合题意，
t7
∴当- ≤t≤-3时(2x)*(x-1)=t+3不可能有三个不相等的实根；
t
综上分析可知，t的取值范围是-30
（2）先移项，再利用因式分解的方法解方程即可；
（3）将原方程化为一般形式，得3x2-11x+9=0，再利用公式法解方程即可；
（4）先移项，再利用因式分解的方法解方程即可．
【详解】（1）解：2x2-5x-3=0
∵a=2，b=-5，c=-3，
∴ ，
b2-4ac=(-5) 2-4×2×(-3)=49>0
5±√49 5±7
∴x= =
4 4
1
x =3，x =-
1 2 2（2）解：
(x+2) 2=3x+6
∴
(x+2) 2=3(x+2)
移项得：
(x+2) 2-3(x+2)=0
∴(x+2)(x+2-3)=0
即(x+2)(x-1)=0
∴x+2=0，x-1=0
解得：x =-2，x =1．
1 2
（3）解：(x-2)(3x-5)=1
将原方程化为一般形式，得3x2-11x+9=0
这里a=3，b=-11，c=9．
∵b2-4ac=(-11) 2-4×3×9=13>0
11±√13
∴x=
6
11+√13 11-√13
∴x = ，x =
1 6 2 6
（4）解：5x2=4x
原方程可变形为5x2-4x=0，
∴x(5x-4)=0
∴x=0或5x-4=0
4
解得：x =0，x = ．
1 2 5
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握公式法与因式分解法解一元二次方程是解本题的关键．
18．（6分）（2023春·北京石景山·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2-2kx+2k-1=0．
(1)请判断这个方程根的情况；
(2)若该方程有一个根小于1，求k的取值范围．
【答案】(1)有两个实数根
(2)k<1
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；（2）求出方程的两根，根据该方程有一个根小于1列出不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
△=b2-4ac=(-2k) 2-4(2k-1)=4k2-8k+4=4(k2-2k+1)=4(k-1) 2
∵无论 取何值时， ，
k △=4(k-1) 2≥0
∴原方程有两个实数根；
（2）解：∵ 2k±√4(k-1) 2 2k±2(k-1)，
x= =
2 2
2k+2(k-1) 2k-2(k-1)
x = =2k-1； x = =1，
1 2 2 2
∵该方程有一个根小于1，
∴2k-1<1，
∴k<1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式．
19．（8分）（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）如图为2022年10月的日历表，在其中用一个方框圈
出4个数（如图中虚框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d．
(1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果应为：b=______；c=______；d=____；
(2)按这种方法所圈出的四个数中，ab的最大值为_______________；
(3)嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得bc的值为135．”
淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积ad为84．”
请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确．
【答案】(1)a+1，a+7，a+8
(2)552
(3)嘉嘉的说法不正确，淇淇的说法正确【分析】（1）4个数从小到大依次为a，b，c，d，日历表中同一行，左右相差1，同列，上下相差7，由
此即可求解；
（2）根据a+8≤31，b=a+1，可知a≤23，b≤24，由此即可求解；
（3）由（1）的结论即可用含a的式子表示bc，ad的值，解一元二次方程，根据方程的解和日历表结合比
较即可求解．
【详解】（1）解：同一行，左右相差1，同列，上下相差7，
∴b=a+1，c=a+7，d=a+7+1=a+8，
∴答案是：a+1，a+7，a+8．
（2）解：∵a+8≤31，
∴a≤23，
∵b=a+1，
∴b≤24，
∴ab≤23×24=552，即ab的最大值为552．
（3）解：由（1）可知b=a+1，c=a+7，d=a+8，
∴嘉嘉的说法是：bc=(a+1)(a+7)，使得bc的值为135，
∴ ，解方程得， ， （舍去）
(a+1)(a+7)=a2+8a+7=135 a =8 a =-16
1 2
则虚框圈出的四个数应为 ，它在日历表中不存在，所以嘉嘉的说法不正确；
淇淇的说法是：ad=a(a+8)=84，即a2+8a-84=0，解方程得，a =6，a =-14（舍去），
1 2
则虚线圈出的四个数为 ，在日历表中存在，所以淇淇的说法正确．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据日历表的图示分析同行相邻两数，同列上下两数的
关系，由此列出一元二次方程，比较方程的解与日历表是解题的关键．
20．（8分）（2023春·河北唐山·九年级统考期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请判断方程x2-6x+8=0是不是倍根方程，并说明理由；
(2)若是(x-8)(x-n)=0倍根方程，则n=___________．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)4或16【分析】（1）根据题意和题目中的方程，求得方程的解，据此即可判定；
（2）根据题目中的方程和题意，利用分类讨论的方法可以求得n的值．
【详解】（1）解：方程x2-6x+8=0是倍根方程，
理由如下：
由方程x2-6x+8=0，
解得x =4，x =2，
1 2
∵x =2x ，
1 2
∴方程x2-6x+8=0是倍根方程；
（2）解：由方程(x-8)(x-n)=0，
解得x =8，x =n，
1 2
∵方程是(x-8)(x-n)=0倍根方程，
∴x =2x 或x =2x ，
1 2 2 1
得8=2n或n=2×8=16，
故n=4或n=16，
故答案为：4或16．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
21．（8分）（2023春·河南·九年级校联考期末）第22届世界杯足球赛已于2022年11月20日在卡塔尔开幕，
其吉祥物“拉伊卜”也深受人们的喜爱．河南某超市在2022年9月份售出20个“拉伊卜”，随着世界杯开
幕的临近，“拉伊卜”在之后两个月的销售量持续走高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到了
180个．
(1)求“拉伊下”在10，11两个月销售量的月平均增长率；
(2)若每个“拉伊卜”的进价为40元，原售价为70元，该超市计划在2022年12月进行降价促销，经调查发
现，若“拉伊卜”的价格在原售价的基础上每降价1元，销售量可在11月份的基础上增加10个，当每个
“拉伊卜”降价多少元时，在12月份出售“拉伊卜”可获利3200元？
【答案】(1)200%
(2)22元
【分析】（1）设“拉伊下”在10，11两个月销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题列出一元二次方
程，解方程即可求解．
（2）设“拉伊卜”降价m元时，在12月份出售“拉伊卜”可获利3200元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设“拉伊下”在10，11两个月销售量的月平均增长率为x．
根据照意，得 ．
20(1+x) 2=180
解得x =2，x =-4（舍去）．
1 2
2×100%=200%．
答：“拉伊下”在10，11两个月销售量的月平均增长率为200%．
（2）设“拉伊卜”降价m元时，在12月份出售“拉伊卜”可获利3200元．
根据题意，得(70-40-m)(180+10m)=3200，
整理，得m2-12m-220=0．
解得m =22，m =-10（舍去）．
1 2
答：当每个“拉伊卜”降价22元时，在12月份出售“拉伊卜”可获利3200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键．
22．（8分）（2023春·广西梧州·九年级校考期中）如图，在ΔABC中，∠B=90°，AB=6cm，
BC=8cm点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以
2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．
(1)填空：BQ=___________cm，PB= ___________cm；（用含t的代数式表示）
(2)当t为几秒时，PQ的长度等于8cm？
2
(3)是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的 ？如果存在，求出t的值，如果不存
3
在，请说明理由，
【答案】(1)2t， (6-t)
6+4√11
(2)
4(3)存在，2
【分析】（1）由路程=速度×时间，可直接求解；
（2）由勾股定理构建方程求解；
1
（3）由题意可得△PBQ的面积等于△ABC面积的 ，由三角形的面积公式可求解．
3
【详解】（1）∵点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以
2cm/s的速度移动，
∴BQ=2t cm，AP=t cm，
∴PB=(6-t)cm，
故答案为：2t，(6-t)；
（2）由题意得 ，
(2t) 2+(6-t) 2=82
∴5t2-12t-28=0，
6+4√11 6-4√11
解得：t = ，t = （不合题意，舍去），
1 5 2 5
6+4√11
∴当t= 时，PQ的长等于8cm；
4
（3）存在，理由如下：
2
若四边形APQC的面积等于△ABC面积的 ，
3
1
∴△PBQ的面积等于△ABC面积的 ，
3
1 1 1
∴ (6-t)×2t= × ×6×8，
2 3 2
∴t2-6t+8=0，
解得：t=2或t=4，
当t=2时，BQ=4cm
当t=4时，BQ=8cm，四边形APQC变为三角形，不合题意，舍去，
2
∴存在时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的 ，t的值为2．
3
【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，一元二次方程的应用，灵活运用这些性质解决
问题是解题的关键．
23．（8分）（2023春·河南周口·九年级统考期末）阅读材料：b c
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x ，x ，则x +x =- ,x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn=-1，
则 ．
m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x ，x ，则x +x =_________，x x = _________．
1 2 1 2 1 2
n m
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n，求 + 的值．
m n
1 1
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2-3s-1=0，2t2-3t-1=0，且s≠t，求 + 的值．
s t
3 1
【答案】(1) ，-
2 2
13
(2)-
2
(3)-3
【分析】（1）根据材料提示的方法即可求解；
n m
（2）根据材料提示先求出m+n，mn的值，再根据分式运算，乘法公式的运算将 + 变形，即可求解；
m n
（3）将实数s、t看作是关系x的方程满足2x2-3x-1=0的两个根，再根据材料分别求出s+t，st的值，
1 1
再根据分式运算将 + 变形，即可求解．
s t
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x ,x ，
1 2
-3 3 -1 1
∴x +x =- = ，x x = =- ，
1 2 2 2 1 2 2 2
3 1
故答案为： ，- ．
2 2
（2）解：∵一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n，
3 1
∴m+n= ，mn=- ，
2 2(3) 2 ( 1)
-2× -
n m n2+m2 (m+n) 2-2mn 2 2 13
∴ + = = = =- ．
m n mn mn 1 2
-
2
（3）解：∵实数s、t满足2s2-3s-1=0，2t2-3t-1=0，
∴s，t看作是方程2x2-3x-1=0的两个实数根，
3 1
∴s+t= ，st=- ，
2 2
3
1 1 t+s 2
∴ + = = =-3．
s t st 1
-
2
【点睛】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，即韦达定
理的运用是解题的关键．
