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第 16 课一元二次方程 单元综合检测
一、单选题
1．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋ ＋5＝0；④x2＋5x3
﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知一元二次方程 ，若方程有解，则必须（ ）
A．n=0 B． n=0或mn同号
C．n是m的整数倍 D．mn异号
3．方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5．解方程：① ；② ；③ ；④ ．较简便的解
法是（ ）
A．依次用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法
B．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
C．依次用因式分解法、公式法、配方法和因式分解法
D．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
6．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有 人患了流感，每轮传染中平均一
个人传染的人数为（ ）
A． 人 B． 人 C． 人 D． 人
7．现要在一个长为 ，宽为 的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要
使种植花草的面积为 ，那么小道的宽度应是（ ）A．1 B．2 C．2.5 D．3
8．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，
解错两根为﹣2，5，那么原方程为（ ）
A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0
9．若关于x的一元二次方程 的一个根大于1，另一个根小于1，则a的值可能为（ ）
A． B． C．2 D．4
10．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，
从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方
法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：
_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．
12．若一元二次方程 的一个根为0，则 ___________．
13．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________．
14．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从
300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为 ，则可列方程为________．
15．已知方程 的两个实数根分别为 、 ，则 __．
16．已知实数 ， 满足 ，则 的值为________．
17．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x=3，x=7，则方程
1 2的解是________．
18．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）
（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
三、解答题
19．解方程
（1） ； （2） ；
（3） （配方法）； （4） .
20．用适当的方法解一元二次方程
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
21．已知关于 的方程 .
（1）当 为何值时，方程只有一个实数根？
（2）当 为何值时，方程有两个相等的实数根？
（3）当 为何值时，方程有两个不相等的实数根？
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x，x，且x2+x2=10，求m的值．
1 2 1 2
23．如图，在足够大的空地上有一段长为 的旧墙 ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ，
其中 ．已知矩形菜园的一边靠墙，修筑另三边一共用了 木栏．若所围成的矩形菜园的面积为，求 的长．
24．某企业设计了一款工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售
单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价
不得低于成本．销售单价为多少元时，每天的销售利润可达4000元？
25．某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“若购买不超过40台学习机，则每台售价800元，若超出
40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”，该学习机的进价与进货数量关系如图所示：
（1）当 时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；
（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台时，每台学习机可以获利多少元？
（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台？
26．已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于 时，相应得到的一元二次方程的两根分别为 和 和 和 ，…，
和 和 ，试求 的值．
27．阅读理解:
材料1:对于一个关于x的二次三项式 （ ）,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,
还可以用其他的方法:比如先令 （ ）,然后移项可得: ,再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求 的取值范围:
解:令
,
,
即 ;
材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次
不等式的解集问题,他的具体做法如下:
若关于x的一元二次方程 （ ）有两个不相等的实数根 ､ （ ）,
则关于x的一元二次不等式 （ ）的解集为: 或 ,
则关于x的一元二次不等式 （ ）的解集为: ;
请根据上述材料,解答下列问题:
（1）若关于x的二次三项式 （a为常数）的最小值为-6,则 _____.
（2）求出代数式 的取值范围．
类比应用:
（3）猜想:若 中, ,斜边 （a为常数, ）,则 _____时, 最大,请证
明你的猜想．
28．阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯
用上述方法就无法分解，如 ，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，
进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：
，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的
思想方法解决下列问题：
1．知识运用：试用“分组分解法”分解因式： ；
2．解决问题：
（1）已知a，b，c为△ABC的三边，且 ，试判断△ABC的形状．
（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且
，同时成立．
①当k=1时，求a+c的值
②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可）
