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第 16 课一元二次方程 单元综合检测
一、单选题
1．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋ ＋5＝0；④x2＋5x3
﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义即可解答．
解：①ax2+bx+c=0当a=0不是一元二次方程；
②3（x-9）2-（x+1）2=1是一元二次方程；
③x2＋ ＋5＝0是分式方程；
④x2＋5x3﹣6＝0是一元三次方程；
⑤3x2=3（x-2）2是一元一次方程；
⑥12x-10=0是一元一次方程．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一
元二次方程是解答此题的关键．
2．已知一元二次方程 ，若方程有解，则必须（ ）
A．n=0 B． n=0或mn同号
C．n是m的整数倍 D．mn异号
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求出x2的值为- ，再根据x2≥0确定m、n的符号即可．
mx2+n=0，x2=- ，
∵x2≥0，
∴- ≥0，
∴ ≤0，
∴m、n异号，或n=0
故选B．
【点睛】
本题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是表示出x2的值，根据x2的取值范围确定m、n的符号．
3．方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
把方程化为一元二次方程的一般形式，用一元二次方程的求根公式求出方程的根．
解：方程整理得：
x2+3x-14=0
a=1，b=3，c=-14，
△=9+56=65
．
故选B．
【点睛】
本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，先把方程化为一元二次方程的一般形式，计算判别式的
值，再用求根公式求出方程的根．
4．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根的判别式解答即可．
解：对于一元二次方程 ，
∵△= ，
∴原方程没有实数根；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题目，熟知根的判别式与方程的根的个数的关系是解题
关键．
5．解方程：① ；② ；③ ；④ ．较简便的解
法是（ ）
A．依次用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法
B．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
C．依次用因式分解法、公式法、配方法和因式分解法
D．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
【答案】D
【解析】
【分析】
要看式子的特点，先看它是几项式，再看符合哪个特点从而选择合适的方法：①用直接开平方法，②③用
公式法，④用因式分解法．
解：①3x2-12=0符合ax2=b（a，b同号且a≠0）的特点所以用直接开平方法；
②3x2-4x-2=0，等号左边有3项，需要用求根公式法；
③20x2-9x-16=0，等号左边有3项，需要用求根公式法；
④3（4x-1）2=7（4x-1），可以把4x-1看做是个整体，利用因式分解法解方程，
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分
解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．6．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有 人患了流感，每轮传染中平均一
个人传染的人数为（ ）
A． 人 B． 人 C． 人 D． 人
【答案】B
【解析】
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流
感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，依题意得
1+x+x(1+x)=121 ，
即 (1+x)2=121 ，
解方程得 x=10 ， x=−12 （舍去）
1 2
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握传播问题的列式方法．
7．现要在一个长为 ，宽为 的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要
使种植花草的面积为 ，那么小道的宽度应是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
设小道的宽度应为x m，则剩余部分可合成长为（40-2x）m，宽为（26-x）m的矩形，根据矩形的面积计
算公式，结合种植花草的面积为864m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得
出结论．
解：设小道的宽度应为 ，则剩余部分可合成长为 ，宽为 的矩形，
依题意得： ，整理，得 ．
解得， ， ．
（不合题意，舍去），
．
答：小道进出口的宽度应为2米．
故选： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，
解错两根为﹣2，5，那么原方程为（ ）
A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0
【答案】B
【解析】
试题分析：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣
2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，根据一元二次方程根与系数的关系x+x=-
1 2
，x•x= ，可得：α•β=﹣6，α+β=3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，
1 2
故选B．
9．若关于x的一元二次方程 的一个根大于1，另一个根小于1，则a的值可能为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
设 的两根分别为 可得 由关于x的一元二次方程 的
一个根大于1，另一个根小于1，可得 ＜ 再列不等式： ＜ 解不等式可得答案．
解：设 的两根分别为关于x的一元二次方程 的一个根大于1，另一个根小于1，
＜
＜
＜
＜
符合题意，所以 不符合题意， 符合题意，
故选：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元一次不等式的解法，掌握以上知识是解题的关键．
10．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，
从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方
法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得x2=x+1，再代入 即可得出答案．
解：∵x2-x-1=0，
∴x2=x+1，
∴ =（x+1）2+x(x+1)-5x+3
=x2+2x+1+x²+x-5x+3
=2x2-2x+4
=2(x+1)-2x+4
=2x+2-2x+4
=6，故选：D．
【点睛】
本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降
次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式
表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．
二、填空题
11．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：
_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．
【答案】 m=﹣1 ﹣2 ﹣4 3
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义解答即可．
解：根据题意得，|m|+1=2且m﹣1≠0，
解得m=1或﹣1且m≠1，
所以，m=﹣1，
m﹣1=﹣1﹣1=﹣2，
所以，此方程为 ，
所以，此方程的二次项系数为﹣2，一次项系数为﹣4，常数项为3．
故答案为：m=﹣1；﹣2，﹣4，3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．
这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项， 叫一次项，c是常数项．其中a，
b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12．若一元二次方程 的一个根为0，则 ___________．
【答案】1
【解析】
【分析】
把 代入原方程求得a的值，结合一元二次方程的定义综合得到答案．
解：把 代入得： ，解得： ，
又因为： 为一元二次方程，
所以： ，
所以： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的概念及一元二次方程的解，掌握相关知识点是解题关键．
13．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________．
【答案】 且
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到2a−1≠0且Δ＝ −4（2a−1）×3＞0，然后解不等式
得到它们的公共部分即可．
解：根据题意得：2a−1≠0且Δ＝ −4（2a−1）×3＞0，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程a ＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝ −4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等
的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定
义及解不等式．
14．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从
300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为 ，则可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增
产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程．
解：设平均每年增产的百分率为x；
第一年粮食的产量为：300（1+x）；
第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；
依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；
故答案为：300（1+x）2＝363．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为
b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
15．已知方程 的两个实数根分别为 、 ，则 __．
【答案】-5
【解析】
【分析】
对原式进行通分，然后根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
解：∵方程 的两个实数根分别为 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：-5．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，掌握并熟练运用基本结论是解题关键．
16．已知实数 ， 满足 ，则 的值为________．
【答案】2.
【解析】
【分析】
把 看作是一个整体，假设 ,则原式可转化为 ，解方程可得 (即 )的值，注意 为非负数.
解：设 ，
则：
解得 ，
因为 ，
所以 的值为2.
【点睛】
本题考查了换元法，把某个式子看成一个整体，然后用一个字母代替，进行等量代换．
17．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x=3，x=7，则方程
1 2
的解是________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
首先根据一元二次方程解的定义求出 和 的值，然后代入所求方程整理求解即可．
解：∵方程 的解为：x=3，x=7，
1 2
∴ ，
解得： ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查解一元二次方程的拓展应用，掌握解一元二次方程的基本方法是解题关键．
18．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）
（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
【答案】x＝2或x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣ ．
【解析】
【分析】
将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于
x的方程求解可得．
解：∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝﹣1 ，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣ ．【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法．
三、解答题
19．解方程
（1） ； （2） ；
（3） （配方法）； （4） .
【答案】（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4）①当 时， ；②当 时，若 ， ；若 ，方程无解
【解析】
【分析】
（1）根据配方法的步骤将方程常数项移动右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转
化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（2）利用因式分解法即可求得方程的解；
（3）根据配方法的一般步骤，把常数项移到等号的右边，一次项移到等号的左边，再在等式的两边同时
加上一次项系数一半的平方，化为完全平方式，再开方即可得出答案；
（4）分m=0和 两种情况考虑，当 时，再分△≥0和△＜0两种情况考虑，即可得到方程的解．
（1）
解：
或
， ；
（2）解：
或
， ；
（3）
解：
， ；
（4）
解：①当 时， ，解得： ；
②当 时， ，若 ，即 ， ；
若 ，即 ，方程无解．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是能够根据方程的结构特征选择适当的解法．
20．用适当的方法解一元二次方程
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） ， ；（4）
，
【解析】
【分析】
（1）先变形为 ，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先变形为 ，然后利用直接开平方法解方程；
（3）运用公式法求解；
（4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
原方程可化为 ，
∴ ，
用直接开平方法，得方程的根为 ， ．
（2）原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+ ，∴x2= ．
用直接开平方法，得原方程的根为 ， ．
（3）a=2，b=-4，c=-1
b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0
，
∴ ， ．
（4）将方程整理，得(1- )x2-(1+ )x=0
用因式分解法，得x[(1- )x-(1+ )]=0，
， ．【点睛】
本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，
一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二
次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用
于任何一元二次方程．
21．已知关于 的方程 .
（1）当 为何值时，方程只有一个实数根？
（2）当 为何值时，方程有两个相等的实数根？
（3）当 为何值时，方程有两个不相等的实数根？
【答案】(1)m=3;(2) ;(3) 且
【解析】
【分析】
（1）令二次项为0，即 时求解即可；
（2）根据根的判别式令△=b2-4ac=0，然后求解即可；
（3）根据△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，然后求解即可.
（1）∵方程 只有一个实数根， ，解得
（2）∵方程 有两个相等的实数根， ，
，解得
（3）∵方程 有两个不相等的实数根，
且 ， 且 ，解得 且 .
【点睛】
本题考查了根的判别式．解题的关键是根据根的判别式计算的结果能分3种情况讨论．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x，x，且x2+x2=10，求m的值．
1 2 1 2
【答案】（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3.【解析】
【分析】
（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况；
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴x2+x2=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
1 2
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1或m=3
【点睛】
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中
等题型．
23．如图，在足够大的空地上有一段长为 的旧墙 ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ，
其中 ．已知矩形菜园的一边靠墙，修筑另三边一共用了 木栏．若所围成的矩形菜园的面积为
，求 的长．
【答案】2m
【解析】
【分析】
设AB＝x米，则AD＝ 米，根据矩形的面积公式得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，
故可求出AD的长．
解：设 的长为 ，则 的长为 ．
依题意，得 ，
解得 ， ．
当 时， （不符合题意，舍去）．当 时， ．
∴ 的长为 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．某企业设计了一款工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售
单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价
不得低于成本．销售单价为多少元时，每天的销售利润可达4000元？
【答案】销售单价为90元或70元时，每天的销售利润可达4000元．
【解析】
【分析】
设销售单价降低x元，从而可得每天的销售量是 件，再根据“利润 （销售单价 单价成本） 销
售量”建立方程，然后解方程即可得．
设销售单价降低x元，则销售单价为 元，每天的销售量是 件，
由题意得： ，
整理得： ，
解得 或 ，
因为要求销售单价不得低于成本，
所以 ，解得 ，
因此 和 均符合题意，
则 或70，
答：销售单价为90元或70元时，每天的销售利润可达4000元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．
25．某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“若购买不超过40台学习机，则每台售价800元，若超出
40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”，该学习机的进价与进货数量关系如图所示：（1）当 时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；
（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台时，每台学习机可以获利多少元？
（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台？
【答案】（1） ；（2）120；（3）该商店可能购进并销售学习机80台或30台
【解析】
【分析】
（1）根据如果超出40台，则每超过1台，每台售价均减少5元，可列式；
（2）先根据待定系数法计算直线的解析式，在计算x=60时的进价和售价，可得利润；
（3）分当x＞40,和当x≤40时，分别计算每台的售价，列方程解出即可；
（1）由题意可知当 时，每台学习机的售价为 ．
（2）设题图中直线的解析式为 ．
把 和 代入得
解得
故直线解析式为 ．
当 时，进价为 （元），
售价为 （元），
则每台学习机可以获利 （元）．
（3）当 时，每台学习机的利润是 ，则 ．
解得 （舍去）．
当 时，每台学习机的利润是 ，则 ，解得 （舍去）．
答：该商店可能购进并销售学习机80台或30台．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用和函数图形的知识点，准确理解是解题的关键．
26．已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于 时，相应得到的一元二次方程的两根分别为 和 和 和 ，…，
和 和 ，试求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）设方程的两根是 ， ，得出 ， ，代入 ， ，
求出其结果是 ，求出 即可；
（2）得出 ， ，把
变形为 ，
代入后得出 ，推出 ，求出即可．
解：（1）证明：设方程的两根是 ， ，
则 ， ，
，，
，
即这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2） ，
对于 ，2，3， ，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为 和 ， 和 ， 和
， ， 和 ， 和 ，
．
【点睛】
本题考查了根与系数的应用，解（1）小题的关键是看看式子（α-2）（β-2）结果的符号，解（2）小题的
1 1
关键是找出所求的式子的计算规律，本题题型较好，但有一定的难度．
27．阅读理解:
材料1:对于一个关于x的二次三项式 （ ）,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,
还可以用其他的方法:比如先令 （ ）,然后移项可得: ,再利用一元二
次方程根的判别式来确定y的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求 的取值范围:解:令
,
,
即 ;
材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次
不等式的解集问题,他的具体做法如下:
若关于x的一元二次方程 （ ）有两个不相等的实数根 ､ （ ）,
则关于x的一元二次不等式 （ ）的解集为: 或 ,
则关于x的一元二次不等式 （ ）的解集为: ;
请根据上述材料,解答下列问题:
（1）若关于x的二次三项式 （a为常数）的最小值为-6,则 _____.
（2）求出代数式 的取值范围．
类比应用:
（3）猜想:若 中, ,斜边 （a为常数, ）,则 _____时, 最大,请证
明你的猜想．
【答案】（1） 或 ；（2） 或 ；（3）当 时, 最
大．
【解析】
【分析】
（1）根据材料1:设 ,化为关于x的一元二次方程用根的判别式 ，得出y的取值范围,在列
出关于a的方程解出即可；
（2）设 ，化为 ，再用 ，然后根据材料2结论，即可求出；（3）设 ， ，根据一元二次方程,利用根的判别式解答问题即可．
解:（1）设 ，
∴ ，
∴ ,即 ，
根据题意可知 ,
∴ ，解得: 或 ；
（2）设 ，可化为 ，
即 ，
∴ ,即 ，
令 ,解得 , ，
∴ 或 ；
（3）猜想:当 时, 最大．
理由:设 ， ，则 ，
在 中,斜边 （a为常数, ），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，∴ ，即 ，
∵ ， ，∴ ，
当 时,有 ，
∴ ，
即当 时, 最大．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式､根与系数的关系及解不等式,读懂阅读材料中的方法并明确一元二
次方程的根的情况与判别式的关系,运用类比的思想是解题的关键．
28．阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯
用上述方法就无法分解，如 ，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，
进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：
，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的
思想方法解决下列问题：
1．知识运用：
试用“分组分解法”分解因式： ；
2．解决问题：
（1）已知a，b，c为△ABC的三边，且 ，试判断△ABC的形状．
（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且
，同时成立．
①当k=1时，求a+c的值
②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可）
【答案】知识运用： ；解决问题：（1）等腰三角形，理由见解析；（2）① ；② ， ，
【解析】
【分析】
知识运用： 用公式法因式分解， 提取公因式 ，再提取两者的公因式 ；
解决问题：（1）将 写成 ，等式左边因式分解，得
，证明 ， 是等腰三角形；
（2）①由 得到 和 ，推出 ，就可以算出a和c的值，再算 ；
②同①可得 ，根据 ，利用因式分解得到 ，同理由
，得 ，从而可以用a表示出b、c、d．
解：知识运用
原式
；
解决问题
（1）
，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 是等腰三角形；
（2）①当 时，
，即 ，
，即 ，若 则 ，
把它代入 ，得 ，解得 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
综上： 的值为6或 ；
②当 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理由 ，得 ，
由 ， ，
若 ，则 ， ， ，则此时k就等于0了，矛盾，不合题意，
若 ，则 ， ， ，
综上： ， ， ．
【点睛】
本题考查因式分解的拓展运用，解题的关键是灵活掌握因式分解的方法．
