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25.2.3 因式分解法—解一元二次方程
知识点一 因式分解的方法
常见的因式分解的方法：
（1）提取公因式法：𝑎𝑚+ 𝑏𝑚= 𝑚(𝑎+ 𝑏)；
（2）公式法：
平方差公式：𝑎2 −𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)(𝑎−𝑏)；
完全平方公式：𝑎2 ± 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎± 𝑏)2
（3）十字相乘法：
对形似于𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的二次三项式，若𝑐= 𝑚𝑛且𝑚+ 𝑛= 𝑏，则𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐=
(𝑥+ 𝑚)(𝑥+ 𝑛)。
对形似于𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的二次三项式，若𝑎= 𝑚𝑛，𝑐= 𝑝𝑞，且𝑚𝑞+ 𝑛𝑝= 𝑏，
则𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= (𝑚𝑥+ 𝑝)(𝑛𝑥+ 𝑞)。
例如：对2𝑥2 + 5𝑥+ 3因式分解
𝑎= 2 , 𝑐= 3 , 𝑏= 5
𝑎= 𝑚𝑛= 2 × 1 , 𝑐= 𝑝𝑞= 3 × 1，即𝑚= 2, 𝑛= 1, 𝑝= 3, 𝑞= 1
𝑚 𝑝
2 3
𝑚𝑞+ 𝑛𝑝= 2 × 1 + 1 × 3 = 5 = 𝑏
𝑛 𝑞
1 1 2𝑥2 + 5𝑥+ 3 = (2𝑥+ 3)(𝑥+ 1)
拓展延伸
对十字相乘法因式分解的认知，不能只停留在“凑数”上，还要充分意识到当多项式中
的元素增加，或出现整体结构时，需要利用整体思想对因式分解进行降维打击。
(Ⅰ)二元二次齐次式的“降维”分解
核心思想：将其中一个字母（如𝑦）视为“已知常数系数”，另一个字母（如𝑥）作
为主元进行十字相乘法的因式分解。
常见形式：𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥𝑦+ 𝑐𝑦2
例：𝑥2 −5𝑥𝑦+ 6𝑦2
第二十五章
一元二次方程
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将6𝑦2看作𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐中的常数项𝑐，在原十字相乘法的因式分解中，我们认
为𝑐是由两个常数相乘得到的，因此在该例中，我们也同样认为，6𝑦2是由某两个含
有𝑦的单项式相乘得到的，进而将6𝑦2拆分为(−2𝑦) × (−3𝑦)，交叉验证(−2𝑦) +
(−3𝑦) = −5𝑦，最终分解为(𝑥−2𝑦)(𝑥−3𝑦)
(Ⅱ)含参字母（系数）的“动态”十字相乘
核心思想：待定系数中不仅包含数字，还包含另一个字母（如𝑚, 𝑘），要求根据“交
叉项”的系数反推因式分解的配凑
例：𝑥2 −(2𝑎+ 1)𝑥+ (𝑎2 + 𝑎)
这里的常数项为(𝑎2 + 𝑎)，可以将其拆分为(−𝑎)[−(𝑎+ 1)]，交叉验证−𝑎+
[−(𝑎+ 1)] = −(2𝑎+ 1)恰好等于一次项系数，最终分解为(𝑥−𝑎)[𝑥−(𝑎+ 1)]
(Ⅲ)利用十字相乘解决“高次方程”的降次
核心思想：十字相乘法的因式分解不限于二次，当遇到可以分解的三次或四次方
程，可以先提取公因式或换元，再用十字相乘法因式分解
例1：𝑥3 −5𝑥2 + 6𝑥
先提取公因式𝑥，得𝑥(𝑥2 −5𝑥+ 6),再对括号内的二次三项式十字相乘法因式
分解，可得𝑥(𝑥−2)(𝑥−3)，进而直接求出方程的三个根
例2：𝑥4 −13𝑥2 + 36
将𝑥2视为整体𝑡，即𝑡2 −13𝑡+ 36，再对该式十字相乘因式分解可得
(𝑡−4)(𝑡−9)，将𝑥2回代，得到(𝑥2 −4)(𝑥2 −9)，再利用平方差公式彻底分解即可
特别提醒
①建立分解“工具”的优先级意识。因式分解的手法有：提取公因式法、公式法（平方
差公式、完全平方式）、十字相乘法。在解题时，必须建立清晰的优先级思维：先看有
无公因式可提，再看能否用公式，最后才尝试十字相乘。对于系数较大或较复杂的式
子，切勿一上来就盲目拆项；
②十字相乘法的“符号判定”技巧：这是很多学生的“心理门槛”。当𝑐> 0时，分解出的
两个常数同号（且都与𝑏同号）；当𝑐< 0时，分解出的两个常数异号（绝对值较大的那个
与𝑏同号）。这是“符号预判法则”，能大幅降低试错成本。
归纳总结
对二次三项式𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)因式分解时，注意用法的优先级：提取公因式法、
公式法、十字相乘法。当出现高次多项式时，可以采用分组分解法。其中，公式法最快；
十字相乘法需要观察系数。
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知识点二 因式分解法解一元二次方程
基本步骤：
①整理一元二次方程，对其进行移项，使得方程等号右边为 0 ；
②对方程等号左侧进行 因式分解 ，将其分解为两个或多个整式的乘积的形式；
③分别令等号左侧的整式等于 0 ，得到两个或多个一元一次方程；
④解这些一元一次方程，一元一次方程的解合并起来就是一元二次方程的解。
特别提醒
在方程中，因式分解大前提为方程等号右边必须为“0”，若方程等号右边不为“0”,绝不
能先分解左边再强行令因式乘积等于“0”，所以第一步必须是“移项、合并、归零”；；
归纳总结
因式分解法解方程：
① 将方程先整理为一般式；
② 等号左侧因式分解，右侧等于0；
③ 分别令左侧的整式等于0；
④ 求解。
知识点三 整体法或换元法解一元二次方程
定义：在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用
一个简单的字母表示，达到简化方程的目的，再解方程的方法叫做整体法或换元法。
例如：解方程(𝑥+ 1)2 −5(𝑥+ 1) + 6 = 0
解：令𝑡= 𝑥+ 1，原方程可化为𝑡2 −5𝑡+ 6 = 0
对该式因式分解，可得(𝑡−2)(𝑡−3) = 0
解得 𝑡= 2或3
∴𝑥+ 1 = 2或𝑥+ 1 = 3，解得𝑥1 = 1，𝑥2 = 2
拓展延伸
整体换元下的“大十字”结构
核心思想：当出现重复的代数式（如𝑥2 + 𝑥、𝑥+
1
𝑥）时，将其视为一个整体𝑡，先对𝑡十
字相乘因式分解，再回代分解内部的因式。
⚫
类型𝐴：直接整体替换
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例：解方程(𝑥2 + 𝑥)2 −8(𝑥2 + 𝑥) + 12 = 0
解：令𝑡= 𝑥2 + 𝑥，原方程可化为𝑡2 −8𝑡+ 12 = 0
对该式因式分解，可得(𝑡−2)(𝑡−6) = 0
解得𝑡= 2或6
将𝑥2 + 𝑥代回至𝑡中，可得𝑥2 + 𝑥= 2或𝑥2 + 𝑥= 6
分别对上式进行移项和因式分解，可得(𝑥−1)(𝑥+ 2) = 0或
(𝑥−2)(𝑥+ 3) = 0
解该方程，可得𝑥1 = 1，𝑥2 = −2，𝑥3 = 2，𝑥4 = −3
⚫
类型𝐵：互为倒数式
例：解方程𝑥2 +
1
𝑥2 −3 (𝑥+
1
𝑥) + 2 = 0
解：∵𝑥2 +
1
𝑥2 = (𝑥+
1
𝑥)
2
−2
∴原式可化为(𝑥+
1
𝑥)
2
−2 −3 (𝑥+
1
𝑥) + 2 = 0
即(𝑥+
1
𝑥)
2
−3 (𝑥+
1
𝑥) = 0
令𝑡= 𝑥+
1
𝑥，原方程可化为𝑡2 −3𝑡= 0
对该式因式分解，可得𝑡(𝑡−3) = 0
解得𝑡= 0或3
将𝑥+
1
𝑥代回至𝑡中，可得𝑥+
1
𝑥= 0或𝑥+
1
𝑥= 3
解得𝑥1 =
3+√5
2 ，𝑥2 =
3−√5
2
归纳总结
整体换元法的目的是将复杂的、重复出现的代数式视为一个“新字母”（设为𝑡），从
而把高次方程降为低次方程，把分式方程化为整式方程，把复杂因式分解化为基本
公式法或十字相乘法。换元前后，代数式的“结构关系”并没有发生改变，只是将
“运算层级”降低。因此，整体换元法遵循设元、换元、解元、回代的步骤，其中
回代是最容易遗忘的一步，需要重点关注。
易错点 1 “约分式”的致命错误
•
错例：求解方程𝑥2 = 3𝑥时，两边直接除以𝑥，求得𝑥= 3，漏掉𝑥= 0
•
错因：潜意识认为未知数“天然不为0”，或默认字母代表非零数，忽视了𝑥= 0是
方程的一个解
•
规避方法：明确一个认知：未知数在未确定前，身份未知，可以等于0.凡含未知
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数的项，一律移项至等号一侧，提取公因式，禁止直接约去
易错点 2 未归零直接因式分解
•
错例：求解方程𝑥2 −4 = 3𝑥，直接携程(𝑥+ 2)(𝑥−2) = 3𝑥，然后陷入死胡同
•
错因：机械记忆因式分解，忘记了解方程的基本流程，受“代数式化简”的思维
负迁移影响
•
规避方法：做题第一步用红笔在等号右边画圈，写上“必须为0”
易错点 3 因式分解不彻底
•
错例：求解方程2𝑥2 −8𝑥= 0，只分解成2(𝑥2 −4𝑥) = 0或𝑥(2𝑥−8) = 0，漏掉可继
续分解的因子
•
错因：提取公因式不彻底，因式分解的最终形式概念模糊，未化为“最简整式乘
积”
•
规避方法：定义因式分解的终点是“括号内不再有公因式，且不能再套公式”。每
经过一次因式分解，都要检查系数和字母，是否还有能继续提取的项，再检查是否符
合特殊公式形式（好比平方差公式、完全平方式），直到不能再提取，不能再分解为止
易错点 4 十字相乘符号全反
•
错例：对𝑥2 −5𝑥+ 6 = 0十字相乘因式分解，误分解成(𝑥+ 2)(𝑥+ 3) = 0
•
错因：忽略了常数项𝑐与一次项系数𝑏的同号/异号匹配关系，靠盲猜试错
•
规避方法：十字相乘因式分解前，先看𝑐。若𝑐为正，因式同号，看𝑏定正负；若𝑐
负，因式异号，看𝑏定绝对值大的符号。并在草稿纸上写出两数之和与两数之积的验证
小算式。
易错点 5 对𝒂≠𝟎的忽视
•
错例：对于方程𝑘𝑥2 −3𝑥= 0，直接两边除以𝑥或默认它为一元二次方程
•
错因：含参方程中，忽略最高次项系数为0 的可能性，导致解法不严谨。
•
规避方法：分类讨论前置：虽然初三以整数系数为主，但遇到字母系数，须明
确：当𝑘= 0时，方程退化为一次方程，必须单独讨论；当𝑘≠0时，才可用因式分解
法
题型一：因式分解法—解一元二次方程
方法技巧
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因式分解法解方程的步骤：
①整理一元二次方程，对其进行移项，使得方程等号右边为0；
②对方程等号左侧进行因式分解，将其分解为两个或多个整式的乘积的形式；
③分别令等号左侧的整式等于0，得到两个或多个一元一次方程；
④解这些一元一次方程，一元一次方程的解合并起来就是一元二次方程的解。
1.方程
2
2
x
x
=
的根是（ ）
A．
2
x =
B．
1
2
2
x
x
=
=
C．
2
x = −
D．
1
2
0,
2
x
x
=
=
【答案】D
【详解】解：将方程移项得
2
2
0
x
x
−
=
，
提取公因式得(
)
2
0
x x −
=
，
0
x
=
或
2
0
x−
=
，解得
1
2
0,
2
x
x
=
=
.
2.关于x 的一元二次方程(
)1
x x
x
+
=
的解为（ ）
A．
1
1
x = −，
2
0
x =
B．
1
2
0
x
x
=
=
C．
1
2
1
x
x
−
=
=
D．
1
1
x = −，
2
1
x =
【答案】B
【分析】将方程整理后，通过提取公因式因式分解，得到方程的根．
【详解】解：(
)1
x x
x
+
=
，
移项得：(
)
1
0
x x
x
+
−
=
，
提取公因式x 得：
(
)
1
1
0
x
x
+
−
=
，
化简得：
2
0
x =
，
∴
1
2
0
x
x
=
=
．
3.已知关于x 的一元二次方程
2
2
6
0
x
kx
+
−
=
的一个根是2，则它的另一个根是（ ）
A．3
−
B．3
C．
3
2
−
D．3
2
【答案】C
【分析】将已知根代入原方程求出参数k 的值，再解一元二次方程即可得到另一个根．
【详解】解：
2
x =
是方程
2
2
6
0
x
kx
+
−
=
的根，
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将
2
x =
代入原方程得
2
2 2
2
6
0
k
+
−
=
，化简得2
2
0
k
+
=
，
解得
1
k = −，
原方程为
2
2
6
0
x
x
−
−
=
，对方程左边因式分解得(
)(
)
2
3
2
0
x
x
+
−
=
，
解得
2
x =
或
3
2
x = −
，
因此方程的另一个根为
3
2
−
．
4.已知a 是关于x 的一元二次方程
2
3
4
0
x
x
+
−
= 的一个解，则
2
2
6
1
a
a
+
+ 的值为（ ）
A．8
B．8
−
C．9
D．9
−
【答案】C
【详解】解：解
2
3
4
0
x
x
+
−
= ，(
)(
)
4
1
0
x
x
+
−
=
得
1
2
4,
1
x
x
= −
= ，
4
a
= −时，原式
(
)
(
)
2
2
4
6
4
1
9
=
−
+ −
+ =
，
1
a = 时，原式
2
2 1
6 1 1
9
=
+ + =
，
2
2
6
1
9
a
a
+
+ =
．
5.方程
2
2
3
0
x
x
+
−
=
的解为（ ）
A．
1
1
x = ，
2
2
x =
B．
1
1
x = ，
2
2
x = −
C．
1
1
x = ，
2
3
x = −
D．
1
1
x = −，
2
3
x =
【答案】C
【详解】解：∵
2
2
3
0
x
x
+
−
=
，
∴(
)(
)
1
3
0
x
x
−
+
=
，
∴
1
0
x −= 或
3
0
x+ = ，
解得
1
1
x = ，
2
3
x = −．
6.已知1，m 是方程
2
2
1
0
x
ax
+
−=
的两个实数根，则
1
m−的值为（ ）
A．3
−
B．
3
2
−
C．1
−
D．1
2
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的定义求解，先将已知根
1
x = 代入原方程求出参数a ，再解
一元二次方程得到另一个根m ，最后计算
1
m−的值即可．
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【详解】解：∵1是方程
2
2
1
0
x
ax
+
−=
的根，
∴将
1
x = 代入方程得
2
2 1
1 1
0
a
+
−=
，
解得
1
a = −，
∴原方程为
2
2
1
0
x
x
−
−=
，
因式分解得(
)(
)
2
1
1
0
x
x
+
−
=
，
解得
1
2
1
1,
2
x
x
=
= −
，
∵1,m 是方程的两个实数根，
∴
1
2
m
−
=
，
∴
1
3
1
1
2
2
m−= −
−= −
．
7.解方程：
(1)
2
2
0
x
x
−
=
．
(2) (
)
1
1
x x +
= ．
【答案】(1)
1
0
x =
，
2
2
x =
(2)
1
1
5
2
x
−+
=
，
2
1
5
2
x
−−
=
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：
2
2
0
x
x
−
=
，
(
)
2
0
x x −
=
，
0
x =
或
2
0
x−
=
，
所以方程的解为
1
0
x =
，
2
2
x =
．
（2）解：(
)
1
1
x x +
= ，
2
1
x
x
+
= ，
2
1
1
1
4
4
x
x
+
+
= +
，
2
1
5
2
4
x
+
=
，
1
5
2
2
x +
=
，
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1
5
2
x
−
=
，
所以方程的解为
1
1
5
2
x
−+
=
，
2
1
5
2
x
−−
=
．
8.解方程：
2
2
5
3
0
x
x
−
+
=
．
【答案】
1
2
3 ,
1
2
x
x
=
=
【详解】解：∵
2
2
5
3
0
x
x
−
+
=
，
∴(
)(
)
2
3
1
0
x
x
−
−
=
，
∴2
3
0
x −=
或
1
0
x−=
，
∴
1
3
2
x =
，
2
1
x = ．
9.解方程．
(1)
2
4
5
0
x
x−
−
=
(2)
2
2
2
1
0
x
x
−
−=
(3)
2
4
5
x
x
+
=
；
(4)(
)
(
)
2
3
2
3
x
x x
−
=
−
【答案】(1)
1
5
x = ，
2
1
x = −
(2)
1
1
3
2
x
+
=
，
2
1
3
2
x
−
=
(3)
1
1
x = ，
2
5
x = −
(4)
1
3
x = ，
2
3
x = −
【详解】（1）解：
2
4
5
0
x
x−
−
=
(
)(
)
5
1
0
x
x
−
+
=
5
0
x−=
或
1
0
x + =
∴
1
5
x = ，
2
1
x = −；
（2）解：
2
2
2
1
0
x
x
−
−=
2,
2,
1
a
b
c
=
= −
= −
(
)
(
)
2
2
4
2
4 2
1
12
0
b
ac
−
= −
−−
=
∴
2
12
1
3
2 2
2
x
=
=
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∴
1
1
3
2
x
+
=
，
2
1
3
2
x
−
=
；
（3）解：
2
4
5
x
x
+
=
2
4
5
0
x
x−
+
=
(
)(
)
5
1
0
x
x
+
−
=
5
0
x+ =
或
1
0
x −=
∴
1
1
x = ，
2
5
x = −；
（4）解：(
)
(
)
2
3
2
3
x
x x
−
=
−
(
)
(
)
2
3
2
3
0
x
x x
−
−
−
=
(
)(
)
3
3
2
0
x
x
x
−
−−
=
3
0
x −= 或
3
0
x
−−=
∴
1
3
x = ，
2
3
x = −．
10.解方程：
(1)
2
4
0
x
x
−
=
；
(2)
2
4
5
0
x
x−
−
=
．
【答案】(1)
1
0
x =
，
2
4
x =
(2)
1
5
x = ，
2
1
x = −
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
2
4
0
x
x
−
=
因式分解得，(
)
4
0
x x −
=
，
∴
0
x =
或
4
0
x−
=
，
解得：
1
0
x =
，
2
4
x =
．
（2）解：
2
4
5
0
x
x−
−
=
因式分解得，(
)(
)
5
1
0
x
x
−
+
=
，
∴
5
0
x−=
或
1
0
x + = ，
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解得：
1
5
x = ，
2
1
x = −．
题型二：整体换元法解一元二次方程
方法技巧
在高次方程中，出现重复的项的时候，我们可以令该重复项为新的字母“𝑡”，将原方
程转化为含有𝑡的一元二次方程后，求𝑡。最后将求出的𝑡的值，赋予重复项，再次解
方程，即可得到方程的根。
1.已知实数a，b 满足(
)(
)
2
2
2
2
2
2
3
10
a
b
a
b
+
+
−
=
，则
2
2
2
a
b
+
的值为（ ）
A．5 或2
−
B．5
−或2
C．5
D．2
【答案】C
【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结
果．
【详解】解：设
2
2
2
0
x
a
b
=
+
，
原方程可化为(
)
3
10
x x −
=
，
整理得
2
3
10
0
x
x
−
−
=
，
因式分解得(
)(
)
5
2
0
x
x
−
+
=
，
解得
1
5
x = ，
2
2
x = −（舍去），
∴
5
x = ，
∴
2
2
2
5
a
b
+
=
．
2.当(
)(
)
2
2
2
2
2
1
0
m
n
m
n
+
−
+
+ =
时，
2
2
m
n
+
的值为（ ）
A．1
−
B．1
C．1 或1
−
D．0
【答案】B
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设
2
2
y
m
n
=
+
，原式化成关于y 的一元二次
方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式
2
2
m
n
+
，再用字母
y 代替解方程．
【详解】解：设
2
2
y
m
n
=
+
，则原方程可化为：(
)
2
1
0
y y −
+ =
，
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∴(
)
2
1
0
y −
=
，
解得
1
2
1
y
y
=
= ，
∴
2
2
1
m
n
+
= ，
故选：B．
3.已知方程
2
0
2
8
x
x +
−
=
的解是
2
x =
或4
−，则方程(
)
(
)
2
2
2
2
8
0
x
x
+
+
+
−
=
的解是（ ）
A．
1
2
4,
6
x
x
=
= −
B．
1
2
4,
2
x
x
=
= −
C．
1
2
0,
6
x
x
=
= −
D．
1
2
0,
2
x
x
=
= −
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元
法．
通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解.
【详解】解：设
2
u
x
=
+ ，则方程化为
2
2
8
0
u
u
+
−
=
，
2
2
8
0
u
u
+
−
=
的解为
2
u =
或
4
u = −，
∴
2
2
x+
=
或
2
4
x+
= −，
解得
0
x =
或
6
x = −，
故选：C．
4.已知一元二次方程(
)
(
)
2
0
0
a x
m
n
a
+
+
=
的两根分别为3
−、1，则方程
(
)
(
)
2
2
0
0
a x
m
n
a
+
−
+
=
的两根分别为（ ）．
A．3
−、1
B．1
−、3
C．5
−、1
−
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设在方程(
)
(
)
2
2
0
0
a x
m
n
a
+
−
+
=
中，
2
t
x
=
−，根据题意可得关于t 的一元二次方程(
)
(
)
2
0
0
a t
m
n
a
+
+
=
的两根分别为3
−、
1，则
2
3
t
x
=
−
= −或
2
1
t
x
=
−
= ，据此求解即可．
【详解】解：设在方程(
)
(
)
2
2
0
0
a x
m
n
a
+
−
+
=
中，
2
t
x
=
−，
∴方程(
)
(
)
2
2
0
0
a x
m
n
a
+
−
+
=
可整理为
2
((
2)
)
0
a x
m
n
−
+
+
=
，即变形为关于t 的方程
(
)
(
)
2
0
0
a t
m
n
a
+
+
=
，
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∵关于x 的一元二次方程(
)
(
)
2
0
0
a x
m
n
a
+
+
=
的两根分别为3
−、1，
∴关于t 的一元二次方程(
)
(
)
2
0
0
a t
m
n
a
+
+
=
的两根分别为3
−、1，
∴
2
3
t
x
=
−
= −或
2
1
t
x
=
−
= ，
解得
1
x = −或
3
x = ，
∴方程(
)
(
)
2
2
0
0
a x
m
n
a
+
−
+
=
的两根分别为1
−、3，
故选：B．
5.一元二次方程
2
(
1)
2(
1)
1
0
x
x
−
−
−
+ =
可化为（ ）
A．
2
0
x =
B．
2
(
1)
0
x −
=
C．
2
(
2)
0
x −
=
D．
2
(
2)
0
x +
=
【答案】C
【分析】本题考查了换元法．
通过变量代换将原方程化为完全平方形式，再比较选项即可．
【详解】解：设
1
y
x−
=
，则原方程化为
2
2
1
0
y
y
−
+ =
，
∴
2
(
1)
0
y −
=
，
∴
2
2
(
1 1)
(
2)
0
x
x
−−
=
−
=
，
故原方程可化为
2
(
2)
0
x −
=
．
故选：C．
6.已知方程
2
3
0
ax
bx
+
−
=
的解是
1
1
x = ，
2
3
x = −，则另一个方程(
)
(
)
2
3
3
3
0
a x
b x
+
+
+
−
=
的解是（ ）
A．
1
2
x =
，
2
6
x =
B．
1
2
x = −，
2
6
x = −
C．
1
1
x = −，
2
3
x =
D．
1
1
x = ，
2
3
x = −
【答案】B
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关
键．
通过变量代换，将新方程转化为已知方程的形式，利用已知解求解即可．
【详解】解：设
3
y
x
=
+
，则新方程(
)
(
)
2
3
3
3
0
a x
b x
+
+
+
−
=
化为
2
3
0
ay
by
+
−=
，
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∵方程
2
3
0
ay
by
+
−=
的解为
1
1
y = ，
2
3
y = −，
∴
3 1
x + = 或
3
3
x +
= −，
解得
2
x = −或
6
x = −，
∴新方程的解为
1
2
x = −，
2
6
x = −．
故选：B．
7.若关于x 的一元二次方程
(
)
2
5
0
0
ax
bx
a
+
+
=
有一根为
2025
x =
，则一元二次方程
(
)
2
2
2
5
a x
bx
b
−
+
−
= −有一个根为（ ）
A．2021
B．2023
C．2025
D．2027
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，通过一元二次方程
(
)
2
2
2
5
a x
bx
b
−
+
−
= −，变形为(
)
(
)
2
2
2
5
0
a x
b x
−
+
−
+
=
，再根据题意可得一元二次方程
(
)
2
2
2
5
a x
bx
b
−
+
−
= −有一个根为
2
2025
x −
=
，然后求解即可，掌握换元法是解题的关
键．
【详解】解：∵一元二次方程(
)
2
2
2
5
a x
bx
b
−
+
−
= −，
∴(
)
(
)
2
2
2
5
0
a x
b x
−
+
−
+
=
，
∵关于x 的一元二次方程
(
)
2
5
0
0
ax
bx
a
+
+
=
有一根为
2025
x =
，
∴一元二次方程(
)
2
2
2
5
a x
bx
b
−
+
−
= −有一个根为
2
2025
x −
=
，解得
2027
x =
，
故选：D ．
8.解方程：(
)
(
)
2
4
1
10 4
1
24
0
x
x
−
−
−
−
=
【答案】
1
13
4
x =
，
2
1
4
x = −
．
【分析】令
4
1
t
x
=
−，得到关于t 的方程，利用配方法求得1
12
t =
，2
2
t = −，进而求出x 的
值即可．
【详解】解：令
4
1
t
x
=
−，代入方程得
2
10
24
0
t
t
−
−
=
，
2
10
24
0
t
t
−
−
=
，
2
10
24
t
t
−
=
，
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2
10
25
24
25
t
t
−
+
=
+
，
(
)
2
5
49
t
−
=
，
5
7
t
−= ，
解得：1
12
t =
，2
2
t = −，
当4
1 12
x−=
时，
13
4
x =
，
当4
1
2
x−= −时，
1
4
x = −
，
原方程的解为
1
13
4
x =
，
2
1
4
x = −
．
9.解方程：(
)
(
)
2
2
2
4
9
4
36
0
x
x
x
x
−
−
−
−
=
【答案】
2
x = −或
1
x = 或
3
x = 或
6
x =
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
通过换元法，设
2
4
y
x
x
=
−
，将原方程转化为关于y 的二次方程求解，然后代回解关于x
的方程．
【详解】解：设
2
4
y
x
x
=
−
，
则
2
9
36
0
y
y
−
−
=
，
因式分解，(
)(
)
12
3
0
y
y
−
+
=
，
解得
12
y =
或
3
y
−
=
，
当
12
y =
时，即
2
4
12
x
x
−
=
移项得，
2
4
12
0
x
x
−
−
=
，
因式分解得，(
)(
)
6
2
0
x
x
−
+
=
解得
6
x =
或
2
x = −，
当
3
y
−
=
时，即
2
4
3
x
x
−
= −
移项得，
2
4
3
0
x
x
−
+
= ，
因式分解得，(
)(
)
3
1
0
x
x
−
−
=
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解得
3
x = 或
1
x = ，
综上，原方程的解为
2
x = −或
1
x = 或
3
x = 或
6
x =
．
10.解方程：
(
)
2
(3
5)
3 3
5
2
0
x
x
+
−
+
+
=
．
【答案】
1
4
3
x = −
，
2
1
x = −．
【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，用到的知识点是因式分解法解方程，关键是
通过换元得到关于y 的一元二次方程．
设3
5
x
y
+
=
，根据
(
)
2
(3
5)
3 3
5
2
0
x
x
+
−
+
+
=
，得出
2
3
2
0
y
y
−
+
=
，求出y 的值，再代入
3
5
x
y
+
=
，即可得出答案．
【详解】解：设3
5
x
y
+
=
，
(
)
2
(3
5)
3 3
5
2
0
x
x
+
−
+
+
=
，
2
3
2
0
y
y
−
+
=
，
1
1
y
= ，
2
2
y =
，
3
5
1
x
+ = 或3
5
2
x+ =
，
1
4
3
x
= −
，
2
1
x = −．
11.降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程
4
2
12
0
x
x
−
−
=
时，可以将
2
x 看成一个整体，设
2x
y
=
，则
4
2
x
y
=
，原方程可化为
2
12
0
y
y
−
−
=
，解得
1
4
y =
，
2
3
y = −．当
4
y =
时，
2
4
x =
，(
)(
)
2
2
0
x
x
+
−
=
，所以
1
2
x = −，
2
2
x =
；当=
3
y −
时，此方程没有实数根，所以原方程的根为
1
2
x = −，
2
2
x =
．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程：
(1)
4
2
16
0
y
y
−
=
；
(2)(
)(
)
2
2
3
3
3
1
5
y
y
y
y
−
−
−
+
=
．
【答案】(1)
2
1
3
4
0
4
4
y
y
y
y
=
=
=
= −
,
,
(2)
1
2
3
4
4
1
1
2
y
y
y
y
=
= −
=
=
,
,
,
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
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（1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答．
（2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答．
【详解】（1）解：∵
4
2
16
0
y
y
−
=
∴可以将
2
y 看成一个整体，设
2y
x
=
，
则
4
2
y
x
=
，原方程可化为
2
16
0
x
x
−
=
，
∴(
)
16
0
x x −
=
解得
1
0
x =
，
2
16
x =
．
当
0
x =
时，
2
0
y =
，解得
2
1
0
y
y
=
= ,
当
16
x =
时，
2
16
y =
，解得
3
4
4
4
y
y
=
= −
,
．
（2）解：∵(
)(
)
2
2
3
3
3
1
5
y
y
y
y
−
−
−
+
=
，
∴可以将
2
3
y
y
−
看成一个整体，设
2
3
y
y
x
−
=
，
原方程可化为(
)(
)
3
1
5
x
x
−
+
= ，
∴
2
3
3
5
x
x
x
+
−
−
=
，
∴
2
2
8
0
x
x
−
−
=
，
∴(
)(
)
4
2
0
x
x
−
+
=
，
∴
1
2
4,
2
x
x
=
= −，
当
4
x = 时，
2
3
4
y
y
−
=
，
∴
2
3
4
0
y
y
−
−
=
，
∴(
)(
)
4
1
0
y
y
−
+
=
，
解得
1
2
4
1
y
y
=
= −
,
,
当
2
x = −时，
2
3
2
y
y
−
= −，
∴
2
3
2
0
y
y
−
+
=
，
∴(
)(
)
1
2
0
y
y
−
−
=
，
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解得
3
4
1,
2
y
y
=
=
．
综上：
1
2
3
4
4
1
1
2
y
y
y
y
=
= −
=
=
,
,
,
．
12.阅读下面的材料：
解方程
4
2
7
12
0
x
x
−
+
=
这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设
2x
y
=
，则
4
2
x
y
=
，∴原方程可化为：
2
7
12
0
y
y
−
+
= ，解得
1
3
y =
，
2
4
y =
，当
3
y =
时，
2
3
x =
，
3
x =
，当
4
y =
时，
2
4
x =
，
2
x = ．∴原方程有四个根是：
1
3
x =
，
2
3
x = −
，
3
2
x =
，
4
2
x = −，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转
化思想，运用上述方法解答下列问题．
已知实数a ，b 满足(
)
(
)
2
2
2
2
2
3
10
0
a
b
a
b
+
−
+
−
=
，试求
2
2
a
b
+
的值．
【答案】5
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，
熟练掌握换元法是解题的关键．设
2
2
x
a
b
=
+
，则原方程可化为
2
3
10
0
x
x
−
−
=
，根据因式分
解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设
2
2
x
a
b
=
+
，则原方程可化为
2
3
10
0
x
x
−
−
=
，
因式分解，得
−
+
=
(
5)(
2)
0
x
x
，
∴
5
0
x−=
或
2
0
x+
=
，
解得
=
= −
1
2
5,
2
x
x
，
∵
2
0
a
，
2
0
b
，
∴
2
2
0
a
b
+
，
∴
2
2
5
a
b
+
=
．
13.阅读下列例题的解答过程：
解方程：(
)
(
)
2
3
2
7
2
4
0
x
x
−
+
−
+
=
．
解：设
2
x
y
−
=
，则原方程化为：
2
3
7
4
0
y
y
+
+
=
，
3,
7,
4
a
b
c
=
=
=
，
2
2
4
7
4 3 4
1
b
ac
−
=
−
= ，
7
1
7 1
2 3
6
y
−
−
=
=
，
1
2
4
1,
3
y
y
= −
= −
．
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当
1
y
−
=
时，
2
1
x −
= −，
1
x
= ；
当
4
3
y = −
时，
4
x
2
3
−
= −
，
2
3
x
=
．
原方程的解为：
1
2
2
1,
3
x
x
=
=
．
请仿照上面的例题解决问题：若(
)(
)
2
2
2
2
2
3
a
b
a
b
+
+
−
= ，求代数式
2
2
a
b
+
的值．
【答案】3
【分析】本题考查了解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．设
2
2
a
b
y
+
=
，则原
方程化为(
2)
3
y y −
=
，求出y ，再求出
2
2
a
b
+
即可．
【详解】解：(
)(
)
2
2
2
2
2
3
a
b
a
b
+
+
−
= ，
设
2
2
a
b
y
+
=
，则原方程化为：(
2)
3
y y −
=
，
即
2
2
3
0
y
y
−
−=
，
∴(
3)(
1)
0
y
y
−
+
=
，
∴
3
0,
1
0
y
y
−
=
+ =
，
∴
,
y
y
=
= −
1
2
3
1，
当
3
y =
时，
2
2
3
a
b
+
=
；
当
1
y
−
=
时，
2
2
1
a
b
+
= −，
∵两个数的平方和具有非负性，
∴
2
2
1
a
b
+
−，即代数式
2
2
a
b
+
的值为3．
14.安阳某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你
仔细阅读，并完成任务．
试题：已知(
)(
)
3
4
10
x
y
x
y
+
−
+
+
= −
，求x
y
+
的值．
小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设x
y
t
+
= ，
则原方程可变形为(
)(
)
3
4
10
t
t
−
+
= −
．
即
2
2
0
t
t
+ −
=
；解得1
2
t = −，2
1
t = ，
2
x
y
+
= −或
1
x
y
+
= ．
小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法．
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任务：
(1)已知x、y 满足(
)(
)
2
2
2
2
2
1 2
3
8
x
y
x
y
+
−
+
−
=
，求
2
2
2x
y
+
的值．
(2)若a、b 满足(
)(
)
2
2
2
2
5
6
a
b
a
b
−
−
−
=
，求(
)(
)
a
b
a
b
+
−
的值．
【答案】(1)5
(2)6 或1
−
【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算，掌握换元法解一元二次
方程的一般步骤是解题的关键．
（1）设
(
)
2
2
2
0
t
x
y
t
=
+
，则原方程可变为(
)(
)
1
3
8
t
t
−
−
=
，解方程即可得到结论；
（2）设
2
2
s
a
b
=
−
，则原方程可变为(
)
5
6
s s −
=
，解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：设
(
)
2
2
2
0
t
x
y
t
=
+
，
(
)(
)
(
)(
)
2
2
2
2
1
3
8
2
1 2
3
x
y
x
y
t
t
+
−
−
=
−
+
=
−
，
2
4
3
8
t
t
−
+
=
，
2
4
5
0
t
t
−
−
= ，
因式分解得(
)(
)
5
1
0
t
t
−
+
=
，
解得1
5
t =
，2
1
t = −（舍去），
2
2
2
5
x
y
+
=
．
（2）(
)(
)
2
2
a
b
a
b
a
b
+
−
=
−
，设
2
2
s
a
b
=
−
，
(
)(
)
(
)
2
2
2
2
5
5
6
a
b
a
b
s s
−
−
−
=
−
=
，
2
5
6
0
s
s
−
−
=
，
因式分解得(
)(
)
6
1
0
s
s
−
+
=
，
解得1
6
s =
，
2
1
s = −，
(
)(
)
6
a
b
a
b
+
−
=
或1
−．
15.阅读下列材料：已知实数m，n 满足(
)(
)
2
2
2
2
2
1 2
1
80
m
n
m
n
+
+
+
−
=
，试求
2
2
2m
n
+
的
值．
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解：设
2
2
2m
n
t
+
= ，则原方程变为(
)(
)
1
1
80
t
t
+
−
=
，整理得
2
2
1
80
81
t
t
=
−
=
，
，
∴
9
t = ．∵
2
2
2
0
m
n
+
，∴
2
2
2
9
m
n
+
=
．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂
的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使
复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)已知实数x，y 满足(
)(
)
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
27
x
y
x
y
+
+
+
−
=
，求
2
2
x
y
+
的值．
(2)设a，b 满足等式(
)(
)
2
2
2
2
2
2
1
3
a
b
a
b
+
+
−
=
，求
2
2
3
1
3
+
−
b
a
的值．
【答案】(1)3
(2) 7
2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解方程是解题的关键．
（1）设
2
2
2
2
x
y
t
+
= ，则原方程变形为(
)(
)
3
3
27
t
t
+
−
=
，解方程求出t 的值即可得到答
案；
（2）设
2
2
a
b
m
+
=
，则
(
)
2
1
3
m
m −
=
，解方程求出m 的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设
2
2
2
2
x
y
t
+
= ，则原方程变形为(
)(
)
3
3
27
t
t
+
−
=
，
∴
2
9
27
t −
=
，
∴
2
36
t =
，
∴
6
t = ，
∵
2
2
2
2
0
x
y
+
，
∴
2
2
2
2
6
t
x
y
=
+
=
，
∴
2
2
3
x
y
+
=
；
（2）解：设
2
2
a
b
m
+
=
，
∵(
)(
)
2
2
2
2
2
2
1
3
a
b
a
b
+
+
−
= ，
∴
(
)
2
1
3
m
m −
=
，
∴
2
2
3
0
m
m
−
−
=
，
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∴(
)(
)
2
3
1
0
m
m
−
+
=
，
解得
1
m = −或
3
2
m =
，
∵
2
2
0
m
a
b
=
+
，
∴
2
2
3
2
m
a
b
=
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
3
7
3
3
1
3
1
3
1
2
2
a
b
a
b −=
−
−
+
+
=
=
．
题型三：利用因式分解法求含有参数的一元二次方程
方法技巧
和整体换元法解一元二次方程的差异不大，无非就是在求出方程的根之后，根据题
干所描述的根的特征，列出对应的不等式组。因此该题型可视为题型二的拓展延
伸。
1.设n 是实数，已知关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
n
n
−
−
+
=
．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若方程的两根都大于1
−，求n 的取值范围．
【答案】(1)证明：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
Δ
1
4 1
1
4
4
2
1
0
n
n
n
n
n
= −
−−
+
= +
−
=
−
，
该方程总有两个实数根；
(2) 1
2
n
−
【分析】（1）求出根的判别式即可证明结论成立；
（2）先用因式分解法求出方程的根，再根据方程的两根都大于1
−列不等式组求解即可．
【详解】（1）略；
（2）解：由
2
2
0
x
x
n
n
−
−
+
=
得(
)(
)
1
0
x
n
x
n
−
+
−
=
，
0
x
n
−
=
或
1
0
x
n
+ −=
，
1x
n
=
，
2
1
x
n
= −+ ．
方程的两根都大于1
−，
1
1
1
n
n
−
−+ −
，
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解得1
2
n
−
，
n
的取值范围是1
2
n
−
．
2.已知关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
中，
9
9
6
b
c
c
=
−
−
−
−
．
(1)解：∵
9
0
c −
，9
0
c
−
．
∴9
9
c
，
∴c = ______，此时b = ______．
(2)若关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
有两个相等的实数根，请求出方程的根．
【答案】(1)9；6
−
(2)
1
2
3
x
x
=
=
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式以及二次根式有意义的条件，熟练掌握二次
根式的被开方数非负和判别式与根的关系是解题的关键．先根据二次根式的被开方数非负
求出c、b 的值，再结合判别式求出a，进而求解方程的根．
【详解】（1）解：根据二次根式的性质：被开方数必须是非负数，所以对于
9
c −
和
9 c
−
，需要满足：
9
0
9
0
c
c
−
−
，
∴9
9
c
，
∴
9
c =
，
将
9
c =
代入
9
9
6
b
c
c
=
−
−
−
−
得
9 9
9 9
6
6
b =
−
−
−
−
= −；
（2）解：∵一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
有两个相等的实数根，
∴
2
4
0
b
ac
=
−
=
将
9
c =
，
6
b = −代入判别式，得
(
)
2
Δ
6
4
9
0
a
= −
−=
，
解得
1
a = ，
此时方程为
2
6
9
0
x
x
−
+
=
，
即(
)
2
3
0
x −
=
，
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解得
1
2
3
x
x
=
=
．
3.关于x 的一元二次方程
(
)
2
3
3
0
x
m
x
m
−
+
+
=
．
(1)求证：方程总有实数根；
(2)若方程的两个根中只有一个根小于4，求m 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
4
m
【分析】本题考查了根的判别式、公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式，熟练掌
握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出
(
)
2
3
0
m
=
−
，由此可证出方程总有两个实数
根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x 的值，结合方程有一个根小于4，即可得出
m 的取值范围．
【详解】（1）证明：
(
)
(
)
2
2
2
2
3
4 1 3
6
9 12
6
9
3
m
m
m
m
m
m
m
m
+
−
−
−
=
+
=
+ −
=
+
=
−
，
∵(
)
2
3
0
m−
，即
0
，
∴关于x 的一元二次方程
(
)
2
3
3
0
x
m
x
m
−
+
+
=
总有实数根；
（2）解：∵
(
)
2
3
3
0
x
m
x
m
−
+
+
=
，
∴(
)(
)
3
0
x
m
x
−
−
= ，
解得：
1
3
x = ，
2x
m
=
，
∵方程的两个根中只有一个根小于4，
∴
4
m
．
答：m 的取值范围是
4
m
．
4.已知关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
ax
a
−
+
−=
．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若a 是非负数，且该方程的一根是负整数，求a 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)a 的值为0
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【分析】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，牢记“当
0
时，方程
有两个实数根”及利用因式分解法解方程是解题的关键
（1）根据方程的系数，结合根的判别式
2
4
b
ac
=
−
，可求出
(
)
2
2
0
a
=
−
，进而可证出
该方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法，可求出方程的两根，结合该方程其中一根是负整数且a 是非负数，
即可求出a 的值．
【详解】（1）证明：
(
)
(
)
2
4
1
a
a
= −
−
−
2
4
4
a
a
=
−
+
(
)
2
2
0
a
=
−
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：
2
1
0
x
ax
a
−
+
−=
，
(
)
(
)
1
1
0
x
x
a
−
−
−
=
，
解得：
1
1
x = ，
2
1
x
a
=
−，
∵方程其中一根是负整数，
1
0
a
−，
1
a
，
又
a
是非负数，
0
1
a
且a 为整数，
0
a
= ，
a
的值为0．
答：a 的值为0．
5.已知关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
mx
m
+
−
−=
．
(1)求证：不论m 取何值时，方程总有实数根；
(2)设方程的两个根分别为
1
2
,
x x ，若
1
2
2
4
x
x
m
+
=
−
，求m 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
5
m
−
=
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，得出
0
，即可求解；
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（2）首先求出方程的解为
1
x = 或
1
x
m
= −
−，然后根据
1
2
2
4
x
x
m
+
=
−
求解即可．
【详解】（1）解：∵
(
)
(
)
2
2
Δ
4 1
1
2
0
m
m
m
=
−−
−
=
+
∴不论m 取何值时，方程总有实数根；
（2）∵
2
1
0
x
mx
m
+
−
−=
∴(
)(
)
1
1
0
x
x
m
−
+
+
=
解得
1
x = 或
1
x
m
= −
−
∵
1
2
2
4
x
x
m
+
=
−
∴
(
)
1
2
1
4
m
m
+
−
−
=
−
或
1 2 1
4
m
m
−
−+ =
−
解得
5
m
−
=
或1
4
= （舍去）
∴
5
m
−
=
．
【点睛】本题考查了一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
(
0
a
a
b
c
，，，为常数)的根的判别式
2
4
b
ac
=
−
，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当
0
时，方程有两
个不相等的实数根；当
0
=
时，方程有两个相等的实数根；当
0
时，方程没有实数
根，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
6.已知关于x 的方程
(
)
2
3
2
2
0
x
k
x
k
−
+
+
+
=
．
(1)求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个不小于4 的根，求实数k 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
k
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程：
（1）根据题意只需要证明
(
)
(
)
2
3
4 2
2
0
k
k
= −
+
−
+
即可；
（2）利用因式分解法求出方程的两个根为
1
2
2
1
x
x
k
=
=
+
，
，再根据方程有一个不小于4
的根列出不等式求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得，
(
)
(
)
2
3
4 2
2
k
k
−
+
−
+
=
2
6
9
8
8
k
k
k −
=
+
+
−
2
2
1
k
k
−
=
+
小学
初中
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(
)
2
1
0
k
=
−
，
∴无论k 取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵
(
)
2
3
2
2
0
x
k
x
k
−
+
+
+
=
，
∴(
)(
)
1
2
0
x
k
x
−
−
−
=
，
解得
1
2
2
1
x
x
k
=
=
+
，
，
∵方程有一个不小于4 的根，
∴
1
4
k +
，
∴
3
k ．
7.已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
1
0
x
m x
m
+
−
+ −
=
．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程其中一个根为正数，求m 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
1
m
【分析】（1）求出
2
4
b
ac
=
−
的值即可求证；
（2 ）求出方程的解，再根据解的情况列出关于m 的不等式，解不等式即可求解；
本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
(
)
(
)
2
2
2
4 1
1
0
m
m
m
=
−
−
−
=
，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵
(
)
2
2
1
0
x
m x
m
+
−
+ −
=
，
∴
(
) (
)
1
1
0
x
m
x
+
−
+
=
，
解得
1
1
x
m
=
−，
2
1
x = −，
∵该方程有一个根为正数，
∴
1
0
m−
，
∴
1
m ．
8.关于x 的一元二次方程
2
3
9
0
x
mx
m
+
+
−
=
．
(1)求证：方程总有两个实数根；
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(2)若方程有一个根为非负数，求m 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
3
m
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题
意，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于 0 证明即可；
（2）先用因式分解法解一元二次方程，
3
x
−
=
或
3
x
m
= −
+ ，由题意可知
3
0
m
−
+
，然后
解不等式即可．
【详解】（1）证明：∵
2
3
9
0
x
mx
m
+
+
−
=
，
2
2
2
4 1 (3
9)
12
36
(
6)
0
m
m
m
m
m
−
−
=
−
+
=
−
，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵
2
3
9
0
x
mx
m
+
+
−
=
，
(
3)(
3)
0
x
x
m
+
+
−
=
，
3
x
= −或
3
x
m
= −
+ ，
∵方程有一个根为非负数，
3
0
m
−
+
，
3
m
．
9.关于x 的代数式
(
)
2
0
ax
bx
c a
+
+
，若存在实数n ，使得
2
2
an
bn
c
n
+
+
=
，则称n 为这个
代数式的等根值．
(1)代数式
2
3
2
x
x
−
的等根值为____________；
(2)已知关于x 的代数式
2
2
3
x
kx
k
−
−
+
．
①求证：无论k 取何值，此代数式总有两个不相等的等根值；
②已知
1
x = −是此代数式的一个等根值，求k 的值和这个代数式的另一个等根值．
【答案】(1)0 或1
(2)
①令
2
2
2
3
x
kx
k
x
−
−
+
=
整理得：
2
3
0
x
kx
k
+
−
−
=
因为
(
)
2
Δ
4
3
k
k
−
−−
=
2
4
12
k
k
=
+
+
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2
4
4
8
k
k
=
+
+
+
(
)
2
2
8
8
k
=
+
+
即Δ
0
，
所以
2
2
2
3
x
kx
k
x
−
−
+
=
有两个不相等的根，
即代数式
2
2
3
x
kx
k
−
−
+
总有两个不相等的等根值
②k 的值为1
−，另一个等根值为2
【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程
2
2
3
2
x
x
x
−
=
，解方
程即可；
（2）①由题得到关于x 的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么
方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值；
②将已知的等根值代入对应的方程求解k 的值，再将k 代回方程，再解方程求出另一个根
即可．
【详解】（1）由题可得
2
2
3
2
x
x
x
−
=
，
整理得
2
2
2
0
x
x
−
=
，
(
)
2
1
0
x x −
=
，
解得
1
0
x =
，
2
1
x = ；
（2）①略；
②由题意得
(
)
(
)
2
2
2
1
3
1
k
k
−
−
−
−
= −
解得：
1
k = −
将
1
k = −代入
2
2
2
3
x
kx
k
x
−
−
+
=
得
2
2
2
1 3
x
x
x
−
−
+
=
即：
2
2
0
x
x
−
−
=
解得：
1
2
x =
，
2
1
x = −
所以，该代数式的另一个等根值为2．
