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25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
课标要点
课标要点
1.理解韦达定理推导来源：由一元二次方程求根公式，得到两根之和、两根之积与系数a,b,c
的关系，前提条件：𝑎≠0，判别式𝛥= 𝑏2 −4𝑎𝑐≥0，方程有实数根。
2.会直接使用韦达定理求两根和、两根积，不解方程计算代数式的值，如x1
2 + x2
2、|x1 −x2|、
1
𝑥1 +
1
𝑥2。
3.已知两根，能逆用根与系数关系构造一元二次方程；已知方程一根，求另一根或者参数的
值。对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，两根记为𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎,
𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎，简化
形式：方程化为𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞= 0, 则𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝, 𝑥1𝑥2 = 𝑞。
学习重难点
重点：
1.牢记韦达定理公式，注意两根之和带有负号，区分𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0与𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞= 0两种
形式。
2.逆用定理构造方程：已知两根𝑥1、𝑥2,方程写作𝑥2 −(𝑥1 + 𝑥2)𝑥+ 𝑥1𝑥2 = 0。
4.已知一个根，利用韦达定理求另一根和参数。
难点：
1.忽略前提条件：使用韦达定理处理实根问题，必须保证𝛥≥0，含参数题目求出参数后，要
回代检验判别式，舍去使方程无实根的参数。
2.代数式变形错误，不会把目标式子转化为𝑥1 + 𝑥2.、𝑥1𝑥2.的整体形式。
3.构造方程时，常数项、一次项符号写反。
4.分不清：韦达定理代数式形式永远成立，但是只有𝛥≥0时，才有实数根与之对应。
第二十五章
一元二次方程
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知识点
一元二次方程根与系数的关系
一、定理内容
对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，当判别式𝛥= 𝑏2 −4𝑎𝑐≥0时，方程有两个实数根，设两根为
𝑥1、𝑥2，则：
x1 + x2 = −b
a ,
x1x2 = c
a
特殊形式：当二次项系数为1，方程x2 + px + q = 0
x1 + x2 = −p,
x1x2 = q
重要前提
1.𝑎≠0，必须是一元二次方程；
2.𝛥≥0，才有实数根；
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若𝛥< 0，方程没有实数根，但韦达的代数式计算形式仍然成立，只是不存在实数与之对应。
二、推导(由求根公式)
一元二次方程求根公式：𝑥=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，设𝑥1 =
−𝑏+√𝛥
2𝑎
、𝑥2 =
−𝑏−√𝛥
2𝑎
相加𝑥1 + 𝑥2 =
−2𝑏
2𝑎= −
𝑏
𝑎
相乘：𝑥1𝑥2 =
𝑏2−(𝑏2−4𝑎𝑐)
4𝑎2
=
4𝑎𝑐
4𝑎2 =
𝑐
𝑎
三、常见代数式整体变形(高频考点，不解方程求值)
全部转化为𝑥1 + 𝑥2和𝑥1𝑥2的整体代入
1. 𝑥1
2 + 𝑥2
2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2
2. 1
𝑥1
+ 1
𝑥2
= 𝑥1 + 𝑥2
𝑥1𝑥2
3. (𝑥1 −𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2
4. |𝑥1 −𝑥2| = √(𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2
5. (𝑥1 + 1)(𝑥2 + 1) = 𝑥1𝑥2 + (𝑥1 + 𝑥2) + 1
6. 𝑥1
2𝑥2 + 𝑥1𝑥2
2 = 𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)
随学随练
1．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）已知𝑥1, 𝑥2是一元二次方程𝑥2 −5𝑥−9 = 0的两个不相等的实数根，
则2𝑥1 + 2𝑥2 −𝑥1𝑥2的值为__________．
【答案】19
【分析】根据根与系数关系得到𝑥1 + 𝑥2 = 5, 𝑥1𝑥2 = −9，再利用整体代入计算即可．
【详解】解：∵𝑥1, 𝑥2是一元二次方程𝑥2 −5𝑥−9 = 0的两个不相等的实数根，
∴𝑥1 + 𝑥2 = 5, 𝑥1𝑥2 = −9，
解题步骤
1.符号错误𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎极易漏掉负号
2.忽略𝛥≥0：含参数题目，算出参数不检验判别式，保留没有实数根的解；
3.不会对代数式变形，不能把目标式子转成𝑥1 + 𝑥2、𝑥1𝑥2整体；
4.构造方程时一次项符号写反；
5.混淆概念：𝛥< 0时，韦达公式代数计算仍然成立，但方程没有实数根，只有虚根；
6.忘记𝑎≠0，把一元一次方程套用韦达定理。
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∴2𝑥1 + 2𝑥2 −𝑥1𝑥2
= 2(𝑥1 + 𝑥2) −𝑥1𝑥2
= 2 × 5 −(−9)
= 10 + 9
= 19
2．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）设𝑥1，𝑥2是方程𝑥2 −2𝑥−1 = 0的两个根，则代数式𝑥1
2𝑥2 + 𝑥1𝑥2
2的
值为______．
【答案】−2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后，整体
代入计算即可．
【详解】解：∵𝑥1，𝑥2是方程𝑥2 −2𝑥−1 = 0的两个根，
∴由根与系数的关系可得：𝑥1 + 𝑥2 = 2，𝑥1𝑥2 = −1，
对所求代数式因式分解：𝑥1
2𝑥2 + 𝑥1𝑥2
2 = 𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)，
整体代入得：原式= −1 × 2 = −2．
3．
（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）若方程𝑥2 −4𝑥−2 = 0的两个根分别是𝑥1, 𝑥2，则
1
𝑥1 +
1
𝑥2的值为________．
【答案】−2
【分析】一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两个根为𝑥1，𝑥2，则𝑥1+𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎．根据一元二次方程
根与系数的关系即可求得答案．
【详解】解：∵方程𝑥2 −4𝑥−2 = 0的两个根分别为𝑥1，𝑥2，
∴𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎= 4，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎= −2，
∴
1
𝑥1 +
1
𝑥2 =
𝑥1+𝑥2
𝑥1𝑥2 =
4
−2 = −2．
4．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 𝑏𝑥+ 1 = 0有两个不相等的实数根𝑚
和𝑛，且𝑚2 + 𝑛2 = 6，则𝑏=______．
【答案】±2√2
【分析】先根据一元二次方程的判别式求出𝑏2的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根
和与两根积，利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于𝑏的方程，检验根后求解即可．
【详解】∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 𝑏𝑥+ 1 = 0的两个不相等实数根是𝑚和𝑛，
∴Δ = 𝑏2 −4 × 1 × 1 > 0，即𝑏2 > 4，
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∴根据根与系数的关系得：𝑚+ 𝑛= −𝑏，𝑚𝑛= 1，
∵𝑚2 + 𝑛2 = 6，且𝑚2 + 𝑛2 = (𝑚+ 𝑛)2 −2𝑚𝑛
∴(−𝑏)2 −2 × 1 = 6，即𝑏2 = 8，
∵𝑏2 = 8 > 4，
∴𝑏= ±2√2．
拓展
构造一元二次方程求代数式的值
题型特征：给出两个不同字母，分别满足结构完全相同的二次等式，不直接解方程，利用韦达定理求值，
俗称“同构方程”。
核心总思路
1.观察等式结构：两个式子形式一模一样，只是字母换成m、n(或x、y；a、b)。
2.构造一元二次方程：
如果m ≠n, 且m2 + pm + q = 0, n2 + pn + q = 0,
⇒m、n就是方程t2 + pt + q = 0的两个不相等实数根。
3.直接套韦达定理：m + n = −p, mn = q∘
4.部分题目需要变形预处理(两边同除以y²，凑出相同结构)。
5.注意分类：题干没有写明两数不等时，要分两种情况：
①两数不相等，用韦达；②两数相等，直接代入计算。
活学活用
1．（25-26 九年级上·四川南充·阶段检测）已知𝑚≠𝑛，𝑚2 + 2012𝑚= 2021，𝑛2 + 2012𝑛= 2021，则
𝑚𝑛=______．
【答案】−2021
【分析】𝑚和𝑛是一元二次方程𝑥2 + 2012𝑥−2021 = 0的两个不相等实根，利用根与系数的关系即可求得𝑚𝑛
的值．
【详解】解： 由题意得 𝑚2 + 2012𝑚= 2021，𝑛2 + 2012𝑛= 2021，且𝑚≠𝑛，
可知𝑚，𝑛是一元二次方程 𝑥2 + 2012𝑥−2021 = 0 的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，得 𝑚𝑛=
−2021
1
= −2021．
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2．（25-26 九年级上·安徽芜湖·期中）已知𝑥𝑦≠1，且3𝑥2 + 2021𝑥+ 6 = 0，6𝑦2 + 2021𝑦+ 3 = 0，则
𝑦
𝑥=__________．
【答案】
1
2
【详解】解：当𝑥＝0时，方程左边= 6 ≠0，
∴𝑥≠0．
将方程3𝑥2 + 2021𝑥+ 6＝0的两边同时÷ 𝑥2，得6 (
1
𝑥)
2
+ 2021
1
𝑥+ 3 = 0．
∵𝑥𝑦≠1，即𝑦≠
1
𝑥，
∴
1
𝑥, 𝑦为一元二次方程6𝑡2 + 2021𝑡+ 3＝0的两个不相等的解，
∴由韦达定理得
𝑦
𝑥=
3
6 =
1
2．
3．（25-26 八年级下·安徽安庆·期末）若实数a，b 满足等式2𝑎2 −5𝑎−3 = 0，2𝑏2 −5𝑏−3 = 0，则2𝑎2 +
3𝑎𝑏+ 5𝑏=________．
【答案】
11或60或−
5
4
【分析】先由a、b 满足结构相同的方程，确定二者是一元二次方程2𝑥2 −5𝑥−3 = 0的根，同时将2𝑎2变形
为5𝑎+ 3代入待求式降次，把式子转化为含𝑎+ 𝑏与𝑎𝑏的形式，再分两种情况讨论，①𝑎≠𝑏时用一元二次方
程根与系数关系
求出𝑎+ 𝑏、𝑎𝑏后代入计算，𝑎= 𝑏时先解出方程的根，再分别代入求值．
【详解】解：∵实数a，b 满足等式2𝑎2 −5𝑎−3 = 0，2𝑏2 −5𝑏−3 = 0，
∴a，b 可看作方程2𝑥2 −5𝑥−3 = 0的根，
∵2𝑎2 −5𝑎−3 = 0，
∴2𝑎2 = 5𝑎+ 3，
∴2𝑎2 + 3𝑎𝑏+ 5𝑏= 5𝑎+ 3 + 3𝑎𝑏+ 5𝑏= 5(𝑎+ 𝑏) + 3𝑎𝑏+ 3，
分两种情况讨论：
①𝑎≠𝑏：
由一元二次方程根与系数关系得
𝑎+ 𝑏=
5
2，𝑎𝑏= −
3
2，
原式= 5 ×
5
2 + 3 × (−
3
2) + 3 = 11；
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②𝑎= 𝑏：
解方程2𝑥2 −5𝑥−3 = 0，
因式分解，得(2𝑥+ 1)(𝑥−3) = 0，
解得𝑥1 = 3，𝑥2 = −
1
2，
当𝑎= 𝑏= 3时，原式= 5 × (3 + 3) + 3 × 3 × 3 + 3 = 60；
当𝑎= 𝑏= −
1
2时，原式= 5 × [(−
1
2) + (−
1
2)] + 3 × (−
1
2) × (−
1
2) + 3 = −
5
4；
综上，2𝑎2 + 3𝑎𝑏+ 5𝑏= 11或60或−
5
4．
拓展
一元二次方程根与系数的关系中三角形问题
1.第一步：判别式打底
证明有实数根：计算△，证明△≥0；
含参数题目，隐含条件：边长为正数，所以两根>0。
2.第二步：处理方程(二选一)
①方式A：因式分解，直接解出两个根
②方式B：不方便因式分解，使用韦达定理
3.第三步：分类讨论(核心难点)
等腰三角形分类逻辑
已知三边：两根𝑥1、𝑥2，已知第三边m 两种大情况：
①两根相等：𝑥1 = 𝑥2，即△=0，两腰是方程的两个相等根；
②其中一根等于已知第三边：𝑥1 = m或者𝑥2 = m，也就是第三边作为腰。
必做检验：三角形三边关系：两短边之和>最长边，不满足直接舍去!边长必须>0。
直角三角形分类逻辑
已知斜边，两条直角边是方程两根：
勾股定理：AB²+AC²=斜边²
变形：AB²+AC²=(x₁+x₂)²-2x1x₂，整体代入韦达，列方程求参数。求出参数后回代检验：
①△≥0；②边长全部大于0。
活学活用
1．（25-26 八年级下·安徽·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −(3𝑘+ 2)𝑥+ 6𝑘= 0．
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(1)求证：方程有两个实数根；
(2)若△𝐴𝐵𝐶的两边𝐴𝐵、𝐴𝐶的长分别是此方程的两个实数根，第三边𝐵𝐶长为5，当△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形时，
求𝑘的值．
【答案】(1)见解析
(2)𝑘=
5
3
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得𝛥= (3𝑘−2)2 ≥0，所以方程总有两个实数根；
（2）因为等腰三角形有两边的长是方程的两个根，分5为腰和5为底边两种情况分别求出𝑘的值，当5为底边
时，可得：等腰三角形的三边分别为2，2，5，不满足三边关系，所以𝑘的值只能为
5
3．
【详解】（1）证明：一元二次方程𝑥2 −(3𝑘+ 2)𝑥+ 6𝑘= 0中，𝑎= 1，𝑏= −(3𝑘+ 2)，𝑐= 6𝑘，
∴Δ = (3𝑘+ 2)2 −4 × 1 × 6𝑘
= 9𝑘2 −12𝑘+ 4
= (3𝑘−2)2 ≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：解法一：
①若腰长为5时，
则25 −5(3𝑘+ 2) + 6𝑘= 0，
解得：𝑘=
5
3，
∴方程为𝑥2 −7𝑥+ 10 = 0，
解得：𝑥1 = 2，𝑥2 = 5，
∴三角形三边长为2，5，5，
∵2 + 5 = 7 > 5，
∴满足三边关系，符合条件；
②若底边长为5时，
可得：(3𝑘−2)2 = 0，
解得：𝑘=
2
3，
此时三边为2，2，5，不满足三边关系，舍去；
∴𝑘=
5
3；
解法二：原方程因式分解得(𝑥−2)(𝑥−3𝑘) = 0，
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∴𝑥1 = 2，𝑥2 = 3𝑘，
∵△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，𝐵𝐶= 5，分两种情况：
若2 = 3𝑘，即𝑘=
2
3，三边为2，2，5，不满足三边关系，舍去；
若3𝑘= 5，即𝑘=
5
3，三边为2，5，5，满足三边关系，符合条件；
∴𝑘=
5
3．
2．（25-26 九年级上·福建三明·期中）已知关于𝑥的方程𝑥2 −(𝑘+ 2)𝑥+ 2𝑘= 0．
(1)试说明：无论𝑘取什么实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰Δ𝐴𝐵𝐶的一边长𝑎为1，另两边𝑏，𝑐恰好是这个方程的两个实数根，求△𝐴𝐵𝐶的周长
【答案】(1)
解：𝑥2 −(𝑘+ 2)𝑥+ 2𝑘= 0
∵𝑎= 1，𝑏= −(𝑘+ 2)，𝑐= 2𝑘，
∴Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐= [−(𝑘+ 2)]2 −4 × 1 × 2𝑘
= 𝑘2 −4𝑘+ 4
= (𝑘−2)2 ≥0
∴无论𝑘取什么实数，方程总有实数根.
(2)5
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，
【详解】（1）略
（2）解：∵等腰Δ𝐴𝐵𝐶的一边长𝑎为1，另两边𝑏，𝑐恰好是这个方程的两个实数根，
当𝑏= 𝑎= 1时，把𝑏= 1代入方程得：1 −(𝑘+ 2) + 2𝑘= 0，
解得：𝑘= 1，
此时方程为𝑥2 −3𝑥+ 2 = 0，
解得𝑥1 = 1，𝑥2 = 2，即𝑏= 1，𝑐= 2，
∵𝑎+ 𝑏= 𝑐，
∴𝑎= 1，𝑏= 1，𝑐= 2时，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
当𝑏= 𝑐时，则方程有两个相等的实数根，
∴(𝑘−2)2 = 0，解得𝑘= 2，
原方程为𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0，解得𝑥1 = 𝑥2 = 2，即𝑏= 𝑐= 2，
周长= 1 + 2 + 2 = 5，
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∴△𝐴𝐵𝐶的周长为5．
3．（25-26 九年级上·四川成都·期中）设一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)有两个根𝑥1，𝑥2，则方程
可化为𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2) = 0(𝑎≠0)，即𝑎𝑥2 −𝑎(𝑥1 + 𝑥2)𝑥+ 𝑎𝑥1𝑥2 = 0，与原方程系数进行比较，回答下
列问题：
(1)𝑥1 + 𝑥2 =______，𝑥1𝑥2 =______．（用𝑎，𝑏，𝑐表示）
(2)若方程𝑥2 −𝑥−3 = 0的两个根是𝑥1和𝑥2，求𝑥1
2𝑥2 + 𝑥1𝑥2
2的值．
(3)已知直角△𝐴𝐵𝐶，斜边𝐵𝐶长为13，三角形另两边𝐴𝐵、𝐴𝐶的长是关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + (2𝑚−5)𝑥−
4(𝑚−9) = 0的两个实数根，求𝑚的值．
【答案】(1)−
𝑏
𝑎，
𝑐
𝑎
(2)−3
(3)−6
【分析】本题考查探究一元二次方程根与系数关系，读懂题意，熟练运用（1）中得到的结论是解决问题的
关键．
（1）对比𝑥2 +
𝑏
𝑎𝑥+
𝑐
𝑎= 0与𝑥2 −(𝑥1 + 𝑥2)𝑥+ 𝑥1𝑥2 = 0可得𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎；
（2）由（1）中结论，得到𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎= 1，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎= −3，再由𝑥1
2𝑥2 + 𝑥1𝑥2
2 = 𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)，代值求
解即可得到答案；
（3）由勾股定理得到𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2 = 169，再由（1）中结论得到𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= −(2𝑚−5)，𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=
−4(𝑚−9)，从而建立一元二次方程求解得到𝑚= −6或𝑚= 9，分情况验证是否满足题目要求即可得到答案．
【详解】（1）解：∵𝑎≠0，
∴对比𝑥2 +
𝑏
𝑎𝑥+
𝑐
𝑎= 0与𝑥2 −(𝑥1 + 𝑥2)𝑥+ 𝑥1𝑥2 = 0可得，𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎，
故答案为：−
𝑏
𝑎，
𝑐
𝑎；
（2）解：∵ 𝑥2 −𝑥−3 = 0的两个根是𝑥1和𝑥2，
∴ 𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎= 1，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎= −3，
∴ 𝑥1
2𝑥2 + 𝑥1𝑥2
2 = 𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2) = −3 × 1 = −3；
（3）解：在Rt △𝐴𝐵𝐶中，斜边𝐵𝐶长为13，三角形另两边𝐴𝐵、𝐴𝐶，则𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2 = 169，
∵三角形另两边𝐴𝐵、𝐴𝐶的长是关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + (2𝑚−5)𝑥−4(𝑚−9) = 0的两个实数根，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= −(2𝑚−5)，𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= −4(𝑚−9)，
则(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶)2 = [−(2𝑚−5)]2，
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即(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶)2 = [−(2𝑚−5)]2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 + 2𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 169 + 2 × [−4(𝑚−9)]，
∴𝑚2 −3𝑚−54 = 0，
则(𝑚+ 6)(𝑚−9) = 0，
解得𝑚= −6或𝑚= 9；
当𝑚= 9时，𝑥2 + 13𝑥= 0，则𝑥(𝑥+ 13) = 0，解得𝑥= 0或𝑥= −13，不符合题意；
当𝑚= −6时，𝑥2 −17𝑥+ 60 = 0，解得𝑥= 5或𝑥= 12，符合题意；
综上所述，𝑚= −6．
题型一 直接用根与系数的关系直接求解
▌例1（25-26 八年级下·福建泉州·期末）已知𝑥1，𝑥2是方程𝑥2 −3𝑥−8 = 0的两个根，则𝑥1𝑥2 + 𝑥1 +
𝑥2 =__________．
【答案】−5
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出𝑥1 + 𝑥2、𝑥1𝑥2，整体代入代数式求值．
【详解】解：𝑥1，𝑥2是方程𝑥2 −3𝑥−8 = 0的两个根，
则𝑥1 + 𝑥2 = 3，𝑥1𝑥2 = −8，
故𝑥1𝑥2 + 𝑥1 + 𝑥2 = −8 + 3 = −5．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）已知实数m、n 满足𝑚2 −5𝑚= 1，𝑛2 −5𝑛= 1，𝑚≠𝑛，
则
1
𝑚+
1
𝑛的值为________________．
【答案】−5
【分析】由已知条件可知，𝑚，𝑛满足同一个一元二次方程，因此𝑚，𝑛可看作一元二次方程𝑥2 −5𝑥−1 = 0
易错点
1.必须是一元二次方程：a≠0
2.有实数根：𝛥≥0
注意：韦达代数式形式永远成立，但只有𝛥≥0，才有实实在在的两个实数根。很多题直接套韦达算出
参数，不回代检验𝛥≥0，直接丢分
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的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分后整体代入计算即
可得到结果．
【详解】解：∵实数𝑚，𝑛满足𝑚2 −5𝑚= 1，𝑛2 −5𝑛= 1，且𝑚≠𝑛，
∴𝑚，𝑛是一元二次方程𝑥2 −5𝑥−1 = 0的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得，𝑚+ 𝑛= 5，𝑚𝑛= −1，
∴
1
𝑚+
1
𝑛=
𝑚+𝑛
𝑚𝑛=
5
−1 = −5．
▌对点练1-2．已知3𝑥2 −2𝑥−1 = 0的两个根为𝑥1, 𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 =_______，𝑥1𝑥2 =_______，
1
𝑥1 +
1
𝑥2 =_______，
𝑥1
2 + 𝑥2
2 =_______，𝑥1 −𝑥2 =_______．
【答案】
2
3 −
1
3 −2
10
9 /1
1
9 ±
4
3
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，
再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可得到结果．
【详解】解：对于一元二次方程3𝑥2 −2𝑥−1 = 0，其中二次项系数𝑎= 3，一次项系数𝑏= −2，常数项𝑐= −1，
根据根与系数的关系可得：𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎= −
−2
3 =
2
3，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎=
−1
3 = −
1
3，
∴
1
𝑥1 +
1
𝑥2 =
𝑥1+𝑥2
𝑥1𝑥2 =
2
3
−1
3
= −2；
𝑥1
2 + 𝑥2
2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2 = (
2
3)
2
−2 × (−
1
3) =
4
9 +
6
9 =
10
9 ；
∵(𝑥1 −𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2 = (
2
3)
2
−4 × (−
1
3) =
4
9 +
12
9 =
16
9 ，
∴𝑥1 −𝑥2 = ±√
16
9 = ±
4
3．
题型二 利用根与系数的关系中降次问题
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▌例2（25-26 八年级下·浙江台州·期末）若𝛼，𝛽是方程𝑥2 + 2𝑥−6 = 0的两个实数根，则𝛼2 + 3𝛼+ 𝛽的
值为___________．
【答案】4
【分析】根据一元二次方程解的定义得到𝛼2 + 2𝛼= 6，根据根与系数的关系得到𝛼+ 𝛽= −2，将所求式子
变形后整体代入计算即可．
【详解】解：∵𝛼，𝛽是方程𝑥2 + 2𝑥−6 = 0的两个实数根，
∴𝛼+ 𝛽= −
𝑏
𝑎= −2，
∵𝛼是方程的根，满足方程等式，
∴𝛼2 + 2𝛼−6 = 0，即𝛼2 + 2𝛼= 6，
∴𝛼2 + 3𝛼+ 𝛽 = (𝛼2 + 2𝛼) + (𝛼+ 𝛽) = 6 + (−2) = 4．
▌对点练2-1．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）设𝑥1，𝑥2是方程𝑥2 −5𝑥+ 3 = 0的两个根，则𝑥1
2 −6𝑥1 −
𝑥2 =________．
【答案】−8
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到𝑥12 −5𝑥1 + 3 = 0，根据根与系数的关系得到𝑥1 + 𝑥2 = 5，则
𝑥12 = 5𝑥1 −3，再整体代入计算即可得到答案．
解题思路
题型特征：α、β 是一元二次方程两根，所求代数式含有α²(根的高次项),不求解方程，整体求值。
解题总流程：降次→化简→韦达代入
1.降次(核心第一步)
∵α 是方程的根，把α 代入原方程，得到等式，变形把高次项换成低次项。
例：𝛼2 + 2𝛼−6 = 0 ⟹𝛼2 = −2𝛼+ 6
作用：消去平方项，把二次降为一次。
注意：只能用𝛼2降α 的次方，不能用来降β。
2.替换代入、化简代数式
把a²用一次多项式替换，展开合并同类项，式子最终化简为只含𝛼+ 𝛽、𝛼𝛽的形式。
3.韦达定理写根与系数关系
𝛼+ 𝛽= −𝑏
𝑎, 𝛼𝛽= 𝑐
𝑎
重点：两根之和带负号，最容易出错。
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【详解】解：∵𝑥1，𝑥2是方程𝑥2 −5𝑥+ 3 = 0的两个根，
∴𝑥12 −5𝑥1 + 3 = 0，𝑥1 + 𝑥2 = 5，
∴𝑥12 = 5𝑥1 −3，
∴𝑥1
2 −6𝑥1 −𝑥2
= 5𝑥1 −3 −6𝑥1 −𝑥2
= −𝑥1 −𝑥2 −3
= −(𝑥1 + 𝑥2) −3
= −5 −3
= −8．
▌对点练2-2．（25-26 八年级下·山东泰安·期末）已知m、n 是一元二次方程𝑥2 −3𝑥−6 = 0的两个根，
则𝑚2 −𝑚𝑛+ 𝑛−2𝑚的值为____________．
【答案】15
【分析】先利用根的定义对所求代数式降次，再根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入化简
后的代数式计算即可．
【详解】解：∵𝑚, 𝑛是一元二次方程𝑥2 −3𝑥−6 = 0的两个根，
∴由一元二次方程根的定义得𝑚2 −3𝑚−6 = 0，即𝑚2 = 3𝑚+ 6，
由根与系数的关系得𝑚+ 𝑛= 3，𝑚𝑛= −6，
将𝑚2 = 3𝑚+ 6代入所求代数式得：
𝑚2 −𝑚𝑛+ 𝑛−2𝑚= 3𝑚+ 6 −𝑚𝑛+ 𝑛−2𝑚
= 𝑚+ 𝑛−𝑚𝑛+ 6
= 3 −(−6) + 6
= 15．
题型三 利用根与系数的关系求参数
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▌例3 （25-26 九年级上·江西九江·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程𝑥2 + (2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚−1 = 0的
两个根分别是𝑥1，𝑥2，且满足𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥1𝑥2 = 3，则m 的值是（ ）
A．5
B．0
C．−2
D．−5
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于𝑚的方程，求解即
可得到结果．
【详解】解：∵一元二次方程𝑥2 + (2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚−1 = 0的两个根为𝑥1，𝑥2，
∴根据根与系数的关系可得𝑥1 + 𝑥2 = −(2𝑚+ 1)，𝑥1𝑥2 = 𝑚−1，
解题思路
1.识别方程类型
若题干写明“一元二次方程”,则直接确定a≠0;
若只写“方程有两个实数根”,同样隐含a≠0;
若只写“方程有实数根”,需要分一次方程(𝑎= 0)、二次方程(a≠0)分类讨论。
2.写出韦达定理
𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏
𝑎, 𝑥1𝑥2 = 𝑐
𝑎
重点：两根之和前面有负号，是高频失分点。
3.对题干给的两根关系式变形
把条件式子化成只含𝑥1 + 𝑥2和𝑥1𝑥2的形式。
常用变形：
𝑥1
2 + 𝑥2
2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2
(𝑥1 −𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2
1
𝑥1
+ 1
𝑥2
= 𝑥1 + 𝑥2
𝑥1𝑥2
4.整体代入韦达，得到关于参数的方程，求解参数
5.检验，这一步必不可少
①检验𝑎≠0；
②检验判别式𝛥≥0，舍去使𝛥< 0的参数；
韦达的代数式永远可以计算，但𝛥< 0时不存在实数根，该参数无效。
③特殊背景：如果两根代表边长，额外检验𝑥1 + 𝑥2 > 0,𝑥1𝑥2 > 0，还要满足三边关系。
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∵𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥1𝑥2 = 3，
∴−(2𝑚+ 1) + (𝑚−1) = 3，
解得𝑚= −5．
▌对点练3-1．（25-26 八年级下·重庆·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −3𝑚𝑥+ 𝑚2 + 7𝑚= 0的两个
实数根为𝑥1，𝑥2，且满足𝑥1𝑥2 = 18，则𝑚的值为（ ）．
A．−9
B．2
C．2或−9
D．−2或9
【答案】A
【分析】先根据两根之积得到关于𝑚的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果．
【详解】解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −3𝑚𝑥+ 𝑚2 + 7𝑚= 0有两个实数根𝑥1，𝑥2，
∴由根与系数的关系得𝑥1𝑥2 = 𝑚2 + 7𝑚，
又∵𝑥1𝑥2 = 18，
∴𝑚2 + 7𝑚= 18，整理得：𝑚2 + 7𝑚−18 = 0，解得：𝑚= 2或𝑚= −9，
∵方程有两个实数根，
∴判别式𝛥≥0，
𝛥= (−3𝑚)2 −4 × 1 × (𝑚2 + 7𝑚) = 5𝑚2 −28𝑚≥0，
当𝑚= 2时，𝛥= 5 × 22 −28 × 2 = −36 < 0，此时方程无实数根，舍去；
当𝑚= −9时，𝛥= 5 × (−9)2 −28 × (−9) = 657 > 0，符合题意，
∴𝑚的值为−9．
▌对点练3-2．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知关于x 的方程𝑥2 −(𝑘+ 4)𝑥+ 4𝑘= 0(𝑘≠0)的两实数根
为𝑥1，𝑥2，若
2
𝑥1 +
2
𝑥2 = 5，则𝑘=____________．
【答案】
4
9
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到𝑥1 + 𝑥2与𝑥1 · 𝑥2，再由分式方程求解即可．
【详解】解：∵关于x 的方程𝑥2 −(𝑘+ 4)𝑥+ 4𝑘= 0(𝑘≠0)的两实数根为𝑥1，𝑥2，
则𝛥= (𝑘+ 4)2 −4 × 1 × 4𝑘= (𝑘−4)2 ≥0，
∴𝑥1 + 𝑥2 = 𝑘+ 4，𝑥1 ⋅𝑥2 = 4𝑘，
∴
2
𝑥1 +
2
𝑥2 =
2(𝑥1+𝑥2)
𝑥1⋅𝑥2
=
2(𝑘+4)
4𝑘
= 5．
即2(𝑘+ 4) = 5 × 4𝑘，解得𝑘=
4
9．
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经检验，𝑘=
4
9是原方程的解．
题型四 根与系数的关系解答题综合
▌例4（25-26 八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −2(𝑘+ 1)𝑥+ 𝑘2 + 2 = 0有两个不
相等的实数根．
(1)求𝑘的取值范围；
(2)已知方程的两个实数根分别为𝛼，𝛽，且(𝛼+ 1)(𝛽+ 1) = 13，求𝑘的值．
【答案】(1)𝑘>
1
2
(2)𝑘= 2
【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式△> 0，代入系数解不等式得到𝑘的范围；
（2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开(𝛼+ 1)(𝛽+ 1)进行代换，得到关于𝑘的一
元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解．
【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ = [−2(𝑘+ 1)]2 −4(𝑘2 + 2) > 0，
解得𝑘>
1
2；
（2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得
𝛼+ 𝛽= 2(𝑘+ 1)，𝛼𝛽= 𝑘2 + 2．
∵(𝛼+ 1)(𝛽+ 1) = 𝛼𝛽+ (𝛼+ 𝛽) + 1 = 13，
∴(𝑘2 + 2) + 2(𝑘+ 1) + 1 = 13，
整理，得𝑘2 + 2𝑘−8 = 0，
解得𝑘= −4或𝑘= 2．
又∵𝑘>
1
2，
∴𝑘= 2．
▌对点练4-1．（25-26 八年级下·山东泰安·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −4𝑥−𝑚+ 5 = 0有两个
实数根．
(1)求实数𝑚的取值范围；
(2)若𝑥1，𝑥2是该方程的两个根，且满足𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 𝑚2 −2，求𝑚的值．
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【答案】(1)𝑚≥1
(2)𝑚= 4
【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程𝑥2 −4𝑥−𝑚+ 5 = 0有两个实数根，
∴𝛥= 16 −4(5 −𝑚) ≥0，
解得𝑚≥1；
（2）解：∵𝑥1，𝑥2是该方程的两个根，
∴𝑥1 + 𝑥2 = 4，𝑥1 ⋅𝑥2 = 5 −𝑚，
∴𝑥1
2 + 𝑥2
2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2 = 42 −2(5 −𝑚) = 𝑚2 −2，
解得𝑚1 = 4，𝑚2 = −2，
由（1）可知：𝑚≥1，
∴𝑚= 4．
▌对点练4-2．（25-26 八年级下·山东威海·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −2𝑎𝑥−3𝑎+ 1 = 0有两个
不相等的实数根．
(1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根；
(2)若𝛼，𝛽是该方程的两个根，且𝛼2 + 𝛽2 = 26，求𝑎的值．
【答案】(1)另一个实数根为−
1
5
(2)2或−
7
2
【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到{
𝑚+ 1 = 2𝑎
𝑚⋅1 = −3𝑎+ 1
，解方程组即可得到
答案；
（2）由根与系数的关系得到𝛼+ 𝛽= 2𝑎, 𝛼𝛽= −3𝑎+ 1，根据完全平方公式的变形得到(𝛼+ 𝛽)2 −2𝛼𝛽= 26，
即(2𝑎)2 −2(−3𝑎+ 1) = 26，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设该方程的另一个实数根为m，
由根与系数的关系得{
𝑚+ 1 = 2𝑎
𝑚⋅1 = −3𝑎+ 1
，
解得{
𝑚= −
1
5
𝑎=
2
5
，
∴另一个实数根为−
1
5；
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（2）解：∵𝛼，𝛽是该方程的两个根，
∴𝛼+ 𝛽= 2𝑎, 𝛼𝛽= −3𝑎+ 1，
∵𝛼2 + 𝛽2 = 26，
∴(𝛼+ 𝛽)2 −2𝛼𝛽= 26，
∴(2𝑎)2 −2(−3𝑎+ 1) = 26，
∴2𝑎2 + 3𝑎−14 = 0，
∴(2𝑎+ 7)(𝑎−2) = 0，
解得𝑎= 2或𝑎= −
7
2；
当𝑎= 2时，Δ = (−2𝑎)2 −4(−3𝑎+ 1) = (−4)2 −4 × (−6 + 1) = 36 > 0，满足题意；
当𝑎= −
7
2时，Δ = (−2𝑎)2 −4(−3𝑎+ 1) = [−2 × (−
7
2)]
2
−4 × [−3 × (−
7
2) + 1] = 3 > 0，满足题意；
综上所述，a 的值为2或−
7
2．
题型五 根与系数的关系与几何综合
▌例5 （25-26 八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷相邻两边𝐴𝐵，𝐴𝐷的长度分别是关于𝑥的一元
二次方程𝑥2 + (2𝑎−1)𝑥+ 𝑎2 = 0的两个实数根𝑥1，𝑥2．
(1)若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，求𝑎的值；
(2)若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，且该矩形对角线𝐴𝐶的长度为√7，求𝑎的值．
【答案】(1)
1
4(2)−1
【分析】（1）根据菱形的四条边相等，所以方程有两个相等的实数根，所以有𝛥= (2𝑎−1)2 −4𝑎2 = 0，解
方程即可求出𝑎的值；
（2）四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，所以方程𝑥2 + (2𝑎−1)𝑥+ 𝑎2 = 0一定有两个实数根，所以有𝛥= (2𝑎−1)2 −
4𝑎2 ≥0，解不等式求出𝑎的取值范围，因为矩形对角线𝐴𝐶的长度为√7，所以𝑥12 + 𝑥22 = (√7)
2，根据一元
二次方程根与系数的关系可得：𝑎2 −2𝑎−3 = 0，解方程即可求出𝑎的值．
【详解】（1）解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，
∴方程𝑥2 + (2𝑎−1)𝑥+ 𝑎2 = 0有两个相等的实数根，
∴𝛥= (2𝑎−1)2 −4𝑎2 = 0，
整理可得：1 −4𝑎= 0，
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解得：𝑎=
1
4；
（2）解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，
∴𝑥2 + (2𝑎−1)𝑥+ 𝑎2 = 0一定有两个实数根，
∴𝛥= (2𝑎−1)2 −4𝑎2 ≥0，
∴1 −4𝑎≥0，
∴𝑎≤
1
4，
∴𝑥1 + 𝑥2 = 1 −2𝑎，𝑥1𝑥2 = 𝑎2，
∵矩形对角线𝐴𝐶的长度为√7，
∴𝐴𝐶2 = 𝑥12 + 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2 = (1 −2𝑎)2 −2𝑎2 = (√7)
2，
整理可得：𝑎2 −2𝑎−3 = 0，
解得：𝑎1 = 3（不符合题意，舍去），𝑎2 = −1，
∴𝑎= −1．
▌对点练5-1．
（25-26 九年级上·贵州黔西南·期末）已知关于x 的一元二次方程：𝑥2 + (𝑚−2)𝑥−2𝑚= 0．
(1)设𝑥1，𝑥2是方程的两个根，求𝑥12 + 𝑥22（用含m 的式子表示）；
(2)当𝑚= −3时，此方程的两个根分别是菱形𝐴𝐵𝐶𝐷两条对角线长，求菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．
【答案】(1)𝑚2 + 4
(2)菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求菱形的面积，熟练掌握一元二次方程根与系数的关
系及求菱形的面积的方法是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系， 可得𝑥1 + 𝑥2 = −(𝑚−2)，𝑥1𝑥2 = −2𝑚，再将𝑥12 + 𝑥22变形为
(𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2，即可求解；
（2）当𝑚= −3时，𝑥1𝑥2 = 6，即可代入菱形面积公式求解．
【详解】（1）解：对于关于x 的一元二次方程𝑥2 + (𝑚−2)𝑥−2𝑚= 0，
∵𝑎= 1，𝑏= 𝑚−2，𝑐= −2𝑚，
∴𝑥1 + 𝑥2 = −(𝑚−2)，𝑥1𝑥2 = −2𝑚，
∴𝑥12 + 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2 = [−(𝑚−2)]2 −2 ⋅(−2𝑚) = 𝑚2 −4𝑚+ 4 + 4𝑚= 𝑚2 + 4；
（2）解：当𝑚= −3时，𝑥1𝑥2 = −2 × (−3) = 6，
此时菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为
1
2 𝑥1𝑥2 =
1
2 × 6 = 3．
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▌对点练5-2．（25-26 九年级上·湖北恩施·期中）已知关于𝑥的方程𝑥2 −(𝑘+ 1)𝑥+
1
4 𝑘2 + 2 = 0．设方程
的两实根为𝑥1，𝑥2．
(1)当𝑥1 ⋅𝑥2 = 6时，求𝑘的值；
(2)是否存在𝑘值使方程的两个根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为√5？请通过计算说明．
【答案】(1)𝑘= 4
(2)解：不存在，
假设存在这样的𝑘．则有：𝑥12 + 𝑥22 = 5．
∵𝑥1 + 𝑥2 = 𝑘+ 1，𝑥1𝑥2 =
1
4 𝑘2 + 2，
∴𝑥1
2 + 𝑥2
2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2 = (𝑘+ 1)2 −2 × (
1
4 𝑘2 + 2) = 5．
解得𝑘1 = −2 + 2√5，𝑘2 = −2 −2√5．
∵𝑥1 + 𝑥2 = 𝑘+ 1 > 0，即𝑘> −1，且𝑘≥
7
2．
∵𝑘= −2 + 2√5 <
7
2．
所以，不存在这样的𝑘的值．
【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟记根与系数之间的关系公式，
（1）根据𝑥1 ⋅𝑥2 =
𝑐
𝑎和Δ ≥0求解即可；
（2）利用完全平方公式得到𝑥1
2 + 𝑥2
2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2，建立关于𝑘的方程，进行求解，需要考虑𝑘的取
值范围进行求解．
【详解】（1）解：根据题意得：𝑥1 ⋅𝑥2 = 6 =
1
4 𝑘2 + 2，
∴𝑘= ±4．
又∵方程有两个实数根，
∴Δ = [−(𝑘+ 1)]2 −4 × 1 × (
1
4 𝑘2 + 2) ≥0，即𝑘≥
7
2，
∴𝑘= 4．
（2）略
题型六 根与系数的关系中新定义问题
▌例6（25-26 八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎，𝑏，𝑐均
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为常数，𝑎≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”．
(1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）．
①𝑥2 + 2𝑥= 0；②𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0；③𝑥2 + 4𝑥+ 3 = 0．
(2)若(𝑥+ 2)(𝑥+ 𝑛) = 0是“美丽方程”，求𝑛的值．
(3)若一元二次方程𝑎𝑥2 + 4𝑎𝑥+ 𝑐= 0（𝑎，𝑐均为常数，𝑎≠0）为“美丽方程”，请写出𝑎、𝑐满足的数量关
系，并说明理由．
【答案】(1)①③
(2)𝑛= 0或𝑛= 4
(3)𝑐= 3𝑎，理由：
设方程𝑎𝑥2 + 4𝑎𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）的两个根为𝑥1，𝑥2，
∵方程为“美丽方程”，
∴|𝑥1 −𝑥2| = 2，
两边平方得(𝑥1 −𝑥2)2 = 4．
由一元二次方程根与系数的关系得：𝑥1 + 𝑥2 = −
4𝑎
𝑎= −4，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎．
∵(𝑥1 −𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2，
∴(−4)2 −4 ⋅
𝑐
𝑎= 4，
整理得16 −
4𝑐
𝑎= 4，
化简得𝑐= 3𝑎，即𝑎，𝑐满足的数量关系为𝑐= 3𝑎．
【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可；
（2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解𝑛；
（3）设方程𝑎𝑥2 + 4𝑎𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）的两个根为𝑥1，𝑥2，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导𝑎和
𝑐的数量关系．
【详解】（1）解：①解方程𝑥2 + 2𝑥= 0得𝑥1 = 0，𝑥2 = −2．
∵0 −(−2) = 2，符合“美丽方程”定义，
∴①是“美丽方程”；
②解方程𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0得𝑥1 = 𝑥2 = 2．
∵2 −2 = 0 ≠2，不符合定义，
∴②不是“美丽方程”；
③解方程𝑥2 + 4𝑥+ 3 = 0得𝑥1 = −1，𝑥2 = −3．
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23 /
∵(−1) −(−3) = 2，符合定义，
∴③是“美丽方程”．
综上可知，是“美丽方程”的是①③．
（2）解：解方程(𝑥+ 2)(𝑥+ 𝑛) = 0得𝑥1 = −2，𝑥2 = −𝑛．
∵该方程是“美丽方程”，
∴|(−2) −(−𝑛)| = 2，即|𝑛−2| = 2，
∴𝑛−2 = 2或𝑛−2 = −2，
解得𝑛= 4或𝑛= 0．
（3）略．
▌对点练6-1．（25-26 八年级下·福建福州·期末）定义：如果𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两
个根，且|𝑥1 −𝑥2| = 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程𝑥2 −3𝑥+ 2 = 0的两个根
是𝑥1 = 1，𝑥2 = 2，此时|𝑥1 −𝑥2| = |1 −2| = 1，则方程𝑥2 −3𝑥+ 2 = 0是“邻根方程”．
(1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）．
①𝑥2 = 1；②𝑥2 + 4𝑥+ 4 = 0；③𝑥2 −𝑥= 0．
(2)已知方程(𝑥−𝑘)(𝑥−3) = 0是“邻根方程”，求k 的值．
(3)若方程𝑥2 −𝑏𝑥+ 𝑐= 0是“邻根方程”，求证：𝑏+ 2𝑐+ 1 ≥0．
【答案】(1)③
(2)2或4
(3)证明：设方程𝑥2 −𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两个根为𝑥1，𝑥2，
则𝑥1 + 𝑥2 = 𝑏， 𝑥1𝑥2 = 𝑐，且Δ = (−𝑏)2 −4 × 1 × 𝑐= 𝑏2 −4𝑐≥0，
∵方程𝑥2 −𝑏𝑥+ 𝑐= 0是“邻根方程”，
∴|𝑥1 −𝑥2| = 1，
∴(𝑥1 −𝑥2)2 = 1
∴(𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2 = 1，
∴𝑏2 −4𝑐= 1，
∴𝑐=
𝑏2−1
4 ，
∴𝑏+ 2𝑐+ 1 = 𝑏+ 1 + 2 × 𝑏2 −1
4
= 1
2 𝑏2 + 𝑏+ 1
2 = 1
2 (𝑏2 + 2𝑏+ 1)
=
1
2 (𝑏+ 1)2，
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24 /
而(𝑏+ 1)2 ≥0，
∴
1
2 (𝑏+ 1)2 ≥0，
故𝑏+ 2𝑐+ 1 ≥0．
【分析】（1）根据“邻根方程”的定义，计算判断即可．
（2）根据方程(𝑥−𝑘)(𝑥−3) = 0，得到𝑥1 = 𝑘，𝑥2 = 3，根据“邻根方程”的定义，得|𝑘−3| = 1，求解
即可．
（3）设方程𝑥2 −𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两个根为𝑥1，𝑥2， 则𝑥1 + 𝑥2 = 𝑏， 𝑥1𝑥2 = 𝑐，根据题意，得方程𝑥2 −𝑏𝑥+ 𝑐= 0
是“邻根方程”，得到𝑐=
𝑏2−1
4 ，利用完全平方，实数的非负性证明即可．
【详解】（1）解：一元二次方程𝑥2 = 1的两个根是𝑥1 = 1，𝑥2 = −1，此时|𝑥1 −𝑥2| = | −1 −1| = 2 ≠1，
故方程𝑥2 = 1不是“邻根方程”；
一元二次方程𝑥2 + 4𝑥+ 4 = 0的两个根是𝑥1 = −2，𝑥2 = −2，此时|𝑥1 −𝑥2| = | −2 −(−2)| = 0 ≠1，故方
程𝑥2 + 4𝑥+ 4 = 0不是“邻根方程”；
一元二次方程𝑥2 −𝑥= 0的两个根是𝑥1 = 1，𝑥2 = 0，此时|𝑥1 −𝑥2| = |1 −0| = 1，故方程𝑥2 −𝑥= 0是“邻
根方程”；
（2）解：解方程(𝑥−𝑘)(𝑥−3) = 0，得𝑥1 = 𝑘，𝑥2 = 3，
方程(𝑥−𝑘)(𝑥−3) = 0是“邻根方程”，
∴|𝑘−3| = 1，
∴𝑘−3 = 1或𝑘−3 = −1，
解得𝑘= 2或𝑘= 4．
（3）略
▌对点练6-2．（25-26 八年级下·浙江绍兴·期末）对于关于𝑥的代数式𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐，若存在实数𝑚，使得
当𝑥= 𝑚时，代数式的值等于−𝑚，则称𝑚为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式𝑥2，当𝑥= 0时，
代数式的值等于0；当𝑥= −1时，代数式的值等于1，我们就称0和−1都是这个代数式的“镜像值”．
(1)代数式𝑥2 −𝑥−1的镜像值是________；
(2)判断代数式𝑥2 −3𝑥+ 3是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由；
(3)关于𝑥的代数式𝑎𝑥2 −(2𝑎+ 1)𝑥−
5
4，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数𝑎的
值．
【答案】(1)1和−1
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(2)代数式𝑥2 −3𝑥+ 3没有镜像值，
理由：设代数式𝑥2 −3𝑥+ 3的镜像值为𝑚，
根据定义得𝑚2 −3𝑚+ 3 = −𝑚，
整理得，
𝑚2 −2𝑚+ 3 = 0，
计算根的判别式Δ = (−2)2 −4 × 1 × 3 = −8 < 0，
∴方程没有实数根，
∴代数式𝑥2 −3𝑥+ 3没有镜像值．
(3)正整数𝑎的值为1
【分析】（1）根据定义列一元二次方程求解即可得到镜像值；
（2）根据定义列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得到结论；
（3）根据定义整理方程，推导出两个镜像值差的表达式，结合差为整数，a 为正整数的条件求解即可．
【详解】（1）解：设代数式𝑥2 −𝑥−1的镜像值为𝑚，根据定义得𝑚2 −𝑚−1 = −𝑚，
整理得𝑚2 −1 = 0，
解得𝑚1 = 1, 𝑚2 = −1，
即代数式𝑥2 −𝑥−1的镜像值是1和−1．
（2）略
（3）解：设代数式𝑎𝑥2 −(2𝑎+ 1)𝑥−
5
4的镜像值为𝑚，
根据定义得𝑎𝑚2 −(2𝑎+ 1)𝑚−
5
4 = −𝑚，
整理得𝑎𝑚2 −2𝑎𝑚−
5
4 = 0，
∵𝑎为正整数，代数式有两个镜像值，
∴𝑎≠0，方程是一元二次方程，且Δ = (−2𝑎)2 −4 ⋅𝑎⋅(−
5
4) = 4𝑎2 + 5𝑎> 0，
方程的两个根为𝑚1,𝑚2，
则两个根差的绝对值为|𝑚1 −𝑚2| = |
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
−
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
| = |
√𝑏2−4𝑎𝑐
𝑎
| = √𝑏2−4𝑎𝑐
𝑎2
= √4 +
5
𝑎，
∵两个镜像值的差为整数，𝑎是正整数，
∴√4 +
5
𝑎是正整数，
∵𝑎为正整数，
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∴0 <
5
𝑎≤5，
即4 < 4 +
5
𝑎≤9，
∴满足条件的整数平方只有9，即4 +
5
𝑎= 9，
得𝑎= 1，符合要求
∴正整数𝑎的值为1．
题型七 根与系数的关系解答题压轴
▌例7（25-26 九年级上·四川眉山·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）的两个根为𝑥1, 𝑥2，则 𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎
材料2：已知实数m，n 满足𝑚2 −𝑚−1 = 0, 𝑛2 −𝑛−1 = 0，且𝑚≠𝑛，则 m，n 是方程𝑥2 −𝑥−1 = 0的
两个不相等的实数根．
(1)材料理解：一元二次方程 3𝑥2 −6𝑥+ 1 = 0 两个根为 𝑥1, 𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 = ，𝑥1 ⋅𝑥2 = ．
(2)应用探究：已知两实数m，n 满足3𝑚2 −𝑚−2 = 0,3𝑛2 −𝑛−2 = 0，则
𝑛
𝑚+
𝑚
𝑛的值为？
(3)思维拓展：已知实数s，t 分别满足7𝑠2 + 29𝑠+ 1 = 0, 𝑡2 + 29𝑡+ 7 = 0，且𝑠𝑡≠1，求
7𝑠2𝑡−𝑠−29
𝑡
的值．
【答案】(1)2，
1
3
(2)−2
1
6
(3)119
【分析】本题主要考查分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握相
关知识是解决问题的关键．
（1）直接根据一元二次方程根与系数的关系可得答案；
（2）由题意得出𝑚、𝑛可看作方程3𝑥2 −𝑥−2 = 0的两根，据此𝑚+ 𝑛=
1
3，𝑚𝑛= −
2
3，将所求代数式变形
为
𝑛
𝑚+
𝑚
𝑛=
(𝑚+𝑛)2−2𝑚𝑛
𝑚𝑛
，代入计算可得；
（3）把𝑡2 + 29𝑡+ 7 = 0，两边同时除以𝑡2得7 ⋅(
1
𝑡)2 + 29 ⋅
1
𝑡+ 1 = 0，据此可得实数𝑠和
1
𝑡可看作方程7𝑥2 +
29𝑥+ 1 = 0的根，代入计算可得．
【详解】（1）解： ∵一元二次方程3𝑥2 −6𝑥+ 1 = 0 两个根为𝑥1，𝑥2，
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∴𝑥1 + 𝑥2 = 2，𝑥1𝑥2 =
1
3
故答案为：2，
1
3；
（2）解：由题意𝑚、𝑛是方程3𝑥2 −𝑥−2 = 0的两个根，
∵该方程的判别式Δ = (−1)2 −4 × 3 × (−2) = 25 > 0，
∴方程有两个不相等的实数根，即𝑚≠𝑛，
则𝑚+ 𝑛=
1
3，𝑚𝑛= −
2
3，
𝑛
𝑚+ 𝑚
𝑛
= 𝑚2 + 𝑛2
𝑚𝑛
=
(𝑚+ 𝑛)2 −2𝑚𝑛
𝑚𝑛
=
(1
3)
2
−2 × (−2
3)
−2
3
= −2
1
6；
（3）解：把𝑡2 + 29𝑡+ 7 = 0，两边同时除以𝑡2得：
7 ⋅(
1
𝑡)2 + 29 ⋅
1
𝑡+ 1 = 0，
实数𝑠和
1
𝑡可看作方程7𝑥2 + 29𝑥+ 1 = 0的根，
∴𝑠+
1
𝑡= −
29
7 ，𝑠⋅
1
𝑡=
1
7，
7𝑠2𝑡−𝑠−29
𝑡
= 7𝑠2 −𝑠
𝑡−29 ⋅1
𝑡
= −29𝑠−1 −𝑠
𝑡−29 ⋅1
𝑡
= −29 (𝑠+ 1
𝑡) −1 −𝑠
𝑡
= −29 × (−29
7 ) −1 −1
7
= 833
7
= 119．
▌对点练7-1．
（25-26 九年级上·河北保定·阶段检测）
【定义】我们把关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0
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与𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑎= 0(𝑎𝑐≠0，𝑎≠𝑐)称为一对“友好方程”
【示例】如2𝑥2 + 7𝑥−3 = 0的“友好方程”是−3𝑥2 + 7𝑥+ 2 = 0．（1）写出一元二次方程12𝑥2 −7𝑥+ 1 = 0
的“友好方程”是______．
【探究】（2）已知一元二次方程12𝑥2 −7𝑥+ 1 = 0的两根为𝑥1 =
1
3 , 𝑥2 =
1
4，则它的“友好方程”的两个根
为______．
【猜想】（3）当Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐≥0时，方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两根𝑥1,𝑥2与其“友好方程”𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑎= 0
的两根𝑥3, 𝑥4之间存在的一种特殊关系为______．(𝑎𝑐≠0，𝑎≠𝑐)
【证明】证明上面的猜想（4）∵方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两根为𝑥1 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
， 𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
；方程
𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑎= 0的两根为𝑥3 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑐
，①______；…请完成上述填空①，并补全证明过程．(备注：证
明一组关系即可)
【应用】（5）已知关于x 的方程2025𝑥2 + 𝑏𝑥−1 = 0的两根是𝑥1 = −1， 𝑥2 =
1
2025请利用（2）中的结论，
写出关于x 的方程(𝑥−1)2 −𝑏𝑥+ 𝑏= 2025的两根为______．
【答案】（1）𝑥2 −7𝑥+ 12 = 0；
（2）𝑥3 = 4，𝑥4 = 3；
（3）互为倒数，
（4）𝑥4 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑐
，补全证明过程：
∵𝑥1 · 𝑥4 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
·
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑐
= (−𝑏)2 −(√𝑏2 −4𝑎𝑐)2
2𝑎· 2𝑐
= 𝑏2 −(𝑏2 −4𝑎𝑐)
4𝑎𝑐
= 𝑏2 −𝑏2 + 4𝑎𝑐
4𝑎𝑐
= 1，
同理：𝑥2 · 𝑥3 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
·
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑐
= (−𝑏)2 −(√𝑏2 −4𝑎𝑐)2
2𝑎· 2𝑐
= 𝑏2 −(𝑏2 −4𝑎𝑐)
4𝑎𝑐
= 𝑏2 −𝑏2 + 4𝑎𝑐
4𝑎𝑐
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= 1，
∴方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两根𝑥1，𝑥2与其“友好方程”𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑎= 0的两根𝑥3，𝑥4之间存在的一种特殊
关系为互为倒数，
（5）𝑥1 = 0, 𝑥2 = 2026．
【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系，求根公式的应用，因式分解法解一元二次方
程，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据“友好方程”的定义即可得出答案；
（2）根据“友好方程”的定义得出方程12𝑥2 −7𝑥+ 1 = 0的“友好方程”，求解即可；
（3）根据求根公式得出方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两根为𝑥1，𝑥2及其“友好方程”𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑎= 0的两根为𝑥3，
𝑥4，再求得𝑥1 ⋅𝑥4 = 1，𝑥2 ⋅𝑥3 = 1，即可得出答案；
（4）同（3）的方法求解；
（5）先根据“友好方程”的根的特点求出方程2025𝑥2 + 𝑏𝑥−1 = 0的两根是𝑥1 = −1, 𝑥2 =
1
2025，将待求方
程变为−(𝑥−1)2 + 𝑏(𝑥−1) + 2025 = 0，把(𝑥−1)看成一个整体即可求解．
【详解】解：（1）依题意可得：一元二次方程12𝑥2 −7𝑥+ 1 = 0的“友好方程”是𝑥2 −7𝑥+ 12 = 0，
故答案为：𝑥2 −7𝑥+ 12 = 0；
（2）𝑥2 −7𝑥+ 12 = 0，
∴(𝑥−3)(𝑥−4) = 0，
解得：𝑥3 = 4，𝑥4 = 3；
（3）∵Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐≥0时，
∴方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两根为𝑥1 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，
方程𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑎= 0的两根为𝑥3 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑐
，𝑥4 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑐
，
（4）略
（5）解：关于𝑥的方程(𝑥−1)2 −𝑏𝑥+ 𝑏= 2025的两根为𝑥1 = 0, 𝑥2 = 2026．
∵方程2025𝑥2 + 𝑏𝑥−1 = 0的两根是𝑥1 = −1,𝑥2 =
1
2025，
∴其“友好方程”−𝑥2 + 𝑏𝑥+ 2025 = 0的两根为𝑥3 = −1,𝑥4 = 2025．
(𝑥−1)2 −𝑏𝑥+ 𝑏= 2025，即−(𝑥−1)2 + 𝑏(𝑥−1) + 2025 = 0，
将(𝑥−1)看作整体，则𝑥−1 = −1或𝑥−1 = 2025，
∴𝑥1 = 0, 𝑥2 = 2026．
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▌对点练7-2．（25-26 九年级上·河南南阳·阶段检测）回归课本，定理证明及应用
我们在学一元二次方程的时候，探究总结了一元二次方程的根与系数关系，也就是我们常常说的伟大的韦
达定理．
具体为：如果一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）有两个不相等的实数根𝑥1，𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，
𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎
(1)请你证明韦达定理：𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎
证明：∵一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）有两个不相等的实数根𝑥1，𝑥2，
∴该一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）的Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐> 0
∴根据一元二次方程的求根公式，即：𝑥=______（填写此空，并重新写出完整的推理证明过程）
(2)应用：已知a、b 满足𝑎2 + 2𝑎−1 = 0，𝑏2 + 2𝑏−1 = 0，且𝑎≠𝑏，则
𝑎
𝑏+
𝑏
𝑎=______．
【答案】(1)
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
(2)−6
【分析】本题主要考查了一元二次方程求根公式及根与系数关系，分式的化简，完全平方公式，代数式求
值，掌握求根公式是求解的关键．
（1）利用一元二次方程的求根公式和根与系数的关系解答即可；
（2）先将a、b 看作方程𝑥2 + 2𝑥−1 = 0的两个不相等的实数根，再利用一元二次方程的根与系数得到𝑎+
𝑏= −2,𝑎𝑏= −1，继而进行分式的化简，最后代入求值即可．
【详解】（1）证明：∵一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）有两个不相等的实数根𝑥1，𝑥2，
∴该一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0）的Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐> 0
∴根据一元二次方程的求根公式，即：𝑥=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，
∴𝑥1 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
, 𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，
则𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
+
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
= −𝑏+ √𝑏2 −4𝑎𝑐−𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
=
−2𝑏
2𝑎= −
𝑏
𝑎，
𝑥1𝑥2 = −𝑏+ √𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
× −𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
= (−𝑏)2 −(√𝑏2 −4𝑎𝑐)2
4𝑎2
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=
𝑏2−(𝑏2−4𝑎𝑐)
4𝑎2
=
𝑐
𝑎．
故答案为：
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
．
（2）∵a、b 满足𝑎2 + 2𝑎−1 = 0，𝑏2 + 2𝑏−1 = 0，且𝑎≠𝑏，
∴a、b 看作方程𝑥2 + 2𝑥−1 = 0的两个不相等的实数根，
∴𝑎+ 𝑏= −2,𝑎𝑏= −1，
则
𝑎
𝑏+
𝑏
𝑎=
𝑎2
𝑎𝑏+
𝑏2
𝑎𝑏=
𝑎2+𝑏2
𝑎𝑏
=
(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏
𝑎𝑏
=
(−2)2−2×(−1)
−1
= −6．
故答案为：−6．
基础通关
1．（25-26 八年级下·浙江丽水·期末）已知矩形的两条邻边长是方程𝑥2 −10𝑥+ 24 = 0的两个根，则矩形
的周长是（ ）
A．10
B．12
C．20
D．24
【答案】C
【分析】设矩形两条邻边长分别为𝑥1，𝑥2，由根与系数的关系可知𝑥1 + 𝑥2 = 10，即可求解．
【详解】解：设矩形两条邻边长分别为𝑥1，𝑥2，
∵𝑥1，𝑥2是方程𝑥2 −10𝑥+ 24 = 0的两个根，
由根与系数的关系得𝑥1 + 𝑥2 = 10．
∴矩形的周长为2(𝑥1 + 𝑥2) = 2 × 10 = 20．
2．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）若𝑥1, 𝑥2是一元二次方程𝑥2 −2𝑥−2026 = 0的两个实数根，则𝑥1
2 −
𝑥1 + 𝑥2的值是（ ）
A．2024
B．2026
C．2028
D．4052
【答案】C
【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出
结果．
【详解】解：∵𝑥1是一元二次方程𝑥2 −2𝑥−2026 = 0的实数根，
∴𝑥1
2 −2𝑥1 −2026 = 0，
∴𝑥1
2 = 2𝑥1 + 2026，
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∴𝑥1
2 −𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑥1 + 2026 −𝑥1 + 𝑥2 = (𝑥1 + 𝑥2) + 2026，
∵𝑥1, 𝑥2是一元二次方程𝑥2 −2𝑥−2026 = 0的两个实数根，
∴𝑥1 + 𝑥2 = 2，
∴𝑥1
2 −𝑥1 + 𝑥2 = 2 + 2026 = 2028．
3．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）设𝑥1，𝑥2是一元二次方程3𝑥2 + 4𝑥−2 = 0的两个根，则（ ）
A．𝑥1 + 𝑥2 = −
4
3
B．𝑥1 + 𝑥2 =
4
3
C．𝑥1 ⋅𝑥2 =
2
3
D．𝑥1 ⋅𝑥2 =
4
3
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根
据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项．
【详解】解：对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0 (𝑎≠0)，若两根为𝑥1, 𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1 ⋅𝑥2 =
𝑐
𝑎．
∵一元二次方程为3𝑥2 + 4𝑥−2 = 0，
∴𝑎= 3，𝑏= 4，𝑐= −2，
∴𝑥1 + 𝑥2 = −
4
3，𝑥1 ⋅𝑥2 = −
2
3，
则A 对应正确结论．
4．
（25-26 八年级下·安徽安庆·期末）已知𝛼，𝛽是方程𝑥2 + 2024𝑥+ 1 = 0的两个根，则(1 + 2026𝛼+ 𝛼2)(1 +
2026𝛽+ 𝛽2)的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，结合根与系数的关系代入求值．
【详解】解：∵𝛼，𝛽是方程𝑥2 + 2024𝑥+ 1 = 0的两个根，
∴𝛼2 + 2024𝛼+ 1 = 0，𝛽2 + 2024𝛽+ 1 = 0，𝛼𝛽= 1，
∵1 + 2026𝛼+ 𝛼2 = (𝛼2 + 2024𝛼+ 1) + 2𝛼= 2𝛼，
同理可得1 + 2026𝛽+ 𝛽2 = 2𝛽，
∴(1 + 2026𝛼+ 𝛼2)(1 + 2026𝛽+ 𝛽2) = 2𝛼⋅2𝛽= 4𝛼𝛽= 4 × 1 = 4．
5．（25-26 九年级下·山东烟台·期末）若关于x 的一元二次方程𝑥2 + (𝑘−2)𝑥+
𝑘2
4 = 0的两根互为倒数，
则k 的值为（ ）
A．−2
B．2
C．2 或−2
D．1
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【答案】A
【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k 的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去
不符合的解得到结果．
【详解】解：设方程的两根为𝑥1, 𝑥2．
∵ 方程两根互为倒数，
∴ 𝑥1𝑥2 = 1．
又∵由根与系数的关系得𝑥1𝑥2 =
𝑘2
4 ．
∴
𝑘2
4 = 1，解得𝑘= 2或𝑘= −2．
∵ 一元二次方程有两个实数根，
∴Δ = (𝑘−2)2 −4 × 1 ×
𝑘2
4 = −4𝑘+ 4 ≥0．
∴𝑘≤1．
∵ 𝑘= 2 > 1，不符合要求舍去，
∴ 𝑘= −2．
6．（25-26 八年级下·江苏南通·期末）Rt △𝐴𝐵𝐶的面积是S，一直角边𝐴𝐶长是x，根据题意可列方程
1
2 𝑥(𝑥+ 𝑚) = 𝑆．若该方程的两根为 𝑥1 = 𝑎, 𝑥2 = 𝑏,其中𝑎> 0，𝑏< 0，则另一直角边𝐵𝐶长是（ ）
A．𝑎+ 𝑏
B．𝑎−𝑏
C．−𝑎𝑏
D．−𝑏
【答案】D
【分析】先整理原方程，根据直角边长度为正确定𝐴𝐶的取值，再利用根与系数的关系得到m 与两根a、b
的关系，最后代入另一直角边的表达式即可求出结果．
【详解】解：
1
2 𝑥(𝑥+ 𝑚) = 𝑆，
整理得：𝑥2 + 𝑚𝑥−2𝑆= 0，
∵直角边长度为正数，方程两根为𝑥1 = 𝑎(𝑎> 0), 𝑥2 = 𝑏(𝑏< 0)，
∴𝐴𝐶= 𝑥= 𝑎，𝑎2 + 𝑚𝑎−2𝑆= 0，𝑎+ 𝑏= −𝑚，
∴2𝑆= 𝑎2 + 𝑚𝑎，𝑚= −𝑎−𝑏，
根据三角形面积公式得：
𝐵𝐶=
2𝑆
𝐴𝐶=
𝑎2+𝑚𝑎
𝑎
= 𝑎+ 𝑚= 𝑎+ (−𝑎−𝑏) = −𝑏，
7．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）已知矩形的两条边长分别是一元二次方程2𝑥2 −4𝑥+ 1 = 0的两个
根，则该矩形的对角线长为__________．
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【答案】√3
【分析】设矩形两条边长分别为𝑎，𝑏，由题意得𝑎，𝑏是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到
两根之和与两根之积，再结合勾股定理表示出矩形对角线长，利用完全平方公式变形计算即可得到结果．
【详解】解：设矩形的两条边长分别为𝑎，𝑏．
由题意得，𝑎，𝑏是一元二次方程2𝑥2 −4𝑥+ 1 = 0的两个根，
∴𝑎+ 𝑏= −
−4
2 = 2，𝑎𝑏=
1
2．
∵矩形的对角线长为√𝑎2 + 𝑏2，
∴√𝑎2 + 𝑏2 = √(𝑎+ 𝑏)2 −2𝑎𝑏= √22 −2 ×
1
2 = √4 −1 = √3．
8．（25-26 八年级下·山东淄博·期末）阅读材料：如果𝑎，𝑏是一元二次方程𝑥2 + 𝑥−1 = 0的两个实数根，
则有𝑎2 + 𝑎−1 = 0，𝑏2 + 𝑏−1 = 0．创新应用：如果𝑚，𝑛是两个不相等的实数，且满足𝑚2 −𝑚= 3，𝑛2 −𝑛=
3，那么代数式2𝑛2 −𝑚𝑛+ 2𝑚+ 2015 =________．
【答案】2026
【分析】根据题意，𝑚，𝑛是两个不相等的实数，且满足𝑚2 −𝑚= 3，𝑛2 −𝑛= 3，则可将𝑚，𝑛看作是一元
二次方程𝑥2 −𝑥= 3的两个实数根，利用根与系数的关系求得𝑚+ 𝑛= 1，𝑚𝑛= −3，再由𝑛2 −𝑛= 3得𝑛2 =
𝑛+ 3，进而把代数式转化为2(𝑛+ 3) −𝑚𝑛+ 2𝑚+ 2015，整理后代入𝑚+ 𝑛、𝑚𝑛的值计算即可求解．
【详解】解：∵𝑚，𝑛是两个不相等的实数，且满足𝑚2 −𝑚= 3，𝑛2 −𝑛= 3，
∴可将𝑚，𝑛看作是一元二次方程𝑥2 −𝑥= 3即𝑥2 −𝑥−3 = 0的两个实数根，
∴𝑚+ 𝑛= 1，𝑚𝑛= −3，
∵𝑛2 −𝑛= 3，
∴𝑛2 = 𝑛+ 3，
∴原式= 2(𝑛+ 3) −𝑚𝑛+ 2𝑚+ 2015
= 2𝑛+ 6 −𝑚𝑛+ 2𝑚+ 2015
= 2(𝑚+ 𝑛) −𝑚𝑛+ 2021
= 2 × 1 −(−3) + 2021
= 2026．
9．
（25-26 八年级下·北京·阶段检测）已知m、n 是方程𝑥2 −2𝑥−5 = 0的两个根，代数式3𝑚(𝑚−1) −(𝑚−
3)(𝑚+ 3) −𝑚的值为________；𝑚2 + 𝑛2的值为________．
【答案】 19 14
【分析】对于第一空 ，根据单项式乘以多项式的运算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，根
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据方程的解的定义推出𝑚2 −2𝑚= 5，再由2𝑚2 −4𝑚+ 9 = 2(𝑚2 −2𝑚) + 9可得答案；对于第二空，由根
与系数的关系得到𝑚+ 𝑛= 2，𝑚𝑛= −5，再根据完全平方公式的变形求解即可．
【详解】解：3𝑚(𝑚−1) −(𝑚−3)(𝑚+ 3) −𝑚
= 3𝑚2 −3𝑚−(𝑚2 −9) −𝑚
= 3𝑚2 −3𝑚−𝑚2 + 9 −𝑚
= 2𝑚2 −4𝑚+ 9，
∵m 是方程𝑥2 −2𝑥−5 = 0的一个根，
∴𝑚2 −2𝑚−5 = 0，
∴𝑚2 −2𝑚= 5，
∴2𝑚2 −4𝑚+ 9 = 2(𝑚2 −2𝑚) + 9 = 2 × 5 + 9 = 19；
∵m、n 是方程𝑥2 −2𝑥−5 = 0的两个根，
∴𝑚+ 𝑛= 2，𝑚𝑛= −5，
∴𝑚2 + 𝑛2 = (𝑚+ 𝑛)2 −2𝑚𝑛= 22 −2 × (−5) = 4 + 10 = 14 ．
10．关于x 的一元二次方程𝑥2 + (2𝑘+ 1)𝑥+ 𝑘2 + 1 = 0．
(1)当方程有两个不相等的实数根时，求k 的取值范围．
(2)若方程有两个实数根𝑥1、𝑥2且满足𝑥12 + 𝑥22 = 5，求k 的值．
【答案】(1)𝑘>
3
4
(2)𝑘= 1
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ = (2𝑘+ 1)2 −4(𝑘2 + 1) > 0，解不等式即可得到k 的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得𝑥1 + 𝑥2 = −2𝑘−1，𝑥1 ⋅𝑥2 = 𝑘2 + 1，利用完全平方公式，由𝑥12 + 𝑥22 = 5得
到𝑥12 + 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1 ⋅𝑥2 = (−2𝑘−1)2 −2(𝑘2 + 1) = 5，然后解方程后通过k 的范围确定k 的值．
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ = (2𝑘+ 1)2 −4(𝑘2 + 1) = 4𝑘−3 > 0，
解得𝑘>
3
4．
（2）解：∵关于x 的一元二次方程𝑥2 + (2𝑘+ 1)𝑥+ 𝑘2 + 1 = 0有两个实数根𝑥1、𝑥2，
∴𝑥1 + 𝑥2 = −2𝑘−1，𝑥1 ⋅𝑥2 = 𝑘2 + 1，
∴𝑥12 + 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1 ⋅𝑥2 = (−2𝑘−1)2 −2(𝑘2 + 1) = 5，
解得𝑘1 = −3，𝑘2 = 1．
∵方程有两个实数根，
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∴Δ = (2𝑘+ 1)2 −4(𝑘2 + 1) = 4𝑘−3 ≥0，解得𝑘≥
3
4，
∴𝑘= 1．
11．（25-26 八年级下·福建福州·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −(𝑘+ 3)𝑥+ 3𝑘= 0，若方程的两个
实数根为𝑥1，𝑥2，且𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 10，求k 的值．
【答案】𝑘= 1或𝑘= −1
【分析】根据题意可得𝑥1 + 𝑥2 = 𝑘+ 3，𝑥1𝑥2 = 3𝑘，故𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 𝑘2 + 9，又因为𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 10，得到𝑘2 + 9 =
10，解方程即可．
【详解】解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −(𝑘+ 3)𝑥+ 3𝑘= 0的两个实数根为𝑥1，𝑥2，
∴𝑥1 + 𝑥2 = −
−(𝑘+3)
1
= 𝑘+ 3，𝑥1𝑥2 =
3𝑘
1 = 3𝑘，
∴𝑥1
2 + 𝑥2
2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2 = (𝑘+ 3)2 −2 × 3𝑘= 𝑘2 + 6𝑘+ 9 −6𝑘= 𝑘2 + 9，
∵𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 10，
∴𝑘2 + 9 = 10，即𝑘2 = 1，
解得𝑘1 = 1或𝑘2 = −1，
∵𝛥= [−(𝑘+ 3)]2 −4 × 1 × 3𝑘= (𝑘−3)2 ≥0，即方称恒有解，
∴𝑘的值为𝑘= 1或𝑘= −1．
12．
（25-26 八年级下·安徽亳州·期末）若关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根为𝑥1、𝑥2，
则𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎, 𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎.这就是一元二次方程根与系数的关系．
(1)一元二次方程2𝑥2 −5𝑥−1 = 0的两根为𝑥1、𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 =_____, 𝑥1𝑥2 = ；
(2)已知关于x 的一元二次方程𝑥2 −(2𝑘+ 1)𝑥+
1
2 𝑘2 −2 = 0.
①求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②若方程的两个实数根为𝑥1、𝑥2，满足𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑥1𝑥2 + 5，求k 的值．
【答案】(1)
5
2，−
1
2
(2)①证明：∵关于𝑥的一元二次方程为 𝑥2 −(2𝑘+ 1)𝑥+
1
2 𝑘2 −2 = 0，
∴𝑎= 1，𝑏= −(2𝑘+ 1)，𝑐=
1
2 𝑘2 −2，
∴根的判别式Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐= (2𝑘+ 1)2 −4 × 1 × (
1
2 𝑘2 −2)，
展开化简得Δ = 4𝑘2 + 4𝑘+ 1 −2𝑘2 + 8 = 2𝑘2 + 4𝑘+ 9，
配方得Δ = 2(𝑘+ 1)2 + 7，
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∵无论𝑘为任何实数，总有 (𝑘+ 1)2 ≥0，
∴2(𝑘+ 1)2 + 7 ≥7 > 0，
即Δ > 0，
∴无论𝑘为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②𝑘= 0或𝑘= 2
【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入𝑎, 𝑏, 𝑐计算即可；
（2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0 即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积
关于𝑘的表达式，代入已知等式求解关于𝑘的一元二次方程即可得到𝑘的值.．
【详解】（1）解：对于一元二次方程2𝑥2 −5𝑥−1 = 0，可得𝑎= 2，𝑏= −5，𝑐= −1
根据根与系数的关系得 𝑥1 + 𝑥2 = −
−5
2 =
5
2，𝑥1𝑥2 =
−1
2 = −
1
2；
（2）①略
②根据根与系数的关系，得 𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑘+ 1，𝑥1𝑥2 =
1
2 𝑘2 −2
∵𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑥1𝑥2 + 5，
代入得 2𝑘+ 1 = 2(
1
2 𝑘2 −2) + 5，
化简得 2𝑘+ 1 = 𝑘2 + 1，
整理得 𝑘2 −2𝑘= 0，
因式分解得 𝑘(𝑘−2) = 0，
解得𝑘= 0或𝑘= 2．
素养提升
1．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 1 = 0的两根之差为2，则代
数式12𝑎−𝑏2的最大值为（ ）
A．−8
B．−2
C．4
D．10
【答案】C
【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立𝑎, 𝑏的等量关系，代入所求式后配方求最值即可．
【详解】解：设方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 1 = 0的两根分别为𝑥1，𝑥2．
由根与系数的关系得𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
1
𝑎．
∵ 两根之差为2，
∴ (𝑥1 −𝑥2)2 = 4．
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又∵ (𝑥1 −𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2，
∴ (−
𝑏
𝑎)
2
−4 ·
1
𝑎= 4．
整理，得𝑏2 −4𝑎= 4𝑎2，即𝑏2 = 4𝑎2 + 4𝑎．
将𝑏2 = 4𝑎2 + 4𝑎代入12𝑎−𝑏2，得 12𝑎−(4𝑎2 + 4𝑎) = −4𝑎2 + 8𝑎，
配方得−4𝑎2 + 8𝑎= −4(𝑎−1)2 + 4．
∵ (𝑎−1)2 ≥0，
∴ −4(𝑎−1)2 ≤0，
∴ −4(𝑎−1)2 + 4 ≤4．
∴代数式12𝑎−𝑏2的最大值为4．
2．
（25-26 九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知𝑚，𝑛是方程𝑥2 + 2025𝑥+ 7 = 0的两个根，则(𝑚2 + 2024𝑚+
6)(𝑛2 + 2026𝑛+ 8) =（ ）
A．2017
B．2018
C．2019
D．2020
【答案】A
【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果．
【详解】解：∵𝑚，𝑛是方程𝑥2 + 2025𝑥+ 7 = 0的两个根，
∴由根的定义得𝑚2 + 2025𝑚+ 7 = 0，𝑛2 + 2025𝑛+ 7 = 0，
由根与系数的关系得𝑚+ 𝑛= −2025，𝑚𝑛= 7，
化简第一个因式：𝑚2 + 2024𝑚+ 6 = (𝑚2 + 2025𝑚+ 7) −𝑚−1 = −𝑚−1，
化简第二个因式：𝑛2 + 2026𝑛+ 8 = (𝑛2 + 2025𝑛+ 7) + 𝑛+ 1 = 𝑛+ 1，
∴原式= (−𝑚−1)(𝑛+ 1) = −𝑚𝑛−𝑚−𝑛−1 = −𝑚𝑛−(𝑚+ 𝑛) −1，
代入𝑚+ 𝑛= −2025，𝑚𝑛= 7得：原式= −7 −(−2025) −1 = 2017．
3．（25-26 九年级上·北京·阶段检测）如果𝑚，𝑛是两个不相等的实数，且满足𝑚2 −𝑚= 3，𝑛2 −𝑛= 3，
那么代数式2𝑛2 −𝑚𝑛+ 2𝑚+ 14的值是（ ）
A．23
B．24
C．25
D．26
【答案】C
【分析】由题意可知，两个不相等的实数𝑚，𝑛都满足同一个二次关系式，因此𝑚，𝑛是一元二次方程𝑥2 −𝑥−
3 = 0的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计
算即可．
【详解】解：∵𝑚，𝑛是两个不相等的实数，且满足𝑚2 −𝑚= 3，𝑛2 −𝑛= 3，
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∴𝑚，𝑛是一元二次方程𝑥2 −𝑥−3 = 0的两个不相等实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得：𝑚+ 𝑛= 1，𝑚𝑛= −3，
又∵𝑛2 −𝑛= 3，
∴𝑛2 = 𝑛+ 3，
将𝑛2 = 𝑛+ 3代入所求代数式得：2𝑛2 −𝑚𝑛+ 2𝑚+ 14
= 2(𝑛+ 3) −𝑚𝑛+ 2𝑚+ 14
= 2𝑚+ 2𝑛−𝑚𝑛+ 20
= 2(𝑚+ 𝑛) −𝑚𝑛+ 20
= 2 × 1 −(−3) + 20
= 25．
4．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）若实数a，b，c 满足𝑎2𝑏2 −2𝑎𝑏2𝑐+ 𝑏2𝑐2 = 0，且𝑎𝑏< 0，则一元
二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐−𝑎= 0(𝑎≠0)的两个实数根𝑥1, 𝑥2满足的数量关系是（ ）
A．𝑥1𝑥2 = 0
B．𝑥1 = 𝑥2
C．𝑥1 = −𝑥2
D．𝑥1𝑥2 = −1
【答案】A
【分析】先对已知等式因式分解得到a 与c 的关系，再代入一元二次方程，结合根与系数的关系判断两根的
数量关系。
【详解】解：∵ 𝑎2𝑏2 −2𝑎𝑏2𝑐+ 𝑏2𝑐2 = 0，
对左边变形得 𝑏2(𝑎2 −2𝑎𝑐+ 𝑐2) = 0，
即 𝑏2(𝑎−𝑐)2 = 0 ，
又∵ 𝑎𝑏< 0，
∴ 𝑏≠0，即𝑏2 ≠0 ，
∴ (𝑎−𝑐)2 = 0，
得 𝑐= 𝑎 ，
将𝑐= 𝑎代入一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐−𝑎= 0(𝑎≠0)，
得 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑎−𝑎= 0，
整理得 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥= 0 ，
对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥= 0，常数项为0 ，
由根与系数的关系得 𝑥1𝑥2 =
0
𝑎= 0 ．
5．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两个不相等的实数根
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分别为𝛼, 𝛽；关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑏= 0的两个实数根分别为𝛼−1, 𝛽−1．则下列方程中，其两
实数根分别为𝛼+ 1, 𝛽+ 1的是（ ）
A．𝑥2 −5𝑥−3 = 0
B．𝑥2 −5𝑥+ 3 = 0
C．𝑥2 + 5𝑥−3 = 0
D．𝑥2 + 3𝑥−5 = 0
【答案】B
【分析】先根据已知条件，利用根与系数的关系列方程求出𝑏和𝑐的值，再计算所求方程两根的和与积，构
造出一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两个根为𝛼，𝛽
∴由根与系数的关系得𝛼+ 𝛽= −𝑏，𝛼𝛽= 𝑐
∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑏= 0的两个根为𝛼−1，𝛽−1
∴(𝛼−1) + (𝛽−1) = −𝑐，(𝛼−1)(𝛽−1) = 𝑏，
∴𝛼+ 𝛽−2 = −𝑐，𝛼𝛽−(𝛼+ 𝛽) + 1 = 𝑏，
将𝛼+ 𝛽= −𝑏代入𝛼+ 𝛽−2 = −𝑐得：−𝑏−2 = −𝑐，
整理得𝑐= 𝑏+ 2．
将𝛼𝛽= 𝑐代入𝛼𝛽−(𝛼+ 𝛽) + 1 = 𝑏得：𝑐+ 𝑏+ 1 = 𝑏，
化简得𝑐= −1
把𝑐= −1代入𝑐= 𝑏+ 2，
解得𝑏= −3
∵(𝛼+ 1) + (𝛽+ 1) = (𝛼+ 𝛽) + 2 = −𝑏+ 2 = −(−3) + 2 = 5，
(𝛼+ 1)(𝛽+ 1) = 𝛼𝛽+ (𝛼+ 𝛽) + 1 = 𝑐−𝑏+ 1 = −1 −(−3) + 1 = 3，
∴所求一元二次方程为𝑥2 −5𝑥+ 3 = 0．
6．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，有下列四个结论：
①若𝑥= 𝑐是该方程的一个根，则一定有𝑎𝑐+ 𝑏+ 1 = 0成立；②若𝑎+ 𝑐= 𝑏，则方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0有一
根为𝑥= −1；③若该方程的解为𝑥= 2和𝑥=
1
3，则方程𝑐𝑥2 −𝑏𝑥+ 𝑎= 0的解是𝑥= 3或𝑥=
1
2；④当𝑎< 0，
𝑏+ 𝑐> 0，𝑏−𝑐< 0时，方程一定有实数根．其中，正确的有（ ）
A．①②③④
B．②③④
C．②③
D．②④
【答案】D
【分析】根据根的判别式、一元二次方程的解，逐个验证结论，结合条件推导判别式的符号，最终确定正
确选项．
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【详解】解：① 将𝑥= 𝑐代入方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0，得𝑎𝑐2 + 𝑏𝑐+ 𝑐= 0，
提取公因式得𝑐(𝑎𝑐+ 𝑏+ 1) = 0，
当𝑐= 0时等式恒成立，不一定满足𝑎𝑐+ 𝑏+ 1 = 0，故①错误；
② 将𝑥= −1代入方程，得𝑎⋅(−1)2 + 𝑏⋅(−1) + 𝑐= 𝑎−𝑏+ 𝑐，由条件𝑎+ 𝑐= 𝑏，可得𝑎−𝑏+ 𝑐= 0，
因此𝑥= −1是方程的根，故②正确；
③∵原方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的解为𝑥= 2和𝑥=
1
3，则原方程可写为𝑎(𝑥−2) (𝑥−
1
3) = 0，
展开得𝑎𝑥2 −
7𝑎
3 𝑥+
2𝑎
3 = 0，即𝑏= −
7𝑎
3 ，𝑐=
2𝑎
3 ，
代入新方程𝑐𝑥2 −𝑏𝑥+ 𝑎= 0得：
2𝑎
3 𝑥2 +
7𝑎
3 𝑥+ 𝑎= 0，𝑎≠0，
整理得2𝑥2 + 7𝑥+ 3 = 0，
解得𝑥= −3或𝑥= −
1
2，故③错误；
④ 由条件𝑎< 0，𝑏+ 𝑐> 0，𝑏−𝑐< 0，
可得𝑏< 𝑐，
若𝑐< 0，则𝑏< 𝑐< 0，
可推出𝑏+ 𝑐< 0，与𝑏+ 𝑐> 0矛盾，
因此𝑐> 0，
方程判别式Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐，
因为𝑎< 0，𝑐> 0，所以−4𝑎𝑐> 0，
∴Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐> 0，方程一定有实数根，故④正确.
综上，正确结论为②④．
7．已知互不相等的实数a，b 满足𝑎2 −√3𝑎−1009 = 0，𝑏2 −√3𝑏−1009 = 0，则𝑎2 + 𝑏2的值为 _____．
【答案】2021
【详解】解：设a、b 是方程𝑥2 −√3𝑥−1009 = 0的两根，且𝑎≠𝑏，
∴𝑎+ 𝑏= √3，ab＝−1009，
∴𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)2 −2𝑎𝑏，，
＝(√3)
2 −2 × (−1009)，
＝2021．
8．（25-26 八年级下·安徽蚌埠·期末）如果关于x 的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0有两个实数根，且其
中一个根为另一个根的2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
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（1）若(𝑥−2)(𝑥+ 𝑚) = 0是倍根方程，则m 的值为______；
（2）若方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0是倍根方程，且5𝑎+ 𝑏= 0，则该方程较大的根为𝑥=______．
【答案】 −1或−4
10
3
【分析】（1）由因式分解法解方程可得𝑥1 = 2，𝑥2 = −𝑚，再根据倍根方程的定义求解即可；
（2）设方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两个根为𝑚、2𝑚，根据一元二次方程根和系数的关系，得到3𝑚= −
𝑏
𝑎= 5，
即可得解．
【详解】解：（1）∵(𝑥−2)(𝑥+ 𝑚) = 0，
∴𝑥−2 = 0或𝑥+ 𝑚= 0，
解得：𝑥1 = 2，𝑥2 = −𝑚，
∵(𝑥−2)(𝑥+ 𝑚) = 0是倍根方程，
∴𝑥1 = 2𝑥2或𝑥2 = 2𝑥1，
∴2 = −2𝑚或−𝑚= 4，
解得：𝑚= −1或−4；
（2）∵方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0是倍根方程，
∴设方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两个根为𝑚、2𝑚，
∴𝑚+ 2𝑚= −
𝑏
𝑎，
∵5𝑎+ 𝑏= 0，
∴𝑏= −5𝑎，
∴𝑚+ 2𝑚= 3𝑚= −
−5𝑎
𝑎= 5，
∴𝑚=
5
3，2𝑚=
10
3 ，
即该方程较大的根为𝑥=
10
3 ．
9．（25-26 八年级下·四川·期末）已知△𝐴𝐵𝐶的两边𝐴𝐵，𝐴𝐶的长是关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −2(𝑛−1)𝑥+
𝑛2 −2𝑛= 0的两个根，第三边𝐵𝐶的长是10．
(1)求证：无论𝑛取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当𝑛为何值时，△𝐴𝐵𝐶是以𝐵𝐶为斜边的直角三角形？
【答案】(1)证明：∵对于一元二次方程𝑥2 −2(𝑛−1)𝑥+ 𝑛2 −2𝑛= 0，
∴Δ = [−2(𝑛−1)]2 −4 × 1 × (𝑛2 −2𝑛)
= 4(𝑛2 −2𝑛+ 1) −4𝑛2 + 8𝑛
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= 4𝑛2 −8𝑛+ 4 −4𝑛2 + 8𝑛
= 4 > 0．
∴无论𝑛取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)当𝑛= 8时，△𝐴𝐵𝐶是以𝐵𝐶为斜边的直角三角形．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 2(𝑛−1)，𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 𝑛2 −2𝑛，从而得到𝐴𝐵2 +
𝐴𝐶2 = 2𝑛2 −4𝑛+ 4，再根据勾股定理可得关于𝑛的方程，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵𝐴𝐵，𝐴𝐶的长是关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −2(𝑛−1)𝑥+ 𝑛2 −2𝑛= 0的两个根，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 2(𝑛−1)，𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 𝑛2 −2𝑛，
∴(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶)2 = 4(𝑛−1)2，即𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 + 2𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 4(𝑛−1)2，
∴𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 4(𝑛−1)2 −2(𝑛2 −2𝑛)
= 4(𝑛2 −2𝑛+ 1) −2𝑛2 + 4𝑛
= 4𝑛2 −8𝑛+ 4 −2𝑛2 + 4𝑛
= 2𝑛2 −4𝑛+ 4，
∵△𝐴𝐵𝐶是以𝐵𝐶为斜边的直角三角形，
∴𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2，
∵第三边𝐵𝐶的长是10，
∴2𝑛2 −4𝑛+ 4 = 102，
整理得𝑛2 −2𝑛−48 = 0，即(𝑛−8)(𝑛+ 6) = 0，
解得𝑛1 = 8，𝑛2 = −6，
当𝑛= 8时，𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 2(8 −1) = 14 > 10，符合题意；
当𝑛= −6时，𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 2(−6 −1) = −14 < 0，不符合题意；
∴当𝑛= 8时，△𝐴𝐵𝐶是以𝐵𝐶为斜边的直角三角形．
10．（25-26 九年级上·安徽芜湖·期中）若𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根，则有𝑥1 +
𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1 ⋅𝑥2 =
𝑐
𝑎，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个
关系称为一元二次方程根与系数的关系．
(1)已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −2(𝑘−1)𝑥+ 𝑘2 −1 = 0的两个不相等的实数根分别为𝑥1，𝑥2，且满足：
|𝑥1 + 𝑥2| = 𝑥1𝑥2，求𝑘的值；
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(2)若𝛼，𝛽是方程𝑥2 −𝑥−1 = 0的两根，记𝑆1 = 𝛼+ 𝛽，𝑆2 = 𝛼2 + 𝛽2，…，𝑆𝑛= 𝛼𝑛+ 𝛽𝑛，
①当𝑛为不小于3的整数时，证明：𝑆𝑛−2 + 𝑆𝑛−1 = 𝑆𝑛；
②计算𝑆2，𝑆7的值．
【答案】(1)−3
(2)①证明：∵𝛼，𝛽是方程的根，
∴𝛼2 = 𝛼+ 1，𝛽2 = 𝛽+ 1，
∴𝑆𝑛−2 + 𝑆𝑛−1 = 𝛼𝑛−2 + 𝛽𝑛−2 + 𝛼𝑛−1 + 𝛽𝑛−1 = 𝛼𝑛−2(1 + 𝛼) + 𝛽𝑛−2(1 + 𝛽)，
因为𝛼2 = 𝛼+ 1，𝛽2 = 𝛽+ 1，
所以原式= 𝛼𝑛−2 ⋅𝛼2 + 𝛽𝑛−2 ⋅𝛽2 = 𝛼𝑛+ 𝛽𝑛= 𝑆𝑛
②3；29
【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出𝑘< 1，
根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知|𝑥1 + 𝑥2| = 𝑥1𝑥2可得𝑘2 −2𝑘+ 1 = 0或𝑘2 + 2𝑘−3 = 0，解
一元二次方程，即可求解．
（2）①由𝛼，𝛽是方程的根得到𝛼2 = 𝛼+ 1，𝛽2 = 𝛽+ 1，结合𝑆𝑛的定义进行证明；
②根据根与系数的关系写出𝛼+ 𝛽、𝛼𝛽的值，运用完全平方公式变形求得𝑆2的值，利用①中的结论求得𝑆7的值．
【详解】（1）解：Δ = [−2(𝑘−1)]2 −4(𝑘2 −1) = 4𝑘2 −8𝑘+ 4 −4𝑘2 + 4 = −8𝑘+ 8．
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴−8𝑘+ 8 > 0，解得𝑘< 1，
由根与系数的关系，𝑥1 + 𝑥2 = 2(𝑘−1)，𝑥1𝑥2 = 𝑘2 −1，
∵ |𝑥1 + 𝑥2| = 𝑥1𝑥2，
∴ |2(𝑘−1)| = 𝑘2 −1，化简得𝑘2 −2𝑘+ 1 = 0，或𝑘2 + 2𝑘−3 = 0，
∴𝑘= 1或𝑘= −3，
又∵𝑘< 1，
∴𝑘= −3；
（2）①略
②𝛼，𝛽是方程𝑥2 −𝑥−1 = 0的两根，
∴ 𝛼+ 𝛽= 1，𝛼𝛽= −1，
∴ 𝑆2 = 𝛼2 + 𝛽2 = (𝛼+ 𝛽)2 −2𝛼𝛽= 1 + 2 = 3；
由①知：𝑆7 = 𝑆6 + 𝑆5
= 𝑆5 + 𝑆4 + 𝑆4 + 𝑆3
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= 𝑆4 + 𝑆3 + 2𝑆4 + 𝑆3
= 3𝑆4 + 2𝑆3
= 3(𝑆3 + 𝑆2) + 2𝑆3
= 5𝑆3 + 3𝑆2
= 5(𝑆2 + 𝑆1) + 3𝑆2
= 5𝑆1 + 8𝑆2
= 5(𝛼+ 𝛽) + 8(𝛼2 + 𝛽2)
= 29．
迁移创新
1．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）在复习一元二次方程
时，旺仔同学总结了三个
知识点：
知识点一：根的判别式
；
知识点二：求根公式
；
知识点三：若一元二次方程的两个实数根为
，
，则
．
根据以上知识点完成下列问题：
(1)若一元二次方程
有两个不相等的实数根，求
的取值范围；
(2)若一元二次方程
的两个实数根为
，
①计算
，
；
②求
的值；
(3)若一元二次方程
的两个实数根为
，
，且
，直接写出
的值．
【答案】(1)
(2)①
，
；②
(3)
【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根得判别式大于0，解不等式得到k 的取值范围；
（2）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果；
（3）先由方程有两个实数根得判别式非负，再利用根与系数关系变形已知等式得到关于
的方程，求解后
舍去不符合条件的解得到
的值．
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【详解】（1）解：
一元二次方程
有两个不相等的实数根，
判别式
，
解得：
，
的取值范围为
；
（2）解：①根据题意得：方程
，
由根与系数的关系得：
，
，
②
；
（3）解：
方程
有两个实数根，
判别式
，
解得：
，
由根与系数的关系得：
、
，
，
，
，
整理得：
，
解得：
或
，
，
．
2．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）对于代数式
，若存在实数
，使得当
时，代数式的
值等于常数，则称
为这个代数式的常定数．例如，对于代数式
，当
时，代数式的值为1，
当
时，代数式的值为1，所以0 和2 是这个代数式的常定数，当
时，代数式的值为
，
不是恒定的常数，所以1 不是这个代数式的常定数．
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(1)判断：
__________（是或不是）代数式
的常定数．
(2)代数式
是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由．
(3)已知代数式
，当
分别为0 和1 时，代数式的值均为4，若
存在两
个常定数
和
，求
的值．
【答案】(1)
不是
(2)
有常定数，常定数为
和
(3)
【分析】（1）根据常定数的定义判断即可；
（2）原式变形为
，根据常定数的定义得出
，解方程即可；
（3）先根据当
时，代数式
的值为4，求出
，代入
并化简
得
，根据常定数的定义得出
，化简后根据根与系数的关系求解
即可.
【详解】（1）解：当
时，代数式的值为
，不是恒定的常数，
所以
不是这个代数式的常定数；
（2）解：有常定数，常定数为
和
理由：若
有常定数，
则
，
解得
或
故代数式
有常定数，常定数为
和；
（3）解：当
时，代数式
的值为4，
∴
，
∴
，
∴
小学
初中
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，
∵
存在两个常定数
和
，
∴
，即
，
∴
.
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