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分层作业
25.2.1 配方法
题型01
直接开平方法解一元二次方程
1.B
2.B
3．A
4．
1
3
x ，
2
1
x ．
5．【详解】解：
2
3
1
18
0
x
，
2
3
1
18
x
，
2
1
6
x
，
1
6
x
，
解得
1
2
1
6,
1
6
x
x
．
题型02
配方法解一元二次方程
6．A
7．D
8．
4
7
9．【详解】解：∵
2
6
3
0
x
x
，
∴
2
6
3
x
x
，
∴
2
6
9
3
9
x
x
，
∴
2
3
6
x
，
∴
3
6
x
，
∴
1
3
6
x
，
2
3
6
x
．
10．【详解】
（1）解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了，错误原因是方程两边未同时加上
2
3
2
．
（2）解：
2
2
6
1
0
x
x
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2
2
6
1
x
x
2
1
3
2
x
x
2
2
2
3
1
3
3
2
2
2
x
x
2
3
7 .
2
4
x
3
7
2
2
x
3
7
2
2
x
或
3
7
2
2
x
1
2
7
3
7
3
2
2
2
2
x
x
，
题型03
配方法的应用
11．
2
(
1)
2
x
12．5．
13．3 1
4 2
，．
14．【详解】证明：
2
2
2
2
2
2
2
4
16
2
1
4
4) 11
1
2
11 11
x
y
x
y
x
x
y
y
x
y
，
不论x，y 取任何实数，多项式
2
2
2
4
16
x
y
x
y
的值总为正数．
15．【详解】（1）证明：
2
(
2)
0
x
，
2
2(
2)
1
0
x
；
（2）解：
2
2
2
2
2
2
(3
5
1)
(
3
10)
3
5
1
3
10
2
8
9
2(
2)
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
2
(
2)
0
x
，
2
2(
2)
0
x
，
2
2(
2)
1
0
x
．
2
2
3
5
1
3
10
x
x
x
x
．
16．D
17．6
2
4
6
a
b
．
18．3
或4
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19．【详解】（1）解：
2
1
9
x
，
1
3
x ，
1
3
x
或
1
3
x ；
解得：
4
x
或
2
x ；
（2）
2
6
4
0
x
x
，
2
6
9
9
4
0
x
x
，
2
3
13
0
x
，
2
3
13
x
，
3
13
x
，
所以
3
13
x
或
3
13
x
，
解得：
13
3
x
或
13
3
x
．
20．【详解】（1）解：第二步出现错误，原因是右边没有加1，
故答案为：②；
（2）解：
2
2
9
x
x
，
配方得
2
2
1
9 1
x
x
，即
2
1
10
x
，
开方得
1
10
x
或
1
10
x
，
∴
1
2
1
10,
1
10
x
x
．
21．A
22．2 7
14
或24
23．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的一个根是1
，
∴
0
a
b
c
，
∵
3
3
2
b
a
a
，
∴
3
0,3
0
a
a
，
∴
3
3
0
a
a
，
∴
3,
2
a
b
，
∴3
2
0
c
，
∴
5
c ，
∴方程可化为
2
3
2
5
0
y
y
，
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∴
2
2
5
0
3
3
y
y
，
∴
2
2
5
3
3
y
y
，
∴
2
2
2
2
1
5
1
3
3
3
3
y
y
，
∴
2
1
16
3
9
y
，
∴
1
4
3
3
y
，
解得：
1
5
3
y
，
2
1
y .
24．【详解】（1）解：仿照“小丽的做法”，
2
2
13
6
3
4
x
x
x
，
5
3
x
可化为
3
5
x
，
2
2
6
4
5
13
x
x
5 13
8
．
（2）解：仿照“小明的做法”，
10
2
3
x
，
3
2
10
x
，
2
3
2
10
x
，
2
9
12
4
10
x
x
，
2
3
4
2
x
x
，
2
6
8
4
x
x
，
3
2
2
2
6
11
6
8
3
4
3
4
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
．
25．【详解】（1）解：
2
8
7
x
x
2
8
16
9
x
x
2
4
9
x
4
3
4
3
x
x
7
1
x
x
；
（2）解：
2
2
4
5
x
x
2
2
2
1
7
x
x
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2
2
1
7
x
，
2
1
0
x
，
2
2
1
0
x
，
当
1
x 时，
2
2
1
0
x
，
2
2
4
5
x
x
取得最大值为7．
（3）解：当
2
2
4
4
2
x
x
x
，需要加单项式4x；
当
2
2
4
4
2
x
x
x
，需要加单项式4x
；
当
2
2
4
2
1
1
4
2
16
4
x
x
x
，需要加单项式
4
1
16 x ．
所以满足条件的单项式为：4x、4x
、
4
1
16 x ．
26．【详解】（1）解：∵
2
2
24
0
x
x
，
∴
2
2
24
x
x
，
∴
2
24
x x
；
如图所示，大正方形由4 个小长方形与中间的小正方形组成，
大正方形面积为
2
2
x
x
，4 个小长方形与正方形的面积的和为
2
4
2
2
x x
，即4
24
4
100
，
∴
2
2
100
x
x
，
∴2
2
10
x
或2
2
10
x
，
∴
4
x
或
6
x ，
∴一元二次方程
2
2
24
0
x
x
的一个正实数根为
4
x
；
（2）解：∵
2
5
0
x
x
n
，
∴
2
5
x
x
n
，
∴
5
x x
n
；
如图所示（见答案），大正方形由4 个小长方形与中间的小正方形组成，
大正方形面积为
2
5
x
x
，4 个小长方形与正方形的面积的和为
2
4
5
5
x x
，即4
25
n
，
∵在所构造的图形中大正方形的面积为81，
∴
2
5
81
x
x
，4
25
81
n
，
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∴2
5
9
x
或2
5
9
x
，
14
n
，
∴
2
x
或
7
x ，
∴该一元二次方程的正实数根为
2
x
．
27．【详解】（1）解：
41
4
37
9
32
16
25
36
5
，
其中只有16
25
是两个平方数的和，
2
2
41
4
5
；
（2）解：
2
6
1
x
x
2
6
9
9 1
x
x
2
(
3)
10
x
，
3,
10
m
n
，
30
mn
；
（3）解：
2
2
2
2
2
2
4
4
12
4
4
(4
12
9)
4
9
(
2)
(2
3)
13
S
x
y
x
y
k
x
x
y
y
k
x
y
k
，
要使S 对任意整数x, y 都为“完美数”，则
13
0
k
，
解得
13
k
．
28．
【答案】(1)是
(2) 12
(3)符合条件的一个k 值为9，理由如下：
对M 配方：
2
2
4
5
6
M
a
ab
b
b
k
2
2
2
(
4
4
)
6
a
ab
b
b
b
k
2
2
(
2 )
6
a
b
b
b
k
，
当
9
k
时，
2
2
6
9
(
3)
b
b
b
，
∴
2
2
(
2 )
(
3)
M
a
b
b
，
∵a ，b 是整数，
∴
2
a
b
和
3
b都是整数，
∴M 是两个整数的平方和，即M 为“和谐数”；
(4)当
3
x
时，y
x
的最小值为1
【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40 能否写成两个整数的平方和即可；
（2）利用配方法对代数式变形，对比得到m ，n 的值，即可计算mn ；
（3）对M 进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k 值；
（4）先写出y
x
的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值．
【详解】（1）解：∵
2
2
40
6
2
，且6，2 都是整数，
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∴40 是“和谐数”；
（2）解：
2
2
2
2
8
25
(
8
16)
9
(
4)
3
a
a
a
a
a
，
2
2
(
4)
3
a
对比
2
2
(
)
a
m
n
得
4
m
，
3
n ，
∴
4 ( 3)
12
mn
；
（3）解：略
（4）解：
2
2
2
5
10
6
10
3
1
y
x
x
x
x
x
x
x
，
∵对于任意实数x，都有
2
3
0
x
，
∴当
2
3
0
x
，即
3
x
时，y
x
取得最小值，最小值为1．
29．
1
4
/ 0.25
